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2011 年山东省威海市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个
是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均不得分）
1．（3分）在实数0，﹣ ， ，﹣2中，最小的是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．
2．（3分）今年体育学业考试增加了跳绳测试项目，下面是测试时记录员记录的一组（10名）
同学的测试成绩（单位：个/分钟）．
176 180 184 180 170 176 172 164 186 180
该组数据的众数、中位数、平均数分别为（ ）
A．180，180，178 B．180，178，178
C．180，178，176.8 D．178，180，176.8
3．（3分）在 ▱ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．（x3）3＝x6
C．x5+x5＝x10 D．（﹣ab）5÷（﹣ab）2＝﹣a3b3
5．（3分）下列各点中，在函数 图象上的是（ ）
A．（﹣2，﹣4） B．（2，3） C．（﹣6，1） D．（﹣ ，3）
6．（3分）在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE，
DF，EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等（ ）
A．EF∥AB B．BF＝CF C．∠A＝∠DFE D．∠B＝∠DEF
第1页（共22页）7．（3分）二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1 C．x＞3 D．x＜﹣3或x＞3
8．（3分）计算1÷ 的结果是（ ）
A．﹣m2﹣2m﹣1 B．﹣m2+2m﹣1 C．m2﹣2m﹣1 D．m2﹣1
9．（3分）关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（
）
A．0 B．8 C．4±2 D．0或8
10．（3分）如图是由一些大小相同的小立方体组成的几何体的主视图和左视图，则组成这个
几何体的小立方体的个数不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（3分）如果不等式组 的解集是x＜2，那么m的取值范围是（ ）
A．m＝2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≥2
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的
速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒3cm的速度运动，到达B
点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），则下列图象中能大致
反映y与x之间函数关系的是（ ）
第2页（共22页）A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果）
13．（3分）计算 的结果是 ．
14．（3分）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A点坐标（0，4），B点坐
标（﹣3，0），则C点坐标 ．
15．（3分）如图， O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4 ，则∠AED＝
． ⊙
第3页（共22页）16．（3分）因式分解：16﹣8（x﹣y）+（x﹣y）2＝ ．
17．（3分）如图 ，将一个量角器与一张等腰三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形．
∠ACB＝90°，C①D⊥AB，垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，测得CE＝5cm；将量
角器沿DC方向平移2cm，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC，BC相切，如图 ．则AB的
边长为 cm．（精确到0.1cm） ②
18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l ⊥x轴于点（1，0），直线l ⊥x轴于点（2，
1 2
0），直线l ⊥x轴于点（3，0）…直线l ⊥x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l ，l ，
3 n 1 2
l ，…l 分别交于点A ，A ，A ，…A ，函数y＝2x的图象与直线l ，l ，l ，…l 分别交于点B ，
3 n 1 2 3 n 1 2 3 n 1
B ，B ，…B ．如果△OA B 的面积记为S ，四边形A A B B 的面积记作S ，四边形
2 3 n 1 1 1 1 2 2 1 2
A 2 A 3 B 3 B 2 的面积记作S 3 ，…四边形A n﹣1 A n B n B n﹣1 的面积记作S n ，那么S 2011 ＝ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．（7分）解方程： ．
20．（8分）我们学习过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样
的图形运动叫做旋转，这个定点称为旋转中心．
（1）如图 ，△ABC≌△DEF．△DEF能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺
和圆规画①出旋转中心，若不能，试简要说明理由；
（2）如图 ，△ABC≌△MNK．△MNK能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺
和圆规画②出旋转中心，若不能，试简要说明理由．（保留必要的作图痕迹）
第4页（共22页）21．（9分）甲乙二人玩一个游戏：每人分别抛掷一个质地均匀的小立方体（每个面分别标有
数字1，2，3，4，5，6），落定后，若两个小立方体朝上的数字之和为偶数，则甲胜；若两个小
立方体朝上的数字之和为奇数，则乙胜，你认为这个游戏公平吗？试说明理由．
22．（9分）为了参加2011年威海国际铁人三项（游泳，自行车，长跑）系列赛业余组的比赛，
李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分
钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分
钟．求自行车路段和长跑路段的长度．
23．（10分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，
∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．
24．（11分）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD＝BC＝1，AB＝CD＝5．在矩形ABCD的边AB
上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．
（1）若∠1＝70°，求∠MKN的度数；
（2）△MNK的面积能否小于 ？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；
（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，
﹣3）．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．
直线y＝﹣x+m过点C，交y轴于D点．
第5页（共22页）（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点
G，求线段HG长度的最大值；
（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四
边形，求点N的坐标．
第6页（共22页）2011 年山东省威海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个
是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均不得分）
1．【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可求解．
【解答】解：∵正数大于0和一切负数，
所以只需比较 和﹣2的大小，
因为|﹣ |＜|﹣ |，
所以最小的数是﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，注意两个无理数的比较方法：统一根据二次
根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．
2．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均
数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．再根据平均数、众数和中位数的
定义求解即可．
【解答】解：在这一组数据中180是出现次数最多的，故众数是180；
将这组数据从小到大的顺序排列（164，170，172，176，176，180，180，180，184，186），
处于中间位置的那两个数为176，180，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是
178；
平均数为：（164+170+172+176+176+180+180+180+184+186）÷10＝176.8．
故选：C．
【点评】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．将一组数据从小到大（或从大
到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；
如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
3．【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，求证△AEF∽△BCF，然后利用其对应边成比例
即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△AEF∽△BCF，
第7页（共22页）∴ ＝ ，
∵点E为AD的中点，
∴ ＝ ＝ ，
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识点，难
度不大，属于基础题．
4．【分析】根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法与乘法等知识点进行作答
即可求得答案．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故A错误；
B、（x3）3＝x9，故B错误；
C、x5+x5＝2x5，故C错误；
D、（﹣ab）5÷（﹣ab）2＝﹣a5b5÷a2b2＝﹣a3b3，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数的幂的除法与乘法，积的乘方等多个运算性质，需
同学们熟练掌握．
5．【分析】根据函数 ，得到﹣6＝xy，只要把点的坐标代入上式成立即可．
【解答】解：∵函数 ，
∴﹣6＝xy，
只要把点的坐标代入上式成立即可，
把答案A、B、D的坐标代入都不成立，只有C成立．
故选：C．
【点评】本题主要考查对反比例函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据反比例函
数图象上点的坐标特征进行判断是解此题的关键．
6．【分析】根据平行线的性质得到∠BDF＝∠EFD，根据DE分别是ABAC的中点，推出
DE∥BC，DE＝ BC，得到∠EDF＝∠BFD，根据全等三角形的判定即可判断A；由DE＝
BC＝BF，∠EDF＝∠BFD，DF＝DF即可得到△BFD≌△EDF；由∠A＝∠DFE证不出
第8页（共22页）△BFD≌△EDF；由∠B＝∠DEF，∠EDF＝∠BFD，DF＝DF，得到△BFD≌△EDF．
【解答】解：A、∵EF∥AB，
∴∠BDF＝∠EFD，
∵DE分别是ABAC的中点，
∴DE＝ BC，DE∥BC（三角形的中位线定理），
∴∠EDF＝∠BFD（平行线的性质），
∵DF＝DF，
∴△BFD≌△EDF，故本选项正确；
B、∵DE＝ BC＝BF，∠EDF＝∠BFD，DF＝DF，∴△BFD≌△EDF，故本选项正确；
C、由∠A＝∠DFE证不出△BFD≌△EDF，故本选项错误；
D、∵∠B＝∠DEF，∠EDF＝∠BFD，DF＝DF，∴△BFD≌△EDF（AAS），故本选项正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质，三角形的中位线等知识点的
理解和掌握，能求出证全等的3个条件是证此题的关键．
7．【分析】先观察图象确定抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴的交点，然后根据y＜0时，所
对应的自变量x的变化范围．
【解答】解：由图象可以看出：
y＜0时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜3；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解
习题常用的方法．
8．【分析】首先将除法变为乘法运算，即乘以除数的倒数，然后利用乘法运算法则约分求解即
可求得答案．
【解答】解：1÷ ＝1× ×（m+1）（m﹣1）＝﹣（m﹣1）2＝﹣m2+2m﹣1．
故选：B．
【点评】此题考查了分式的乘除混合运算．解题的关键是注意运算顺序：同级运算，从左到
右依次进行．
9．【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，由程x2+（m﹣2）x+m+1＝0有两个相等的实
数根，则有△＝0，得到关于m的方程，解方程即可．
第9页（共22页）【解答】解：∵一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，即（m﹣2）2﹣4×1×（m+1）＝0，
整理，得m2﹣8m＝0，
解得m ＝0，m ＝8．
1 2
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞
0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有
实数根．
10．【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．
【解答】解：根据主视图与左视图，第一行的正方体有1（只有一边有）或2（左右都有）个，
第二行的正方形可能有2（左边有）或3（左右都有）个，
∵1+2＝3，1+3＝4，2+2＝4，2+3＝5，
故不可能有6个．
故选：D．
【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及动手操作能
力．
11．【分析】先解第一个不等式，再根据不等式组 的解集是x＜2，从而得出
关于m的不等式，解不等式即可．
【解答】解：解第一个不等式得，x＜2，
∵不等式组 的解集是x＜2，
∴m≥2，
故选：D．
【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知
数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．求不等式的公共解，
要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
12．【分析】当点N在AD上时，易得S△AMN 的关系式；当点N在CD上时，高不变，但底边在
增大，所以S△AMN 的面积关系式为一个一次函数；当N在BC上时，表示出S△AMN 的关系
式，根据开口方向判断出相应的图象即可．
第10页（共22页）【解答】解：当点N在AD上时，即0≤x≤1，S△AMN ＝ ×x×3x＝ x2，
点N在CD上时，即1≤x≤2，S△AMN ＝ ×x×3＝ x，y随x的增大而增大，所以排除A、D；
当N在BC上时，即2≤x≤3，S△AMN ＝ ×x×（9﹣3x）＝﹣ x2+ x，开口方向向下．
故选：B．
【点评】考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系
式是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果）
13．【分析】本题只需将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式，最后进行二次根式的除
法运算即可．
【解答】解：原式＝（5 ﹣2 ）÷ ＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，难度不大，解答此类题目时往往要先将二次根式
化为最简．
14．【分析】根据正方形的性质，过C点作CE⊥x轴于E，可证△ABO≌△BCE，求出CE，BE
的长，从而求解．
【解答】解：过C点作CE⊥x轴于E．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，又∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBE，又∠AOB＝∠BEC＝90°，
∴△ABO≌△BCE，
∴CE＝OB＝3，BE＝OA＝4，
∴C点坐标为（4﹣3，﹣3），即（1，﹣3）．
故答案为：（1，﹣3）．
第11页（共22页）【点评】本题充分运用正方形的性质，先证△ABO≌△BCE，把已知坐标转化为相关线段的
长，再求与点C的坐标有关的长度，从而确定C点坐标．
15．【分析】连接OD，过圆心O作OH⊥CD于点H．根据垂径定理求得DH＝CH＝ CD＝2
；然后根据已知条件“AE＝5，BE＝1”求得 O的直径AB＝6，从而知 O的半径OD
＝3，OE＝2；最后利用勾股定理求得OH＝1，再⊙由30°角所对的直角边是斜⊙边的一半来求
∠AED．
【解答】解：连接OD，过圆心O作OH⊥CD于点H．
∴DH＝CH＝ CD（垂径定理）；
∵CD＝4 ，
∴DH＝2 ；
又∵AE＝5，BE＝1，
∴AB＝6，
∴OA＝OD＝3（ O的半径）；
∴OE＝2； ⊙
∴在Rt△ODH中，OH＝ ＝1（勾股定理）；
在Rt△OEH中，OH＝ OE，
∴∠OEH＝30°，
即∠AED＝30°．
故答案为：30°．
第12页（共22页）【点评】本题综合考查了垂径定理、含30°角的直角三角形、勾股定理．解答此题时，借助于
辅助线OH，将隐含在题干中的已知条件OH垂直平分CD显现了出来，从而构建了两个
直角三角形：Rt△ODH和Rt△OEH，然后根据勾股定理和含30°角的直角三角形的相关
知识点来求∠AED的度数．
16．【分析】将（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解，即可求得答案．
【解答】解：16﹣8（x﹣y）+（x﹣y）2，
＝[4﹣（x﹣y）]2，
＝（4﹣x+y）2．
故答案为：（4﹣x+y）2．
【点评】此题考查了利用完全平方公式法分解因式．注意整体思想的应用是解题的关键．
17．【分析】如图，设图 中半圆的圆心为O，与BC的切点为M，连接OM，根据切线的性质
可以得到∠OMC＝9②0°，而根据已知条件可以得到∠DCB＝45°，设AB为2x，根据等腰直
角三角形的性质得到CD＝BD＝x，而CE＝5cm，又将量角器沿DC方向平移2cm，由此得
到半圆的半径为x﹣5，OC＝x﹣2，然后在Rt△OCM中利用三角函数可以列出关于x的方
程，解方程即可求解．
【解答】解：如图，设图 中半圆的圆心为O，与BC的切点为M，
连接OM， ②
则OM⊥MC，
∴∠OMC＝90°，
依题意知道∠DCB＝45°，
设AB为2x，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CD＝BD＝x，
而CE＝5cm，又将量角器沿DC方向平移2cm，
∴半圆的半径为x﹣5，OC＝x﹣2，
∴sin∠DCB＝ ＝ ，
第13页（共22页）∴ ＝ ，
∴x＝ ，
∴AB＝2x＝2× ≈24.5（cm）．
故答案为：24.5．
【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算
或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
18．【分析】先求出A ，A ，A ，…A 和点B ，B ，B ，…B 的坐标，利用三角形的面积公式计算
1 2 3 n 1 2 3 n
△OA 1 B 1 的面积；四边形A 1 A 2 B 2 B 1 的面积，四边形A 2 A 3 B 3 B 2 的面积，…四边形A n﹣1 A n B n B n﹣
的面积，则通过两个三角形的面积差计算，这样得到S ＝n﹣ ，然后把n＝2011代入即
1 n
可．
【解答】解：∵函数y＝x的图象与直线l ，l ，l ，…l 分别交于点A ，A ，A ，…A ，
1 2 3 n 1 2 3 n
∴A （1，1），A （2，2），A （3，3）…A （n，n），
1 2 3 n
又∵函数y＝2x的图象与直线l ，l ，l ，…l 分别交于点B ，B ，B ，…B ，
1 2 3 n 1 2 3 n
∴B （1，2），B （2，4），B （3，6），…B （n，2n），
1 2 3 n
∴S ＝ •1•（2﹣1），
1
S ＝ •2•（4﹣2）﹣ •1•（2﹣1），
2
S ＝ •3•（6﹣3）﹣ •2•（4﹣2），
3
…
S ＝ •n•（2n﹣n）﹣ •（n﹣1）[2（n﹣1）﹣（n﹣1）]
n
第14页（共22页）＝ n2﹣ （n﹣1）2
＝n﹣ ．
当n＝2011，S ＝2011﹣ ＝2010.5．
2011
故答案为2010.5．
【点评】本题考查了两条直线交点坐标的求法：利用两个图象的解析式建立方程组，解方
程组即可；也考查了三角形的面积公式以及梯形的面积公式．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．【分析】观察可得最简公分母是（x﹣1）（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程
转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘（x﹣1）（x+1），得
3x+3﹣x﹣3＝0，
解得x＝0．
检验：把x＝0代入（x﹣1）（x+1）＝﹣1≠0．
∴原方程的解为：x＝0．
【点评】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把
分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
20．【分析】（1）能．连接对应点，作对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为旋转
中心；
（2）能．根据三角形的全等关系，找出对应点并连线，作对应点连线的垂直平分线，两条垂
直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】解：（1）能．
点O 就是所求作的旋转中心；
1
（2）能．
点O 就是所求作的旋转中心．
2
第15页（共22页）【点评】本题考查了旋转变换的作图．关键是明确旋转中心与对应点的连线相等的性质，
故作对应点连线的垂直平分线．
21．【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公
式游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可，游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否
则游戏不公平．
【解答】解：公平．
理由：
甲 1 2 3 4 5 6
乙
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
∴一共有36种结果，每种结果出现的可能性是相同的，其中两个数字之和为偶数的有18
种，数字之和为奇数的有18种，
∴P（甲胜）＝P（乙胜）＝ ＝ ．
∴游戏是公平的．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概
率相等就公平，否则就不公平．
22．【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是“自行车路段和长跑路段共5千米”和“用
时15分钟”，列方程组求解即可．
【解答】解：方法1：设自行车路段的长度为x米，长跑路段的长度为y米，则：
第16页（共22页），
解得 ．
答：自行车路段的长度为3000米，长跑路段的长度为2000米．
方法2：设自行车路段的长度为x米，长跑路段的长度为（5000﹣x）米，则：
+ ＝15，
解得x＝3000，
5000﹣x＝5000﹣3000＝2000．
答：自行车路段的长度为3000米，长跑路段的长度为2000米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出
方程组．注意弄清骑自行车的时间、跑步的时间与共用时之间的关系．
23．【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出
∠EDF＝45°，进而可得出答案．
【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝AC×tan60°＝10 ，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝10 × ＝5 ，
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5 ，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．
【点评】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关
键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
第17页（共22页）24．【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出∠KNM，∠KMN的度数，根据三角形内角
和即可求解；
（2）过M点作ME⊥DN，垂足为E，通过证明NK＞1，由三角形面积公式可得△MNK的面
积不可能小于 ；
（3）分情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合；情况二：将矩形
纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC两种情况讨论求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AM∥DN．
∴∠KNM＝∠1．
∵∠1＝70°，
∴∠KNM＝∠KMN＝∠1＝70°，
∴∠MKN＝40°．
（2）不能．
过M点作ME⊥DN，垂足为E，则ME＝AD＝1．
∵∠KNM＝∠KMN，
∴MK＝NK，
又∵MK≥ME，
∴NK≥1．
∴△MNK的面积＝ NK•ME≥ ．
∴△MNK的面积不可能小于 ．
（3）分两种情况：
情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．
MK＝MB＝x，则AM＝5﹣x．
由勾股定理得12+（5﹣x）2＝x2，
解得x＝2.6．
∴MD＝ND＝2.6．
第18页（共22页）S△MNK ＝S△MND ＝ ＝1.3．
情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．
MK＝AK＝CK＝x，则DK＝5﹣x．
同理可得MK＝NK＝2.6．
∵MD＝1，
∴S△MNK ＝ ＝1.3．
△MNK的面积最大值为1.3．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，三角形的面积计算，注
意分类思想的运用，综合性较强，有一点的难度．
25．【分析】（1）把点E，A、B的坐标代入函数表达式，即可求出a、b、c的值；
（2）根据C点的坐标求出直线CD的解析式，然后结合图形设出K点的坐标（t，0），表达
出H点和G点的坐标，列出HG关于t的表达式，根据二次函数的性质求出最大值；
（3）需要讨论解决， 若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，当点N在
点M的左侧时，MN＝①3﹣n；当点N在点M的右侧时，MN＝n﹣3，然后根据已知条件在求
n的坐标就容易了
若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线时，由“点C与点A关于
②
第19页（共22页）点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点
坐标为（﹣1，0），过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，结合已知条件再求n的坐标就容
易了．
【解答】解：（1）设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣1）（x+3）
∵抛物线交y轴于点E（0，﹣3），将该点坐标代入上式，得a＝1
∴所求函数表达式为y＝（x﹣1）（x+3），
即y＝x2+2x﹣3；
（2）∵点C是点A关于点B的对称点，点A坐标（﹣3，0），点B坐标（1，0），
∴点C坐标（5，0），
∴将点C坐标代入y＝﹣x+m，得m＝5，
∴直线CD的函数表达式为y＝﹣x+5，
设K点的坐标为（t，0），则H点的坐标为（t，﹣t+5），G点的坐标为（t，t2+2t﹣3），
∵点K为线段AB上一动点，
∴﹣3≤t≤1，
∴HG＝（﹣t+5）﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t+8＝﹣（t+ ）2+ ，
∵﹣3＜﹣ ＜1，
∴当t＝﹣ 时，线段HG的长度有最大值 ；
（3）∵点F是线段BC的中点，点B（1，0），点C（5，0），
∴点F的坐标为（3，0），
∵直线l过点F且与y轴平行，
∴直线l的函数表达式为x＝3，
∵点M在直线l上，点N在抛物线上，
∴设点M的坐标为（3，m），点N的坐标为（n，n2+2n﹣3），
∵点A（﹣3，0），点C（5，0），
∴AC＝8，
分情况讨论：
若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，则需MN∥AC，且MN＝AC＝
①
第20页（共22页）8．
当点N在点M的左侧时，MN＝3﹣n，
∴3﹣n＝8，解得n＝﹣5，
∴N点的坐标为（﹣5，12），
当点N在点M的右侧时，MN＝n﹣3，
∴n﹣3＝8，
解得n＝11，
∴N点的坐标为（11，140），
若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点
②B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐
标为（﹣1，0）
过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，
将x＝﹣1代入y＝x2+2x﹣3，得y＝﹣4，
过点N作直线NM交直线l于点M，
在△BPN和△BFM中，
∠NBP＝∠MBF，
BF＝BP，
∠BPN＝∠BFM＝90°，
∴△BPN≌△BFM，
∴NB＝MB，
∴四边形ANCM为平行四边形，
∴坐标（﹣1，﹣4）的点N符合条件，
∴当N的坐标为（﹣5，12），（11，140），（﹣1，﹣4）时，以点A、C、M、N为顶点的四边形为
平行四边形．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式函数图象交点的求法等知识点、平
第21页（共22页）行四边形的判定和性质等知识点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．综合性强，考
查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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