文档内容
2018年山东省菏泽市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的，请把正确选项的序号填在答题卡的相应位置。）
1．（3分）下列各数：﹣2，0， ，0.020020002…， ， ，其中无理数的个数是（ ）
π
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（3分）习近平主席在2018年新年贺词中指出，“安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢
颜!”2017年，340万贫困人口实现易地扶贫搬迁，有了温暖的新家，各类棚户区改造开工
提前完成600万套目标任务．将340万用科学记数法表示为（ ）
A．0.34×107 B．34×105 C．3.4×105 D．3.4×106
3．（3分）如图，直线a∥b，等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a、b上，若∠1＝30°，则
∠2的度数是（ ）
A．45° B．30° C．15° D．10°
4．（3分）如图是两个等直径圆柱构成的“T”形管道，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0且k≠﹣1
6．（3分）如图，在 O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是（ ）
⊙
第1页（共20页）A．64° B．58° C．32° D．26°
7．（3分）规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为（m，n），向量 可以用点P的坐标
表示为： ＝（m，n）．已知： ＝（x ，y ）， ＝（x ，y ），如果x •x +y •y ＝0，那么 与
1 1 2 2 1 2 1 2
互相垂直．下列四组向量，互相垂直的是（ ）
A． ＝（3，2）， ＝（﹣2，3）
B． ＝（ ﹣1，1）， ＝（ +1，1）
C． ＝（3，20180）， ＝（﹣ ，﹣1）
D． ＝（ ，﹣ ）， ＝（（ ）2，4）
8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+a与反比例函数y
＝ 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请把最后结果填写在答题卡的相应区
第2页（共20页）域内。)
9．（3分）不等式组 的最小整数解是 ．
10．（3分）若a+b＝2，ab＝﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
11．（3分）若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是 ．
12．（3分）据资料表明：中国已成为全球机器人第二大专利来源国和目标国．机器人几大关
键技术领域包括：谐波减速器、RV减速器、电焊钳、3D视觉控制、焊缝跟踪、涂装轨迹规
划等，其中涂装轨迹规划的来源国结构（仅计算了中、日、德、美）如图所示，在该扇形统计
图中，美国所对应的扇形圆心角是 度．
13．（3分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，∠OCD
＝90°，∠AOB＝60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是 ．
14．（3分）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为
106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共78分，请把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内。)
15．（6分）计算：﹣12018+（ ）﹣2﹣| ﹣2|﹣2sin60°．
16．（6分）先化简，再求值：（ ﹣y）÷ ﹣（x﹣2y）（x+y），其中x＝﹣1，y＝2．
17．（6分）如图，AB∥CD，AB＝CD，CE＝BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．
第3页（共20页）18．（6分）2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全
程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，
如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点
间的距离为多少米？（结果保留根号）
19．（7分）列方程（组）解应用题：
为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记
本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，
已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多
少？
20．（7分）如图，已知点D在反比例函数y＝ 的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B（0，
3），直线y＝kx+b经过点A（5，0），与y轴交于点C，且BD＝OC，OC：OA＝2：5．
（1）求反比例函数y＝ 和一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）直接写出关于x的不等式 ＞kx+b的解集．
21．（10分）为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某中学利用“阳光大课间”，
组织学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射
第4页（共20页）击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩用如图的折线
统计图表示：（甲为实线，乙为虚线）
（1）依据折线统计图，得到下面的表格：
射击次序（次） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲的成绩（环） 8 9 7 9 8 6 7 a 10 8
乙的成绩（环） 6 7 9 7 9 10 8 7 b 10
其中a＝ ，b＝ ；
（2）甲成绩的众数是 环，乙成绩的中位数是 环；
（3）请运用方差的知识，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？
（4）该校射击队要参加市组织的射击比赛，已预选出2名男同学和2名女同学，现要从这
4名同学中任意选取2名同学参加比赛，请用列表或画树状图法，求出恰好选到1男1女
的概率．
22．（10分）如图，△ABC内接于 O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的
平分线交于点D，BD与AC交⊙于点E，与 O交于点F．
（1）求∠DAF的度数； ⊙
（2）求证：AE2＝EF•ED；
（3）求证：AD是 O的切线．
⊙
23．（10分）问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，
将：矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量得AB＝2cm，AC＝
第5页（共20页）4cm．
操作发现：
（1）将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠ ，使∠ ＝∠BAC，得到
如图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC'的延长α线交于α点E，则四边形
ACEC′的形状是 ．
（2）创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点
在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC'，取CC′的中点F，连接AF并延
长至点G，使FG＝AF，连接CG、C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明
这个结论．
实践探究：
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，
使点B与点A重合，此时A点平移至A'点，A'C与BC′相交于点H，如图4所示，连接
CC′，试求tan∠C′CH的值．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B
（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；
（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积
最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．
第6页（共20页）2018 年山东省菏泽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的，请把正确选项的序号填在答题卡的相应位置。）
1．【分析】依据无理数的三种常见类型进行判断即可．
【解答】解：在﹣2，0， ，0.020020002…，， 中，无理数有0.020020002…， 这2个数，
π π
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循
环小数为无理数．如 ， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．【分析】根据科学记数π法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本题得以解
决．
【解答】解：340万＝3400000＝3.4×106，
故选：D．
【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示
方法．
3．【分析】根据a∥b，得到∠1+∠3+∠4+∠2＝180°，将∠1＝30°，∠3＝45°，∠4＝90°代入即
可求出∠2的度数．
【解答】解：如图．
∵a∥b，
∴∠1+∠3+∠4+∠2＝180°，
∵∠1＝30°，∠3＝45°，∠4＝90°，
∴∠2＝15°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
第7页（共20页）【解答】解：从左边看如图 ，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
5．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（k+1）
≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k+1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0且k≠﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有
如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数
根；当△＜0时，方程无实数根．
6．【分析】根据垂径定理，可得 ＝ ，∠OEB＝90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角
三角形的性质，可得答案．
【解答】解：连接AO，如图：
由OC⊥AB，得
＝ ，∠OEB＝90°．
∴∠2＝∠3．
∵∠2＝2∠1＝2×32°＝64°．
∴∠3＝64°，
在Rt△OBE中，∠OEB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠3＝90°﹣64°＝26°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出 ＝ ，∠OEB＝90°是解题关键，又
利用了圆周角定理．
第8页（共20页）7．【分析】根据垂直的向量满足的条件判断即可；
【解答】解：A、∵3×（﹣2）+2×3＝0，∴ 与 垂直，故本选项符合题意；
B、∵（ ﹣1）（ +1）+1×1＝2≠0，∴ 与 不垂直，故本选项不符合题意；
C、∵3×（﹣ ）+1×（﹣1）＝﹣2≠0，∴ 与 不垂直，故本选项不符合题意；
D、∵ ×（ ）2+（﹣ ）×4＝2≠0，∴ 与 不垂直，故本选项不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查平面向量、平面向量垂直的条件，解题的关键是理解题意，属于中考常考
题型．
8．【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与
反比例函数的性质得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，
∴a＞0，
∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，
∴a、b异号，即b＜0．
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0．
∴一次函数y＝bx+a的图象经过第一、二、四象限，
反比例函数y＝ 的图象分布在第二、四象限，
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解
题关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请把最后结果填写在答题卡的相应区
域内。)
9．【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，
从而得出答案．
第9页（共20页）【解答】解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，
解不等式1﹣ x≥0，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
所以不等式组的最小整数解为0，
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式（组），关键是掌握解集的规律：同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
10．【分析】根据a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2，结合已知数据即可求出代数式
a3b+2a2b2+ab3的值．
【解答】解：∵a+b＝2，ab＝﹣3，
∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2），
＝ab（a+b）2，
＝﹣3×4，
＝﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及完全平方式的转化，注意因式分解各种方法的灵
活运用是解题的关键．
11．【分析】先求出每一外角的度数是45°，然后用多边形的外角和为360°÷45°进行计算即可
得解．
【解答】解：∵所有内角都是135°，
∴每一个外角的度数是180°﹣135°＝45°，
∵多边形的外角和为360°，
∴360°÷45°＝8，
即这个多边形是八边形．
故答案为：8．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之一．
12．【分析】根据圆心角＝360°×百分比，计算即可；
【解答】解：美国所对应的扇形圆心角＝360°×（1﹣21%﹣32%﹣31%）＝57.6°，
故答案为57.6．
【点评】本题考查了扇形统计图，读懂统计图是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部
第10页（共20页）分占总体的百分比大小．
13．【分析】根据题意得出D点坐标，再解直角三角形进而得出答案．
【解答】解：分别过A、C作AE⊥OB，CF⊥OB，
∵∠OCD＝90°，∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝∠CDO＝30°，∠OCF＝30°，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，
0），
∴D（8，0），则DO＝8，
故OC＝4，
则FO＝2，CF＝CO•cos30°＝4× ＝2 ，
故点C的坐标是：（2，2 ）．
故答案为：（2，2 ）．
【点评】此题主要考查了位似变换，运用位似图形的性质正确解直角三角形是解题关键．
14．【分析】根据输出的结果确定出x的所有可能值即可．
【解答】解：当3x﹣2＝127时，x＝43，
当3x﹣2＝43时，x＝15，
当3x﹣2＝15时，x＝ ，不是整数；
所以输入的最小正整数为15，
故答案为：15．
【点评】此题考查了代数式求值，弄清程序中的运算过程是解本题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共78分，请把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内。)
15．【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质进行化简得出答
案．
【解答】解：原式＝﹣1+4﹣（2﹣ ）﹣2×
＝﹣1+4﹣2+ ﹣
第11页（共20页）＝1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16．【分析】原式利用分式的混合运算顺序和运算法则化简，再将x、y的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）÷ ﹣（x2+xy﹣2xy﹣2y2）
＝ •（x+y）﹣x2+xy+2y2
＝﹣xy﹣x2+xy+2y2
＝﹣x2+2y2，
当x＝﹣1、y＝2时，
原式＝﹣（﹣1）2+2×22
＝﹣1+8
＝7．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算
法则．
17．【分析】结论：DF＝AE．只要证明△CDF≌△BAE即可；
【解答】解：结论：DF＝AE．
理由：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠B，
∵CE＝BF，
∴CF＝BE，∵CD＝AB，
∴△CDF≌△BAE，
∴DF＝AE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条
件，属于中考常考题型．
18．【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加减
求差即可．
【解答】解：∵EC∥AD，
∴∠A＝30°，∠CBD＝45°，CD＝200，
∵CD⊥AB于点D．
第12页（共20页）∴在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝ ，
∴AD＝ ，
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°
∴DB＝CD＝200，
∴AB＝AD﹣DB＝200 ﹣200，
答：A、B两点间的距离为（200 ﹣200）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边
上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长．
19．【分析】设台式电脑的单价是x元，则笔记本电脑的单价为1.5x元，利用购买笔记本电脑
和购买台式电脑的台数和列方程 + ＝120，然后解分式方程即可．
【解答】解：设台式电脑的单价是x元，则笔记本电脑的单价为1.5x元，
根据题意得 + ＝120，
解得x＝2400，
经检验x＝2400是原方程的解，
当x＝2400时，1.5x＝3600．
答：笔记本电脑和台式电脑的单价分别为3600元和2400元．
【点评】本题考查了分式方程的应用：列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
20．【分析】（1）由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标可得出点C、D的坐标，由点D
的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a值，进而可得出反比例函数的表达
式，再由点A、C的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的表达式；
（2）将一次函数表达式代入反比例函数表达式中，利用根的判别式△＜0可得出两函数图
象无交点，再观察图形，利用两函数图象的上下位置关系即可找出不等式 ＞kx+b的解集．
【解答】解：（1）∵BD＝OC，OC：OA＝2：5，点A（5，0），点B（0，3），
∴OA＝5，OC＝BD＝2，OB＝3，
又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限，
∴点C的坐标为（0，﹣2），点D的坐标为（﹣2，3）．
第13页（共20页）∵点D（﹣2，3）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴a＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣ ．
将A（5，0）、B（0，﹣2）代入y＝kx+b，
，解得： ，
∴一次函数的表达式为y＝ x﹣2．
（2）将y＝ x﹣2代入y＝﹣ ，整理得： x2﹣2x+6＝0，
∵△＝（﹣2）2﹣4× ×6＝﹣ ＜0，
∴一次函数图象与反比例函数图象无交点．
观察图形，可知：当x＜0时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴不等式 ＞kx+b的解集为x＜0．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征以及
根的判别式，解题的关键是：（1）由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标找出点C、
D的坐标；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集．
21．【分析】（1）根据折线统计图即可得；
（2）根据众数和中位数的定义可得；
（3）求出甲乙两人成绩的方差，方差小者成绩稳定；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到一男一女的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）由折线统计图知a＝8、b＝7，
故答案为：8、7；
第14页（共20页）（2）甲射击成绩次数最多的是8环，
所以甲成绩的众数是8环
乙射击成绩重新排列为：6、7、7、7、7、8、9、9、10、10，
则乙成绩的中位数为 ＝7.5环，
故答案为：8、7.5；
（3）甲成绩的平均数为 ＝8（环），
所以甲成绩的方差为 ×[（6﹣8）2+2×（7﹣8）2+4×（8﹣8）2+2×（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝1.2
（环2），
乙成绩的平均数为 ＝8（环），
所以乙成绩的方差为 ×[（6﹣8）2+4×（7﹣8）2+（8﹣8）2+2×（9﹣8）2+2×（10﹣8）2]＝1.8
（环2），
故甲成绩更稳定；
（4）用A、B表示男生，用a、b表示女生，列表得：
A B a b
A AB Aa Ab
B BA Ba Bb
a aA aB ab
b bA bB ba
∵共有12种等可能的结果，其中一男一女的有8种情况，
∴恰好选到1男1女的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少
描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变
化．也考查了概率公式．
22．【分析】（1）求出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度数，求出∠D度数，根据三角形内角和定理
第15页（共20页）求出∠BAF和∠BAD度数，即可求出答案；
（2）求出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质得出即可；
（3）连接AO，求出∠OAD＝90°即可．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠D＝∠CBD，
∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝ ×（180°﹣∠BAC）＝72°，
∴∠AFB＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝ 72°＝36°，
∴∠D＝∠CBD＝36°，
∴∠BAD＝180°﹣∠D﹣∠ABD＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∠BAF＝180°﹣∠ABF﹣∠AFB＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠DAF＝∠DAB﹣∠FAB＝108°﹣72°＝36°；
（2）证明：∵∠CBD＝36°，∠FAC＝∠CBD，
∴∠FAC＝36°＝∠D，
∵∠AED＝∠AEF，
∴△AEF∽△DEA，
∴ ＝ ，
∴AE2＝EF×ED；
（3）证明：连接OA、OF，
∵∠ABF＝36°，
∴∠AOF＝2∠ABF＝72°，
第16页（共20页）∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA＝ ×（180°﹣∠AOF）＝54°，
由（1）知∠DAF＝36°，
∴∠DAO＝36°+54°＝90°，
即OA⊥AD，
∵OA为半径，
∴AD是 O的切线．
【点评】本⊙题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知
识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
23．【分析】（1）先判断出∠ACD＝∠BAC，进而判断出∠BAC＝∠AC'D，进而判断出
∠CAC'＝∠AC'D，即可的结论；
（2）先判断出∠CAC'＝90°，再判断出AG⊥CC'，CF＝C'F，进而判断出四边形ACGC'是平
行四边形，即可得出结论；
（3）先判断出∠ACB＝30°，进而求出BH，AH，即可求出CH，C'H，即可得出结论．
【解答】解：（1）在如图1中，
∵AC是矩形ABCD的对角线，
∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
在如图2中，由旋转知，AC'＝AC，∠AC'D＝∠ACD，
∴∠BAC＝∠AC'D，
∵∠CAC'＝∠BAC，
∴∠CAC'＝∠AC'D，
∴AC∥C'E，
∵AC'∥CE，
∴四边形ACEC'是平行四边形，
∵AC＝AC'，
∴ ▱ACEC'是菱形，
故答案为：菱形；
（2）在图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
第17页（共20页）∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°
在图3中，由旋转知，∠DAC'＝∠DAC，
∴∠ACB＝∠DAC'，
∴∠BAC+∠DAC'＝90°，
∵点D，A，B在同一条直线上，
∴∠CAC'＝90°，
由旋转知，AC＝AC'，
∵点F是CC'的中点，
∴AG⊥CC'，CF＝C'F，
∵AF＝FG，
∴四边形ACGC'是平行四边形，
∵AG⊥CC'，
∴ ▱ACGC'是菱形，
∵∠CAC'＝90°，
∴菱形ACGC'是正方形；
（3）在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，
∴BC'＝AC＝4，BD＝BC＝2 ，sin∠ACB＝ ＝ ，
∴∠ACB＝30°，
由（2）结合平移知，∠CHC'＝90°，
在Rt△BCH中，∠ACB＝30°，
∴BH＝BC•sin30°＝ ，
∴C'H＝BC'﹣BH＝4﹣ ，
在Rt△ABH中，AH＝ AB＝1，
∴CH＝AC﹣AH＝4﹣1＝3，
在Rt△CHC'中，tan∠C′CH＝ ＝ ．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，平行四边形，菱形，矩形，正方形的
判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，判断出∠CAC'＝90°是解本题的关键．
第18页（共20页）24．【分析】（1）根据题意可以求得a、b的值，从而可以求得抛物线的表达式；
（2）根据题意可以求得AD的长和点E到AD的距离，从而可以求得△EAD的面积；
（3）根据题意可以求得直线AB的函数解析式，再根据题意可以求得△ABP的面积，然后
根据二次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，
0），
∴ ，得 ，
∴此抛物线的表达式是y＝x2+4x﹣5；
（2）∵抛物线y＝x2+4x﹣5交y轴于点A，
∴点A的坐标为（0，﹣5），
∵AD∥x轴，点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，
∴点E的纵坐标是5，点E到AD的距离是10，
当y＝﹣5时，﹣5＝x2+4x﹣5，得x＝0或x＝﹣4，
∴点D的坐标为（﹣4，﹣5），
∴AD＝4，
∴△EAD的面积是： ＝20；
（3）设点P的坐标为（p，p2+4p﹣5），如右图所示，
设过点A（0，﹣5），点B（﹣5，0）的直线AB的函数解析式为y＝mx+n，
，得 ，
即直线AB的函数解析式为y＝﹣x﹣5，
当x＝p时，y＝﹣p﹣5，
∵OB＝5，
∴△ABP的面积是：S＝ ＝ ，
∵点P是直线AB下方的抛物线上一动点，
∴﹣5＜p＜0，
∴当p＝﹣ 时，S取得最大值，此时S＝ ，点p的坐标是（ ，﹣ ），
即点p的坐标是（ ，﹣ ）时，△ABP的面积最大，此时△ABP的面积是 ．
第19页（共20页）【点评】本题考查二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
件，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答．
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