文档内容
2014 年山东省菏泽市中考数学试卷
一、选择题（本大共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项A、B、C、D中。只
有一项是正确的，请把正确的选项选出来。）
1．（3分）（2014•菏泽）比﹣1大的数是（ ）
A．﹣3 B． C．0 D．﹣1
﹣
2．（3分）（2014•菏泽）如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，边
BC与直线n所夹的角为25°，则∠α的度数为（ ）
A．25° B．45° C．35° D．30°
3．（3分）（2014•菏泽）下列计算中，正确的是（ ）
A．a3•a2=a6 B．（π﹣3.14）0=1 C． D． =±3
（ ）﹣1=﹣3
4．（3分）（2014•菏泽）2014年4月8日我市区县的可吸入颗粒物数值统计如下表：
区县 曹县 单县 成武 定陶 巨野 东明 郓城 鄄城 牡丹区 开发区
可吸入颗粒物 0.15 0.15 0.15 0.15 0.18 0.18 0.13 0.13 0.14 0.14
（mg/m3）
该日这一时刻的可吸入颗粒物数值的众数和中位数分别是（ ）
A．0.15和0.14 B．0.18和0.15 C．0.18和0.14 D．0.15和0.15
5．（3分）（2014•菏泽）过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何
体，其正确展开图为（ ）A． B． C． D．
6．（3分）（2014•菏泽）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值
为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2
7．（3分）（2014•菏泽）若点M（x，y）满足（x+y）2=x2+y2﹣2，则点M所在象限是（ ）
A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限 D．不能确定
8．（3分）（2014•菏泽）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、
BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，
则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3
分）
9．（3分）（2014•菏泽）2014年“原创新春祝福微博大赛”作品充满了对马年的浓浓祝福，主
办方共收到原创祝福电信作品62800条，将62800用科学记数法表示为 ．
10．（3分）（2014•菏泽）如图，在△ABC中∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点
D，交AC于点E，则 的度数为 ．11．（3分）（2014•菏泽）分解因式：2x3﹣4x2+2x= ．
12．（3分）（2014•菏泽）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y =x（2 x≥0）与y = （x≥0）
1 2
于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y
1
于点D，直线DE∥AC，交y
2
于点E，则 =
．
13．（3分）（2014•菏泽）如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象限、点B在第四象限，
且AO：BO=1： ，若点A（x ，y ）的坐标x ，y 满足y = ，则点B（x，y）的坐标x，y所满足
0 0 0 0 0
的关系式为 ．
14．（3分）（2014•菏泽）下面是一个某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是 （用含n的代
数式表示）
三、解答题（共大题共7小题，共78分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（12分）（2014•菏泽）（1）计算：2﹣1﹣3tan30°+（2﹣ ）0+
（2）解不等式组 ，并判断x= 是否为该不等式组的解．
16．（12分）（2014•菏泽）（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作
DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．
（2）已知x2﹣4x+1=0，求 ﹣ 的值．17．（14分）（2014•菏泽）（1）食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体
有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输，某饮料加工厂生产的A、B两
种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，
已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，0），与反比例
函数y= （x＞0）的图象相交于点B（2，1）．
①求m的值和一次函数的解析式；
②结合图象直接写出：当x＞0时，不等式kx+b＞ 的解集．
18．（10分）（2014•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与
过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若 = ，求cos∠ABC的值．19．（10分）（2014•菏泽）李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本
班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一
般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）李老师一共调查了多少名同学？
（2）C类女生有 名，D类男生有 名，将上面条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，李老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮
一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女
同学的概率．
20．（10分）（2014•菏泽）已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且
满足∠MAN=45°，连结MN．
（1）若正方形的边长为a，求BM•DN的值．
（2）若以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．21．（10分）（2014•菏泽）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9．
（1）求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OA＜OB，与y轴的交点坐标为
（0，﹣5），求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若点M是线段AN上的任意一点，过
点M作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段
MC上一点，且满足MP= MC，连结CD，PD，作PE⊥PD交x轴于点E，问是否存在这样的点
E，使得PE=PD？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．2014 年山东省菏泽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项A、B、C、D中。只
有一项是正确的，请把正确的选项选出来。）
1．（3分）（2014•菏泽）比﹣1大的数是（ ）
A．﹣3 B． C．0 D．﹣1
﹣
考点：有理数大小比较．
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分析：根据零大于一切负数，负数相比较，绝对值大的反而小解答．
解答：
解：﹣3、﹣ 、0、﹣1四个数中比﹣1大的数是0．
故选C．
点评：本题考查了有理数的大小比较，是基础题，熟记大小比较方法是解题的关键．
2．（3分）（2014•菏泽）如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，边
BC与直线n所夹的角为25°，则∠α的度数为（ ）
A．25° B．45° C．35° D．30°
考点：平行线的性质；等边三角形的性质．
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分析：根据两直线平行，内错角相等求出∠1，再根据等边三角形的性质求出∠2，然后根据两
直线平行，同位角相等可得∠α=∠2．
解答：解：如图，∵m∥n，
∴∠1=25°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠2=60°﹣25°=35°，
∵l∥m，
∴∠α=∠2=35°．
故选C．点评：本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，熟记性质是解题的关键，利用阿拉伯数
字加弧线表示角更形象直观．
3．（3分）（2014•菏泽）下列计算中，正确的是（ ）
A．a3•a2=a6 B．（π﹣3.14）0=1 C． D． =±3
（ ）﹣1=﹣3
考点：负整数指数幂；算术平方根；同底数幂的乘法；零指数幂．
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分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；任何非零数的零次幂等于1，负整数指数次幂
等于正整数指数次幂的倒数，算术平方根的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
解答：解：A、a3•a2=a3+2=a5，故本选项错误；
B、（π﹣3.14）0=1，故本选项正确；
C、（ ）﹣1=3，故本选项错误；
D、 =3，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查了负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，同底数幂的乘法，零指数幂的
定义以及算术平方根的定义，是基础题．
4．（3分）（2014•菏泽）2014年4月8日我市区县的可吸入颗粒物数值统计如下表：
区县 曹县 单县 成武 定陶 巨野 东明 郓城 鄄城 牡丹区 开发区
可吸入颗粒物 0.15 0.15 0.15 0.15 0.18 0.18 0.13 0.13 0.14 0.14
（mg/m3）
该日这一时刻的可吸入颗粒物数值的众数和中位数分别是（ ）
A．0.15和0.14 B．0.18和0.15 C．0.18和0.14 D．0.15和0.15
考点：众数；中位数．
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分析：众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将n个数据从小到大（或从大到小）重
新排列后，①n是奇数，最中间的那个数是中位数；②n是偶数，最中间两个数的平均数
是中位数．据定义，此题可求．
解答：解：将题干中十个数据按从小到大排列为：0.13，0.13，0.14，0.14，0.15，0.15，0.15，0.15，
0.18，0.18．
众数为0.15，中位数为（0.15+0.15）÷2=0.15．
故选D．
点评：此题考查对众数和中位数的定义的掌握情况．记住定义是解决此类题目的关键．
5．（3分）（2014•菏泽）过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何
体，其正确展开图为（ ）A． B． C． D．
考点：几何体的展开图；截一个几何体．
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分析：由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
解答：解：选项A、C、D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪
去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合．
故选B．
点评：考查了截一个几何体和几何体的展开图．解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面
的特点及位置．
6．（3分）（2014•菏泽）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值
为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2
考点：一元二次方程的解．
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分析：由于关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，那么代入方程中即可得到b2
﹣ab+b=0，再将方程两边同时除以b即可求解．
解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，
∴b2﹣ab+b=0，
∵﹣b≠0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，
∴a﹣b=1．
故选A．
点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而
解决问题．
7．（3分）（2014•菏泽）若点M（x，y）满足（x+y）2=x2+y2﹣2，则点M所在象限是（ ）
A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限 D．不能确定
考点：点的坐标；完全平方公式．
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分析：利用完全平方公式展开得到xy=﹣1，再根据异号得负判断出x、y异号，然后根据各象
限内点的坐标特征解答．
解答：解：∵（x+y）2=x2+2xy+y2，
∴原式可化为xy=﹣1，
∴x、y异号，
∴点M（x，y）在第二象限或第四象限．
故选B．
点评：本题考查了点的坐标，求出x、y异号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一
象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．8．（3分）（2014•菏泽）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、
BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，
则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
考点：动点问题的函数图象．
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专题：数形结合．
分析：分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x2；当1＜x≤2时，ED交AB于
M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面
积得到y=x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y=﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项
进行判断．
解答：解：当0＜x≤1时，y=x2，
当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，
CD=x，则AD=2﹣x，
∵Rt△ABC中，AC=BC=2，
∴△ADM为等腰直角三角形，
∴DM=2﹣x，
∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2，
∴S = （2x﹣2）2=2（x﹣1）2，
△ENM
∴y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣2=﹣（x﹣2）2+2，
∴y= ，
故选A．
点评：本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问
题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．也考查了等腰直角三角形的性质．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3
分）
9．（3分）（2014•菏泽）2014年“原创新春祝福微博大赛”作品充满了对马年的浓浓祝福，主
办方共收到原创祝福电信作品62800条，将62800用科学记数法表示为 6.28×1 0 4 ．
考点：科学记数法—表示较大的数．
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分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错
点，由于62800有5位，所以可以确定n=5﹣1=4．
解答：解：62 800=6.28×104．
故答案为：6.28×104．
点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
10．（3分）（2014•菏泽）如图，在△ABC中∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点
D，交AC于点E，则 的度数为 50 ° ．
考点：圆心角、弧、弦的关系；直角三角形的性质．
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分析：连接CD，求出∠B=65°，再根据CB=CD，求出∠BCD的度数即可．
解答：解：连接CD，
∵∠A=25°，
∴∠B=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠BCD=50°，
∴ 的度数为50°．
故答案为：50°．
点评：此题考查了圆心角、弧之间的关系，用到的知识点是三角形内角和定理、圆心角与弧的
关系，关键是做出辅助线求出∠BCD的度数．
11．（3分）（2014•菏泽）分解因式：2x3﹣4x2+2x= 2 x （ x﹣ 1 ） 2 ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
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分析：先提取公因式2x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：2x3﹣4x2+2x，
=2x（x2﹣2x+1），
=2x（x﹣1）2．
故答案为：2x（x﹣1）2．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因
式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．（3分）（2014•菏泽）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y =x（2 x≥0）与y = （x≥0）
1 2
于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y
1
于点D，直线DE∥AC，交y
2
于点E，则 = 3﹣
．
考点：二次函数综合题．
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专题：代数几何综合题；压轴题．
分析：设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB的长度，
再根据CD∥y轴，利用y
1
的解析式求出D点的坐标，然后利用y
2
求出点E的坐标，从而
得到DE的长度，然后求出比值即可得解．
解答：解：设设A点坐标为（0，a），（a＞0），
则x2=a，解得x= ，
∴点B（ ，a），
=a，
则x= ，
∴点C（ ，a），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为 ，
∴y = 2=3a，
1
∴点D的坐标为（ ，3a），
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为3a，
∴ =3a，
∴x=3 ，
∴点E的坐标为（3 ，3a），
∴DE=3 ﹣ ，
= =3﹣ ．
故答案为：3﹣ ．
点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与x轴
的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的
坐标是解题的关键．13．（3分）（2014•菏泽）如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象限、点B在第四象限，
且AO：BO=1： ，若点A（x ，y ）的坐标x ，y 满足y = ，则点B（x，y）的坐标x，y所满足
0 0 0 0 0
的关系式为 y=﹣ ．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质．
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分析：
设点B在反比例函数y= （k＜0）上，分别过点A、B作AC，BD分别垂直y轴于点C、
D，由相似三角形的判定定理得出△AOC∽△OBD，再由相似三角形的性质得出△OBD
的面积，进而可得出结论．
解答：
解：设点B在反比例函数y= （k＜0）上，分别过点A、B作AC，BD分别垂直y轴于点
C、D，
∵∠ACO=∠BDO=90°，∠AOC+∠BOD=90°，
∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∴ =（ ）2=（ ）2= ，
∵点A（x ，y ）的坐标x ，y 满足y = ，
0 0 0 0 0
∴S = ，
△AOC
∴S =1，
△BOD
∴k=﹣2，
∴点B（x，y）的坐标x，y所满足的关系式为y=﹣ ．
故答案为：y=﹣ ．
点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
14．（3分）（2014•菏泽）下面是一个某种规律排列的数阵：
根据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是 （用含n
的代数式表示）
考点：算术平方根．
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专题：规律型．
分析：观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的
连续偶数，求出n﹣1行的数据的个数，再加上n﹣2得到所求数的被开方数，然后写出
算术平方根即可．
解答：解：前（n﹣1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n﹣1）=n（n﹣1），
所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣
2=n2﹣2，
所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是 ．
故答案为： ．
点评：本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n﹣1）行的数据的个数是解题
的关键．
三、解答题（共大题共7小题，共78分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（12分）（2014•菏泽）（1）计算：2﹣1﹣3tan30°+（2﹣ ）0+
（2）解不等式组 ，并判断x= 是否为该不等式组的解．
考点：实数的运算；估算无理数的大小；零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；特殊
角的三角函数值．
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分析：（1）分别根据0指数幂及负整数指数幂的运算法则、数的开方法则及绝对值的性质计算
出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，进而可得出结论．
解答：
解：（1）原式= ﹣3× +1+2
= + ；
（2） ，
由①得，x＞﹣3，由②得，x≤1，
故此不等式组的解集为：﹣3＜x≤1，∵ ＞1，
∴x= 是该不等式组的解．
点评：本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的运算法则、数的开方法则及
绝对值的性质是解答此题的关键．
16．（12分）（2014•菏泽）（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作
DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．
（2）已知x2﹣4x+1=0，求 ﹣ 的值．
考点：等腰三角形的判定与性质；分式的化简求值；平行线的性质．
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分析：（1）求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出
AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
（2）化简以后，用整体思想代入即可得到答案．
解答：解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB=90°，
∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE=BE，
∵AB=5，
∴DE=BE=AE= =2.5．
（2）原式=
=
∵x2﹣4x+1=0，∴x2﹣4x=﹣1，
原式=
点评：本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应
用，关键是求出DE=BE=AE．学会用整体思想解答有关问题是我们学习的关键．17．（14分）（2014•菏泽）（1）食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体
有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输，某饮料加工厂生产的A、B两
种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，
已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，0），与反比例
函数y= （x＞0）的图象相交于点B（2，1）．
①求m的值和一次函数的解析式；
②结合图象直接写出：当x＞0时，不等式kx+b＞ 的解集．
考点：二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用；反比例函数与一次函数的交点问题．
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分析：（1）设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了（100﹣x）瓶，根据270克该添加剂恰好生产
了A、B两种饮料共100瓶，列方程求解；
（2）①将B点坐标代入，求出m的值，将点A和点B的坐标代入求出k和b的值，继而
可求得解析式；
②根据图象，写出解集即可．
解答：解：（1）设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了（100﹣x）瓶，
由题意得，2x+3（100﹣x）=270，
解得：x=30，100﹣x=70，
答：A饮料生产了30瓶，则B饮料生产了70瓶；
（2）①∵反比例函数y= （x＞0）的图象经过点B（2，1），
∴m=1×2=2，
∵一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，0），点B（2，1），
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为：y=x﹣1；
②由图象可得：x＞2．
点评：本题考查了二元一次方程组和反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是
读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组求解．
18．（10分）（2014•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与
过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若 = ，求cos∠ABC的值．考点：切线的判定；勾股定理．
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分析：（1）如图，连接OC．欲证DE是⊙O的切线，只需证得OC⊥DE；
（2）由 = ，可设CE=2k（k＞0），则DE=3k，在Rt△DAE中，由勾股定理求得AE=
=2 k．则tanE= = ．所以在Rt△OCE中，tanE= = ．
在Rt△AOD中，由勾股定理得到OD= = k，故cos∠ABC=cos∠AOD=
= ．
解答：（1）证明：如图，连接OC．
∵AD是过点A的切线，AB是⊙O的直径，
∴AD⊥AB，
∴∠DAB=90°．
∵OD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OC=OB，
∴∠2=∠4．
∴∠1=∠3．
在△COD和△AOD中，
，
∴△COD≌△AOD（SAS）
∴∠OCD=∠DAB=90°，即OC⊥DE于点C．
∵OC是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由 = ，可设CE=2k（k＞0），则DE=3k，
∴AD=DC=k．
∴在Rt△DAE中，AE= =2 k．
∴tanE= = ．
∵在Rt△OCE中，tanE= = ．
∴ = ，
∴OC=OA= ．∴在Rt△AOD中，OD= = k，
∴cos∠ABC=cos∠AOD= = ．
点评：本题考查了切线的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心
与这点（即为半径），再证垂直即可．
19．（10分）（2014•菏泽）李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本
班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一
般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）李老师一共调查了多少名同学？
（2）C类女生有 3 名，D类男生有 1 名，将上面条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，李老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮
一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女
同学的概率．
考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．
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分析：（1）根据B类有6+4=10人，所占的比例是50%，据此即可求得总人数；
（2）利用（1）中求得的总人数乘以对应的比例即可求得C类的人数，然后求得C类中女
生人数，同理求得D类男生的人数；
（3）利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解．
解答：解：（1）（6+4）÷50%=20．所以李老师一共调查了20名学生．
（2）C类女生有3名，D类男生有1名；补充条形统计图．
（3）由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选
两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种．
所以P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）= = ．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得
到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统
计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（10分）（2014•菏泽）已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且
满足∠MAN=45°，连结MN．
（1）若正方形的边长为a，求BM•DN的值．
（2）若以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性
质．
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分析：（1）根据角平分线的定义求出∠CBM=∠CDN=45°，再求出∠ABM=∠ADN=135°，然后
根据正方形的每一个角都是90°求出∠BAM+∠NAD=45°，三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和∠BAM+∠AMB=45°，从而得到∠NAD=∠AMB，再求出△ABM
和△NDA相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（2）过点A作AF⊥AN并截取AF=AN，连接BF、FM，根据同角的余角相等求出
∠1=∠3，然后利用“边角边”证明△ABF和△AND全等，根据全等三角形对应边相等
可得BF=DN，∠FBA=∠NDA=135°，再求出∠FAM=∠MAN=45°，然后利用“边角边”
证明△AFM和△ANM全等，根据全等三角形对应边相等可得FM=NM，再求出△FBM
是直角三角形，然后利用勾股定理判断即可．解答：解：（1）∵BM、DN分别平分正方形的两个外角，
∴∠CBM=∠CDN=45°，
∴∠ABM=∠ADN=135°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠NAD=45°，
在△ABM中，∠BAM+∠AMB=∠MBP=45°，
∴∠NAD=∠AMB，
在△ABM和△NDA中，
，
∴△ABM∽△NDA，
∴ = ，
∴BM•DN=AB•AD=a2；
（2）以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形．
证明如下：如图，过点A作AF⊥AN并截取AF=AN，连接BF、FM，
∵∠1+∠BAN=90°，
∠3+∠BAN=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABF和△AND中，
，
∴△ABF≌△AND（SAS），
∴BF=DN，∠FBA=∠NDA=135°，
∵∠FAN=90°，∠MAN=45°，
∴∠1+∠2=∠FAM=∠MAN=45°，
在△AFM和△ANM中，
，
∴△AFM≌△ANM（SAS），
∴FM=NM，
∴∠FBP=180°﹣∠FBA=180°﹣135°=45°，
∴∠FBP+∠FBM=45°+45°=90°，
∴△FB△是直角三角形，
∵FB=DN，FM=MN，
∴以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，相似三角形的
判定与性质，难点在于（2）作辅助线构造出全等三角形和直角三角形．
21．（10分）（2014•菏泽）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9．
（1）求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OA＜OB，与y轴的交点坐标为
（0，﹣5），求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若点M是线段AN上的任意一点，过
点M作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段
MC上一点，且满足MP= MC，连结CD，PD，作PE⊥PD交x轴于点E，问是否存在这样的点
E，使得PE=PD？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
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分析：（1）令y=0，则x2﹣2mx+m2﹣9=0，根据根的判别式b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4（m2﹣9）=36＞
0，所以无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点．
（2）直接将C点（0，﹣5）代入y=x2﹣2mx+m2﹣9根据抛物线与x轴交于A，B两点（点
A在点B的左侧，且OA＜OB），求出m的值即可；
（3）假设E点存在由直角三角形的性质可以得出∠MEP=∠CPD．再根据条件可以得出
△EPM≌△PDC就有PM=DC，EM=PC，设C（x ，y ），则D（4﹣x ，y ），P（x0， y0）．根据
0 0 0 0PM=DC就有|2x0﹣4|=﹣ y0，由C点在抛物线上有|2x0﹣4|=﹣ （ x 2﹣4x0﹣5），分两
0
种情况求出x 的值就可以得出结论．
0
解答：解：（1）令y=0，则x2﹣2mx+m2﹣9=0，∵△=（﹣2m）2﹣4m2+36＞0，
∴无论m为何值时方程x2﹣2mx+m2﹣9=0总有两个不相等的实数根，
∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9的开口向上，顶点在x轴的下方，
∴该抛物线与x轴总有两个交点．
（2）∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9与y轴交点坐标为（0，﹣5），
∴﹣5=m2﹣9．
解得：m=±2．
当m=﹣2，y=0时，x2+4x﹣5=0
解得：x =﹣5，x =1，
1 2
∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），
∴m=﹣2不符合题意，舍去．
∴m=2．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5；
（3）如图2，假设E点存在，
∵MC⊥EM，CD⊥MC，
∴∠EMP=∠PCD=90°．
∴∠MEP+∠MPE=90°
∵PE⊥PD，
∴∠EPD=90°，
∴∠MPE+∠DPC=90°
∴∠MEP=∠CPD．
在△EMP和△PCD中，
，
∴△EPM≌△PDC（AAS）．
∴PM=DC，EM=PC
设C（x ，y ），则D（4﹣x ，y ），P（x0， y0）．
0 0 0 0∴|2x0﹣4|=﹣ y0．
∵点C在抛物线y=x2﹣4x﹣5上；
∴y ═x 2﹣4x ﹣5
0 0 0
∴|2x0﹣4|=﹣ （x 2﹣4x0﹣5）．
0
当2x0﹣4=﹣ （x 2﹣4x0﹣5）时，
0
解得：x =3，x =﹣7（舍去），
01 02
当4﹣2x0=﹣ （x 2﹣4x0﹣5）时，
0
解得：x =1，x =11（舍去），
03 04
∴x =1或x =3．
0 0
∴P（1，﹣2）或P（3，﹣2）．
∴PC=6．∴ME=PC=6．
∴E（7，0）或E（﹣3，0）．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用一元二次方程根的情况来确定抛物线与
x轴的交点情况，以及运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，全等三角形的判定
及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时先运用待定系数法求出解析式是关
键，解答中灵活运用直角三角形的性质是重点难点．
