文档内容
2010年山东省威海市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）据统计，截止到5月31日上海世博会累计入园人数803.27万人．803.27万这个数字
（保留两位有效数字）用科学记数法表示为（ ）
A．8.0×102 B．8.03×102 C．8.0×106 D．8.03×106
2．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
3．（3分）计算 的结果是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xy B．a3﹣a2＝a
C．a﹣（a﹣b）＝﹣b D．（a﹣1）（a+2）＝a2+a﹣2
5．（3分）一个圆锥的底面半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线
长为（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
6．（3分）化简 的结果是（ ）
A．﹣a﹣1 B．﹣a+1 C．﹣ab+1 D．﹣ab+b
7．（3分）如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方
体的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（3分）已知a﹣b＝1，则a2﹣b2﹣2b的值为（ ）
第1页（共21页）A．4 B．3 C．1 D．0
9．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD平分∠ABC，则
下列结论错误的是（ ）
A．BC＝2BE B．∠A＝∠EDA C．BC＝2AD D．BD⊥AC
10．（3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，对角线AC⊥BD，垂足为O，若CD＝3，
AB＝5，则AC的长为（ ）
A． B．4 C． D．
11．（3分）如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，
转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为4的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D
的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A ，作正方形A B C C；延长C B 交x轴于点A ，作
1 1 1 1 1 1 2
正方形A B C C …按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（ ）
2 2 2 1
第2页（共21页）A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）函数y＝ 的自变量x的取值范围为 ．
14．（3分）如图，AB为 O的直径，点C，D在 O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是
度． ⊙ ⊙
15．（3分）如图 ，在第一个天平上，砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量；如图 ，
在第二个天平①上，砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量．请你判断：1个砝②码A
与 个砝码C的质量相等．
16．（3分）如图，点A，B，C的坐标分别为（2，4），（5，2），（3，﹣1）．若以点A，B，C，D为顶点
的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则点D的坐标为 ．
17．（3分）小明家为响应节能减排号召，计划利用两年时间，将家庭每年人均碳排放量由目
第3页（共21页）前的3125kg降至2000kg（全球人均目标碳排放量），则小明家未来两年人均碳排放量平均
每年须降低的百分率是 %．
18．（3分）从边长为a的大正方形纸板中间挖去一个边长为b的小正方形后，将其截成四个
相同的等腰梯形（如图 ），可以拼成一个平行四边形（如图 ）．
现有一平行四边形纸片①ABCD（如图 ），已知∠A＝45°，AB＝6②，AD＝4．若将该纸片按图
方式截成四个相同的等腰梯形，然③后按图 方式拼图，则得到的大正方形的面积为
② ①
．
三、解答题（共7小题，满分66分）
19．（7分）解不等式组： ．
20．（7分）某市从今年1月1日起调整居民用天然气价格，每立方米天然气价格上涨25%．小
颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天然气热水器换成了太阳能热水器，5
月份的用气量比去年12月份少10m3，5月份的燃气费是90元．求该市今年居民用气的价
格？
21．（9分）某校为了解学生“体育大课间”的锻炼效果，中考体育测试结束后，随机从学校
720名考生中抽取部分学生的体育测试成绩绘制了条形统计图．试根据统计图提供的信
息，回答下列问题：
（1）共抽取了 名学生的体育测试成绩进行统计；
第4页（共21页）（2）随机抽取的这部分学生中男生体育成绩的平均数是 ，众数是 ；女生体
育成绩的中位数是 ；
（3）若将不低于27分的成绩评为优秀，估计这720名考生中，成绩为优秀的学生大约是多
少？
22．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数 的图象交于点A（﹣2，﹣5），C
（5，n），交y轴于点B，交x轴于点D．
（1）求反比例函数 和一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）连接OA，OC，求△AOC的面积．
23．（10分）如图，在 ▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝15cm．已知 O的半径等于3cm，AB，AD
分别与 O相切于点E，F． O在 ▱ABCD内沿AB方向滚动⊙，与BC边相切时运动停止．
试求 O⊙滚过的路程？ ⊙
⊙
24．（11分）如图 ，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片
△ABC，△A ①B C ．
1 1 1
第5页（共21页）（1）将△ABC，△A B C 如图 摆放，使点A 与B重合，点B 在AC边的延长线上，连接
1 1 1 1 1
CC 交BB 于点E．求证：∠B②C C＝∠B BC．
1 1 1 1 1
（2）若将△ABC，△A B C 如图 摆放，使点B 与B重合，点A 在AC边的延长线上，连
1 1 1 1 1
接CC 交A B于点F，试判断∠③A C C与∠A BC是否相等，并说明理由．
1 1 1 1 1
（3）写出问题（2）中与△A FC相似的三角形．
1
25．（12分）（1）探究新知：
如图1，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点．
①求证：△ABM与△ABN的面积相等．
如图2，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线
②EF上任一点，试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．
（2）结论应用：
如图3，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D，试探
究在抛物线y＝ax2+bx+c上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相
等？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共21页）2010 年山东省威海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．【分析】根据科学记数法的表示方法，将803.27万化为整数，再将其用科学记数法表示即
可得到答案．
【解答】解：803.27万＝8 032 700，保留两位有效数字为8.0×106．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．【分析】过点C作CF∥BD，根据两直线平行，内错角相等即可求解．
【解答】解：过点C作CF∥BD，则CF∥BD∥AE．
∴∠BCF＝∠DBC＝20°，
∵∠C＝90°，
∴∠FCA＝90﹣20＝70°．
∵CF∥AE，
∴∠CAE＝∠FCA＝70°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等．正确作出辅助线是解题
的关键．
3．【分析】根据零次幂的意义以及有理数的乘方的运算性质即可求解．
【解答】解：10﹣（ ）2009×（﹣2）2010
＝1﹣（﹣2）×（ ）2009×（﹣2）2009＝1+2×[ ×（﹣2）]2009＝1+2×（﹣1）2009＝1﹣2
＝﹣1．
故选：B．
第7页（共21页）【点评】本题主要考查了零次幂的意义，利用有理数的乘方公式是解决本题的关键．
4．【分析】对各项计算后再利用排除法求解．
【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、不是同底数幂的除法，不能次数相减，故本选项错误；
C、去括号时，括号里的每一项都变号，应为a﹣（a﹣b）＝b，故本选项错误；
D、（a﹣1）（a+2）＝a2+a﹣2，正确．
故选：D．
【点评】本题考查面较广，但都是基础知识，掌握好基础对学好数学非常重要．
5．【分析】求得圆锥的底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【解答】解：圆锥的底面周长为：2 ×6＝12 ；
∴圆锥侧面展开图的弧长为12 ， π π
设圆锥的母线长为R， π
∴ ＝12 ，
π
解得R＝9cm．
故选：A．
【点评】用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长，及弧长公式．
6．【分析】本题考查的是分式的除法运算，做除法运算时要转化为乘法的运算，注意先把分子、
分母能因式分解的先分解，然后约分．
【解答】解： ＝（﹣ ）× ＝﹣a+1．
故选：B．
【点评】分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先
进行因式分解，再约分．
7．【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图和左视图
可得第二层正方体的个数，相加即可．
【解答】解：由俯视图易得最底层有4个正方体，第二层有1个正方体，那么共有4+1＝5个
正方体组成，故选A．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面
的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答
案．
8．【分析】先将原式化简，然后将a﹣b＝1整体代入求解．
第8页（共21页）【解答】解：∵a﹣b＝1，
∴a2﹣b2﹣2b＝（a+b）（a﹣b）﹣2b
＝a+b﹣2b
＝a﹣b
＝1．
故选：C．
【点评】此题考查的是整体代入思想在代数求值中的应用．
9．【分析】根据D，E分别是边AC，AB的中点，得出DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC且
BC＝2DE；又BD平分∠ABC，所以∠CDB＝∠DBE＝∠BDE，所以BE＝DE＝AE，所以
AB＝2DE，所以AB＝BC，即可得出B、D选项正确．
【解答】解：∵D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DE∥BC且BC＝2DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE＝AE，
∴AB＝2DE，BC＝2DE＝2BE，故A正确；
∴AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝∠EDA，故B正确；
C、∵AE＝DE，与AD不一定相等，故本选项不一定成立；
D、∵AB＝BC，点D是AC的中点，
∴BD⊥AC，故本选项正确．
故选：C．
【点评】本题利用三角形的中位线定理、角平分线的性质和平行线的性质推出等角，得到
等腰三角形是解题的关键．
10．【分析】作辅助线，平移一腰，由等腰梯形的性质和勾股定理解得答案．
【解答】解：过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，
∵AB∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BE＝CD＝3，
∵AC⊥BD，
∴AC⊥CE，
第9页（共21页）∴∠ACE＝90°，
∵AD＝BC，
∴AC＝BD，
∴AC＝CE，
由勾股定理得，2AC2＝64，
∴AC＝4 ，故选A．
【点评】本题主要考查等腰梯形的性质的应用．
11．【分析】根据几何概率的定义，分别求出两圆中2所占的面积，即可求出针头扎在阴影区
域内的概率．
【解答】解：指针指向（1）中2的概率是 ，指针指向（2）中2的概率是 ，
指针所指区域内的数字之和为4的概率是 × ＝ ．
故选：B．
【点评】此题考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做
法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．两步
完成的事件的概率＝第一步事件的概率与第二步事件的概率的积．
12．【分析】根据相似三角形的判定原理，得出△AA B∽△A A B ，继而得知∠BAA ＝
1 1 2 1 1
∠B A A ；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算三个正方
1 1 2
形的面积，从中找出规律，问题也就迎刃而解了．
【解答】
解：设正方形的面积分别为S ，S …S ，
1 2 2010
根据题意，得：AD∥BC∥C A ∥C B ，
1 2 2 2
第10页（共21页）∴∠BAA ＝∠B A A ＝∠B A x（同位角相等）．
1 1 1 2 2 2
∵∠ABA ＝∠A B A ＝90°，
1 1 1 2
∴△BAA ∽△B A A ，
1 1 1 2
在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD＝ ，
cot∠DAO＝ ＝ ，
∵tan∠BAA ＝ ＝cot∠DAO，
1
∴BA ＝ AB＝ ，
1
∴CA ＝ + ＝ × ，
1
同理，得：C A ＝ × × ，
1 2
由正方形的面积公式，得：S ＝ ，
1
S ＝ × ，S ＝ × × ，
2 3
由此，可得S ＝ ×（1+ ）2n﹣2，
n
∴S ＝5×（ ）2×2010﹣2，
2010
＝5×（ ）4018．
故选：D．
【点评】本题综合考查了相似三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识点，另外，在
解题过程中，要认真挖掘题中隐藏的规律，这样可以降低解题的难度，提高解题效率．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：3﹣x≥0，解得x的范围．
【解答】解：根据题意得：3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故答案为：x≤3．
【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考
虑：
第11页（共21页）（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
14．【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB＝90°，∠ACD＝15°，即可求∠BCD
的度数．
【解答】解：连接AC，
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∵∠AOD＝30°，
∴∠ACD＝15°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝105°．
【点评】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都
等于这条弧所对的圆心角的一半．
15．【分析】此题可以分别设砝码A、B、C的质量是x，y，z．然后根据两个天平列方程组，消去
y，得到x和z之间的关系即可．
【解答】解：设砝码A、B、C的质量是x，y，z．根据题意，得
，
+ ，得
①2x＝②4z，
x＝2z．
即1个砝码A与2个砝码C的质量相等．
【点评】此题注意正确根据天平列方程组，再进一步运用加减法进行消元．
16．【分析】首先根据点的坐标确定坐标轴的位置，而根据AB＝BC，以点A，B，C，D为顶点的
四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则四边形ABCD是正方形，根据作图即可得
到D的位置，确定D的坐标．
【解答】解：∵以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，
点A，B，C的坐标分别为（2，4），（5，2），（3，﹣1）．
第12页（共21页）∴点D的坐标为（0，1）．
【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．正确判定四边形的形状是解决本题的关
键．
17．【分析】降低后的排放量＝降低前的排放量×（1﹣降低率），如果设平均每次降低的百分
率是x，则第一次降低后的排放量是3125（1﹣x），那么第二次后的排放量是3125（1﹣x）
2，即可列出方程求解．
【解答】解：设小明家未来两年人均碳排放量平均每年须降低的百分率是x，则
3125（1﹣x）2＝2000
（1﹣x）2＝0.64
1﹣x＝±0.8
x ＝0.2，x ＝1.8（舍去）
1 2
所以小明家未来两年人均碳排放量平均每年须降低的百分率是20%．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出
方程，再求解．要掌握此类有关增长率降低率的求算方法，注意值的合理性的检验．
18．【分析】要求大正方形的面积，就是要求出等腰梯形的下底．
【解答】解：过点F作FG∥AD，交AB于点G，
∴四边形AEFG是平行四边形，EF＝AG，AE＝GF＝ AD，
∵BH＝EF，AG＝EF，
∴BH＝AG，
∵∠A＝45°，
∴∠GFH＝90°，
∵GF＝FH＝2，
第13页（共21页）∴由勾股定理得，GH＝2 ，
∴AG＝ ＝3﹣ ，
∴等腰梯形的下底＝3﹣ ＝3+ ，
∴大正方形的面积＝（3+ ）2＝11+6 ．
【点评】考查了等腰梯形的性质和正方形面积的求法，以及平行四边形的判定．
三、解答题（共7小题，满分66分）
19．【分析】先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解： ，
解不等式（1），得x＜5，（3分）
解不等式（2），得x≥﹣2，（6分）
因此，原不等式组的解集为﹣2≤x＜5．（7分）
【点评】求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，
大大小小解不了．
20．【分析】有总费用，求的是单价，那么一定是根据数量来列等量关系的．关键描述语是：
“5月份的用气量比去年12月份少10m3”．等量关系为：去年12月份的用气量﹣今年5
月份的用气量＝10．
【解答】解：设该市去年居民用气的价格为x元/m3，则今年的价格为（1+25%）x元/m3．
根据题意，得 ，
解这个方程，得x＝2.4，
经检验，x＝2.4是所列方程的根，
∴2.4×（1+25%）＝3（元）．
答：该市今年居民用气的价格为3元/m3．
【点评】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量
关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是
解决问题的关键．
第14页（共21页）21．【分析】（1）由条形图知体育测试的总人数；
（2）先算男生的总成绩再除以男生的总人数，由众数和中位数的定义求出答案；
（3）先算出80人中的优秀学生，再估计这720名考生中，成绩为优秀的学生的人数．
【解答】解：（1）1+2+2+4+9+14+5+2+1+1+1+2+3+11+13+7+1+1＝80；
（2）（22×1+23×2+24×2+25×4+26×9+27×14+28×5+29×2+30×1）÷40＝26.4，
∵得27分的男生人数最多，
∴男生体育成绩的众数是27分，
∵把女生的成绩从小到大排列第20个数和第21个分别是27和27，这两个数的平均数为
27，
∴女生体育成绩的中位数是27分；
（3）720名考生中，成绩为优秀的学生大约为 （人）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得
到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．除此之外，
本题也考查了平均数、中位数、众数的认识．
22．【分析】（1）由反比例函数 的图象经过点A（﹣2，﹣5）可得反比例函数的表达式
，
又点C（5，n）在反比例函数的图象上可得C的坐标为（5，2），而一次函数的图象经过点
A、C，
将这两个点的坐标代入y＝kx+b，可得所求一次函数的表达式为y＝x﹣3．
（2）把x＝0代入一次函数y＝x﹣3可得B点坐标为（0，﹣3）即OB＝3又A点的横坐标为
﹣2，C点的横坐标为5，
可得S△AOC ＝S△AOB +S△BOC ＝ ．
【解答】解：（1）∵反比例函数 的图象经过点A（﹣2，﹣5），
∴m＝（﹣2）×（﹣5）＝10
第15页（共21页）∴反比例函数的表达式为 ．
∵点C（5，n）在反比例函数的图象上，
∴ ，
∴C的坐标为（5，2）．
∵一次函数的图象经过点A，C，将这两个点的坐标代入y＝kx+b，
得 ，解得
∴所求一次函数的表达式为y＝x﹣3．
（2）∵一次函数y＝x﹣3的图象交y轴于点B，
∴B点坐标为（0，﹣3）
∴OB＝3
∵A点的横坐标为﹣2，C点的横坐标为5，
∴S△AOC ＝S△AOB +S△BOC ＝ ．
【点评】本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识及综合应
用知识、解决问题的能力．此题难度较大．
23．【分析】 O滚过的路程即线段EN的长度．EN＝AB﹣AE﹣BN，所以只需求AE、BN的长
度即可．⊙分别解所在的直角三角形．
【解答】解：连接OE，OA、BO． （1分）
∵AB，AD分别与 O相切于点E，F，
∴OE⊥AB，OE＝⊙3cm． （2分）
∵∠DAB＝60°，
∴∠OAE＝30°． （3分）
在Rt△AOE中，
AE＝ cm． （5分）
∵AD∥BC，∠DAB＝60°，
∴∠ABC＝120°． （6分）
设当运动停止时， O与BC，AB分别相切于点M，N，连接ON，OM．（7分）
同理可得，∠BON⊙为30°，且ON为3cm，
第16页（共21页）∴BN＝ON•tan30°＝3× ＝ cm，
EN ＝ AB﹣ AE﹣ BN ＝ 15﹣ 3 ﹣ ＝ 15﹣ 4 cm ．
（9分）
∴ O滚过的路程为（15﹣4 ）cm． （10分）
⊙
【点评】此题考查了切线的性质、平行四边形的性质及解直角三角形等知识点，难度中等．
24．【分析】（1）由题意，知△ABC≌△A B C ，根据矩形的性质及全等三角形的性质，可证四
1 1 1
边形ABC C是平行四边形，再根据平行四边形的性质及相互间的等量关系即可得出；
1
（2）由题意，知△ABC≌△A B C ，根据矩形的性质及全等三角形的性质，及相互间的等量
1 1 1
关系即可得出；
（3）根据相似三角形的判定即可得出．
【解答】（1）证明：由题意，知△ABC≌△A B C ，
1 1 1
∴AB＝A B ，BC＝B C ，∠2＝∠7，∠A＝∠1．
1 1 1 1
∴∠3＝∠A＝∠1．（1分）
∴BC ∥AC．
1
∴四边形ABC C是平行四边形．（2分）
1
∴AB∥CC ．
1
∴∠4＝∠7＝∠2．（3分）
∵∠5＝∠6，
∴∠B C C＝∠B BC．（4分）
1 1 1
（2）解：∠A C C＝∠A BC．（5分）
1 1 1
理由如下：由题意，知△ABC≌△A B C ，
1 1 1
∴AB＝A B ，BC ＝BC，∠1＝∠8，∠A＝∠2．
1 1 1
∴∠3＝∠A，∠4＝∠7．（6分）
∵∠1+∠FBC＝∠8+∠FBC，
∴∠C BC＝∠A BA．（7分）
1 1
第17页（共21页）∵∠4＝ （180°﹣∠C BC），∠A＝ （180°﹣∠A BA），
1 1
∴∠4＝∠A．（8分）
∴∠4＝∠2
∵∠5＝∠6，
∴∠A C C＝∠A BC．（9分）
1 1 1
（3）解：△C FB，（10分）
1
△A C B，△ACB．（11分）（写对一个不得分）
1 1
【点评】本题主要考查了矩形的性质和全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知
识点，难度较大．
25．【分析】（1） 由于CD∥AB，所以△ABM和△ABN中，AB边上的高相等，则两个三角形
是同底等高的①三角形，所以它们的面积相等；
分别过D、E作AB的垂线，设垂足为H、K；通过证△DAH≌△EBK，来得到DH＝KE；
②则所求的两个三角形是同底等高的三角形，由此得证；
（2）根据A、C的坐标，即可求得抛物线的解析式，进而可求出A、D的解析式；用待定系数
法可确定直线AD的解析式；假设存在符合条件的E点，过C作CD⊥x轴于D，交直线AD
于H；过E作EF⊥x轴于F，交直线AD于P；根据抛物线的对称轴方程及直线AD的解析
式，易求得H点的坐标，即可得到CH的长；设出E点横坐标，根据直线AD和抛物线的解
析式，可表示出P、E的纵坐标，即可得到PE的长；根据（1）题得到的结论，当PE＝CH时，
所求的两个三角形面积相等，由此可列出关于E点横坐标的方程，从而求出E点的坐标．
（需注意的是E点可能在直线AD的上方或下方，这两种情况下PE的表达式会有所不同，
要分类讨论）
第18页（共21页）【解答】证明：（1） 分别过点M，N作ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F
∵AD∥BC，AD＝BC，①
∴四边形ABCD为平行四边形；
∴AB∥CD；
∴ME＝NF；
∵S△ABM ＝ ，S△ABN ＝ ，
∴S△ABM ＝S△ABN （1分）
解：相等；理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K；
②则∠DHA＝∠EKB＝90°；
∵AD∥BE，
∴∠DAH＝∠EBK；
∵AD＝BE，
∴△DAH≌△EBK；
∴DH＝EK；（2分）
∵CD∥AB∥EF，
∴S△ABM ＝ ，S△ABG ＝ ，
∴S△ABM ＝S△ABG ；（3分）
解：（2）存在．（4分）
因为抛物线的顶点坐标是C（1，4），
所以，可设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+4；
又因为抛物线经过点A（3，0），
所以将其坐标代入上式，得0＝a（3﹣1）2+4，解得a＝﹣1；
∴该抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4，
即y＝﹣x2+2x+3；（5分）
∴D点坐标为（0，3）；
设直线AD的表达式为y＝kx+3，
代入点A的坐标，得0＝3k+3，解得k＝﹣1；
∴直线AD的表达式为y＝﹣x+3；
第19页（共21页）过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H；则H点的纵坐标为﹣1+3＝2；
∴CH＝CG﹣HG＝4﹣2＝2；（6分）
设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为﹣m2+2m+3；
过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为3﹣m，EF∥CG；
由（1）可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相等；
若E点在直线AD的上方，
①则PF＝3﹣m，EF＝﹣m2+2m+3，
∴EP＝EF﹣PF＝﹣m2+2m+3﹣（3﹣m）＝﹣m2+3m；
∴﹣m2+3m＝2，
解得m ＝2，m ＝1；（7分）
1 2
当m＝2时，PF＝3﹣2＝1，EF＝1+2＝3；
∴E点坐标为（2，3）；
同理当m＝1时，E点坐标为（1，4），与C点重合；（8分）
若E点在直线AD的下方，
②则PE＝（3﹣m）﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣3m；（9分）
∴m2﹣3m＝2，
解得 ， ；（10分）
当 时，E点的纵坐标为 ；
当 时，E点的纵坐标为 ；
∴在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，
E点的坐标为E（2，3）；E（ ，﹣ ）；E（ ， ）．（12分）
1 2 3
第20页（共21页）【点评】此题主要考查了平行线的性质、三角形面积的求法、全等三角形的判定和性质、二
次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法等知识；同时还考查了分类讨论的数学思
想，能力要求高，难度较大．
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日期：2019/10/22 12:06:57；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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