文档内容
2024 年中考第一次模拟考试（辽宁卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．学习完“有理数”一章后，小明、小强、小丽、小睿在交流研讨时，小明说“−6的相反数是6”；小强
1
说“ 与3互为倒数”；小丽说“0既不是正数也不是负数”；小睿说“如果两个数的绝对值相等，那么这
3
两个数也相等”，聪明的你判断一下这四位同学谁的观点（ ）是错误的．
A．小明 B．小强 C．小睿 D．小丽
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数，相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义以及0的意义，熟练掌握这
些基础知识点是解题关键．
【详解】解：A．−6的相反数是6，小明的说法正确，故本选项不符合题意；
1
B． 与3互为倒数，小强的说法正确，故本选项不符合题意；
3
C．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或者互为相反数，小睿说法错误，故本选项符合题意；
D．0既不是正数也不是负数，小丽的说法正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种卯构件的示意图，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键在于理解俯视图的概念：由物体的上方向下做正投影
所得视图，根据概念即可作答．
【详解】A、卯的主视图，不符合题意；
B、卯的左视图，不符合题意；
C、卯的俯视图，符合题意；
D、图中间的虚线和实线画反了，不符合题意；
故选：C．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的
部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图
形与自身重合；由此问题可求解．
【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故符合题意．
故选：B
4．下列计算正确的是（ ）
A．3x2−x2=3 B．−3a2−2a2=−a2
C．3(a−1)=3a−1 D．−2(x+1)=−2x−2
【答案】D
【分析】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，
然后合并同类项．根据合并同类项法则及去括号法则逐一判断即可．
【详解】解：A、3x2−x2=2x2，此选项错误，不符合题意；B、−3a2−2a2=−5a2，此选项错误，不符合题意；
C、3(a−1)=3a−3，此选项错误，不符合题意；
D、−2(x+1)=−2x−2，此选项正确，符合题意；
故选：D．
5．用配方法解一元二次方程x2−2x−5=0时，将它化为(x+a) 2=b的形式，则2a+b的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法是解答本题的关键．
根据配方法，将一元二次方程x2−2x−5=0常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方，
配成完全平方公式，得到答案．
【详解】解：根据题意得：
一元二次方程x2−2x−5=0，
∴ x2−2x=5，
∴ x2−2x+1=5+1，
∴ (x−1) 2=6，
∴ a=−1，b=6，
∴ 2a+b=2×(−1)+6=4，
故选：A．
k 3
6．已知关于x的分式方程 − =1有增根，则k的值为（ ）
x−2 2−x
A．2 B．−2 C．−3 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母，再求出方程的解，然后根据增根求出k的值．
【详解】去分母，得k+3=x−2，
移项，合并同类项得x=k+5．
∵原方程有增根，
∴k+5=2，
解得k=−3．
故选：C．
7．已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=−kx+k的图象大致是图的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而
减小判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
【详解】解：∵正比例函数y=kx(k≠0)函数值随x的增大而减小，
∴k<0，
∴−k>0，
∴一次函数y=−kx+k的图象经过一、三、四象限，
故选：B．
8．我国古代有一问题：某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和10枚银币，但他干满7个月就决定不
再继续干了，结账时，给了他一件衣服和2枚银币，这件衣服值多少枚银币?设这件衣服值x枚银币，下面
方程中错误的是( )
x+10 x+2
A． = B．7(x+10)=12(x+2)
12 7
7 7
C． (x+10)=x+2 D． (x+2)=x+10
12 12
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设这件衣服值x枚银币，根据“干满了7个月就决定不再
继续干了，结账时，给了他一件衣服和2枚银币”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设这件衣服值x枚银币，根据题意得：
x+10 x+2
= ．
12 7
7
即7(x+10)=12(x+2)， (x+10)=x+2，故D错误
12
故选：D
9．如图，等边三角形ABC与互相平行的直线a，b相交，若∠1=15°，则∠2的大小为（ ）A．25° B．55° C．45° D．35°
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质及平行线的判定和性质，作直线b的平行线，根据平行线的性质及
等边三角形的性质即可得答案，准确构造辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点C作CD∥b，
∵直线a∥b，
∴a∥b∥CD，
∴∠ACD=∠1=15°，
∵等边三角形ABC，
∴∠ACB=60°，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=60°−15°=45°，
∵a∥b∥CD，
∴∠BCD=∠2=45°，
故选：C．
10．如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，按如下步骤作图：
1
①分别以点A，C为圆心，以大于 AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；②作直线MN，分
2
别交AB，AC于点D，O；③过C作 CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD．则四边形ADCE的周长
为（ ）A．6 B．8 C．10 D．20
【答案】C
【分析】由根据题意得MN是AC的垂直平分线，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CE∥AB，可证得
CD∥AE，继而证得四边形ADCE是菱形，根据勾股定理逆定理可得∠ACB=90°，所以DE∥BC，可
得OD是△ABC的中位线，再根据三角形中位线定理求出AD，进而求出菱形ADCE的周长．
【详解】解：根据作图过程可知：MN是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=CE，
∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠CAD=∠ACE，
∴∠ACD=∠CAE，
∴CD∥AE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
1 1
∴OA=OC= AC= ×4=2，OD=OE，AC⊥DE，
2 2
又∵32+42=52，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∴DE∥BC，
∴点D是的AB中点，
∴OD是△ABC的中位线，
1 1 5
∴AD= AB= ×5= ，
2 2 2
5
∴4AD=4× =10，
2
∴菱形ADCE的周长为10．
故选：C．
【点睛】本题考查作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基
本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质，等边等对角，平行线的
判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理．第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算：√ (2−√5) 2= ．
【答案】√5−2/−2+√5
【分析】本题考查的是二次根式的化简，掌握√a2=|a|是解本题的关键，本题判断2−√5<0，再化简即可．
【详解】解：√ (2−√5) 2=|2−√5|=√5−2，
故答案为：√5−2
12．如图，在平面直角坐标系中，点A(4,3)，点B在x轴的正半轴上，且OA=AB，将△OAB沿x轴向右
平移得到△ECD，AB与CE交于点F．若CF：EF=3：1，则点D的坐标为 ．
【答案】(14,0)
【详解】作AG⊥x轴于点G，由A(4,3)得G(4,0)，由OA=AB，根据等腰三角形的性质得BG=OG=4，
DB CF 3
所以B(8,0)，由平移得AB ∥ CD，ED=OB=8，所以 = = ，则BD=6，即可求得点D的坐标
EB EF 1
为(14,0)．
【解答】解：如图，作AG⊥x轴于点G，
∵A(4,3)，
∴G(4,0)，
∵OA=AB，
∴BG=OG=4，
∴B(8,0)，
由平移得AB ∥ CD，ED=OB=8，
DB CF 3
∴ = = ，
EB EF 1
3 3
∴ BD= ED= ×8=6，
4 4∴OD=OB+BD=14，
∴D(14,0)，
故答案为：(14,0)．
【点睛】本题考查了平移的性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质、图形与坐标等知识，正
确理解和运用平移的性质是解题的关键．
13．如图，随机闭合开关S ，S ，S 中的两个，能够让灯泡发亮的概率是 ．
1 2 3
2
【答案】
3
【分析】本题考查了列举法求概率，本题随机闭合开关S ，S ，S 中的两个，有3种方法，其中有两种能
1 2 3
2
够让灯泡发光，故其概率为 ．
3
【详解】解：随机闭合开关S ，S ，S 中的两个，可以闭合S 、S ；S 、 S ；S 、S 三种情况，其中闭
1 2 3 1 2 1 3 2 3
合S 、 S 或S ，S 时，灯泡可以发光，
1 3 2 3
2
∴P = ．
(灯泡发光) 3
2
故答案为： ．
3
6
14．如图，已知△AOB是一块含有30°角的直角三角板（∠OAB=30°），点A是函数y= (x>0)的图象
x
k
上点，点B是函数y= (x>0)的图象上一点，则k的值为 ．
x【答案】−2
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数k值的几何意义，过点A作y轴的垂线，
垂足为点C，过点B作y轴的垂线，垂足为点D，根据反比例函数k值的几何意义得出S =3，通过证
△OAC
明△OAC∽△BOD，得出
S
△OAC =
(OA) 2
=3，进而得出S =1，则|k|=1，最后根据函数y=
k
(x>0)
S OB △OBD x
△OBD
的图象位于第四象限，即可求解．
【详解】解：过点A作y轴的垂线，垂足为点C，过点B作y轴的垂线，垂足为点D，
6
∵点A是函数y= (x>0)的图象上点，
x
1
∴S = ×6=3，
△OAC 2
∵∠AOB=90°，∠OAB=30°，
∴AB=2OB，
根据勾股定理可得：OA=√AB2−OB2=√(2OB) 2−OB2=√3OB，
∵AC⊥y轴，BD⊥y轴，
∴∠ACO=90°,∠ODB=90°,∠AOC+∠OAC=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△OAC∽△BOD，∴
S
△OAC =
(OA) 2
=3，
S OB
△OBD
∴S =1，则|k|=2，
△OBD
k
∵函数y= (x>0)的图象位于第四象限，
x
∴k=−2，
故答案为：−2．
15．如图，已知AB=6√3，点C在线段AB上，△ACD是底边长为6的等腰三角形且∠ADC=120°，以
CD为边在CD的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为
．
【答案】9−2√3
【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，解直角三角形等知
识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹．连接EC，过点M作MJ⊥CD于J，交AB于T．证明MJ垂
直平分线段CD，推出点M的运动轨迹是直线MJ，当BM⊥MJ时，BM的值最小，求出BM即可．
【详解】解：如图，连接EC，过点M作MJ⊥CD于J，交AB于T，过点D作DH⊥AB，垂足为点H，∵四边形EFCD是矩形，点M是DF的中点，
∴点M在对角线DF，EC的交点，
∴MD=MC，
∵MJ⊥CD，
∴DJ=JC，
∴点M的运动轨迹是直线MJ，当BM⊥MJ时，BM的值最小，
∵DA=DC，∠ADC=120°，AC=6，
1
∴∠A=∠DCA=30°，AH=CH= AC=3，
2
2√3
∴CD=3× =2√3，
3
∴CJ=DJ=√3，
CJ
∴CT= =2
√3 ，
2
∵AB=6√3，AC=6，
∴BT=BC+CT=(6√3−6)+2=6√3−4，
∵∠CJT=90°，∠JCT=30°，
∴∠BTM=60°，
√3 √3
∴BM= BT=(6√3−4)× =9−2√3，
2 2
∴BM的最小值为9−2√3．
故答案为：9−2√3．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（1）计算：(−2) 2+
(√2−√3) 0
−√4−
(1) −1
2 2
x+1 4
（2）解方程： − =1．
x−1 x2−1【答案】（1）1；（2）无解．
【分析】（1）根据平方，零次幂，算术平方根，负整数指数幂分别计算；
（2）方程两边乘以各分母的最小公分母，化为整式方程后求解，最后进行检验．
【详解】（1）(−2) 2+
(√2−√3) 0
−√4−
(1) −1
2 2
=4+1−2−2
=1；
x+1 4
（2） − =1
x−1 x2−1
方程两边同乘(x+1)(x−1)，得：(x+1) 2−4=(x+1)(x−1)，
化简，得：2x=2，
解得：x=1，
检验：x=1时，(x+1)(x−1)=0，
∴x=1不是原分式方程的解，原分式方程无解．
【点睛】本题考查平方，零次幂，算术平方根，负整数指数幂，解分式方程，熟练掌握平方，零次幂，算
术平方根，负整数指数幂，解分式方程是解题的关键．
17．超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和
10件B种商品共用去160元．
(1)求A、B两种商品每件进价分别是多少元？
(2)若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折
售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商
品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？
【答案】(1)A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元；
(2)至少购进A种商品100件．
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用：
（1）根据“购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用
去160元”列出方程组解答即可；
（2）设购进A种商品a件，则B种商品(200−a)件，“利润不少于640元”列出不等式解答即可．
【详解】（1）解：设A甲种商品每件进价x元，B乙种商品每件进价y元，根据题意，得¿，解得：¿，
答：A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元．
（2）解：设A种商品购进a件，则乙种商品(200−a)件，
根据题意，得10(a−30)+0.8×10[200−(a−30)]−5a−6(200−a)≥640，
解得：a≥100，
答：至少购进A种商品100件．
18．近年来，太原市各中小学对劳动教育日益重视，许多学校因地制宜，创造条件，精心设计花样劳动作
业，让学生们多参与劳动，形成家校共育，为培养学生的自主意识，提高学生的劳动本领，某校组织全校
学生开展了劳动技能大赛，通过以赛促学、以赛促育的方式，感受劳动之趣，体验劳动之美，赛后从中随
机抽取了部分学生进行了问卷调查，所有问卷全部收回，并将结果绘制成如图所示的统计图和统计表：
组
成绩x（分） 频率
别
A 90≤x≤100 0.4
B 80≤x<90 0.2
C 70≤x<80 0.24
D 60≤x<70 0.16
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明说频数分布直方图中有一组的数据画错了，你知道是哪一组吗？该组正确的数据应该是多少？
(2)参与本次问卷调查的总人数为______ 名；
(3)若该校共有2800名学生，请估计本次劳动技能大赛中成绩在80分及以上的学生人数；(4)针对此次劳动技能大赛，请结合上述调查数据，写出一条你获取的信息．
【答案】(1)C组画错了，该组正确的数据应该是36人
(2)150
(3)1680名
(4)本次劳动技能大赛中成绩不低于90分的学生占40%（答案不唯一）
【分析】（1）分别用频数分布直方图中各组数据除以频数分布表中频率，不相等的哪组就是出错的组，
再求出正确数据即可；
（2）用正确的一组频数除以其频率即为参与本次问卷调查的总人数；
（3）用本次劳动技能大赛中成绩在80分及以上的频率乘以2800即可作出估计；
（4）写出一条信息即可．
【详解】（1）解：根据各组所占频率，可求出总人数，
A组：60÷0.4=150，
B组：30÷0.2=150，
C组：48÷0.24=200，
D组：24÷0.16=150，
∴出错的是C组，该组正确的数据应该是150×0.24=36 (人)，
答：C组画错了，该组正确的数据应该是36人；
（2）解：由（1）知：参与本次问卷调查的总人数为150名，
（3）解：2800×(0.2+0.4)=1680 (名)，
答：估计本次劳动技能大赛中成绩在80分及以上的学生人数为1680名；
（4）解：答案不唯一，比如：本次劳动技能大赛中成绩不低于90分的学生占40%．
【点睛】本题考查频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题
的关键．
19．随着电子信息产业的迅猛发展，智能手机已经走入普通百姓家，也影响着人们的生活．随着其功能的
不断增加，人们使用手机时间、次数急速增加，致使手机电量的使用时间不断下降，手机充电问题便进入
了大家的视线，据相关实验，手机电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）存在一种函数关系．某位助农达人在直播期间，两部相同的手机电池电量都剩余30%，为了不耽误助农直播卖农产品，他用第
一部手机一边充电一边直播（建议充电时，不玩手机、避免手机高温）；第二部手机在15分钟后电量剩余
20%时开始充电，已知两部手机的电量E与充电时间t的函数图象如下：
(1)求出线段BC对应的函数表达式；
【答案】(1)E=40t+10
10
(2)当t> h时，第二部手机电量超过第一部手机电量
13
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出线段DF对应的函数表达式为E =14t+30，根据E>E ，得出40t+10>14t+30，求出t的
1 1
范围即可．
【详解】（1）解：设线段BC对应的函数表达式为E=kt+b(k≠0)，
(1 ) ( 1 )
由图象知，经过 ,20 , 2 ,100 ，
4 4
¿，
解得：¿，
(1 1)
∴线段BC对应的函数表达式为E=40t+10 ≤t≤2 ．
4 4
（2）解：设线段DF对应的函数表达式为E =k t+b ，由图像知，经过(0,30),(5,100)．
1 1 1
¿，
解得：¿，
∴线段DF对应的函数表达式为E =14t+30，
1
方法一：当E=E 时，40t+10=14t+30，
1
10
解得t= ，
1310
由图象可知，当t> h时，第二部手机电量超过第一部手机电量．
13
方法二：当E>E 时，40t+10>14t+30，
1
10
解得t> h．
13
10
∴当t> h时，第二部手机电量超过第一部手机电量．
13
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，利用不等式或图象比
较大小的具体知识；考查学生从图象中读取信息的能力，分析图象的能力、将实际问题转化为数学问题的
能力．
20．小东同学学习了《锐角三角函数》一章后，决定运用所学知识测算教室对面远处正在施工的塔吊（一
种将重物吊到高处的建筑工具）的高度．小东现在所处的位置是四楼教室的点A处(AD=14m)，小东利用
测角仪测得对面远处塔吊正在施工的六层（每层高3.5m）建筑物的顶部点B的仰角为4°23'55″，测得被
这幢六层建筑物遮住了一部分的塔吊的顶端点C的仰角为15°．按照安全规定：此时塔吊的底部点M距建
筑物的底部点N是4m．利用这些数据，小东经过详细的计算，得出塔吊的高度约为32m，但这个高度明显
违反了此种塔吊使用的安全规定（塔吊的最高高度与建筑物的最高高度差必须保持在15∼20m），亲爱的
同学，你也来利用小东测得的数据，仔细算一算塔吊的高度，并判断该塔吊是否违规操作．（结果保留一
√170 1 √6−√2
位小数．参考数据：sin4°23'55″= ，tan4°23'55″= ，sin15°= ，tan15°=2−√3，
170 13 4
√3≈1.732）
【答案】塔吊的高度为：39.5m，塔吊没有违规操作.
【分析】如图，过A作AE⊥BN于E，交CM于F，则AF⊥CM，AD=EN=FM=14，EF=MN=4，
AE=DN，∠BAE=4°23'55″，∠CAF=15°，BN=6×3.5=21，可得BE=BN−EN=21−14=7，
再分别求解AE，AF，CF，从而可得答案.
【详解】解：如图，过A作AE⊥BN于E，交CM于F，则AF⊥CM，
∵AD⊥DN，BN⊥DN，FM⊥DM，∴四边形ADNE是矩形，四边形EFMN是矩形，
∴AD=EN=FM=14，EF=MN=4，AE=DN，∠BAE=4°23'55″，∠CAF=15°，
BN=6×3.5=21，
∴BE=BN−EN=21−14=7，
BE 7
∴AE= = =91，
tan∠BAE tan4°23'55″
∴DM=DN+MN=AE+MN=95，
∴AF=95，
∴CF=AF⋅tan∠CAF=95×(2−√3)≈25.5，
∴CM=CF+FM=39.5，
∴塔吊的高度为：39.5m，
而39.5−21=18.5(m)，
∴塔吊没有违规操作.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线，理解仰角的含义是解本题的关键．
21．如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，若AB=AD、CB=CD，延长AD至点F，连接FC并延长至
点E，恰好使得∠BCE+∠F=90°．
(1)证明：EF为⊙O的切线
(2)连接BD，若⊙O的半径为4，CF=6，求BD的长
【答案】(1)见解析192
(2)BD=
25
【分析】（1）连接AC，根据弧，弦之间的关系，推出AC为⊙O直径，∠ACB=∠ACD，进而得到
∠ADC=∠CDF=90°，根据同角的余角相等，得到∠BCE=∠DCF，再根据平角的定义，推出
∠ACD+∠DCF=90°，即AC⊥EF，即可得证；
（2）设BD交AC于点H，垂径定理得到AH⊥BD,DB=2DH，勾股定理求出AF的长，等积法求出CD，
再用勾股定理和等积法求出DH的长，即可得解．
【详解】（1）证明：连接AC，
∵AB=AD，CB=CD，
∴A´B=A´D，C´B=C´D，
∴A´B+C´B=C´D+A´D， ∠ACB=∠ACD，
∴A´B+C´B为半圆，
∴AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDF=90°，
∴∠DCF+∠F=90°，
∵∠BCE+∠F=90°
∴∠BCE=∠DCF，
∵∠BCE+∠DCF+∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ACD+∠DCF=90°，即：OC⊥EF；
∵OC为⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线；
（2）设BD交AC于点H，则：BH=DH，AH⊥BD，
∵⊙O的半径为4，
∴AC=8，
∵∠ACF=90°,CF=6，
∴AF=√AC2+CF2=10，
1 1
∵S = AC⋅CF= AF⋅CD，
△ACF 2 2
∴6×8=10CD，
∴CD=4.8，
∵∠ADC=90°，
∴AD=√AC2−CD2=6.4，
1 1
∵S = AC⋅DH= AD⋅CD，
△ACD 2 2
∴8DH=4.8×6.4，
96
∴DH= ，
25
192
∴BD=2DH= ．
25
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理．解题的关键是掌握弧，弦，角之间的关系，得到
AC是⊙O的直径．
22．根据以下素材，探索完成任务．
如何给桥护栏挂小彩灯图1是桥的护栏实物图，护栏长200
米，高1.6米，图2是桥护栏示意图，
素
为了使彩灯挂起来整齐美观，设计小组
材
首先制作了外缘呈抛物线型模板，然后
1
用该模板在图纸上绘制抛物线图案，彩
灯沿抛物线摆放
方案一：护栏中间正好可以摆5具模
板，绘制5条抛物线图案连成一条波浪
线，每条抛物线的顶点落在护栏的上下
边
方案二：将模板一部分放入护栏，绘制
若干条抛物线图案，靠上下两边连成两
素 条波浪线，每条抛物线的高度都相等，
材 相对两条抛物线的顶点之间的距离h为
2 0.7米．
方案三：将方案一和方案二中的抛物线
图案各若干条，沿护栏下边摆放，大的
图案摆在中间，小的图案摆两边，连成
一条波浪线，且整个小彩灯图案呈轴对
称图形，每条抛物线图案保持完整，两
边能摆尽摆，可以有空余
任
问题解决
务
一 确定抛物线形状 求出模板抛物线的函数解析式
确定方案二中一条抛物线图案的宽度和 求出其中一条抛物线图案的宽度CD．每边这样的图案最多
二
摆放方案 可以摆放几个？
三 设计方案三摆放方案 确定大小抛物线图案各需多少个，并给出摆放方案
1
【答案】任务一：y= x2 ；任务二：CD=30，这样的抛物线图案每边最多可以摆放6个；任务三：方
500
案1：较大的抛物线段1条，较小抛物线4条；方案2：较大的抛物线段2条，较小抛物线4条；方案3：
较大的抛物线段3条，较小抛物线2条
【分析】任务一：用待定系数法求解即可；
任务二：先求出点D的纵坐标，代入解析式求出点C和点D的横坐标，求出开口宽度，然后可求出每边这
样的图案最多可以摆放几个；
任务三：设较大的抛物线段m条，较小抛物线n条，可得40m+30n≤200（m，n为正整数，且m≤5），然后讨论即可．
【详解】任务一：由题意得：AB=200÷5=40m，点B坐标为(20,0.8)，
设抛物线解析式为y=ax2，将点B(20,0.8)代入解析式得：0.8=400a
1
解得a= ，
500
1
∴抛物线解析式为y= x2
500
任务二：ℎ =0.7时，点D的纵坐标为：(1.6−0.7)÷2=0.45，
1 1
当y=0.45时，代入y= x2 ，得0.45= x2
500 500
解得x =−15，x =15，
1 2
∴CD=30，
2
200÷30=6
3
∴这样的抛物线图案每边最多可以摆放6个．
任务三：设较大的抛物线段m条，较小抛物线n条，
由以上条件可知：AB=40，CD=30．
40m+30n≤200（m，n为正整数，且m≤5），
①m=1，n=5，（不能对称摆放，舍去）
②m=1，n=4（中间摆1个较大的，左右各摆2个较小的，两边各余20米，符合题意）
③m=2，n=4（中间摆2个较大的，左右各摆2个较小的，两边没有空余，符合题意）
④m=3，n=2（中间摆3个较大的，左右各摆1个较小的，两边各余10米，符合题意）
⑤m=4，n=1（不能对称摆放，舍去）综上可知，方案1：较大的抛物线段1条，较小抛物线4条；方案2：较大的抛物线段2条，较小抛物线4
条；方案3：较大的抛物线段3条，较小抛物线2条；
【点睛】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键．
23．【问题探究】
（1）如图1，已知△ABC，点D是BC的中点，连接AD，则S S （填“>”“<”或“=”）
△ABD △ACD
（2）如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，请过点A作一条直线AP平分梯形ABCD的面积，点P是AP
与BC的交点，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3是某公园的一块空地，由△ABE和四边形BCDE组成，∠BAE=∠C=90°，BE∥CD，
4
AB=AE=32米，BC=BE，tanD= ，公园管理人员现准备过点A修一条笔直的小路AM（小路面积忽
5
略不计），将这块空地分成面积相等的两部分（点M在CD边上），分别种植两种不同的花卉，请在图中
确定点M的位置，并计算小路AM的长．（结果保留根号）
8√698
【答案】（1）=；（2）图、理由见解析；（3）图见解析，AM长度为 米
3
【分析】（1）根据中点的定义得出BD=CD，则△ABD和△ACD等底同高，推出S =S ；
△ABD △ACD
（2）在BC上取点K，使BK=AD，作CK的中点P，则直线AP即为所求；设直线AD，BC之间的距离为
1 1
h，则S = BP⋅ℎ，S = (AD+CP)⋅ℎ，推出BP=BK+PK=AD+CP，即可求证
△ABP 2 梯形APCD 2
S =S ；
△ABP 梯形APCD
（3）过E作ET⊥CD于T，过A作AP⊥CD于P，交BE于Q，易得四边形BCPQ，四边形BCTE都是
矩形，△ABE是等腰直角三角形．求出BE=32√2（米），AQ=BQ=QE=16√2（米）；BC=32√2米
=PQ=ET，CT=BE=32√2米；AP=AQ+PQ=48√2米，则S +S =2560（平方米），由等
△ABE 矩形BCTE
ET
腰直角三角形和矩形的对称性可知：S =1280（平方米）；在Rt△DET中，tanD= ，即
四边形ABCP DT4 32√2
= ，求出DT=40√2米，进而得出S =1280（平方米），则S +S =3840（平方
5 DT △DET △ABE 梯形BCDE
米）；即可求出S =1920（平方米），S =640（平方米），根据三角形面积公式求出
四边形ABCM △APM
40√2
PM= ，即可求解．
2
【详解】解：（1）∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD等底同高，
∴S =S ；
△ABD △ACD
故答案为：=；
（2）如图：
在BC上取点K，使BK=AD，作CK的中点P，则直线AP即为所求；
理由如下：
设直线AD，BC之间的距离为h，
1 1
∴S = BP⋅ℎ，S = (AD+CP)⋅ℎ，
△ABP 2 梯形APCD 2
∵BK=AD，P为CK中点，
∴BP=BK+PK=AD+CP，
∴S =S ；
△ABP 梯形APCD
（3）过E作ET⊥CD于T，过A作AP⊥CD于P，交BE于Q，如图：理由如下：
∵BE∥CD，∠C=90°，ET⊥CD，AP⊥CD，
∴四边形BCPQ，四边形BCTE都是矩形，
∵AB=AE=32米，∠BAE=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形．
1
∴BE=√AB2+AE2=32√2（米），AQ=BQ=QE= BE=16√2（米）；
2
∵BC=BE，
∴BC=32√2米=PQ=ET，CT=BE=32√2米；
∴AP=AQ+PQ=48√2米，
1
∴S +S = ×32√2×16√2+32√2×32√2=2560（平方米），
△ABE 矩形BCTE 2
1
由等腰直角三角形和矩形的对称性可知：S = ×2560=1280（平方米）；
四边形ABCP 2
ET 4 32√2
在Rt△DET中，tanD= ，即 = ，
DT 5 DT
∴DT=40√2米，
1
∴S = ×40√2×32√2=1280（平方米），
△DET 2
∴S +S =2560+1280=3840（平方米）；
△ABE 梯形BCDE
∵AM将这块空地分成面积相等的两部分，
1
∴S = ×3840=1920（平方米），
四边形ABCM 2
∴S =1920−1280=640（平方米），
△APM
1
∴ ×48√2⋅PM=640，
2
40√2
解得PM= ，
2
∴CM=CP+PM=16√2+
40√2
=
88√2
，AM=√AP2+PM2=
√
(48√2) 2+
(40√2) 2
=
8√698
．
3 3 3 3
88√2 8√698
∴M到C的距离为 米，AM长度为 米．
3 3
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题关键
是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
