文档内容
2015年山东省菏泽市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，在2014年的“双11”网上促销活
动中天猫和淘宝的支付交易额突破57000 000 000元，将数字57000 000 000用科学记
数法表示为（ ）
A．5.7×109 B．5.7×1010 C．0.57×1011 D．57×109
2．（3分）将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140° B．160° C．170° D．150°
3．（3分）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．a（x﹣2）2 B．a（x+2）2
C．a（x﹣4）2 D．a（x+2）（x﹣2）
4．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数 与方差s2：
甲 乙 丙 丁
平均数 （cm） 561 560 561 560
方差s2（cm2） 3.5 3.5 15.5 16.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体 移走后，所得几何体（
） ①
A．主视图改变，左视图改变
B．俯视图不变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变
D．主视图改变，左视图不变
第1页（共19页）6．（3分）如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反
数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
7．（3分）小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好
停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩
下的路程s关于时间t的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将
△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（
）
A．（﹣1， ） B．（﹣2， ） C．（﹣ ，1） D．（﹣ ，2）
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）直线y＝﹣3x+5不经过的象限为 ．
10．（3分）已知一组数据6，2，4，2，3，5，2，4，这组数据的中位数为 ．
11．（3分）已知A（﹣1，m）与B（2，m﹣3）是反比例函数 图象上的两个点．则m的值
．
12．（3分）若x2+x+m＝（x﹣3）（x+n）对x恒成立，则n＝ ．
13．（3分）不等式组 的解集是 ．
14．（3分）二次函数y＝ x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C
第2页（共19页）在二次函数y＝ x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°，则菱形OBAC的
面积为 ．
三、解答题（共7小题，满分78分）
15．（12分）（1）计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（ ﹣3.14）0+（ ）﹣1；
π
（2）解分式方程： + ＝1．
16．（12分）（1）如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，
政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，
选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝
54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．
（2）列方程（组）或不等式（组）解应用题：
2015年的5月20日是第15个中国学生营养日，我市某校社会实践小组在这天开展活动，
调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如表）．
信息
1、快餐成分：蛋白质、脂肪、碳水化合物和其他
2、快餐总质量为400克
3、碳水化合物质量是蛋白质质量的4倍
若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，求
这份快餐最多含有多少克的蛋白质？
第3页（共19页）17．（14分）（1）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，求m（m+1）2﹣m2（m+3）+4的值；
（2）一次函数y＝2x+2与反比例函数y＝ （k≠0）的图象都经过点A（1，m），y＝2x+2的图
象与x轴交于点B．
求点B的坐标及反比例函数的表达式；
①点C（0，﹣2），若四边形ABCD是平行四边形，请在直角坐标系内画出 ▱ABCD，直接写
②出点D的坐标，并判断D点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．
18．（10分）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的 O分别交AC、BC于点D、E，BC的
延长线于 O的切线AF交于点F． ⊙
（1）求证⊙：∠ABC＝2∠CAF；
（2）若AC＝2 ，CE：EB＝1：4，求CE的长．
第4页（共19页）19．（10分）根据某网站调查，2014年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反
腐及其他共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：
根据所给信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；
（2）若菏泽市约有880万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？
（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随
机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
20．（10分）如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并
证明；
（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是
一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
第5页（共19页）21．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+ ＝0有两个不相等的实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有一根为零时，直线y＝x+2与关于x的二次函数y＝x2+2x+ 的图象交于
A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点
N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；
（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保
持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y
＝ x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．
第6页（共19页）2015 年山东省菏泽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将57000000000用科学记数法表示为：5.7×1010．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD＝20°，
∴∠COA＝90°﹣20°＝70°，
∴∠BOC＝90°+70°＝160°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，得出∠COA的度数是解题关键．
3．【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：ax2﹣4ax+4a，
＝a（x2﹣4x+4），
＝a（x﹣2）2．
故选：A．
【点评】本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．
4．【分析】根据方差和平均数的意义找出平均数大且方差小的运动员即可．
【解答】解：∵甲的方差是3.5，乙的方差是3.5，丙的方差是15.5，丁的方差是16.5，
∴S甲 2＝S乙 2＜S丙 2＜S丁 2，
第7页（共19页）∴发挥稳定的运动员应从甲和乙中选拔，
∵甲的平均数是561，乙的平均数是560，
∴成绩好的应是甲，
∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲；
故选：A．
【点评】本题考查了方差和平均数．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表
明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据
分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．【分析】分别得到将正方体 移走前后的三视图，依此即可作出判断．
【解答】解：将正方体 移走①前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体 移走后的主视
图正方形的个数为1，①2；发生改变． ①
将正方体 移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体 移走后的左视图正方形的
个数为2，①1，1；没有发生改变． ①
将正方体 移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体 移走后的俯视图正方形的
个数，1，①3；发生改变． ①
故选：D．
【点评】考查三视图中的知识，得到从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的
列数及每列正方形的个数是解决本题的关键．
6．【分析】先根据相反数确定原点的位置，再根据点的位置确定绝对值最小的数即可．
【解答】解：∵点M，N表示的有理数互为相反数，
∴原点的位置大约在O点，
∴绝对值最小的数的点是P点，
故选：C．
【点评】本题考查了数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较的应用，解此题的关键是找
出原点的位置，注意数形结合思想的运用．
7．【分析】由于开始以正常速度匀速行驶，接着停下修车，后来加快速度匀驶，所以开始行驶
路S是均匀减小的，接着不变，后来速度加快，所以S变化也加快变小，由此即可作出选择．
【解答】解：因为开始以正常速度匀速行驶﹣﹣﹣停下修车﹣﹣﹣加快速度匀驶，可得S先
缓慢减小，再不变，在加速减小．
故选：D．
第8页（共19页）【点评】此题主要考查了学生从图象中读取信息的能力．解决此类识图题，同学们要注意
分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
8．【分析】作CH⊥x轴于H，如图，先根据一次函数图象上点的坐标特征确定A（2，2 ），再
利用旋转的性质得BC＝BA＝2 ，∠ABC＝60°，则∠CBH＝30°，然后在Rt△CBH中，利
用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH＝ BC＝ ，BH＝ CH＝3，所以OH
＝BH﹣OB＝3﹣2＝1，于是可写出C点坐标．
【解答】解：作CH⊥x轴于H，如图，
∵点B的坐标为（2，0），AB⊥x轴于点B，
∴A点横坐标为2，
当x＝2时，y＝ x＝2 ，
∴A（2，2 ），
∵△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，
∴BC＝BA＝2 ，∠ABC＝60°，
∴∠CBH＝30°，
在Rt△CBH中，CH＝ BC＝ ，
BH＝ CH＝3，
OH＝BH﹣OB＝3﹣2＝1，
∴C（﹣1， ）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形
的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，
180°．也考查了一次函数图象上点的坐标特征和含30度的直角三角形三边的关系．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
第9页（共19页）9．【分析】k＜0，一次函数经过二、四象限，b＞0，一次函数经过第一象限，即可得到直线不经
过的象限．
【解答】解：直线y＝﹣3x+5经过第一、二、四象限，
∴不经过第三象限，
故答案为：第三象限
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系及一次函数图象的几何变换，难度不大．
用到的知识点：
一次函数图象与系数的关系：
k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
①k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
②k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
③k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
10．④【分析】把这⇔组数据按照从小到大的顺序排列，找出中位数．
【解答】解：排序得：2，2，2，3，4，4，5，6，中位数是 （3+4）＝3.5．
故答案为：3.5．
【点评】本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，
如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个
数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
11．【分析】根据反比例函数中k＝xy的特点进行解答即可．
【解答】解：∵A（﹣1，m）与B（2，m﹣3）是反比例函数 图象上的两个点，
∴（﹣1）×m＝2×（m﹣3），解得m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k＝xy为定值
是解答此题的关键．
12．【分析】利用多项式乘法去括号，得出关于n的关系式进而求出n的值．
【解答】解：∵x2+x+m＝（x﹣3）（x+n），
∴x2+x+m＝x2+（n﹣3）x﹣3n，
故n﹣3＝1，
解得：n＝4．
故答案为：4．
第10页（共19页）【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确去括号得出是解题关键．
13．【分析】分别解每一个不等式，再求解集的公共部分．
【解答】解： ，
解不等式 得：x≥﹣1，
解不等式①得：x＜3，
所以不等②式组的解集是：﹣1≤x＜3，
故答案为：﹣1≤x＜3．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可
以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
14．【分析】连结BC交OA于D，如图，根据菱形的性质得BC⊥OA，∠OBD＝60°，利用含30
度的直角三角形三边的关系得OD＝ BD，设BD＝t，则OD＝ t，B（t， t），利用二次
函数图象上点的坐标特征得 t2＝ t，解得t ＝0（舍去），t ＝1，则BD＝1，OD＝ ，然
1 2
后根据菱形性质得BC＝2BD＝2，OA＝2OD＝2 ，再利用菱形面积公式计算即可．
【解答】解：连结BC交OA于D，如图，
∵四边形OBAC为菱形，
∴BC⊥OA，
∵∠OBA＝120°，
∴∠OBD＝60°，
∴OD＝ BD，
设BD＝t，则OD＝ t，
∴B（t， t），
把B（t， t）代入y＝ x2得 t2＝ t，解得t ＝0（舍去），t ＝1，
1 2
∴BD＝1，OD＝ ，
∴BC＝2BD＝2，OA＝2OD＝2 ，
∴菱形OBAC的面积＝ ×2×2 ＝2 ．
故答案为2 ．
第11页（共19页）【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积＝ ab（a、b是
两条对角线的长度）．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
三、解答题（共7小题，满分78分）
15．【分析】（1）利用负整数整数幂的性质以及特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分
别化简求出即可；
（2）利用解分式方程的解法去分母求出即可．
【解答】解：（1）（﹣1）2015+sin30°﹣（ ﹣3.14）0+（ ）﹣1
π
＝﹣1+ ﹣1+2
＝ ；
（2） + ＝1
去分母得：
2+x（x+2）＝x2﹣4，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x+2）（x﹣2）≠0，
故x＝﹣3是原方程的根．
【点评】此题主要考查了实数运算以及分式方程的解法等知识，正确掌握相关性质是解题
关键．
16．【分析】（1）先根据相似三角形的判定得出△ABC相似与△AMN，再利用相似三角形的性
质解答即可；
第12页（共19页）（2）设这份快餐含有x克的蛋白质，根据所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这
份快餐总质量的70%，列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）在△ABC与△AMN中，
∠A＝∠A， ，
∴△ABC∽△AMN，
∴ ，即 ，
解得：MN＝1.5千米，
答：M、N两点之间的直线距离是1.5千米；
（2）设这份快餐含有x克的蛋白质，
根据题意可得：x+4x≤400×70%，
解不等式，得x≤56．
答：这份快餐最多含有56克的蛋白质．
【点评】此题考查相似三角形和一元一次不等式的应用，关键是根据相似三角形的判定和
性质解答问题，读懂题意，找出题目中的数量关系，列出不等式，本题的数量关系是所含
的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%．
17．【分析】（1）由m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，将x＝m代入方程得到关于m的等式，变
形后即可求出所求式子的值；
（2） 在y＝2x+2中令y＝0，求得B的坐标，然后求得A的坐标，利用待定系数法求得反
比例①函数的解析式；
根据平行线的性质即可直接求得D的坐标，然后代入反比例函数的解析式判断即可．
②【解答】解：（1）∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣m＝1，
∴m（m+1）2﹣m2（m+3）+4＝﹣m2+m+4＝﹣（m2﹣m﹣4）＝3；
（2） 在y＝2x+2中令y＝0，则x＝﹣1，
∴B的①坐标是（﹣1，0），
∵A在直线y＝2x+2上，
∴A的坐标是（1，4）．
∵A（1，4）在反比例函数y＝ 图象上
第13页（共19页）∴k＝4．
∴反比例函数的解析式为：y＝ ；
∵四边形ABCD是平行四边形，
②∴D的坐标是（2，2），（0，6），（﹣2，﹣6），
∴D（2，2）在反比例函数y＝ 的图象上．
【点评】本题考查了一元二次方程的根即方程的解的定义，待定系数法求反比例函数解析
式，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方
法．
18．【分析】（1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB＝90°，又由AF是 O的切线，易证
得∠CAF＝∠ABD．然后由BA＝BC，证得：∠ABC＝2∠CAF； ⊙
（2）首先连接AE，设CE＝x，由勾股定理可得方程：（2 ）2＝x2+（3x）2求得答案．
【解答】（1）证明：如图，连接BD．
∵AB为 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°．
∵AF是 O的切线，
∴∠FAB⊙＝90°，
即∠DAB+∠CAF＝90°．
∴∠CAF＝∠ABD．
∵BA＝BC，∠ADB＝90°，
∴∠ABC＝2∠ABD．
∴∠ABC＝2∠CAF．
（2）解：如图，连接AE，
∴∠AEB＝90°，
设CE＝x，
∵CE：EB＝1：4，
∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x，
在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，
第14页（共19页）即（2 ）2＝x2+（3x）2，
∴x＝2．
∴CE＝2．
【点评】本题主要考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注
意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题关键．
19．【分析】（1）根据关注消费的人数是420人，所占的比例式是30%，即可求得总人数，然后
利用总人数乘以关注教育的比例求得关注教育的人数；
（2）利用总人数乘以对应的百分比即可；
（3）利用列举法即可求解即可．
【解答】解：（1）调查的总人数是：420÷30%＝1400（人），
关注教育的人数是：1400×25%＝350（人）．
；
（2）880×10%＝88万人；
（3）画树形图得：
第15页（共19页）则P（抽取的两人恰好是甲和乙）＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．【分析】（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD＝
DC，即可判断三角形的形状；
（2）作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利
用全等三角形的性质得出FD＝DC，∠FDC＝90°，即可得出∠FCD＝∠APD＝45°．
【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：
∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，
∴∠FAD＝∠DBC，
在△FAD与△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴FD＝DC，
∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，
∴∠FDA＝∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB＝90°，
∴∠BDC+∠FDA＝90°，
∴△CDF是等腰直角三角形；
（2）作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连结DF，CF，如图，
∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，
∴∠FAD＝∠DBC，
在△FAD与△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
第16页（共19页）∴FD＝DC，
∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，
∴∠FDA＝∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB＝90°，
∴∠BDC+∠FDA＝90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴∠FCD＝45°，
∵AF∥CE，且AF＝CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠APD＝∠FCD＝45°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，
等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．
21．【分析】（1）先根据一元二次方程根的情况利用判别式与0的关系可以求出k的值；
（2）利用m先表示出M与N的坐标，再根据两点间的距离公式表示出MN的长度，根据二
次函数的极值即可求出MN的最大长度和M的坐标；
（3）根据图象的特点，分两种情况讨论，分别求出b的值即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
∴ ．
∴k﹣1＜2．
∴k＜3．
∵k为正整数，
∴k为1，2．
第17页（共19页）（2）把x＝0代入方程 得k＝1，
此时二次函数为y＝x2+2x，
此时直线y＝x+2与二次函数y＝x2+2x的交点为A（﹣2，0），B（1，3）
由题意可设M（m，m+2），其中﹣2＜m＜1，
则N（m，m2+2m），
MN＝m+2﹣（m2+2m）＝﹣m2﹣m+2＝﹣ ．
∴当m＝﹣ 时，MN的长度最大值为 ．
此时点M的坐标为 ．
（3）当y＝ x+b过点A时，直线与新图象有3个公共点（如图2所示），
把A（﹣2，0）代入y＝ x+b得b＝1，
当y＝ x+b与新图象的封闭部分有一个公共点时，直线与新图象有3个公共点．
由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称，所以其解析式为y＝﹣x2﹣2x
∴ 有一组解，此时 有两个相等的实数根，
则 所以b＝ ，
第18页（共19页）综上所述b＝1或b＝ ．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了根的判别式的应用，还考查了两函数图象
的交点问题，难点在于（3）求出直线与抛物线有3个交点的情况，根据题意分类讨论，并
且作出图形更利于解决问题．
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