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2012年山东省威海市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个
是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1．（3分）64的立方根是（ ）
A．8 B．±8 C．4 D．±4
2．（3分）2012年是威海市实施校安全工程4年规划的收官年，截止4月底，全市已开工项目
39个，投入资金4999万元，请将4999万用科学记数法表示（保留两个有效数字）（ ）
A．4999×104 B．4.999×107 C．4.9×107 D．5.0×107
3．（3分）如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC＝90°，AB＝AC，若∠1＝
20°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．65° C．70° D．75°
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．a5+a5＝a10
C．a÷a﹣2＝a3 D．（﹣3a）2＝﹣9a2
5．（3分）如图所示的机器零件的左视图是 （ ）
A． B． C． D．
6．（3分）函数y＝ 的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x≠3 D．x＜﹣3
7．（3分）某外贸公司要出口一批食品罐头，标准质量为每听454克，现抽去10听样品进行检
测，它们的质量与标准质量的差值（单位：克）如下：﹣10，+5，0，+5，0，0，﹣5，0，+5，+10．
第1页（共25页）则这10听罐头质量的平均数及众数为（ ）
A．454，454 B．455，454 C．454，459 D．455，0
8．（3分）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）下列选项中，阴影部分面积最小的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在 ▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍
无法判断四边形AECF为菱形的是（ ）
A．AE＝AF B．EF⊥AC
C．∠B＝60° D．AC是∠EAF的平分线
11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
第2页（共25页）A．abc＞0
B．3a＞2b
C．m（am+b）≤a﹣b（m为任意实数）
D．4a﹣2b+c＜0
12．（3分）向一个图案如图所示的正六边形靶子上随意抛一枚飞镖，则飞镖插在阴影区域的
概率为（ ）
A． B． C．1﹣ D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果）
13．（3分）计算： ＝ ．
14．（3分）分解因式：3x2y+12xy2+12y3＝ ．
15．（3分）如图，直线l ，l 交于点A，观察图象，点A的坐标可以看作方程组 的解．
1 2
16．（3分）若关于x的方程x2+（a﹣1）x+a2＝0的两根互为倒数，则a＝ ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已
知△A B C 的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A B C 位似，则△A B C
1 1 1 1 1 1 1 1 1
的第三个顶点的坐标为 ．
第3页（共25页）18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，线段OA ＝1，OA 与x轴的夹角为30°，线段A A ＝1，
1 1 1 2
A A ⊥OA ，垂足为A ；线段A A ＝1，A A ⊥A A ，垂足为A ；线段A A ＝1，A A ⊥A A ，
2 1 1 1 2 3 3 2 1 2 2 3 4 4 3 2 3
垂足为A ；…按此规律，点A 的坐标为 ．
3 2012
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．（7分）解不等式组，并把解集表示在数轴上： ．
20．（8分）如图，AB为 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．K为 上一动点，AK，DC的延
长线相交于点F，连⊙接CK，KD．
（1）求证：∠AKD＝∠CKF；
（2）若AB＝10，CD＝6，求tan∠CKF的值．
21．（9分）某市为提高学生参与体育活动的积极性，2011年9月围绕“你最喜欢的体育运动
项目（只写一项）”这一问题，对初一新生进行随机抽样调查，下图是根据调查结果绘制
第4页（共25页）成的统计图（不完整）．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是多少？
（2）根据条形统计图中的数据，求扇形统计图中“最喜欢足球运动”的学生数所对应扇形
的圆心角度数．
（3）请将条形统计图补充完整．
（4）若该市2011年约有初一新生21000人，请你估计全市本届学生中“最喜欢足球运
动”的学生约有多少人．
22．（9分）小明计划用360元从大型系列科普丛书《什么是什么》（每本价格相同）中选购部
分图书．“六一”期间，书店推出优惠政策：该系列丛书8折销售．这样，小明比原计划多
买了6本．求每本书的原价和小明实际购买图书的数量．
23．（10分）（1）如图 ， ▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，
BC于点E，F． ①
求证：AE＝CF．
（2）如图 ，将 ▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A
1
处，点B
落在点B②处，设FB 交CD于点G，A B 分别交CD，DE于点H，I．
1 1 1 1
求证：EI＝FG．
24．（11分）探索发现
已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点O，连接
第5页（共25页）EO并延长交AB于点M，交CD于点N．
（1）如图 ，如果AD＝BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线．
（2）如图①，如果AD≠BC，那么线段AM与BM是否相等？请说明理由．
学以致用 ②
仅用直尺（没有刻度），试作出图 中的矩形ABCD的一条对称轴．（写出作图步骤，保留
作图痕迹） ③
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过
点A（0，2），直线y＝x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交
直线y＝x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为点F，点P在抛物线上，且位于对称轴
的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，△PCM为等边三角形．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；
（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△CMN与△CPE全等？若存在，试
求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共25页）2012 年山东省威海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个
是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1．【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】解：∵4的立方等于64，
∴64的立方根等于4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数
的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立
方根与原数的性质符号相同．
2．【分析】较大的数保留有效数字需要用科学记数法来表示．用科学记数法保留有效数字，要
在标准形式a×10n中a的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数
几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．
【解答】解：4999万＝4999×104＝4.999×107≈5.0×107．
故选：D．
【点评】本题考查了科学记数法与有效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计
算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．
3．【分析】根据等腰直角三角形性质求出∠ACB，求出∠ACE的度数，根据平行线的性质得出
∠2＝∠ACE，代入求出即可．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠1＝20°，
∴∠ACE＝20°+45°＝65°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠ACE＝65°，
故选：B．
第7页（共25页）【点评】本题考查了三角形的内角和定理、等腰直角三角形、平行线的性质，关键是求出
∠ACE的度数．
4．【分析】利用同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则、同底数幂的除法以及积的乘方的知
识求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故本选项错误；
B、a5+a5＝2a5，故本选项错误；
C、a÷a﹣2＝a1﹣（﹣2）＝a3，故本选项正确；
D、（﹣3a）2＝9a2，故本选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则、同底数幂的除法以及积的
乘方的知识．此题比较简单，注意掌握是指数的变化是解此题的关键．
5．【分析】根据左视图的定义，找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：机器零件的左视图是一个矩形．中间有1条横着的虚线．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的棱
用实线表示，看不到的用虚线表示．
6．【分析】一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一
个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
【解答】解：根据题意得到：x﹣3＞0，
解得x＞3．
故选：A．
【点评】本题考查了函数式有意义的x的取值范围．判断一个式子是否有意义，应考虑分母
上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．
易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．
7．【分析】首先求得﹣10，+5，0，+5，0，0，﹣5，0，+5，+10这10个数的平均数以及众数，然后
分别加上454克，即可求解．
第8页（共25页）【解答】解：平均数是：454+ （﹣10+5+0+5+0+0﹣5+0+5+10）＝454+1＝455克，
﹣10，+5，0，+5，0，0，﹣5，0，+5，+10的众数是0，因而这10听罐头的质量的众数是：
454+0＝454克．
故选：B．
【点评】本题考查了众数与平均数的求法，正确理解定理，理解﹣10，+5，0，+5，0，0，﹣5，
0，+5，+10与这10听罐头质量的平均数及众数的关系是关键．
8．【分析】先把x2﹣9因式分解得到最简公分母为（x+3）（x﹣3），然后通分得到 ，
再把分子化简后约分即可．
【解答】解：原式＝ ﹣
＝
＝
＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的加减法：先把各分母因式分解，确定最简公分母，然后进行通分
化为同分母的分式，再把分母不变，分子相加减，然后进行约分化为最简分式或整式．
9．【分析】根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵M、N两点均在反比例函数y＝ 的图象上，∴S阴影 ＝2；
B、∵M、N两点均在反比例函数y＝ 的图象上，∴S阴影 ＝2；
C、如图所示，分别过点MN作MA⊥x轴，NB⊥x轴，
则S阴影 ＝S△OAM +S阴影梯形ABNM ﹣S△OBN ＝ ×2+ （2+1）×1﹣ ×1×2＝ ；
D、∵M、N两点均在反比例函数y＝ 的图象上，
∴ ×1×4＝2．
∵ ＜2，
第9页（共25页）∴C中阴影部分的面积最小．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点
象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．
10．【分析】根据平行四边形性质推出∠B＝∠D，∠DAB＝∠DCB，AB＝CD，AD＝BC，求出
∠BAE＝∠DCF，证△ABE≌△CDF，推出AE＝CF，BE＝DF，求出AF＝CE，得出四边形
AECF是平行四边形，再根据菱形的判定判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠DAB＝∠DCB，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，
∴∠DCF＝ ∠DCB，∠BAE＝ ∠BAD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，BE＝DF，
∵AD＝BC，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
A、∵四边形AECF是平行四边形，AE＝AF，
∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；
B、∵EF⊥AC，四边形AECF是平行四边形，
∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；
第10页（共25页）C、根据∠B＝60°和平行四边形AECF不能推出四边形是菱形，故本选项错误；
D、∵四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥BC，
∴∠FAC＝∠ACE，
∵AC平分∠EAF，
∴∠FAC＝∠EAC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝EC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形，故本选项正确；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、全等三角形的性质和判定、平
行线的性质等知识点，主要考查学生的推理能力．
11．【分析】根据函数图象可得各系数的关系：a＜0，c＞0，根据对称轴x＝﹣ ＝﹣1＜0，则
b＜0，再利用图象与x轴交点右侧小于1，则得出图象与坐标轴左侧交点一定小于﹣2，可
知，4a﹣2b+c＞0，再结合图象判断各选项．
【解答】解：A．由函数图象可得各系数的关系：a＜0，c＞0，对称轴x＝﹣ ＝﹣1＜0，则b
＜0，
故abc＞0，故此选项正确，但不符合题意；
B．∵x＝﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2b＝4a，
∵a＜0，b＜0，
∴3a＞2b，故此选项正确，但不符合题意；
C．∵b＝2a，代入m（am+b）﹣（a﹣b）得：
∴m（am+2a）﹣（a﹣2a），
＝am2+2am+a，
＝a（m+1）2，
∵a＜0，
第11页（共25页）∴a（m+1）2≤0，
∴m（am+b）﹣（a﹣b）≤0，
即m（am+b）≤a﹣b，故此选项正确，但不符合题意；
D．当x＝﹣2代入y＝ax2+bx+c，得出y＝4a﹣2b+c，
利用图象与x轴交点右侧小于1，则得出图象与坐标轴左侧交点一定小于﹣2，
故y＝4a﹣2b+c＞0，故此选项错误，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，同学们应注意，二次函数 y＝
ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＜0时，抛物线向下开口，当a与b同号时（即ab＞0），对称
轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右，以及利用对称轴得出a，b的
关系是解题关键．
12．【分析】根据已知假设出六边形边长为1，进而求出正六边形面积和S扇形FAB ，S扇形BCD ，S扇
，再利用三个扇形面积减去正六边形面积等于阴影部分面积，进而得出飞镖插在阴影
形DEF
区域的概率．
【解答】解：根据图象可以得出，O为正六边形中心，过点O作OM⊥BC，
设正六边形边长为1，根据正六边形每个内角为120°，
则 S 扇形 FAB ＝ ＝ ，故 S 扇形 BCD ＝ ＝ ，S 扇形 DEF ＝
＝ ，
∵OC＝BC＝BO＝1，OM⊥BC，
∴OM＝ ＝
∴S△OBC ＝ ×OM×BC＝ × ×1＝ ，
∴S正六边形面积 ＝ ×6＝ ，
∴S阴影 ＝ ﹣ ，
π
∴飞镖插在阴影区域的概率为： ＝ ﹣1．
第12页（共25页）故选：A．
【点评】此题主要考查了概率公式以及正六边形面积求法和扇形面积公式等知识，根据已
知得出三个扇形面积减去正六边形面积等于阴影部分面积是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果）
13．【分析】分别根据0指数幂及负整数指数的运算法则计算出各数，再根据实数混合运算的
法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝1﹣2+
＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数的运算法则是解答此题的
关键．
14．【分析】先提取公因式3y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3x2y+12xy2+12y3，
＝3y（x2+4xy+4y2），
＝3y（x+2y）2．
故答案为：3y（x+2y）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取
公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
15．【分析】设直线l 的解析式是y＝kx﹣1，设直线l 的解析式是y＝kx+2，把A（1，1）代入求
1 2
出k的值，即可得出方程组．
【解答】解：设直线l 的解析式是y＝k x﹣1，设直线l 的解析式是y＝k x+2，
1 1 2 2
∵把A（1，1）代入l 得：k ＝2，
1 1
∴直线l 的解析式是y＝2x﹣1
1
∵把A（1，1）代入l 得：k ＝﹣1，
2 2
第13页（共25页）∴直线l 的解析式是y＝﹣x+2，
2
∵A是两直线的交点，
∴点A的坐标可以看作方程组 的解，
故答案为： ．
【点评】本题考查了一元一次函数与二元一次方程组的应用，主要考查学生的理解能力和
计算能力．
16．【分析】设方程的两根分别为m与n，由m与n互为倒数得到mn＝1，再由方程有解，得到
根的判别式大于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围，然后利用
根与系数的关系表示出两根之积，可得出关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可．
【解答】解：设已知方程的两根分别为m，n，
由题意得：m与n互为倒数，即mn＝1，
由方程有解，得到△＝b2﹣4ac＝（a﹣1）2﹣4a2≥0，
解得：﹣1≤a≤ ，
又mn＝a2，∴a2＝1，
解得：a＝1（舍去）或a＝﹣1，
则a＝﹣1．
故答案为：﹣1
【点评】此题考查了根与系数的关系，倒数的定义，以及一元二次方程解的判定，一元二次
方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，方程有解，设此时方程的解为x 和x ，则有
1 2
x +x ＝﹣ ，x x ＝ ．
1 2 1 2
17．【分析】首先由题意可求得直线AC、AB、BC的解析式与过点（1，3），（2，5）的直线的解析
式，即可知过这两点的直线与直线AC平行，则可分别从 若A的对应点为A（1，3），C
1
的对应点为C（2，5）与 若C的对应点为A（1，3），A的①对应点为C（2，5）去分析求解，
1 1 1
即可求得答案． ②
【解答】解：设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
∵△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4），
∴ ，
第14页（共25页）解得： ，
∴直线AC的解析式为：y＝2x﹣8，
同理可得：直线AB的解析式为：y＝ x﹣2，直线BC的解析式为：y＝﹣x+10，
∵△A B C 的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），
1 1 1
∴过这两点的直线为：y＝2x+1，
∴过这两点的直线与直线AC平行，
若A的对应点为A （1，3），C的对应点为C （2，5），
1 1
①则B
1
C
1
∥BC，B
1
A
1
∥BA，
设直线B C 的解析式为y＝﹣x+a，直线B A 的解析式为y＝ x+b，
1 1 1 1
∴﹣2+a＝5， +b＝3，
解得：a＝7，b＝ ，
∴直线B C 的解析式为y＝﹣x+7，直线B A 的解析式为y＝ x+ ，
1 1 1 1
则直线B C 与直线B A 的交点为：（3，4）；
1 1 1 1
若C的对应点为A （1，3），A的对应点为C （2，5），
1 1
②则B
1
A
1
∥BC，B
1
C
1
∥BA，
设直线B C 的解析式为y＝ x+c，直线B A 的解析式为y＝﹣x+d，
1 1 1 1
∴ ×2+c＝5，﹣1+d＝3，
解得：c＝4，d＝4，
∴直线B C 的解析式为y＝ x+4，直线B A 的解析式为y＝﹣x+4，
1 1 1 1
则直线B C 与直线B A 的交点为：（0，4）．
1 1 1 1
∴△A B C 的第三个顶点的坐标为（3，4）或（0，4）．
1 1 1
故答案为：（3，4）或（0，4）．
第15页（共25页）【点评】此题考查了位似图形的性质．此题难度适中，注意掌握位似图形的对应线段互相
平行，注意掌握待定系数法求一次函数解析式的知识，注意分类讨论思想与数形结合思想
的应用．
18．【分析】过点A 作A B⊥x轴，作A C∥x轴A C∥y轴，相交于点C，然后求出点A 的坐标，
1 1 1 2 1
以及A C、A C的长度，并出A 、A 、A 、A 、A 的坐标，然后总结出点的坐标的变化规律，
1 2 2 3 4 5 6
再把2012代入规律进行计算即可得解．
【解答】解：如图，过点A 作A B⊥x轴，作A C∥x轴A C∥y轴，相交于点C，
1 1 1 2
∵OA ＝1，OA 与x轴的夹角为30°，
1 1
∴OB＝OA •cos30°＝1× ＝ ，
1
A B＝OA •sin30°＝1× ＝ ，
1 1
∴点A 的坐标为（ ， ），
1
∵A A ⊥OA ，OA 与x轴的夹角为30°，
2 1 1 1
∴∠OA C＝30°，∠A A C＝90°﹣30°＝60°，
1 2 1
∴∠A A C＝90°﹣60°＝30°，
1 2
同理可求：A C＝OB＝ ，A C＝A B＝ ，
2 1 1
所以，点A 的坐标为（ ﹣ ， + ），
2
点A 的坐标为（ ﹣ + ， + + ），即（ ﹣ ， +1），
3
点A 的坐标为（ ﹣ ﹣ ， +1+ ），即（ ﹣1， +1），
4
第16页（共25页）点A 的坐标为（ ﹣1+ ， +1+ ），即（ ﹣1， + ），
5
点A 的坐标为（ ﹣1﹣ ， + + ），即（ ﹣ ， + ），
6
…，
当n为奇数时，点A 的坐标为（ ﹣ ， + ），
n
当n为偶数时，点A 的坐标为（ ﹣ ， + ），
n
所以，当n＝2012时， ﹣ ＝503 ﹣503， + ＝503 +503，
点A 的坐标为（503 ﹣503，503 +503）．
2012
故答案为：（503 ﹣503，503 +503）．
【点评】本题考查了点的坐标的规律变化问题，作出辅助线，求出各点的横坐标与纵坐标
的规律变化的数值，然后依次写出前几个点的坐标，根据坐标与点的序号的特点找出点的
坐标的通式是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：解不等式 ，得x≤﹣2，
解不等式 ，得x＞﹣3①，
故原不等②式组的解集为﹣3＜x≤﹣2，
在数轴上表示为（如图）
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集，熟知实心圆
点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
20．【分析】（1）连接AD、AC．根据“圆内接四边形对角互补”以及同角得到补角相等，推知
第17页（共25页）∠CKF＝∠ADC；然后由圆心角、弧、弦间的关系以及圆周角定理证得∠ADC＝∠AKD；
最后根据图中角与角间的和差关系证得结论；
（2）连接OD．利用垂径定理知DE＝CE＝ CD＝3；然后在Rt△ODE中根据勾股定理求
得OE＝4；最后在Rt△ADE中利用三角函数的定义求得tan∠ADE＝3，由等量代换知
tan∠CKF＝3．
【解答】（1）证明：连接AD、AC．
∵∠CKF是圆内接四边形ADCK的外角，
∴∠CKF+∠AKC＝180°，
∠AKC+∠ADC＝180°
∴∠CKF＝∠ADC；
∵AB为 O的直径，弦CD⊥AB，
∴ ＝⊙
∴
∴∠ADC＝∠AKD，
∴∠AKD＝∠CKF；
（2）解：连接OD．
∵AB为 O的直径，AB＝10，
∴OD＝⊙5；
∵弦CD⊥AB，CD＝6，
∴DE＝CE＝ CD＝3（垂径定理）；
在Rt△ODE中，OE＝ ＝4，
∴AE＝9；
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝ ＝3；
∵∠CKF＝∠ADE，
∴tan∠CKF＝3．
第18页（共25页）【点评】此题考查了圆的综合题．解答此题时，综合利用了圆内接四边形的性质、垂径定理、
勾股定理以及解直角三角形等知识．
21．【分析】（1）用喜欢健身操的学生数除以其所占的百分比即可求得样本容量；
（2）用周角乘以最喜欢足球运动的学生所占的百分比即可求得其圆心角的度数；
（3）求得喜欢篮球的人数后补全统计图即可；
（4）用总人数乘以喜欢足球的人数占总人数的百分比即可求解．
【解答】解：（1）100÷20%＝500，
∴本次抽样调查的样本容量是500；
（2）∵360°× ＝43.2°，
∴扇形统计图中“最喜欢足球运动”的学生数所对应的扇形圆心角度数为43.2°；
（3）如图：
（4）21000× ＝2520（人）
全市本届学生中“最喜欢足球运动”的学生约有2520人；
【点评】此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．
22．【分析】根据：用360元钱打折后可购书本数﹣打折前360元钱可购书本数＝6，列分式方
第19页（共25页）程．
【解答】解：设每本书的原价为x元，根据题意，得：
，
解这个方程，得：x＝15，
经检验，x＝15是所列方程的根，
则 （本），
所以，每本书的原价为15元，小明实际可购买图书30本．
【点评】本题考查了分式方程的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相
等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，
而另一个则用来设未知数．
23．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA＝OC，又由平行线的性质，
可得∠1＝∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE＝CF．
（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A E＝CF，∠A ＝∠A＝∠C，∠B ＝∠B＝
1 1 1
∠D，继而可证得△A IE≌△CGF，即可证得EI＝FG．
1
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠1＝∠2，
∵在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
由（1）得AE＝CF，
由折叠的性质可得：AE＝A E，∠A ＝∠A，∠B ＝∠B，
1 1 1
∴A E＝CF，∠A ＝∠A＝∠C，∠B ＝∠B＝∠D，
1 1 1
又∵∠1＝∠2，
第20页（共25页）∴∠3＝∠4，
∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，
∴∠5＝∠6，
∵在△A IE与△CGF中，
1
，
∴△A IE≌△CGF（AAS），
1
∴EI＝FG．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题
难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
24．【分析】（1）AD＝BC，CD∥AB，则四边形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的性质可以
得到∠DAB＝∠CBA，则AE＝BE，即E在AB的垂直平分线上，然后根据OA＝OB即可证
明O在AB的垂直平分线上，从而证得EM是AB的垂直平分线；
（2）易证△DEN∽△AEM，△OND∽△OMB，则依据相似三角形的对应边的比相等，可以
证得： ，从而证得BM＝AM；
（3）根据（2）可以得到：连接AC，BD，两线交于点O ，矩形ABCD外任取一点E，连接EA，
1
EB，分别交DC于点G，H，即可作出AB的中点M，则直线MO 即为所求．
1
【解答】（1）证明：∵AD＝BC，CD∥AB．
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC＝BD，∠DAB＝∠CBA，
∴AE＝BE
∴点E在线段AB的垂直平分线上，
在△ABD与△BAC中，AB＝BA，AD＝BC，BD＝AC，
第21页（共25页）∴△ABD≌△BAC，
∴∠1＝∠2
∴OA＝OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
则直线EM是线段AB的垂直平分线；
（2）解：相等．理由：
∵CD∥AB，∴∠3＝∠EAB
∵∠4＝∠4，
∴△DEN∽△AEM
∴ ，同理
∴
∵CD∥AB，
∴∠5＝∠6
又∵∠7＝∠8，
∴△OND∽△OMB
∴ ，同理
∴
∴
∴AM＝BM；
（3）解：作法：如图 连接AC，BD，两线交于点O
1
在矩形ABCD外任取③一①点E，连接EA，EB，分别交DC于点G，H
②连接BG，AH，两线交于点O
2
．
③作直线EO
2
，交AB于点M．
④作直线MO
1
．
⑤∴直线MO
1
就是矩形ABCD的一条对称轴．
第22页（共25页）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确根据相似三角形的对应边的比相等，
通过等量代换得到 是关键．
25．【分析】（1）根据抛物线的顶点是（2，1），因而设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+1，把A
的坐标代入即可求得函数的解析式；
（2）根据△PCM为等边三角形，则△CGM中，∠CMD＝30°，CG的长度可以求得，利用直
角三角形的性质，即可求得CM，即等边△CMP的边长，则P的纵坐标，代入二次函数的
解析式，即可求得P的坐标；
（3）解方程组即可求得E的坐标，则EF的长等于E的纵坐标，OE的长度，利用勾股定理
第23页（共25页）可以求得，同理，OC的长度可以求得，则CE的长度即可求解；
（4）可以利用反证法，假设x轴上存在一点，使△CMN≌△CPE，可以证得EN＝EF，即N
与F重合，与点E为直线y＝x上的点，∠CEF＝45°即点N与点F不重合相矛盾，故N不
存在．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+1，将点A（0，2）代入，得
a（0﹣2）2+1＝2…1分
解这个方程，得a＝
∴抛物线的表达式为y＝ （x﹣2）2+1＝ x2﹣x+2；…2分
（2）将x＝2代入y＝x，得y＝2
∴点C的坐标为（2，2）即CG＝2…3分
∵△PCM为等边三角形
∴∠CMP＝60°，CM＝PM
∵PM⊥x轴，
∴∠CMG＝30°
∴CM＝4，GM＝2 ．
∴OM＝2+2 ，PM＝4…4分
将y＝4代入y＝ （x﹣2）2+1，得4＝ （x﹣2）2+1
解这个方程，得x ＝2 ＝OM，x ＝2﹣2 ＜0（不合题意，舍去）．
1 2
∴点P的坐标为（2+2 ，4）…5分
（3）相等…6分
把y＝x代入y＝ x2﹣x+2，得x＝ x2﹣x+2
解这个方程，得x ＝4+2 ，x ＝4﹣2 ＜2（不合题意，舍去）
1 2
∴y＝4+2 ＝EF
∴点E的坐标为（4+2 ，4+2 ）
∴OE＝ ＝4+4
第24页（共25页）又∵OC＝ …8分
∴CE＝OE﹣OC＝4+2
∴CE＝EF…9分
（4）不存在．
假设x轴上存在一点，使△CMN≌△CPE，则CN＝CE，∠MCN＝∠PCE
∵∠MCP＝60°，
∴∠NCE＝60°
又∵CE＝EF，
∴CN＝EF…11分
又∵点E为直线y＝x上的点，
∴∠CEF＝45°，
∴点N与点F不重合．
∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾，
∴原假设错误，满足条件的点N不存在．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及等边三角形的性质，解直角三
角形，反证法，正确求得E的坐标是关键．
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