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2013年山东省威海市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克，已知1克＝1000毫
克，那么0.000037毫克可用科学记数法表示为（ ）
A．3.7×10﹣5克 B．3.7×10﹣6克 C．37×10﹣7克 D．3.7×10﹣8克
2．（3分）下列各式化简结果为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x2+4x2＝7x4 B．2x3•3x3＝6x3
C．x6÷x3＝x2 D．（x2）4＝x8
4．（3分）若m﹣n＝﹣1，则（m﹣n）2﹣2m+2n的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
5．（3分）如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体 移走后，所得几何体（
） ①
A．主视图改变，左视图改变
B．俯视图不变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变
D．主视图改变，左视图不变
6．（3分）已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是
（ ）
A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2
7．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
第1页（共25页）C． D．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC
于点D，连接BD，下列结论错误的是（ ）
A．∠C＝2∠A
B．BD平分∠ABC
C．S△BCD ＝S△BOD
D．点D为线段AC的黄金分割点
9．（3分）甲、乙两辆摩托车同时从相距20km的A，B两地出发，相向而行．图中l ，l 分别表
1 2
示甲、乙两辆摩托车到A地的距离（s km）与行驶时间（t h）的函数关系．则下列说法错误的
是（ ）
A．乙摩托车的速度较快
B．经过0.3小时甲摩托车行驶到A，B两地的中点
C．经过0.25小时两摩托车相遇
D．当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地 km
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点
E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（ ）
第2页（共25页）A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF
11．（3分）一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出
一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，反比例函数 的图象
经过点A，反比例函数 的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是（ ）
A．m＝﹣3n B．m＝﹣ n C．m＝﹣ n D．m＝ n
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A＝∠EDF＝
90°，AB＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF＝ ．
14．（3分）分解因式： ＝ ．
第3页（共25页）15．（3分）如图，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O．若AC＝
1，BD＝2，CD＝4，则AB＝ ．
16．（3分）若关于x的方程 无解，则m＝ ．
17．（3分）如图 ，将四边形纸片ABCD沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分密
铺可得到如图① 所示的平行四边形，若要密铺后的平行四边形为矩形，则四边形 ABCD
需要满足的条件②是 ．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一
个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P ．使得点P 与点O关于点A成中心对
1 1
称；第二次跳跃到点P ，使得点P 与点P 关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P ，使得
2 2 1 3
点P 与点P 关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P ，使得点P 与点P 关于点A成中
3 2 4 4 3
心对称；第五次跳跃到点P ，使得点P 与点P 关于点B成中心对称；…照此规律重复下
5 5 4
去，则点P 的坐标为 ．
2013
三、解答题（共7小题，满分66分）
第4页（共25页）19．（7分）先化简，再求值： ，其中x＝ ﹣1．
20．（8分）如图，CD为 O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO＝1．
（1）求∠C的大小；⊙
（2）求阴影部分的面积．
21．（9分）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100
分．前6名选手的得分如下：
序号 1 2 3 4 5 6
项目
笔试成绩/分 85 92 84 90 84 80
面试成绩/分 90 88 86 90 80 85
根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折和成综合成绩（综合成绩的满分仍
为100分）
（1）这6名选手笔试成绩的中位数是 分，众数是 分．
（2）现得知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比．
（3）求出其余五名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定前两名人选．
22．（9分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴
为直线x＝2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，
则点D的坐标为 ．
第5页（共25页）23．（10分）要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下
面分别是小亮和小颖的设计方案．
（1）求小亮设计方案中甬路的宽度x；
（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方
案中的x取值相同）
24．（11分）操作发现
将一副直角三角板如图 摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角
三角板DEF的长直角边①DE重合．
问题解决
将图 中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于
点O，①连接CD，如图 ．
（1）求证：△CDO是②等腰三角形；
（2）若DF＝8，求AD的长．
第6页（共25页）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ x+ 与直线y＝x交于点A，点B在直线y
＝ x+ 上，∠BOA＝90°．抛物线y＝ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；
（3）设直线y＝x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x
轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说
明理由．
第7页（共25页）2013 年山东省威海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字
前面的0的个数所决定．
【解答】解：1克＝1000毫克，
将0.000037毫克用科学记数法表示为：3.7×10﹣8克．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为
由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．【分析】先将各选项化简，然后再判断．
【解答】解：A、 ＝﹣3，是有理数，故A选项错误；
B、（ ﹣1）0＝1，是有理数，故B选项错误；
C、 ＝2 ，是无理数，故C选项正确；
D、 ＝2，是有理数，故D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了无理数、立方根及零指数幂的知识，属于基础题．
3．【分析】根据单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方的定义解答．
【解答】解：A、∵3x2+4x2＝7x2≠7x4，故本选项错误；
B、∵2x3•3x3＝2×3x3+3≠6x3，故本选项错误；
C、∵x6和x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D、∵（x2）4＝x2×4＝x8，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法
则是解题的关键．
4．【分析】所求式子后两项提取﹣2变形后，将m﹣n的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵m﹣n＝﹣1，
第8页（共25页）∴（m﹣n）2﹣2m+2n＝（m﹣n）2﹣2（m﹣n）＝1+2＝3．
故选：A．
【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．
5．【分析】分别得到将正方体 移走前后的三视图，依此即可作出判断．
【解答】解：将正方体 移走①前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体 移走后的主视
图正方形的个数为1，①2；发生改变． ①
将正方体 移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体 移走后的左视图正方形的
个数为2，①1，1；没有发生改变． ①
将正方体 移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体 移走后的俯视图正方形的
个数，1，①3；发生改变． ①
故选：D．
【点评】考查三视图中的知识，得到从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的
列数及每列正方形的个数是解决本题的关键．
6．【分析】首先移项把﹣m移到方程右边，再根据直接开平方法可得m的取值范围．
【解答】解；（x+1）2﹣m＝0，
（x+1）2＝m，
∵一元二次方程（x+1）2﹣m＝0有两个实数根，
∴m≥0，
故选：B．
【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负
已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分
开求得方程解”来求解．
7．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解： ，由 得，x＜0；由 得，x≤1，
① ②
故此不等式组的解集为：x＜0，
在数轴上表示为：
故选：B．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是
第9页（共25页）解答此题的关键．
8．【分析】求出∠C的度数即可判断A；求出∠ABC和∠ABD的度数，求出∠DBC的度数，即
可判断B；根据三角形面积即可判断C；求出△DBC∽△CAB，得出BC2＝BC•AC，求出
AD＝BC，即可判断D．
【解答】解：A、∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝72°，
∴∠C＝2∠A，正确，
B、∵DO是AB垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴∠DBC＝72°﹣36°＝36°＝∠ABD，
∴BD是∠ABC的角平分线，正确，
C，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误，
D、∵∠C＝∠C，∠DBC＝∠A＝36°，
∴△DBC∽△CAB，
∴ ＝ ，
∴BC2＝CD•AC，
∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠BDC＝72°＝∠C，
∴BC＝BD，
∵AD＝BD，
∴AD＝BC，
∴AD2＝CD•AC，
即点D是AC的黄金分割点，正确，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，黄金分割点，线段垂直平
分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．
9．【分析】根据乙用时间比甲用的时间少可知乙摩托车的速度较快；根据甲0.6小时到达B地
判定B正确；设两车相遇的时间为t，根据相遇问题列出方程求解即可；根据乙摩托车到达
A地时，甲摩托车行驶了0.5小时，计算即可得解．
第10页（共25页）【解答】解：A、由图可知，甲行驶完全程需要0.6小时，乙行驶完全程需要0.5小，所以，乙
摩托车的速度较快正确，故A选项不符合题意；
B、因为甲摩托车行驶完全程需要0.6小时，所以经过0.3小时甲摩托车行驶到A，B两地
的中点正确，故B选项不符合题意；
C、设两车相遇的时间为t，根据题意得， + ＝20，t＝ ，所以，经过0.25小时两
摩托车相遇错误，故C选项符合题意；
D、当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地： ×0.5＝ km正确，故D选项不符合
题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，相遇
问题的等量关系，从图形中准确获取信息是解题的关键．
10．【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝
FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别
分析得出即可．
【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴BE＝EC，BF＝CF，
∵BF＝BE，
∴BE＝EC＝CF＝BF，
∴四边形BECF是菱形；
当BC＝AC时，
∵∠ACB＝90°，
则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．
∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠EBC＝45°
第11页（共25页）∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°
∴菱形BECF是正方形．
故选项A正确，但不符合题意；
当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题
意；
当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合
题意；
当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判
定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键．
11．【分析】列表得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
红 红 红 绿 绿
红 ﹣﹣﹣ （红，红） （红，红） （绿，红） （绿，红）
红 （红，红） ﹣﹣﹣ （红，红） （绿，红） （绿，红）
红 （红，红） （红，红） ﹣﹣﹣ （绿，红） （绿，红）
绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） ﹣﹣﹣ （绿，绿）
绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） （绿，绿） ﹣﹣﹣
得到所有可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种，
则P两次红 ＝ ＝ ．
故选：A．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
12．【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，设点B坐标为（a， ），点A
的坐标为（b， ），证明△BOE∽△OAF，利用对应边成比例可求出m、n的关系．
【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，
第12页（共25页）∵∠OAB＝30°，
∴OA＝ OB，
设点B坐标为（a， ），点A的坐标为（b， ），
则OE＝﹣a，BE＝ ，OF＝b，AF＝ ，
∵∠BOE+∠OBE＝90°，∠AOF+∠BOE＝90°，
∴∠OBE＝∠AOF，
又∵∠BEO＝∠OFA＝90°，
∴△BOE∽△OAF，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
解得：m＝﹣ ab，n＝ ，
故可得：m＝﹣3n．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是结合解析式设出点A、B的坐标，
得出OE、BE、OF、AF的长度表达式，利用相似三角形的性质建立m、n之间的关系式，难
度较大．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．【分析】由∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，可求得∠ACE的度数，又
由三角形外角的性质，可得∠CDF＝∠ACE﹣∠F＝∠BCE+∠ACB﹣∠F，继而求得答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵∠EDF＝90°，∠E＝30°，
∴∠F＝90°﹣∠E＝60°，
第13页（共25页）∵∠ACE＝∠CDF+∠F，∠BCE＝40°，
∴∠CDF＝∠ACE﹣∠F＝∠BCE+∠ACB﹣∠F＝45°+40°﹣60°＝25°．
故答案为：25°．
【点评】本题考查三角形外角的性质以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数
形结合思想的应用．
14．【分析】先提取公因式﹣ ，再根据完全平方公式进行二次分解．
【解答】解：﹣3x2+2x﹣ ，
＝﹣ （9x2﹣6x+1），
＝﹣ （3x﹣1）2．
故答案为：﹣ （3x﹣1）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行
二次分解，注意分解要彻底．
15．【分析】首先过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，易证得四边形BDCE是矩形，然
后由勾股定理求得答案．
【解答】解：过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴AC∥BD，∠D＝90°，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∴平行四边形BDCE是矩形，
∴CE＝BD＝2，BE＝CD＝4，∠E＝90°，
∴AE＝AC+CE＝1+2＝3，
∴在Rt△ABE中，AB＝ ＝5．
故答案为：5．
第14页（共25页）【点评】此题考查了矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的
作法，注意掌握数形结合思想的应用．
16．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，将x＝5代入计算即可求出m的值．
【解答】解：分式方程去分母得：2（x﹣1）＝﹣m，
将x＝5代入得：m＝﹣8．
故答案为：﹣8
【点评】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
17．【分析】首先认真读题，理解题意．密铺后的平行四边形成为矩形，必须四个内角均为直角，
据此需要判定中点四边形EFGH为菱形，进而由中位线定理判定四边形ABCD的对角线
垂直．
【解答】解：对角线AC＝BD时，密铺后的平行四边形为矩形．
密铺后的平行四边形成为矩形，必须四个内角均为直角．
如解答图所示，连接EF、FG、GH、HE，设EG与HF交于点O，
连接AC、BD，由中位线定理得：EF∥AC∥GH，且EF＝GH＝ AC，
EH∥BD∥FG，且EH＝FG＝ BD，
∵AC＝BD，
∴中点四边形EFGH为菱形．
∴EG⊥HF．
故答案为：AC＝BD．
第15页（共25页）【点评】本题考查图形剪拼与中点四边形．解题关键是理解三角形中位线的性质，熟练应
用矩形、菱形等特殊四边形的判定与性质．
18．【分析】计算出前几次跳跃后，点P ，P ，P ，P ，P ，P ，P 的坐标，可得出规律，继而可求
1 2 3 4 5 6 7
出点P 的坐标．
2013
【解答】解：点P（2，0），P（﹣2，2），P（0，﹣2），P（2，2），P（﹣2，0），P（0，0），P（2，
1 2 3 4 5 6 7
0），
从而可得出6次一个循环，
∵ ＝335…3，
∴点P 的坐标为（0，﹣2）．
2013
故答案为：（0，﹣2）．
【点评】本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃
后点的坐标，总结出一般规律．
三、解答题（共7小题，满分66分）
19．【分析】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意
把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘
法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．最后代
值计算．
【解答】解：（ ﹣1）÷
＝ •
＝ ．
当x＝ ﹣1时，
原式＝ ＝ ＝ ．
【点评】考查了分式的化简求值．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式．
20．【分析】（1）根据垂径定理可得 ＝ ，∠C＝ ∠AOD，然后在Rt△COE中可求出∠C
的度数．
（2）连接OB，根据（1）可求出∠AOB＝120°，在Rt△AOF中，求出AF，OF，然后根据S阴影
第16页（共25页）＝S扇形OAB ﹣S△OAB ，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵CD是圆O的直径，CD⊥AB，
∴ ＝ ，
∴∠C＝ ∠AOD，
∵∠AOD＝∠COE，
∴∠C＝ ∠COE，
∵AO⊥BC，
∴∠C＝30°．
（2）连接OB，
由（1）知，∠C＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
在Rt△AOF中，AO＝1，∠AOF＝60°，
∴AF＝ ，OF＝ ，
∴AB＝ ，
∴S阴影 ＝S扇形OADB ﹣S△OAB ＝ ﹣ × × ＝ ﹣ ．
π
【点评】本题考查了垂径定理及扇形的面积计算，解答本题的关键是利用解直角三角形的
知识求出∠C、∠AOB的度数，难度一般．
21．【分析】（1）根据中位数和众数的定义即把这组数据从小到大排列，再找出最中间两个数
的平均数就是中位数，再找出出现的次数最多的数即是众数；
（2）先设笔试成绩和面试成绩各占的百分百是x，y，根据题意列出方程组，求出x，y的值
第17页（共25页）即可；
（3）根据笔试成绩和面试成绩各占的百分比，分别求出其余五名选手的综合成绩，即可得
出答案．
【解答】解：（1）把这组数据从小到大排列为，80，84，84，85，90，92，
最中间两个数的平均数是（84+85）÷2＝84.5（分），
则这6名选手笔试成绩的中位数是84.5分，
84出现了2次，出现的次数最多，
则这6名选手笔试成绩的众数是84分；
故答案为：84.5，84；
（2）设笔试成绩和面试成绩各占的百分比是x，y，根据题意得：
，
解得： ，
笔试成绩和面试成绩各占的百分比是40%，60%；
（3）2号选手的综合成绩是92×0.4+88×0.6＝89.6（分），
3号选手的综合成绩是84×0.4+86×0.6＝85.2（分），
4号选手的综合成绩是90×0.4+90×0.6＝90（分），
5号选手的综合成绩是84×0.4+80×0.6＝81.6（分），
6号选手的综合成绩是80×0.4+85×0.6＝83（分），
则综合成绩排序前两名人选是4号和2号．
【点评】此题考查了加权平均数，用到的知识点是中位数、众数、加权平均数的计算公式，
关键灵活运用有关知识列出算式．
22．【分析】（1）根据抛物线对称轴的定义易求A（1，0），B（3，0）．所以1、3是关于x的一元
二次方程x2+bx+c＝0的两根．由韦达定理易求b、c的值；
（2）如图，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．根据抛物线的对称性质得到PA＝
PB，则△APC的周长的最小值＝AC+AP+PC＝AC+BC，所以根据两点间的距离公式来求
该三角形的周长的最小值即可；
（3）如图2，点D是抛物线的顶点，所以根据抛物线解析式利用顶点坐标公式即可求得点
D的坐标．
第18页（共25页）【解答】解：（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线x＝2．
∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，
∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根．
由韦达定理，得
1+3＝﹣b，1×3＝c，
∴b＝﹣4，c＝3，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．
由（1）知抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3，A（1，0），B（3，0），
∴C（0，3），
∴BC＝ ＝3 ，AC＝ ＝ ．
∵点A、B关于对称轴x＝2对称，
∴PA＝PB，
∴PA+PC＝PB+PC．
此时，PB+PC＝BC．
∴点P在对称轴上运动时，（PA+PC）的最小值等于BC．
∴△APC的周长的最小值＝AC+AP+PC＝AC+BC＝3 + ；
（3）如图2，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛
物线y＝x2﹣4x+3的顶点坐标，即（2，﹣1），
当E、D点在x轴的上方，即DE∥AB，AE＝AB＝BD＝DE＝2，此时不合题意，
故点D的坐标为：（2，﹣1）．
故答案是：（2，﹣1）．
第19页（共25页）【点评】本题考查了二次函数综合题．解题过程中用到的知识点有：待定系数法求二次函
数的解析式，轴对称﹣﹣两点间距离最短，菱形的性质．解（1）题时，也可以把点A、B的坐
标代入抛物线解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组来求它们的值．
23．【分析】（1）根据小亮的方案表示出矩形的长和宽，利用矩形的面积公式列出方程求解即
可；
（2）求得甬道的宽后利用平行四边形的面积计算方法求得两个阴影部分面积的和即可；
【解答】解：（1）根据小亮的设计方案列方程得：（52﹣x）（48﹣x）＝2300
解得：x＝2或x＝98（舍去）
∴小亮设计方案中甬道的宽度为2m；
（2）作AI⊥CD，垂足为I，
∵AB∥CD，∠1＝60°，
∴∠ADI＝60°，
∵BC∥AD，
∴四边形ADCB为平行四边形，
∴BC＝AD
由（1）得x＝2，
∴BC＝HE＝2＝AD
在Rt△ADI中，AI＝2sin60°＝
∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为52×48﹣52×2﹣48×2+（ ）2＝2299平方米．
第20页（共25页）【点评】本题考查了一元二次方程的应用，特别是图形的面积问题更是近几年中考中考查
一元二次方程的应用的主要题型．
24．【分析】（1）根据题意可得BC＝DE，进而得到∠BDC＝∠BCD，再根据三角形内角和定
理计算出度数，然后再根据三角形内角与外角的性质可得∠DOC＝∠DBC+∠BCA，进而
算出度数，根据角度可得△CDO是等腰三角形；
（2）作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，首先根据∠F＝60°，DF＝8，可以算
出DH＝4 ，HF＝4，DB＝8 ，BF＝16，进而得到BC＝8 ，再根据等腰三角形的性质
可得BG＝AG＝4 ，证明四边形AGHD为矩形，根据线段的和差关系可得AD长．
【解答】（1）证明：由图 知BC＝DE，
∴∠BDC＝∠BCD， ①
∵∠DEF＝30°，
∴∠BDC＝∠BCD＝75°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DCO+∠BCO＝75°
∴∠DCO＝30°
∵∠DCO+∠CDO+∠DOC＝180°，
∴∠DOC＝30°+45°＝75°，
∴∠DOC＝∠BDC，
∴△CDO是等腰三角形；
第21页（共25页）（2）解：作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，
△ABC是等腰直角三角形，∠DBH＝30°，
可得AG＝ ，DH＝ BD，
则AG DH，
故四边形AGHD是矩形，
则AD∥BF，
在Rt△DHF中，∠F＝60°，DF＝8，
∴DH＝4 ，HF＝4，
在Rt△BDF中，∠F＝60°，DF＝8，
∴DB＝8 ，BF＝16，
∴BC＝BD＝8 ，
∵AG⊥BC，∠ABC＝45°，
∴BG＝AG＝4 ，
∴AG＝DH，
又∵AD∥BF，∠AGC＝90°，
∴四边形AGHD为矩形，
∴AD＝GH＝BF﹣BG﹣HF＝16﹣4 ﹣4＝12﹣4 ．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及三角函数的
应用，关键是掌握如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
25．【分析】（1）由直线y＝ x+ 与直线y＝x交于点A，列出方程组 ，通过解该
第22页（共25页）方程组即可求得点A的坐标；根据∠BOA＝90°得到直线OB的解析式为y＝﹣x，则
，通过解该方程组来求点B的坐标即可；
（2）把点A、B、O的坐标分别代入已知二次函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，
通过解方程组即可求得该抛物线的解析式；
（3）如图，作DN⊥x轴于点N．欲证明OD与CF平行，只需证明同位角∠CMN与∠DON
相等即可．
【解答】解：（1）由直线y＝ x+ 与直线y＝x交于点A，得
，
解得， ，
∴点A的坐标是（3，3）．
∵∠BOA＝90°，
∴OB⊥OA，
∴直线OB的解析式为y＝﹣x．
又∵点B在直线y＝ x+ 上，
∴ ，
解得， ，
∴点B的坐标是（﹣1，1）．
综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）．
（2）由（1）知，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A，O，B，
∴ ，
第23页（共25页）解得， ，
∴该抛物线的解析式为y＝ x2﹣ x，或y＝ （x﹣ ）2﹣ ．
∴顶点E的坐标是（ ，﹣ ）；
（3）OD与CF平行．理由如下：
由（2）知，抛物线的对称轴是x＝ ．
∵直线y＝x与抛物线的对称轴交于点C，
∴C（ ， ）．
设直线BC的表达式为y＝kx+b（k≠0），把B（﹣1，1），C（ ， ）代入，得
，
解得， ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣ x+ ．
∵直线BC与抛物线交于点B、D，
∴﹣ x+ ＝ x2﹣ x，
解得，x ＝ ，x ＝﹣1．
1 2
把x ＝ 代入y＝﹣ x+ ，得y ＝ ，
1 1
∴点D的坐标是（ ， ）．
如图，作DN⊥x轴于点N．
第24页（共25页）则tan∠DON＝ ＝ ．
∵FE∥x轴，点E的坐标为（ ，﹣ ）．
∴点F的纵坐标是﹣ ．
把y＝﹣ 代入y＝ x+ ，得x＝﹣ ，
∴点F的坐标是（﹣ ，﹣ ），
∴EF＝ + ＝ ．
∵CE＝ + ＝ ，
∴tan∠CFE＝ ＝ ，
∴∠CFE＝∠DON．
又∵FE∥x轴，
∴∠CMN＝∠CFE，
∴∠CMN＝∠DON，
∴OD∥CF，即OD与CF平行．
【点评】本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求二次函数解
析式，一次函数与二次函数交点问题，平行线的判定以及锐角三角函数的定义等知识点．
此题难度较大．
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