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2014年山东省菏泽市中考数学试卷
一、选择题（本大共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项A、B、C、D中。
只有一项是正确的，请把正确的选项选出来。）
1．（3分）比﹣1大的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C．0 D．﹣1
2．（3分）如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，边BC与直线n
所夹的角为25°，则∠ 的度数为（ ）
α
A．25° B．45° C．35° D．30°
3．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．（ ﹣3.14）0＝1
π
C．（ ）﹣1＝﹣3 D． ＝±3
4．（3分）2014年4月21日8时我市区县的可吸入颗粒物数值统计如下表：
区县 曹县 单县 成武 定陶 巨野 东明 郓城 鄄城 牡丹区 开发区
可吸入颗粒物 0.15 0.15 0.15 0.15 0.18 0.18 0.13 0.16 0.14 0.14
（mg/m3）
该日这一时刻的可吸入颗粒物数值的众数和中位数分别是（ ）
A．0.15和0.14 B．0.18和0.15 C．0.18和0.14 D．0.15和0.15
5．（3分）过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展
开图正确的为（ ）
第1页（共23页）A． B．
C． D．
6．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2
7．（3分）若点M（x，y）满足（x+y）2＝x2+y2﹣2，则点M所在象限是（ ）
A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限 D．不能确定
8．（3分）如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设
CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x
之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3
分）
9．（3分）2014年“原创新春祝福微博大赛”作品充满了对马年的浓浓祝福，主办方共收到
第2页（共23页）原创祝福短信作品62800条，将62800用科学记数法表示为 ．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于
点D，交AC于点E，则 的度数为 ．
11．（3分）分解因式：2x3﹣4x2+2x＝ ．
12．（3分）如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y ＝x（2 x≥0）与y ＝ （x≥0）的图象于
1 2
B、C两点，过点C作y轴的平行线交y 的图象于点D，直线DE∥AC，交y 的图象于点E，
1 2
则 ＝ ．
13．（3分）如图，Rt△ABO中，∠AOB＝90°，点A在第一象限、点B在第四象限，且AO：BO＝
1： ，若点A（x ，y ）的坐标x ，y 满足y ＝ ，则点B（x，y）的坐标x，y所满足的关系式
0 0 0 0 0
为 ．
14．（3分）下面是一个按某种规律排列的数阵：
第3页（共23页）根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左向右数第n﹣2个数是 （用
含n的代数式表示）
三、解答题（共大题共7小题，共78分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（12分）（1）计算：2﹣1﹣3tan30°+（2﹣ ）0+
（2）解不等式组 ，并判断x＝ 是否为该不等式组的解．
16．（12分）（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于
E，若AB＝5，求线段DE的长．
（2）已知x2﹣4x+1＝0，求 ﹣ 的值．
17．（14分）（1）食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适
量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输，某饮料加工厂生产的A、B两种饮料
均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知
270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，0），与反
比例函数y＝ （x＞0）的图象相交于点B（2，1）．
求m的值和一次函数的解析式；
①
结合图象直接写出：当x＞0时，不等式kx+b＞ 的解集．
②
第4页（共23页）18．（10分）如图，AB是 O的直径，点C在 O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切
线交于点D，连接DC⊙并延长交AB的延长⊙线于点E．
（1）求证：DE是 O的切线；
⊙
（2）若 ＝ ，求cos∠ABC的值．
19．（10分）课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具
体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，
A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你
根据统计图解答下列问题：
（1）王老师一共调查了多少名同学？
（2）C类女生有 名，D类男生有 名，将上面条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行
“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同
学和一位女同学的概率．
第5页（共23页）20．（10分）已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN
＝45°，连接MN．
（1）若正方形的边长为a，求BM•DN的值．
（2）若以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣9．
（1）求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OA＜OB，与y轴的交点坐标为
（0，﹣5），求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若点M是线段AN上的任意一点，
过点M作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D，点P
是线段MC上一点，且满足MP＝ MC，连结CD，PD，作PE⊥PD交x轴于点E，问是否
存在这样的点E，使得PE＝PD？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共23页）第7页（共23页）2014 年山东省菏泽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项A、B、C、D中。
只有一项是正确的，请把正确的选项选出来。）
1．【分析】根据零大于一切负数，负数之间相比较，绝对值大的反而小．
【解答】解：﹣3、﹣ 、0、﹣1四个数中比﹣1大的数是0．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，是基础题，熟记大小比较方法是解题的关键．
2．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠1，再根据等边三角形的性质求出∠2，然后根
据两直线平行，同位角相等可得∠ ＝∠2．
【解答】解：如图，∵m∥n， α
∴∠1＝25°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠2＝60°﹣25°＝35°，
∵l∥m，
∴∠ ＝∠2＝35°．
故选α：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，熟记性质是解题的关键，利用阿拉
伯数字加弧线表示角更形象直观．
3．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；任何非零数的零次幂等于1，负整数指数
次幂等于正整数指数次幂的倒数，算术平方根的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
第8页（共23页）【解答】解：A、a3•a2＝a3+2＝a5，故A选项错误；
B、（ ﹣3.14）0＝1，故B选项正确；
C、（ π ）﹣1＝3，故C选项错误；
D、 ＝3，故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，同底数幂的乘法，零指
数幂的定义以及算术平方根的定义，是基础题．
4．【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将n个数据从小到大（或从大到
小）重新排列后， n是奇数，最中间的那个数是中位数； n是偶数，最中间两个数的平
均数是中位数．据①定义，此题可求． ②
【解答】解：将题干中十个数据按从小到大排列为：0.13，0.14，0.14，0.15，0.15，0.15，0.15，
0.16，0.18，0.18．
众数为0.15，
中位数为（0.15+0.15）÷2＝0.15．
故选：D．
【点评】此题考查对众数和中位数的定义的掌握情况．记住定义是解决此类题目的关键．
5．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：选项A、C、D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一
个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合．
故选：B．
【点评】考查了截一个几何体和几何体的展开图．解决此类问题，要充分考虑带有各种符
号的面的特点及位置．
6．【分析】由于关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b，那么代入方程中即可得
到b2﹣ab+b＝0，再将方程两边同时除以b即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b，
∴b2﹣ab+b＝0，
∵﹣b≠0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b，得b﹣a+1＝0，
∴a﹣b＝1．
第9页（共23页）故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程
进而解决问题．
7．【分析】利用完全平方公式展开得到xy＝﹣1，再根据异号得负判断出x、y异号，然后根据
各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴原式可化为xy＝﹣1，
∴x、y异号，
∴点M（x，y）在第二象限或第四象限．
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，求出x、y异号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：
第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
8．【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y＝x2；当1＜x≤2时，ED交
AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的
面积得到y＝x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y＝﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选
项进行判断．
【解答】解：当0＜x≤1时，y＝x2，
当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，
CD＝x，则AD＝2﹣x，
∵Rt△ABC中，AC＝BC＝2，
∴△ADM为等腰直角三角形，
∴DM＝2﹣x，
∴EM＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2，
∴S△ENM ＝ （2x﹣2）2＝2（x﹣1）2，
∴y＝x2﹣2（x﹣1）2＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，
∴y＝ ，
故选：A．
第10页（共23页）【点评】本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实
际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义
即会识图．也考查了等腰直角三角形的性质．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3
分）
9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是
易错点，由于62800有5位，所以可以确定n＝5﹣1＝4．
【解答】解：62 800＝6.28×104．
故答案为：6.28×104．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
10．【分析】连接CD，求出∠B＝65°，再根据CB＝CD，求出∠BCD的度数即可．
【解答】解：连接CD，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝65°，
∵CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB＝65°，
∴∠BCD＝50°，
∴ 的度数为50°．
故答案为：50°．
第11页（共23页）【点评】此题考查了圆心角、弧之间的关系，用到的知识点是三角形内角和定理、圆心角与
弧的关系，关键是做出辅助线求出∠BCD的度数．
11．【分析】先提取公因式2x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：2x3﹣4x2+2x，
＝2x（x2﹣2x+1），
＝2x（x﹣1）2．
故答案为：2x（x﹣1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取
公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．【分析】设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB的长
度，再根据CD∥y轴，利用y 的解析式求出D点的坐标，然后利用y 求出点E的坐标，从
1 2
而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．
【解答】解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），
则x2＝a，解得x＝ ，
∴点B（ ，a），
＝a，
则x＝ ，
∴点C（ ，a），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为 ，
∴y ＝（ ）2＝3a，
1
∴点D的坐标为（ ，3a），
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为3a，
∴ ＝3a，
∴x＝3 ，
∴点E的坐标为（3 ，3a），
∴DE＝3 ﹣ ，
＝ ＝3﹣ ．
第12页（共23页）故答案为：3﹣ ．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行
与x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各
点的坐标是解题的关键．
13．【分析】设点B坐标为（x，y），分别过点A、B作AC，BD分别垂直y轴于点C、D，由相似三
角形的判定定理得出△AOC∽△OBD，再由相似三角形的性质得出△OBD的面积，进而
根据三角形面积公式可得出结论．
【解答】解：设点B坐标为（x，y），分别过点A、B作AC，BD分别垂直y轴于点C、D，
∵∠ACO＝∠BDO＝90°，
∠AOC+∠BOD＝90°，
∠AOC+∠OAC＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，
∵点A（x ，y ）的坐标x ，y 满足y ＝ ，
0 0 0 0 0
∴S△AOC ＝ ，
∴S△BOD ＝1，
而点B坐标为（x，y），
∴ x•（﹣y）＝1，
∴y＝﹣ ．
故答案为：y＝﹣ ．
第13页（共23页）【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，此题难度适中，注意掌握辅助线的
作法，注意掌握数形结合思想的应用．
14．【分析】观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2
开始的连续偶数，求出n﹣1行的数据的个数，再加上n﹣2得到所求数的被开方数，然后
写出算术平方根即可．
【解答】解：前（n﹣1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n﹣1），
所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣2＝
n2﹣2，
所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n﹣1）行的数据的个数是
解题的关键．
三、解答题（共大题共7小题，共78分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．【分析】（1）分别根据0指数幂及负整数指数幂的运算法则、数的开方法则及绝对值的性
质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，进而可得出结论．
【解答】解：（1）原式＝ ﹣3× +1+2
＝ + ；
（2） ，
由 得，x＞﹣3，
由①得，x≤1，
第14页（共23页）
②故此不等式组的解集为：﹣3＜x≤1，
∵ ＞1，
∴x＝ 不是该不等式组的解．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的运算法则、数的开方法
则及绝对值的性质是解答此题的关键．
16．【分析】（1）求出∠CAD＝∠BAD＝∠EDA，推出AE＝DE，求出∠ABD＝∠EDB，推出BE
＝DE，求出AE＝BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
（2）化简以后，用整体思想代入即可得到答案．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∵AB＝5，
∴DE＝BE＝AE＝ ＝2.5．
（2）原式＝
＝
∵x2﹣4x+1＝0，∴x2﹣4x＝﹣1，
原式＝
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性
质的应用，关键是求出DE＝BE＝AE．学会用整体思想解答有关问题是我们学习的关键．
第15页（共23页）17．【分析】（1）设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了（100﹣x）瓶，根据270克该添加剂恰
好生产了A、B两种饮料共100瓶，列方程求解；
（2） 将B点坐标代入，求出m的值，将点A和点B的坐标代入求出k和b的值，继而可
求得①解析式；
根据图象，写出解集即可．
②【解答】解：（1）设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了（100﹣x）瓶，
由题意得，2x+3（100﹣x）＝270，
解得：x＝30，100﹣x＝70，
答：A饮料生产了30瓶，则B饮料生产了70瓶；
（2） ∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点B（2，1），
①
∴m＝1×2＝2，
∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，0），点B（2，1），
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为：y＝x﹣1；
由图象可得：x＞2．
【②点评】本题考查了二元一次方程组和反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关
键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组求解．
18．【分析】（1）如图，连接OC．欲证DE是 O的切线，只需证得OC⊥DE；
（2）由 ＝ ，可设CE＝2k（k＞0），则DE＝⊙ 3k，在Rt△DAE中，由勾股定理求得AE＝
＝2 k．则tan∠E＝ ＝ ．所以在Rt△OCE中，tan∠E＝ ＝ ．
在Rt△AOD中，由勾股定理得到OD＝ ＝ k，故cos∠ABC＝cos∠AOD＝
＝ ．
【解答】（1）证明：如图，连接OC．
第16页（共23页）∵AD是过点A的切线，AB是 O的直径，
∴AD⊥AB， ⊙
∴∠DAB＝90°．
∵OD∥BC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∵OC＝OB，
∴∠2＝∠4．
∴∠1＝∠3．
在△COD和△AOD中，
，
∴△COD≌△AOD（SAS）
∴∠OCD＝∠DAB＝90°，即OC⊥DE于点C．
∵OC是 O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
⊙
（2）解：由 ＝ ，可设CE＝2k（k＞0），则DE＝3k，
∴AD＝DC＝k．
∴在Rt△DAE中，AE＝ ＝2 k．
∴tan∠E＝ ＝ ．
∵在Rt△OCE中，tan∠E＝ ＝ ．
∴ ＝ ，
∴OC＝OA＝ ．
∴在Rt△AOD中，OD＝ ＝ k，
∴cos∠ABC＝cos∠AOD＝ ＝ ．
第17页（共23页）【点评】本题考查了切线的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接
圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
19．【分析】（1）根据B类有6+4＝10人，所占的比例是50%，据此即可求得总人数；
（2）利用（1）中求得的总人数乘以对应的比例即可求得C类的人数，然后求得C类中女生
人数，同理求得D类男生的人数；
（3）利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：（1）（6+4）÷50%＝20．
所以王老师一共调查了20名学生．
（2）C类学生人数：20×25%＝5（名）
C类女生人数：5﹣2＝3（名），
D类学生占的百分比：1﹣15%﹣50%﹣25%＝10%，
D类学生人数：20×10%＝2（名），
D类男生人数：2﹣1＝1（名），
故C类女生有3名，D类男生有1名；补充条形统计图
．
（3）由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选
第18页（共23页）两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种．
所以P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠CBM＝∠CDN＝45°，再求出∠ABM＝∠ADN＝
135°，然后根据正方形的每一个角都是90°求出∠BAM+∠NAD＝45°，三角形的一个外角
等于与它不相邻的两个内角的和∠BAM+∠AMB＝45°，从而得到∠NAD＝∠AMB，再求
出△ABM和△NDA相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（2）过点A作AF⊥AN并截取AF＝AN，连接BF、FM，根据同角的余角相等求出∠1＝
∠3，然后利用“边角边”证明△ABF和△ADN全等，根据全等三角形对应边相等可得
BF＝DN，∠FBA＝∠NDA＝135°，再求出∠FAM＝∠MAN＝45°，然后利用“边角边”证
明△AFM和△ANM全等，根据全等三角形对应边相等可得FM＝NM，再求出△FBM是直
角三角形，然后利用勾股定理判断即可．
【解答】解：（1）∵BM、DN分别平分正方形的两个外角，
∴∠CBM＝∠CDN＝45°，
∴∠ABM＝∠ADN＝135°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM+∠NAD＝45°，
在△ABM中，∠BAM+∠AMB＝∠MBP＝45°，
∴∠NAD＝∠AMB，
在△ABM和△NDA中，
，
∴△ABM∽△NDA，
∴ ＝ ，
∴BM•DN＝AB•AD＝a2；
（2）以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形．
证明如下：如图，过点A作AF⊥AN并截取AF＝AN，连接BF、FM，
第19页（共23页）∵∠1+∠BAN＝90°，
∠3+∠BAN＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△ABF和△ADN中，
，
∴△ABF≌△ADN（SAS），
∴BF＝DN，∠FBA＝∠NDA＝135°，
∵∠FAN＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠1+∠2＝∠FAM＝∠MAN＝45°，
在△AFM和△ANM中，
，
∴△AFM≌△ANM（SAS），
∴FM＝NM，
∴∠FBP＝180°﹣∠FBA＝180°﹣135°＝45°，
∴∠FBP+∠PBM＝45°+45°＝90°，
∴△FBM是直角三角形，
∵FB＝DN，FM＝MN，
∴以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形．
第20页（共23页）【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，相似三角
形的判定与性质，难点在于（2）作辅助线构造出全等三角形和直角三角形．
21．【分析】（1）令y＝0，则x2﹣2mx+m2﹣9＝0，根据根的判别式b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（m2
﹣9）＝36＞0，所以无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点．
（2）直接将C点（0，﹣5）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣9根据抛物线与x轴交于A，B两点（点A
在点B的左侧，且OA＜OB），求出m的值即可；
（3）假设E点存在由直角三角形的性质可以得出∠MEP＝∠CPD．再根据条件可以得出
△EPM≌△PDC就有PM＝DC，EM＝PC，设C（x ，y ），则D（4﹣x ，y ），P（x ， y ）．根
0 0 0 0 0 0
据PM＝DC就有2x ﹣4＝﹣ y ，由C点在抛物线上有2x ﹣4＝﹣ （ x 2﹣4x ﹣5），求
0 0 0 0 0
出x 的值就可以得出结论．
0
【解答】解：（1）令y＝0，则x2﹣2mx+m2﹣9＝0，
∵△＝（﹣2m）2﹣4m2+36＞0，
∴无论m为何值时方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0总有两个不相等的实数根，
∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣9的开口向上，顶点在x轴的下方，
∴该抛物线与x轴总有两个交点．
（2）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣9与y轴交点坐标为（0，﹣5），
第21页（共23页）∴﹣5＝m2﹣9．
解得：m＝±2．
当m＝﹣2，y＝0时，x2+4x﹣5＝0
解得：x ＝﹣5，x ＝1，
1 2
∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），
∴m＝﹣2不符合题意，舍去．
∴m＝2．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；
（3）如图2，假设E点存在，
∵MC⊥EM，CD⊥MC，
∴∠EMP＝∠PCD＝90°．
∴∠MEP+∠MPE＝90°
∵PE⊥PD，
∴∠EPD＝90°，
∴∠MPE+∠DPC＝90°
∴∠MEP＝∠CPD．
在△EMP和△PCD中，
，
第22页（共23页）∴△EPM≌△PDC（AAS）．
∴PM＝DC，EM＝PC
设C（x ，y ），则D（4﹣x ，y ），P（x ， y ）．
0 0 0 0 0 0
∴2x ﹣4＝ y ．
0 0
∵点C在抛物线y＝x2﹣4x﹣5上；
∴y ═x 2﹣4x ﹣5
0 0 0
∴2x ﹣4＝ （x 2﹣4x ﹣5）．
0 0 0
解得：x ＝1，x ＝11（舍去），
01 02
∴P（1，﹣2）．
∴PC＝6．∴ME＝PC＝6．
∴E（7，0）．
【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用一元二次方程根的情况来确定抛物
线与x轴的交点情况，以及运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，全等三角形的判
定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时先运用待定系数法求出解析式是关键，
解答中灵活运用直角三角形的性质是重点难点．
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