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2014 年山东省聊城市中考数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求）
1．（3分）（2014•聊城）在﹣ ，0，﹣2， ，1这五个数中，最小的数为（ ）
A． 0 B． C． ﹣2 D．
﹣
2．（3分）（2014•聊城）如图是一个三棱柱的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2014•聊城）今年5月10日，在市委宣传部、市教育局等单位联合举办的“走复兴
路，圆中国梦”中学生演讲比赛中，7位评委给参赛选手张阳同学的打分如表：
评委代号 A B C D E F G
评分 90 92 86 92 90 95 92
则张阳同学得分的众数为（ ）
A．95 B．92 C．90 D．86
4．（3分）（2014•聊城）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条
对边上，如果∠1=27°，那么∠2的度数为（ ）
A．53° B．55° C．57° D．60°
5．（3分）（2014•聊城）下列计算正确的是（ ）A．2 ×3 =6 B． + = C．5 ﹣2 =3 D．
÷ =
6．（3分）（2014•聊城）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A． B．
（x+ ）2= （x+ ）2=
C． D．
（x﹣ ）2= （x﹣ ）2=
7．（3分）（2014•聊城）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点
P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．
若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为（ ）
A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7
8．（3分）（2014•聊城）下列说法中不正确的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件
C．任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件
D．一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，
取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6
9．（3分）（2014•聊城）如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连
接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．10．（3分）（2014•聊城）如图，一次函数y =k x+b的图象和反比例函数y = 的图象交于A
1 1 2
（1，2），B（﹣2，﹣1）两点，若y ＜y ，则x的取值范围是（ ）
1 2
A． x＜1 B． x＜﹣2 C． ﹣2＜x＜0或x＞1 D． x＜﹣2或0＜x＜1
11．（3分）（2014•聊城）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点P旋转180°，得到
△A B C ，则点A ，B ，C 的坐标分别为（ ）
1 1 1 1 1 1
A． A （﹣4，﹣6），B （﹣3，﹣3），C （﹣5，﹣1）
1 1 1
B． A （﹣6，﹣4），B （﹣3，﹣3），C （﹣5，﹣1）
1 1 1
C． A （﹣4，﹣6），B （﹣3，﹣3），C （﹣1，﹣5）
1 1 1
D． A （﹣6，﹣4），B （﹣3，﹣3），C （﹣1，﹣5）
1 1 1
12．（3分）（2014•聊城）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，
有下列判断：
①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y ），（ ，y ）是抛物线上两点，则y
1 2 1
＞y ，
2
其中正确的是（ ）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）
13．（3分）（2014•聊城）不等式组 的解集是 ．
14．（3分）（2014•聊城）因式分解：4a3﹣12a2+9a= ．
15．（3分）（2014•聊城）如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为
100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为 ．
16．（3分）（2014•聊城）如图，有四张卡片（形状、大小和质地都相同），正面分别写有字母A、
B、C、D和一个不同的算式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取两张卡片，这两张卡
片上的算式只有一个正确的概率是 ．
17．（3分）（2014•聊城）如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A ，A ，A ，
1 2 3
A ，…，A 分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y= 的图象相交于点P ，P ，P ，P ，…P
4 n 1 2 3 4 n作P
2
B 1⊥A
1
P
1
，P
3
B 2⊥A
2
P
2
，P
4
B 3⊥A
3
P
3
，…，P
n
B n﹣1⊥A
n﹣1
P
n﹣1
，垂足分别为B
1
，B
2
，B
3
，B
4
，…，
B
n﹣1
，连接P
1
P
2
，P
2
P
3
，P
3
P
4
，…，P
n﹣1
P
n
，得到一组Rt△P
1
B
1
P
2
，Rt△P
2
B
2
P
3
，Rt△P
3
B
3
P
4
，…，
Rt△P
n﹣1
B
n﹣1
P
n
，则Rt△P
n﹣1
B
n﹣1
P
n
的面积为 ．
三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（7分）（2014•聊城）解分式方程： + =﹣1．
19．（8分）（2014•聊城）为提高居民的节水意识，向阳小区开展了“建设节水型社区，保障用
水安全”为主题的节水宣传活动，小莹同学积极参与小区的宣传活动，并对小区300户家庭
用水情况进行了抽样调查，他在300户家庭中，随机调查了50户家庭5月份的用水量情况，
结果如图所示．
（1）试估计该小区5月份用水量不高于12t的户数占小区总户数的百分比；
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～6的中间值为3）来替代，估计改小区5月
份的用水量．20．（8分）（2014•聊城）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE与
G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．
求证：△EBC≌△FDA．
21．（8分）（2014•聊城）如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和
风景带称为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上
的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC=60°，
∠DBC=75°．又已知AB=100米，求观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为多少米（精确到1
米）．（tan60°≈1.73，tan75°≈3.73）22．（8分）（2014•聊城）某服装店用6000元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛
利润3800元（毛利润=售价﹣进价），这两种服装的进价、标价如表所示：
类型 A型 B型
价格
进价（元/件） 60 100
标价（元/件） 100 160
（1）这两种服装各购进的件数；
（2）如果A中服装按标价的8折出售，B中服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完
后，服装店比按标价出售少收入多少元？
23．（8分）（2014•聊城）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车
早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函
数图象．
（1）求出图中m，a的值；
（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；
（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km．24．（10分）（2014•聊城）如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作
半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P．连接PC并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是半⊙O的切线；
（2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF的长．
25．（12分）（2014•聊城）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别是A（4，
3），O（0，0），B（6，0）．点M是OB边上异于O，B的一动点，过点M作MN∥AB，点P是AB
边上的任意点，连接AM，PM，PN，BN．设点M（x，0），△PMN的面积为S．
（1）求出OA所在直线的解析式，并求出点M的坐标为（1，0）时，点N的坐标；
（2）求出S关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）若S：S =2：3时，求出此时N点的坐标．
△ANB2014 年山东省聊城市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求）
1．（3分）（2014•聊城）在﹣ ，0，﹣2， ，1这五个数中，最小的数为（ ）
A． 0 B． C． ﹣2 D．
﹣
考点： 有理数大小比较．
分析： 用数轴法，将各选项数字标于数轴之上即可解本题．
解答：
解：画一个数轴，将A=0、B=﹣ 、C=﹣2、D= ，E=1标于数轴之上，
可得：
∵C点位于数轴最左侧，是最小的数
故选C．
点评： 本题考查了数轴法比较有理数大小的方法，牢记数轴法是解题的关键．
2．（3分）（2014•聊城）如图是一个三棱柱的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单几何体的三视图．
分析：根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解答：解；从正面看是矩形，看不见的棱用虚线表示，
故选：B．
点评：本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，注意看不到的棱用虚线表
示．
3．（3分）（2014•聊城）今年5月10日，在市委宣传部、市教育局等单位联合举办的“走复兴
路，圆中国梦”中学生演讲比赛中，7位评委给参赛选手张阳同学的打分如表：
评委代号 A B C D E F G
评分 90 92 86 92 90 95 92
则张阳同学得分的众数为（ ）
A．95 B．92 C．90 D．86考点：众数
分析：根据众数的定义，从表中找出出现次数最多的数即为众数．
解答：解：张阳同学共有7个得分，其中92分出现3次，次数最多，故张阳得分的众数为92分．
故选B．
点评：考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数叫该组数据的众数．
4．（3分）（2014•聊城）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条
对边上，如果∠1=27°，那么∠2的度数为（ ）
A．53° B．55° C．57° D．60°
考点：平行线的性质．
分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3，再根据两直线平行，同位角
相等可得∠2=∠3．
解答：解：由三角形的外角性质，∠3=30°+∠1=30°+27°=57°，
∵矩形的对边平行，
∴∠2=∠3=57°．
故选C．
点评：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性
质是解题的关键．
5．（3分）（2014•聊城）下列计算正确的是（ ）
A．2 ×3 =6 B． + = C．5 ﹣2 =3 D．
÷ =
考点：二次根式的加减法；二次根式的乘除法．
分析：根据二次根式的乘除，可判断A、D，根据二次根式的加减，可判断B、C．
解答：解：A、2 =2× =18，故A错误；
B、被开方数不能相加，故B错误；
C、被开方数不能相减，故C错误；
D、 = = ，故D正确；
故选：D．
点评：本题考查了二次根式的加减，注意被开方数不能相加减．
6．（3分）（2014•聊城）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）A． B．
（x+ ）2= （x+ ）2=
C． D．
（x﹣ ）2= （x﹣ ）2=
考点：解一元二次方程-配方法
分析：先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可．
解答：解：ax2+bx+c=0，
ax2+bx=﹣c，
x2+ x=﹣ ，
x2+ x+（ ）2=﹣ +（ ）2，
（x+ ）2= ，
故选A．
点评：本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度
适中．
7．（3分）（2014•聊城）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点
P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．
若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为（ ）
A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7
考点：轴对称的性质
分析：利用轴对称图形的性质得出PM=MQ，PN=NR，进而利用MN=4cm，得出NQ的长，即可得出
QR的长．
解答：解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延
长线上，
∴PM=MQ，PN=NR，
∵PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，
∴RN=3cm，MQ=2.5cm，NQ=MN﹣MQ=4﹣2.5=1.5（cm），
则线段QR的长为：RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）．
故选：A．
点评：此题主要考查了轴对称图形的性质，得出PM=MQ，PN=NR是解题关键．
8．（3分）（2014•聊城）下列说法中不正确的是（ ）A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件
C．任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件
D．一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，
取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6
考点：随机事件；概率公式
分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及概率的求法即可作出判断．
解答：解：A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，此说法正确；
B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件，此说法正确；
C．任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是不确定事件，故此说法错误；
D. ，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，所以m+n=6，此
说法正确．
故选：C．
点评：考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及概率的
求法．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生
的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
9．（3分）（2014•聊城）如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连
接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
考点：矩形的性质；菱形的性质．
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分析：根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，因为四边形BEDF
是菱形，所以BE，AE可求出进而可求出BC的长．
解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
即BA⊥BF，
∵四边形BEDF是菱形，
∴EF⊥BD，∠EBO=∠DBF，
∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO，
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，
∴BE= =2 ，
∴BF=BE=2 ，
∵EF=AE+FC，AE=CF，EO=FO
∴CF=AE= ，
∴BC=BF+CF=3 ，
故选B．点评：本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半，
解题的关键是求出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°．
10．（3分）（2014•聊城）如图，一次函数y =k x+b的图象和反比例函数y = 的图象交于A
1 1 2
（1，2），B（﹣2，﹣1）两点，若y ＜y ，则x的取值范围是（ ）
1 2
A．x＜1 B．x＜﹣2 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
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分析：根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得不等式的解．
解答：解；一次函数图象位于反比例函数图象的下方．，
x＜﹣2，或0＜x＜1，
故选：D．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象位于反比例函数图象的下方是
解题关键．
11．（3分）（2014•聊城）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点P旋转180°，得到
△A B C ，则点A ，B ，C 的坐标分别为（ ）
1 1 1 1 1 1
A．A（﹣4，﹣6），B（﹣3，﹣3），C（﹣5，﹣1）B．A（﹣6，﹣4），B（﹣3，﹣3），C（﹣5，﹣1）
1 1 1 1 1 1
C．A（﹣4，﹣6），B（﹣3，﹣3），C（﹣1，﹣5）D．A（﹣6，﹣4），B（﹣3，﹣3），C（﹣1，﹣5）
1 1 1 1 1 1考点：坐标与图形变化-旋转．
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分析：根据网格结构找出点A、B、C关于点P的对称点A ，B ，C 的位置，再根据平面直角坐标系写
1 1 1
出坐标即可．
解答：解：△A B C 如图所示，A （﹣4，﹣6），B （﹣3，﹣3），C （﹣5，﹣1）．
1 1 1 1 1 1
故选A．
点评：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
12．（3分）（2014•聊城）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，
有下列判断：
①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y
1
），（ ，y
2
）是抛物线上两点，则y
1
＞y ，
2
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
考点：二次函数图象与系数的关系．
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分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．
解答：解：∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴﹣ =﹣1，
b=2a，
∴b﹣2a=0，∴①正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），
∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），
∴把x=﹣2代入得：y=4a﹣2b+c＞0，∴②错误；
∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c=0，
又∵b=2a，
∴c=﹣4a﹣2b=﹣8a，
∴a﹣b+c=a﹣2a﹣8a=﹣9a，∴③正确；
∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴点（﹣3，y ）关于对称轴的对称点的坐标是（（1，y ），
1 1
∵（ ，y ），1＜ ，
2
∴y ＞y ，∴④正确；
1 2
即正确的有①③④，
故选B．
点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形
状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同
时注意特殊点的运用．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）
13．（3分）（2014•聊城）不等式组 的解集是 ﹣ ＜ x≤ 4 ．
考点：解一元一次不等式组．
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分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答：
解： ，
由①得，x≤4，
由②得，x＞﹣ ，
故此不等式组的解集为：﹣ ＜x≤4．
故答案为：﹣ ＜x≤4．
点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小
找不到”的原则是解答此题的关键．
14．（3分）（2014•聊城）因式分解：4a3﹣12a2+9a= a （ 2a﹣ 3 ） 2 ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
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分析：先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．
解答：解：4a3﹣12a2+9a，
=a（4a2﹣12a+9），
=a（2a﹣3）2．
故答案为：a（2a﹣3）2．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注
意分解要彻底．
15．（3分）（2014•聊城）如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为
100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为 300 π ．考点：圆锥的计算；扇形面积的计算．
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分析：首先根据底面圆的面积求得底面的半径，然后结合弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的
面积公式求得侧面积即可．
解答：解：∵底面圆的面积为100π，
∴底面圆的半径为10，
∴扇形的弧长等于圆的周长为20π，
设扇形的母线长为r，
则 =20π，
解得：母线长为30，
∴扇形的面积为πrl=π×10×30=300π，
故答案为：300π．
点评：本题考查了圆锥的计算及扇形的面积的计算，解题的关键是牢记计算公式．
16．（3分）（2014•聊城）如图，有四张卡片（形状、大小和质地都相同），正面分别写有字母A、
B、C、D和一个不同的算式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取两张卡片，这两张卡
片上的算式只有一个正确的概率是 ．
考点：列表法与树状图法．
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分析：首先此题需要两步完成，直接运用树状图法或者采用列表法，再根据列举求出所用可能数，再
求出只有一次正确的情况数根据概率公式解答即可．
解答：解：列表如下：
第1次 A B C D
第2次
A BA CA DA
B AB CB DB
C AC BC DC
D AD BD CD
由表可知一共有12种情况，其中抽取的两张卡片上的算式只有一个正确的有8种，
所以两张卡片上的算式只有一个正确的概率= ，故答案为： ．
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，
适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．（3分）（2014•聊城）如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A ，A ，A ，
1 2 3
A ，…，A 分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y= 的图象相交于点P ，P ，P ，P ，…P
4 n 1 2 3 4 n
作P
2
B 1⊥A
1
P
1
，P
3
B 2⊥A
2
P
2
，P
4
B 3⊥A
3
P
3
，…，P
n
B n﹣1⊥A
n﹣1
P
n﹣1
，垂足分别为B
1
，B
2
，B
3
，B
4
，…，
B
n﹣1
，连接P
1
P
2
，P
2
P
3
，P
3
P
4
，…，P
n﹣1
P
n
，得到一组Rt△P
1
B
1
P
2
，Rt△P
2
B
2
P
3
，Rt△P
3
B
3
P
4
，…，
Rt△P
n﹣1
B
n﹣1
P
n
，则Rt△P
n﹣1
B
n﹣1
P
n
的面积为 ． ．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
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专题：规律型．
分析：
根据反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到Rt△P
1
B
1
P
2
的面积= ×a×（ ﹣
），Rt△P
2
B
2
P
3
的面积= ×a×（ ﹣ ），Rt△P
3
B
3
P
4
的面积= ×a×（ ﹣ ），由此得出△P
n
B P 的面积= ×a×[ ﹣ ，化简即可．
﹣1 n﹣1 n
解答：解：设OA
1
=A
1
A
2
=A
2
A
3
=…=A
n﹣2
A
n﹣1
=a，]
∵x=a时，y= ，∴P 的坐标为（a， ），
1
∵x=2a时，y=2× ，∴P 的坐标为（2a， ），
2
∴Rt△P
1
B
1
P
2
的面积= ×a×（ ﹣ ），
Rt△P
2
B
2
P
3
的面积= ×a×（ ﹣ ），
Rt△P
3
B
3
P
4
的面积= ×a×（ ﹣ ），
…，
∴△P
n﹣1
B
n﹣1
P
n
的面积= ×a×[ ﹣ = ×1×（ ﹣ ）= ．
]
故答案为 ．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式，有一定难度．三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（7分）（2014•聊城）解分式方程： + =﹣1．
考点：解分式方程．
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分析：解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的
值，经检验即可得到分式方程的解．
解答：解：去分母得：﹣（x+2）2+16=4﹣x2，
去括号得：﹣x2﹣4x﹣4+16=4﹣x2，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程
求解．
19．（8分）（2014•聊城）为提高居民的节水意识，向阳小区开展了“建设节水型社区，保障用
水安全”为主题的节水宣传活动，小莹同学积极参与小区的宣传活动，并对小区300户家庭
用水情况进行了抽样调查，他在300户家庭中，随机调查了50户家庭5月份的用水量情况，
结果如图所示．
（1）试估计该小区5月份用水量不高于12t的户数占小区总户数的百分比；
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～6的中间值为3）来替代，估计改小区5月
份的用水量．
考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体．
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分析：（1）用用水量不高于12t的户数除以抽查的总的户数即可求出该小区5月份用水量不高于12t
的户数占小区总户数的百分比；
（2）用该组的中间值乘以户数，求出总的用水量，再除以抽查的户数求出每户的平均用水量，
最后乘以该小区总的户数即可得出答案．
解答：解：（1）根据题意得：
×100%=52%；
答：该小区5月份用水量不高于12t的户数占小区总户数的百分比是52%；
（2）根据题意得：
300×（3×6+9×20+15×12+21×7+27×5）÷50=3960（吨），
答：改小区5月份的用水量是3960吨．
点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必
须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．20．（8分）（2014•聊城）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE与
G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．
求证：△EBC≌△ FDA．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．
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专题：证明题．
分析：根据平行三边的性质可知：AD=BC，由平行四边形的判定方法易证四边形BHDK和四边形
AMCN是平行四边形，所以看得∠FAD=∠ECB，∠ADF=∠EBC，进而证明：△EBC≌△FDA．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵AF∥CE，BE∥DF，
∴四边形BHDK和四边形AMCN是平行四边形，
∴∠FAD=∠ECB，∠ADF=∠EBC，
在△EBC和△FDA中，
∴△EBC≌△FDA．
点评：本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定，在全等三角形的5种判定方法中，选用
哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若
已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则
找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
21．（8分）（2014•聊城）如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和
风景带称为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上
的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC=60°，
∠DBC=75°．又已知AB=100米，求观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为多少米（精确到1米）．（tan60°≈1.73，tan75°≈3.73）
考点：解直角三角形的应用．
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分析：如图，过点D作DE⊥AC于点E．通过解Rt△EAD和Rt△EBD分别求得AE、BE的长度，然后
根据图示知：AB=AE﹣BE﹣100，把相关线段的长度代入列出关于ED的方程 ﹣
=100．通过解该方程求得ED的长度．
解答：解：如图，过点D作DE⊥AC于点E．
∵在Rt△EAD中，∠DAE=60°，
∴tan60°= ，
∴AE=
同理，在Rt△EBD中，得到EB= ．
又∵AB=100米，
∴AE﹣EB=100米，即 ﹣ =100．
则ED= ≈ ≈323（米）．
答：观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为323米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用．主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加
以计算．
22．（8分）（2014•聊城）某服装店用6000元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛
利润3800元（毛利润=售价﹣进价），这两种服装的进价、标价如表所示：
类型 A型 B型
价格
进价（元/件） 60 100
标价（元/件） 100 160
（1）这两种服装各购进的件数；（2）如果A中服装按标价的8折出售，B中服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完
后，服装店比按标价出售少收入多少元？
考点：二元一次方程组的应用．
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分析：（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由总价=单价×数量和利润=售价﹣进价建立方
程组求出其解即可；
（2）分别求出打折后的价格，再根据总利润=A种服装的利润+B中服装的利润，求出其解即
可．
解答：解：（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由题意，得
，
解得： ．
答：A种服装购进50件，B种服装购进30件；
（2）由题意，得
3800﹣50（100×0.8﹣60）﹣30（160×0.7﹣100）
=3800﹣1000﹣360
=2440（元）．
答：服装店比按标价出售少收入2440元．
点评：本题考查了销售问题的数量关系的运用，列二元一次方程组解实际问题的运用，解答时由销售
问题的数量关系建立二元一次方程组是关键．
23．（8分）（2014•聊城）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车
早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函
数图象．
（1）求出图中m，a的值；
（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；
（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km．
考点：一次函数的应用．
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分析：（1）根据路程÷时间=速度由函数图象就可以求出甲的速度求出a的值和m的值；
（2）由分段函数当0≤x≤1，1＜x≤1.5，1.5＜x≤7由待定系数法就可以求出结论；
（3）先求出乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解
即可．
解答：解：（1）由题意，得
m=1.5﹣0.5=1．120÷（3.5﹣0.5）=40，
∴a=40×1=40．
答：a=40，m=1；
（2）当0≤x≤1时设y与x之间的函数关系式为y=k x，由题意，得
1
40=k ，
1
∴y=40x
当1＜x≤1.5时
y=40；
当1.5＜x≤7设y与x之间的函数关系式为y=k x+b，由题意，得
2
，
解得： ，
∴y=40x﹣20．
y= ；
（3）设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k x+b ，由题意，得
3 3
，
解得： ，
∴y=80x﹣160．
当40x﹣20﹣50=80x﹣160时，
解得：x= ．
当40x﹣20+50=80x﹣160时，
解得：x= ．
= ， ．
答：乙车行驶 小时或 小时，两车恰好相距50km．
点评：本题考出了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与
一元一次方程的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
24．（10分）（2014•聊城）如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作
半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P．连接PC并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是半⊙O的切线；
（2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF的长．考点：切线的判定与性质．
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分析：（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可
以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；
（2）依据切线的性质定理可知OC⊥PE，然后通过解直角三角函数，求得OF的值，再减去圆的
半径即可．
解答：（1）证明：连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴AD=CD，
∴PA=PC，
在△OAP和△OCP中，
，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OCP=∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°．
∴∠OCP=90°，即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=30°，
∴∠COF=60°，
∵PC是⊙O的切线，AB=10，
∴OC⊥PF，OC=OB= AB=5，
∴OF= = =10，
∴BF=OF﹣OB=5，
点评：本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的
问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．
25．（12分）（2014•聊城）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别是A（4，
3），O（0，0），B（6，0）．点M是OB边上异于O，B的一动点，过点M作MN∥AB，点P是AB
边上的任意点，连接AM，PM，PN，BN．设点M（x，0），△PMN的面积为S．（1）求出OA所在直线的解析式，并求出点M的坐标为（1，0）时，点N的坐标；
（2）求出S关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）若S：S =2：3时，求出此时N点的坐标．
△ANB
考点：一次函数综合题．
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分析：（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）作AG⊥OB于G，NH⊥OB于H，利用勾股定理先求得AG的长，然后根据三角形相似求得
NH：AG=OM：OB，得出NH的长，因为△MBN的面积=△PMN的面积=S，即可求得S与x的
关系式．
（3）因为△AMB的面积=△ANB的面积=S
△ANB
，△NMB的面积=△NMP的面积=S，所以NH；
AG=2：3，因为ON：OA=NH：AG，OM：OB=ON：OA，所以OM：OB=ON：OA=2：3，进而求得
M点的坐标，求得MN的解析式，然后求得直线MN与直线OA的交点即可．
解答：解：（1）设直线OA的解析式为y=k x，∵A（4，3），
1
∴3=4k ，解得k = ，
1 1
∴OA所在的直线的解析式为：y= x，
同理可求得直线AB的解析式为；y=﹣ x+9，
∵MN∥AB，
∴设直线MN的解析式为y=﹣ x+b，把M（1，0）代入得：b= ，
∴直线MN的解析式为y=﹣ x+ ，
解 ，得 ，
∴N（ ， ）．
（2）如图2，作NH⊥OB于H，AG⊥OB于G，则AG=3．∵MN∥AB，
∴△MBN的面积=△PMN的面积=S，
∴△OMN∽△OBA，
∴NH：AG=OM：OB，
∴NH：3=x：6，即NH= x，
∴S= MB•NH= ×（6﹣x）× x=﹣ （x﹣3）2+ （0＜x＜6），
∴当x=3时，S有最大值，最大值为 ．
（3）如图2，∵MN∥AB，
∴△AMB的面积=△ANB的面积=S
△ANB
，△NMB的面积=△NMP的面积=S
∵S：S =2：3，
△ANB
∴ MB•NH： MB•AG=2：3，即NH；AG=2：3，
∵AG⊥OB于G，NH⊥OB，
∴NH∥AG，
∴ON：OA=NH：AG=2：3，
∵MN∥AB，
∴OM：OB=ON：OA=2：3，
∵OA=6，
∴ = ，
∴OM=4，
∴M（4，0）
∵直线AB的解析式为；y=﹣ x+9，
∴设直线MN的解析式y=﹣ x+b
∴代入得：0=﹣ ×4+b，
解得b=6，
∴直线MN的解析式为y=﹣ x+6，
解 得 ，
∴N（ ，2）．
点评： 本题考查了待定系数法求解析式，直线平行的性质，三角形相似判定及性质，同底等高的
三角形面积相等等，相等面积的三角形的转化是本题的关键．
