文档内容
2016年山东省菏泽市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项A、B、C、D
中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应位置）
1．（3分）下列各对数是互为倒数的是（ ）
A．4和﹣4 B．﹣3和 C．﹣2和 D．0和0
2．（3分）以下微信图标不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）当1＜a＜2时，代数式|a﹣2|+|1﹣a|的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
5．（3分）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A B ，则a+b的值为
1 1
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（3分）在 ▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当 ▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（ ）
第1页（共20页）AC＝5； ∠A+∠C＝180°； AC⊥BD； AC＝BD．
①A． ② B． ③ C④． D．
7．（3分①）如②图③，△ABC与△A′①B②′C④′都是等腰三角②形，③且④AB＝AC＝5，A′①B′③＝④A′C′＝
3，若∠B+∠B′＝90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（ ）
A．25：9 B．5：3 C． ： D．5 ：3
8．（3分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y
＝ 在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC ﹣S△BAD 为（ ）
A．36 B．12 C．6 D．3
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相
应区域内）
9．（3分）2016年春节期间，在网络上用“百度”搜索引擎搜索“开放二孩”，能搜索到与之
相关的结果个数约为45100000，这个数用科学记数法表示为 ．
10．（3分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直
角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点
在纸条的另一边上，则∠1的度数是 ．
11．（3分）某校九年级（1）班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，
17岁的有2人，则这个班同学年龄的中位数是 岁．
12．（3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m＝ ．
第2页（共20页）13．（3分）如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE＝CE，连接BE，则tan∠EBC＝
．
14．（3分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C ，它与x轴交于两点O，A ；将
1 1
C 绕A 旋转180°得到C ，交x轴于A ；将C 绕A 旋转180°得到C ，交x轴于A ；…如此
1 1 2 2 2 2 3 3
进行下去，直至得到C ，若点P（11，m）在第6段抛物线C 上，则m＝ ．
6 6
三、解答题（本题共78分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内）
15．（6分）计算：2﹣2﹣2cos60°+|﹣ |+（ ﹣3.14）0．
16．（6分）已知4x＝3y，求代数式（x﹣2y）π 2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2的值．
17．（6分）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，
当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+ ）海里的C处，为了防止某国海巡
警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A
位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．
18．（6分）列方程或方程组解应用题：
第3页（共20页）为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行
“双面打印，节约用纸”．已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400
克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总
质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量．（墨的质量
忽略不计）
19．（7分）如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、
G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
20．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝ 与直线y＝﹣2x+2交于点A（﹣1，
a）．
（1）求a，m的值；
（2）求该双曲线与直线y＝﹣2x+2另一个交点B的坐标．
21．（10分）如图，直角△ABC内接于 O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作
AB的垂线交AC于E，过点C作∠E⊙CP＝∠AED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交
O于点F．
⊙（1）求证：PC是 O的切线；
（2）若PC＝3，P⊙F＝1，求AB的长．
第4页（共20页）22．（10分）锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺
利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过
锐锐还有两个“求助”可以用（使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错
误选项）．
（1）如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是 ．
（2）如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是 ．
（3）如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．
23．（10分）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°
求证：AD＝BE；
①求∠AEB的度数．
（②2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE
边上的高，试证明：AE＝2 CM+ BN．
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；
（3）若直线y＝﹣ x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分
有两个交点，求b的取值范围．
第5页（共20页）第6页（共20页）2016 年山东省菏泽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项A、B、C、D
中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应位置）
1．【分析】根据倒数的定义可知，乘积是1的两个数互为倒数，据此求解即可．
【解答】解：A、4×（﹣4）≠1，选项错误；
B、﹣3× ≠1，选项错误；
C、﹣2×（﹣ ）＝1，选项正确；
D、0×0≠1，选项错误．
故选：C．
【点评】主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．要求
掌握并熟练运用．
2．【分析】根据轴对称图形的概念求解，看图形是不是关于直线对称．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称的概念，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可
重合．
3．【分析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图进行解答即可．
【解答】解：从上往下看，可以看到选项C所示的图形．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关
键．
4．【分析】根据a的取值范围，先去绝对值符号，再计算求值．
【解答】解：当1＜a＜2时，
|a﹣2|+|1﹣a|＝2﹣a+a﹣1＝1．
第7页（共20页）故选：B．
【点评】此题考查的知识点是代数式求值及绝对值，关键是根据a的取值，先去绝对值符号．
5．【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，
由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，
由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，
所以点A、B均按此规律平移，
由此可得a＝0+1＝1，b＝0+1＝1，
故a+b＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图
形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下
移减．
6．【分析】当 ▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝
90°，AC＝BD，根据勾股定理求出AC，即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：当 ▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AC＝BD，
∴AC＝ ＝5，
正确， 正确， 正确； 不正确；
①故选：B．② ④ ③
【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质以及勾股定理；得出 ▱ABCD的面积最
大时，四边形ABCD为矩形是解决问题的关键．
7．【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，∠B′＝∠C′，根据三角函数的定义得
到AD＝AB•sinB，A′D′＝A′B′•sinB′，BC＝2BD＝2AB•cosB，B′C′＝2B′D′＝
2A′B′•cosB′，然后根据三角形面积公式即可得到结论．
【解答】解：过A 作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，
∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，
∴∠B＝∠C，∠B′＝∠C′，BC＝2BD，B′C′＝2B′D′，
∴AD＝AB•sinB，A′D′＝A′B′•sinB′，BC＝2BD＝2AB•cosB，B′C′＝2B′D′＝
2A′B′•cosB′，
第8页（共20页）∵∠B+∠B′＝90°，
∴sinB＝cosB′，sinB′＝cosB，
∵S△BAC ＝ AD•BC＝ AB•sinB•2AB•cosB＝25sinB•cosB，
S△A′B′C′ ＝ A′D′•B′C′＝ A′B′•cosB′•2A′B′•sinB′＝9sinB′•cosB′，
∴S△BAC ：S△A′B′C′ ＝25：9．
故选：A．
【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知
元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式．
8．【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可
得出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的
坐标即可得出结论．
【解答】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，
则点B的坐标为（a+b，a﹣b）．
∵点B在反比例函数y＝ 的第一象限图象上，
∴（a+b）×（a﹣b）＝a2﹣b2＝6．
∴S△OAC ﹣S△BAD ＝ a2﹣ b2＝ （a2﹣b2）＝ ×6＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题
的关键是找出a2﹣b2的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直
角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相
应区域内）
9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是
易错点，由于45100000有8位，所以可以确定n＝8﹣1＝7．
第9页（共20页）【解答】解：45100000这个数用科学记数法表示为4.51×107．
故答案为：4.51×107．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
10．【分析】过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4＝30°，加
上∠2+∠3＝45°，易得∠1＝15°．
【解答】解：如图，过A点作AB∥a，
∴∠1＝∠2，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠3＝∠4＝30°，
而∠2+∠3＝45°，
∴∠2＝15°，
∴∠1＝15°．
故答案为15°．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
11．【分析】根据中位数的定义找出第20和21个数的平均数，即可得出答案．
【解答】解：∵该班有40名同学，
∴这个班同学年龄的中位数是第20和21个数的平均数，
∵15岁的有21人，
∴这个班同学年龄的中位数是15岁；
故答案为：15．
【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最
中间的那个数（最中间两个数的平均数），熟练掌握中位数的定义是本题的关键．
12．【分析】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，通过变形可以得到2m2﹣4m值，
本题得以解决．
【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
第10页（共20页）∴m2﹣2m＝3，
∴2m2﹣4m＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
13．【分析】作EF⊥BC于F，如图，设DE＝CE＝a，根据等腰直角三角形的性质得CD＝
CE＝ a，∠DCE＝45°，再利用正方形的性质得CB＝CD＝ a，∠BCD＝90°，接着判断
△CEF为等腰直角三角形得到CF＝EF＝ CE＝ a，然后在Rt△BEF中根据正切的
定义求解．
【解答】解：作EF⊥BC于F，如图，设DE＝CE＝a，
∵△CDE为等腰直角三角形，
∴CD＝ CE＝ a，∠DCE＝45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB＝CD＝ a，∠BCD＝90°，
∴∠ECF＝45°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CF＝EF＝ CE＝ a，
在Rt△BEF中，tan∠EBF＝ ＝ ＝ ，
即tan∠EBC＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两
条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行
第11页（共20页）四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了等腰直角三角形的性质．
14．【分析】将这段抛物线C 通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质
1
可以知道C 与C 的顶点到x轴的距离相等，且OA ＝A A ，照此类推可以推导知道点P
1 2 1 1 2
（11 ，m）为抛物线C 的顶点，从而得到结果．
6
【解答】解：∵y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），
∴配方可得y＝﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，1），
∴A 坐标为（2，0）
1
∵C 由C 旋转得到，
2 1
∴OA ＝A A ，即C 顶点坐标为（3，﹣1），A （4，0）；
1 1 2 2 2
照此类推可得，C 顶点坐标为（5，1），A （6，0）；
3 3
C 顶点坐标为（7，﹣1），A （8，0）；
4 4
C 顶点坐标为（9，1），A （10，0）；
5 5
C 顶点坐标为（11，﹣1），A （12，0）；
6 6
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．
三、解答题（本题共78分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内）
15．【分析】原式利用负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指
数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝ ﹣2× +2 +1
＝ +2 ．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：∵4x＝3y，
∴（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2
＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2﹣2y2
＝﹣4xy+3y2
＝y（3y﹣4x）
＝y（3y﹣3y）
第12页（共20页）＝0．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此
题的关键．
17．【分析】作AD⊥BC，垂足为D，设CD＝x，利用解直角三角形的知识，可得出AD，继而可
得出BD，结合题意BC＝CD+BD可得出方程，解出x的值后即可得出答案．
【解答】解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得，∠ACD＝45°，∠ABD＝30°．
设CD＝x，在Rt△ACD中，可得AD＝x，
在Rt△ABD中，可得BD＝ x，
又∵BC＝20（1+ ），CD+BD＝BC，
即x+ x＝20（1+ ），
解得：x＝20，
∴AC＝ x＝20 （海里）．
答：A、C之间的距离为20 海里．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，
将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般．
18．【分析】设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，然后根据
“双面打印，用纸将减少一半”列方程，然后解方程即可．
【解答】解：设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，
根据题意，得： ＝2× ，
解得：x＝3.2，
经检验：x＝3.2是原分式方程的解，且符合题意，
第13页（共20页）答：A4薄型纸每页的质量为3.2克．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，根据题意准确找到相等关系并据此列出方程是解
题的关键．
19．【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且
EF＝ BC，DG∥BC且DG＝ BC，从而得到DE＝EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且
相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）先判断出∠BOC＝90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．
【解答】解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG∥BC，DG＝ BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF∥BC，EF＝ BC，
∴DG＝EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵M为EF的中点，OM＝3，
∴EF＝2OM＝6．
由（1）有四边形DEFG是平行四边形，
∴DG＝EF＝6．
【点评】此题是平行四边形的判定与性质题，主要考查了平行四边形的判定和性质，三角
形的中位线，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形．
20．【分析】（1）将A坐标代入一次函数解析式中即可求得a的值，将A（﹣1，4）坐标代入反
比例解析式中即可求得m的值；
（2）解方程组 ，即可解答．
【解答】解：（1）∵点A的坐标是（﹣1，a），在直线y＝﹣2x+2上，
∴a＝﹣2×（﹣1）+2＝4，
第14页（共20页）∴点A的坐标是（﹣1，4），代入反比例函数y＝ ，
∴m＝﹣4．
（2）解方程组
解得： 或 ，
∴该双曲线与直线y＝﹣2x+2另一个交点B的坐标为（2，﹣2）．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图
象上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21．【分析】（1）连接OC，欲证明PC是 O的切线，只要证明PC⊥OC即可．
（2）延长PO交圆于G点，由切割线定理⊙求出PG即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵PD⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∵∠ECP＝∠AED，
又∵∠EAD＝∠ACO，
∴∠PCO＝∠ECP+∠ACO＝∠AED+∠EAD＝90°，
∴PC⊥OC，
∴PC是 O切线．
（2）解⊙法一：
延长PO交圆于G点，
∵PF×PG＝PC2，PC＝3，PF＝1，
∴PG＝9，
∴FG＝9﹣1＝8，
∴AB＝FG＝8．
解法二：
设 O的半径为x，则OC＝OF＝x，OP＝1+x
∵⊙PC＝3，且OC⊥PC
∴32+x2＝（1+x）2
解得x＝4
第15页（共20页）∴AB＝2x＝8
【点评】本题考查切线的判定、切割线定理、等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练运
用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
22．【分析】（1）锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，第一道肯定能对，第二道对的概率
为 ，即可得出结果；
（2）由题意得出第一道题对的概率为 ，第二道题对的概率为 ，即可得出结果；
（3）用树状图得出共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，即可得出结果．
【解答】解：（1）第一道肯定能对，第二道对的概率为 ，
所以锐锐通关的概率为 ；
故答案为： ；
（2）锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，
则第一道题对的概率为 ，第二道题对的概率为 ，
所以锐锐能通关的概率为 × ＝ ；
故答案为： ；
（3）锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A，B表示剩下的第一道单选题的2个选项，
a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，
树状图如图所示：
共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，
∴锐锐顺利通关的概率为： ．
第16页（共20页）【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总
情况数之比．
23．【分析】（1） 通过角的计算找出∠ACD＝∠BCE，再结合△ACB和△DCE均为等腰三
角形可得出“①AC＝BC，DC＝EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出
△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD＝BE；
结合 中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC＝∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB
②的度数；①
（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过
解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．
【解答】（1） 证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，
∴∠ACB＝∠D①CE＝180°﹣2×50°＝80°．
∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE．
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC．
在△ACD和△BCE中，有 ，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
解：∵△ACD≌△BCE，
②∴∠ADC＝∠BEC．
∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝130°，
∴∠BEC＝130°．
∵∠BEC＝∠CED+∠AEB，且∠CED＝50°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝130°﹣50°＝80°．
（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，
第17页（共20页）∴∠CDM＝∠CEM＝ ×（180°﹣120°）＝30°．
∵CM⊥DE，
∴∠CMD＝90°，DM＝EM．
在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，
∴DE＝2DM＝2× ＝2 CM．
∵∠BEC＝∠ADC＝180°﹣30°＝150°，∠BEC＝∠CEM+∠AEB，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEM＝150°﹣30°＝120°，
∴∠BEN＝180°﹣120°＝60°．
在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，
∴BE＝ ＝ BN．
∵AD＝BE，AE＝AD+DE，
∴AE＝BE+DE＝ BN+2 CM．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角
的计算，解题的关键是：（1）通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE；
（2）找出线段AD、DE的长．本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，
利用角的计算找出相等的角，再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角，最后根据全等
三角形的判定定理证出三角形全是关键．
24．【分析】（1）根据待定系数法即可解决问题．
（2）求出直线BC与对称轴的交点H，根据S△BDC ＝S△BDH +S△DHC 即可解决问题．
（3）由 ，当方程组只有一组解时求出b的值，当直线y＝﹣ x+b经过点C
时，求出b的值，当直线y＝﹣ x+b经过点B时，求出b的值，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意 解得 ，
∴抛物线解析式为y＝ x2﹣x+2．
第18页（共20页）（2）∵y＝ x2﹣x+2＝ （x﹣1）2+ ．
∴顶点坐标（1， ），
∵直线BC为y＝﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3），
∴S△BDC ＝S△BDH +S△DHC ＝ •3+ •1＝3．
（3）由 消去y得到x2﹣x+4﹣2b＝0，
当△＝0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）＝0，
∴b＝ ，
当直线y＝﹣ x+b经过点C时，b＝3，
当直线y＝﹣ x+b经过点B时，b＝5，
∵直线y＝﹣ x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有
两个交点，
∴ ＜b≤3．
【点评】本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识，解题的关键是
求出对称轴与直线BC交点H坐标，学会利用判别式确定两个函数图象的交点问题，属于
中考常考题型．
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