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2016年山东省威海市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分
1．（3分）﹣ 的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．（3分）函数y＝ 的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≥﹣2且x≠0 C．x≠0 D．x＞0且x≠﹣2
3．（3分）如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC＝35°，则∠1的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x2＝x5 B．a3•a4＝a12
C．（﹣x3）2÷x5＝1 D．（﹣xy）3•（﹣xy）﹣2＝﹣xy
5．（3分）已知x ，x 是关于x的方程x2+ax﹣2b＝0的两实数根，且x +x ＝﹣2，x •x ＝1，则ba
1 2 1 2 1 2
的值是（ ）
A． B．﹣ C．4 D．﹣1
6．（3分）一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，其左视图和俯视图如图所示，则搭成
这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）若x2﹣3y﹣5＝0，则6y﹣2x2﹣6的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16
8．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（ ）
第1页（共23页）A．a﹣b B．b﹣a C．a+b D．﹣a﹣b
9．（3分）某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行
了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众
数分别是（ ）
A．19，20，14 B．19，20，20 C．18.4，20，20 D．18.4，25，20
10．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点
H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（
）
A． ＝ B．AD，AE将∠BAC三等分
C．△ABE≌△ACD D．S△ADH ＝S△CEG
11．（3分）已知二次函数y＝﹣（x﹣a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数y＝ 与一次函
数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A． B．
第2页（共23页）C． D．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，
使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．（3分）蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073米，将0.000073用科学记数
法表示为 ．
14．（3分）化简： ＝ ．
15．（3分）分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2＝ ．
16．（3分）如图，正方形ABCD内接于 O，其边长为4，则 O的内接正三角形EFG的边长
为 ． ⊙ ⊙
17．（3分）如图，直线y＝ x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是
以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为 ．
第3页（共23页）18．（3分）如图，点A 的坐标为（1，0），A 在y轴的正半轴上，且∠A A O＝30°，过点A 作
1 2 1 2 2
A A ⊥A A ，垂足为A ，交x轴于点A ；过点A 作A A ⊥A A ，垂足为A ，交y轴于点A ；
2 3 1 2 2 3 3 3 4 2 3 3 4
过点A 作A A ⊥A A ，垂足为A ，交x轴于点A ；过点A 作A A ⊥A A ，垂足为A ，交y
4 4 5 3 4 4 5 5 5 6 4 5 5
轴于点A ；…按此规律进行下去，则点A 的纵坐标为 ．
6 2016
三、解答题：本大题共7小题，共66分
19．（7分）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
．
20．（8分）某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48人达标，乙班有
45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率．
21．（9分）一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外都相
同．
（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；
（2）甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号
数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次
摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇
一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．
22．（9分）如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的 O与CE相切于点D，
AD∥OC，点F为OC与 O的交点，连接AF． ⊙
（1）求证：CB是 O的⊙切线；
（2）若∠ECB＝60⊙°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．
第4页（共23页）23．（10分）如图，反比例函数y＝ 的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A，B两点，点A
的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB ＝5，求点E的坐标．
24．（11分）如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD．延长CA
至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC．连接AD，AF，DF，EF．延长DB交EF于
点N．
（1）求证：AD＝AF；
（2）求证：BD＝EF；
（3）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y
轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
第5页（共23页）（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠ACO的点E的坐标；
（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，
若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．
第6页（共23页）2016 年山东省威海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分
1．【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：﹣ 的相反数是 ，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一
个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+2≥0且x≠0，
解得x≥﹣2且x≠0，
故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．【分析】利用已知条件易求∠ACD的度数，再根据两线平行同位角相等即可求出∠1的度
数．
【解答】解：
∵DA⊥AC，垂足为A，
∴∠CAD＝90°，
∵∠ADC＝35°，
∴∠ACD＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ACD＝55°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义等知识点，熟记平行线的性质定理是
解题关键．
4．【分析】A、原式不能合并，即可作出判断；
第7页（共23页）B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
C、原式利用幂的乘方及单项式除以单项式法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，错误；
B、原式＝a7，错误；
C、原式＝x6÷x5＝x，错误；
D、原式＝﹣xy，正确．
故选：D．
【点评】此题考查了整数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．【分析】根据根与系数的关系和已知x +x 和x •x 的值，可求a、b的值，再代入求值即可．
1 2 1 2
【解答】解：∵x ，x 是关于x的方程x2+ax﹣2b＝0的两实数根，
1 2
∴x +x ＝﹣a＝﹣2，x •x ＝﹣2b＝1，
1 2 1 2
解得a＝2，b＝﹣ ，
∴ba＝（﹣ ）2＝ ．
故选：A．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是
一种经常使用的解题方法．
6．【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由左视图可得第二
层立方体的个数，相加即可．
【解答】解：由题中所给出的俯视图知，底层有3个小正方体；
由左视图可知，第2层有1个小正方体．
故则搭成这个几何体的小正方体的个数是3+1＝4个．
故选：B．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面
的考查．
7．【分析】把（x2﹣3y）看作一个整体并求出其值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵x2﹣3y﹣5＝0，
∴x2﹣3y＝5，
则6y﹣2x2﹣6＝﹣2（x2﹣3y）﹣6
＝﹣2×5﹣6
第8页（共23页）＝﹣16，
故选：D．
【点评】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．
8．【分析】根据数轴可以判断a、b的正负，从而可以化简|a|﹣|b|，本题得以解决．
【解答】解：由数轴可得：a＞0，b＜0，
则|a|﹣|b|＝a﹣（﹣b）＝a+b．
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，根据数轴可以判断a、b的
正负．
9．【分析】根据扇形统计图给出的数据，先求出销售各台的人数，再根据平均数、中位数和众
数的定义分别进行求解即可．
【解答】解：根据题意得：
销售20台的人数是：20×40%＝8（人），
销售30台的人数是：20×15%＝3（人），
销售12台的人数是：20×20%＝4（人），
销售14台的人数是：20×25%＝5（人），
则这20位销售人员本月销售量的平均数是 ＝18.4（台）；
把这些数从小到大排列，最中间的数是第10、11个数的平均数，
则中位数是 ＝20（台）；
∵销售20台的人数最多，
∴这组数据的众数是20．
故选：C．
【点评】此题考查了平均数、中位数和众数，用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数
据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据
的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，
则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之
和再除以数据的个数．
10．【分析】由题意知AB＝AC、∠BAC＝108°，根据中垂线性质得∠B＝∠DAB＝∠C＝∠CAE
＝36°，从而知△BDA∽△BAC，得 ＝ ，由∠ADC＝∠DAC＝72°得CD＝CA＝BA，进
第9页（共23页）而根据黄金分割定义知 ＝ ＝ ，可判断A；根据∠DAB＝∠CAE＝36°知∠DAE
＝36°可判断B；根据∠BAD+∠DAE＝∠CAE+∠DAE＝72°可得∠BAE＝∠CAD，可证
△BAE≌△CAD，即可判断C；由△BAE≌△CAD知S△BAD ＝S△CAE ，根据DH垂直平分
AB，EG垂直平分AC可得S△ADH ＝S△CEG ，可判断D．
【解答】解：∵∠B＝∠C＝36°，
∴AB＝AC，∠BAC＝108°，
∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴DB＝DA，EA＝EC，
∴∠B＝∠DAB＝∠C＝∠CAE＝36°，
∴△BDA∽△BAC，
∴ ＝ ，
又∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝72°，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝72°，
∴∠ADC＝∠DAC，
∴CD＝CA＝BA，
∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AB，
则 ＝ ，即 ＝ ＝ ，故A错误；
∵∠BAC＝108°，∠B＝∠DAB＝∠C＝∠CAE＝36°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠CAE＝36°，
即∠DAB＝∠DAE＝∠CAE＝36°，
∴AD，AE将∠BAC三等分，故B正确；
∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝72°，∠CAD＝∠CAE+∠DAE＝72°，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
∵ ，
∴△BAE≌△CAD，故C正确；
第10页（共23页）由△BAE≌△CAD可得S△BAE ＝S△CAD ，即S△BAD +S△ADE ＝S△CAE +S△ADE ，
∴S△BAD ＝S△CAE ，
又∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴S△ADH ＝ S△ABD ，S△CEG ＝ S△CAE ，
∴S△ADH ＝S△CEG ，故D正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查黄金分割、全等三角形的判定与性质及线段的垂直平分线的综合运
用，掌握其性质、判定并灵活应用是解题的关键．
11．【分析】观察二次函数图象，找出a＞0，b＞0，再结合反比例（一次）函数图象与系数的关
系，即可得出结论．
【解答】解：观察二次函数图象，发现：
抛物线的顶点坐标在第四象限，即a＞0，﹣b＜0，
∴a＞0，b＞0．
∵反比例函数y＝ 中ab＞0，
∴反比例函数图象在第一、三象限；
∵一次函数y＝ax+b，a＞0，b＞0，
∴一次函数y＝ax+b的图象过第一、二、三象限．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关
键是根据二次函数的图象找出a＞0，b＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目
时，熟记各函数图象的性质是解题的关键．
12．【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到
∠BFC＝90°，根据勾股定理求出答案．
【解答】解：连接BF，
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3，
又∵AB＝4，
∴AE＝ ＝5，
由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴）
第11页（共23页）∴BH＝ ＝ ，
则BF＝ ，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
∴CF＝ ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于
轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字
前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.000073用科学记数法表示为7.3×10﹣5．
故答案为：7.3×10﹣5．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为
由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝3 ﹣2 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式
的化简及同类二次根式的合并．
15．【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）
＝3（a+b）（a﹣b）．
故答案为：3（a+b）（a﹣b）．
第12页（共23页）【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
16．【分析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，先求出圆的半径，在RT△OEM中利用30度
角的性质即可解决问题．
【解答】解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC是直径，AC＝4 ，
∴OE＝OF＝2 ，∵OM⊥EF，
∴EM＝MF，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GEF＝60°，
在RT△OME中，∵OE＝2 ，∠OEM＝ ∠GEF＝30°，
∴OM＝ ，EM＝ OM＝ ，
∴EF＝2 ．
故答案为2 ．
【点评】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题
的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
17．【分析】首先解得点A和点B的坐标，再利用位似变换可得结果．
【解答】解：∵直线y＝ x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x＝0可得y＝1；
令y＝0可得x＝﹣2，
∴点A和点B的坐标分别为（﹣2，0）；（0，1），
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，
∴ ＝ ＝ ，
∴O′B′＝3，AO′＝6，
第13页（共23页）∴B′的坐标为（﹣8，﹣3）或（4，3）．
故答案为：（﹣8，﹣3）或（4，3）．
【点评】本题主要考查了位似变换和一次函数图象上点的坐标特征，得出点A和点B的坐
标是解答此题的关键．
18．【分析】先求出A 、A 、A 、A 、A 坐标，探究规律，利用规律解决问题．
1 2 3 4 5
【解答】解：∵A（1，0），A [0，（ ）1]，A [﹣（ ）2，0]．A [0，﹣（ ）3]，A（[ ）4，0]…，
1 2 3 4 5
∴序号除以4整除的话在y轴的负半轴上，余数是1在x轴的正半轴上，余数是2在y轴
的正半轴上，余数是3在x轴的负半轴上，
∵2016÷4＝504，
∴A 在y轴的负半轴上，纵坐标为﹣（ ）2015．
2016
故答案为﹣（ ）2015．
【点评】本题考查坐标与图形的性质、规律型题目，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，
利用规律解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题：本大题共7小题，共66分
19．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：由 得：x≥﹣1，
①
由 得：x＜ ，
②
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜ ，
表示在数轴上，如图所示：
【点评】此题考查了解一元一次方程组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元
一次不等式的解法是解本题的关键．
20．【分析】设乙班的达标率是x，则甲班的达标率为（x+6%），根据“甲、乙两班的学生数相
同”列出方程并解答．
【解答】解：设乙班的达标率是x，则甲班的达标率为（x+6%），
依题意得： ＝ ，
解这个方程，得x＝0.9，
第14页（共23页）经检验，x＝0.9是所列方程的根，并符合题意．
答：乙班的达标率为90%．
【点评】本题考查了分式方程的应用．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系
是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
21．【分析】（1）直接利用概率公式进而得出答案；
（2）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出两次摸到小球的标号数字同为奇数或同
为偶数的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）∵1，2，3，4，5，6六个小球，
∴摸到标号数字为奇数的小球的概率为： ＝ ；
（2）画树状图：
如图所示，共有36种等可能的情况，两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有
18种，
摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有18种，
∴P（甲） ＝ ＝ ，P（乙） ＝ ＝ ，
∴这个游戏对甲、乙两人是公平的．
【点评】本题考查了游戏公平性，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，正
确列出所有可能是解题关键．
22．【分析】（1）欲证明CB是 O的切线，只要证明BC⊥OB，可以证明△CDO≌△CBO解
决问题． ⊙
（2）首先证明S阴 ＝S扇形ODF ，然后利用扇形面积公式计算即可．
【解答】（1）证明：连接OD，与AF相交于点G，
∵CE与 O相切于点D，
∴OD⊥C⊙E，
第15页（共23页）∴∠CDO＝90°，
∵AD∥OC，
∴∠ADO＝∠DOC，∠DAO＝∠BOC，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DOC＝∠BOC，
在△CDO和△CBO中，
，
∴△CDO≌△CBO，
∴∠CBO＝∠CDO＝90°，
∴CB是 O的切线．
（2）由⊙（1）可知∠DOA＝∠BOC，∠DOC＝∠BOC，
∵∠ECB＝60°，
∴∠DCO＝∠BCO＝ ∠ECB＝30°，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴∠DOA＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD＝OD＝OF，∵∠GOF＝∠ADO，
在△ADG和△FOG中，
，
∴△ADG≌△FOG，
∴S△ADG ＝S△FOG ，
∵AB＝6，
∴ O的半径r＝3，
⊙
∴S阴 ＝S扇形ODF ＝ ＝ ．
π
第16页（共23页）【点评】本题考查切线的性质和判定、扇形的面积公式，记住切线的判定方法和性质是解
决问题的关键，学会把求不规则图形面积转化为求规则图形面积，属于中考常考题型．
23．【分析】（1）把点A的坐标代入y＝ ，求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入y＝
，得出n的值，得出点B的坐标，再把A、B的坐标代入直线y＝kx+b，求出k、b的值，从
而得出一次函数的解析式；
（2）设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，先求出点P的坐标（0，7），得出PE＝|m﹣7|，根
据S△
AEB
＝S△BEP ﹣S△AEP ＝5，求出m的值，从而得出点E的坐标．
【解答】解：（1）把点A（2，6）代入y＝ ，得m＝12，
则y＝ ．
把点B（n，1）代入y＝ ，得n＝12，
则点B的坐标为（12，1）．
由直线y＝kx+b过点A（2，6），点B（12，1）得 ，
解得 ，
则所求一次函数的表达式为y＝﹣ x+7．
（2）如图，直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，
则点P的坐标为（0，7）．
∴PE＝|m﹣7|．
第17页（共23页）∵S△
AEB
＝S△BEP ﹣S△AEP ＝5，
∴ ×|m﹣7|×（12﹣2）＝5．
∴|m﹣7|＝1．
∴m ＝6，m ＝8．
1 2
∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．
【点评】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比
例函数的解析式，三角形的面积，解一元一次方程，解二元一次方程组等知识点的理解和
掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
24．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB＝45°，求出∠ABF＝135°，
∠ABF＝∠ACD，证出BF＝CD，由SAS证明△ABF≌△ACD，即可得出AD＝AF；
（2）由（1）知AF＝AD，△ABF≌△ACD，得出∠FAB＝∠DAC，证出∠EAF＝∠BAD，AB＝
AE，由SAS证明△AEF≌△ABD，得出对应边相等即可；
（3）由全等三角形的性质得出得出∠AEF＝∠ABD＝90°，证出四边形ABNE是矩形，由
AE＝AB，即可得出四边形ABNE是正方形．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABF＝135°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠ABF＝∠ACD，
∵CB＝CD，CB＝BF，
∴BF＝CD，
在△ABF和△ACD中，
，
第18页（共23页）∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AD＝AF；
（2）证明：由（1）知，AF＝AD，△ABF≌△ACD，
∴∠FAB＝∠DAC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAB＝∠BAC＝90°，
∴∠EAF＝∠BAD，
∵AB＝AC，AE＝AC，
∴AB＝AE，
在△AEF和△ABD中，
，
∴△AEF≌△ABD（SAS），
∴BD＝EF；
（3）解：四边形ABNE是正方形；理由如下：
∵CD＝CB，∠BCD＝90°，
∴∠CBD＝45°，
由（2）知，∠EAB＝90°，△AEF≌△ABD，
∴∠AEF＝∠ABD＝90°，
∴四边形ABNE是矩形，
又∵AE＝AB，
∴四边形ABNE是正方形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、正方形的判定、矩
形的判定；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
25．【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可．
（2）分 点E在直线CD上方的抛物线上和 点E在直线CD下方的抛物线上两种情况，
用三角①函数求解即可； ②
（3）分 CM为菱形的边和 CM为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算；
【解答】解①：（1）∵抛物线y＝a②x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），
∴设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
∴﹣8a＝4，
第19页（共23页）∴a＝﹣ ，
∴抛物线解析式为y＝﹣ （x+2）（x﹣4）＝﹣ x2+x+4；
（2）如图1，
点E在直线CD上方的抛物线上，记E′，
①连接CE′，过E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，
由（1）知，OC＝4，
∵∠ACO＝∠E′CF′，
∴tan∠ACO＝tan∠E′CF′，
∴ ＝ ，
设线段E′F′＝h，则CF′＝2h，
∴点E′（2h，h+4）
∵点E′在抛物线上，
∴﹣ （2h）2+2h+4＝h+4，
∴h＝0（舍）h＝
∴E′（1， ），
点E在直线CD下方的抛物线上，记E，
②连接CE，过E作EF⊥CD，垂足为F，
由（1）知，OC＝4，
∵∠ACO＝∠ECF，
∴tan∠ACO＝tan∠ECF，
第20页（共23页）∴ ＝ ，
设线段EF＝h，则CF＝2h，
∴点E（2h，4﹣h）
∵点E在抛物线上，
∴﹣ （2h）2+2h+4＝4﹣h，
∴h＝0（舍）h＝
∴E（3， ），
点E的坐标为（1， ），（3， ）
（3） CM为菱形的边，如图2，
①
在第一象限内取点 P′，过点 P′作 P′N′∥y 轴，交 BC 于 N′，过点 P′作
P′M′∥BC，交y轴于M′，
∴四边形CM′P′N′是平行四边形，
∵四边形CM′P′N′是菱形，
∴P′M′＝P′N′，
过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，
∵OC＝OB，∠BOC＝90°，
∴∠OCB＝45°，
∴∠P′M′C＝45°，
设点P′（m，﹣ m2+m+4），
在Rt△P′M′Q′中，P′Q′＝m，P′M′＝ m，
第21页（共23页）∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
∵P′N′∥y轴，
∴N′（m，﹣m+4），
∴P′N′＝﹣ m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣ m2+2m，
∴ m＝﹣ m2+2m，
∴m＝0（舍）或m＝4﹣2 ，
菱形CM′P′N′的边长为 （4﹣2 ）＝4 ﹣4．
CM为菱形的对角线，如图3，
②
在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，
交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，
∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，
∵四边形CPMN是菱形，
∴PQ⊥CM，∠PCQ＝∠NCQ，
∵∠OCB＝45°，
∴∠NCQ＝45°，
∴∠PCQ＝45°，
∴∠CPQ＝∠PCQ＝45°，
∴PQ＝CQ，
设点P（n，﹣ n2+n+4），
∴CQ＝n，OQ＝n+4，
第22页（共23页）∴n+4＝﹣ n2+n+4，
∴n＝0（舍），
∴此种情况不存在．
∴菱形的边长为4 ﹣4．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，菱形的性质，平
行四边形的性质，判定，锐角三角函数，解本题的关键是用等角的同名三角函数值相等建
立方程求解．
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日期：2019/10/22 12:08:25；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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