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2016 年山东省莱芜市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）4的算术平方根为（ ）
A．﹣2 B．2C．±2 D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a7÷a4=a3B．5a2﹣3a=2a C．3a4•a2=3a8 D．（a3b2）2=a5b4
3．（3分）如图，有理数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B，C，D，若a+c=0，
则b+d（ ）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不确定
4．（3分）投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是3的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么
∠BDC的度数是（ ）
A．76° B．81° C．92° D．104°
6．（3分）将函数y=﹣2x的图象向下平移3个单位，所得图象对应的函数关系式
为（ ）
A．y=﹣2（x+3）B．y=﹣2（x﹣3）C．y=﹣2x+3D．y=﹣2x﹣3
7．（3分）甲、乙两个转盘同时转动，甲转动270圈时，乙恰好转了330圈，已知两
个转盘每分钟共转200圈，设甲每分钟转x圈，则列方程为（ ）
A． = B． = C． = D． =
8．（3分）用面积为12π，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高是（
）
第1页（共35页）A．2 B．4 C．2 D．2
9．（3分）正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为 ：2，则这个正多边形为（
）
A．正十二边形 B．正六边形C．正四边形D．正三角形
10．（3分）已知△ABC中，AB=6，AC=8，BC=11，任作一条直线将△ABC分成两个三
角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有（ ）
A．3条B．5条 C．7条 D．8条
11．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M从点B出发以3cm/s的速度
沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从点B出发，以
1cm/s的速度沿着边BA向点A运动，到达点A停止运动，设点M运动时间为x
（s ），△AMN的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）已知四边形ABCD为矩形，延长CB到E，使CE=CA，连接AE，F为AE的
中点，连接BF，DF，DF交AB于点G，下列结论：
（1）BF⊥DF；
（2）S =S ；
△BDG △ADF
（3）EF2=FG•FD；
（4） =
其中正确的个数是（ ）
第2页（共35页）A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）（2﹣π）0+ ﹣（ ）﹣1﹣|tan45°﹣3|= ．
14．（4分）若一次函数y=x+3与y=﹣2x的图象交于点A，则A关于y轴的对称点
A′的坐标为 ．
15．（4分）如图，A，B是反比例函数y= 图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足
为C，AC交OB于点D．若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k的值为 ．
16．（4分）如图，将Rt△ABC沿斜边AC所在直线翻折后点B落到点D，过点D作
DE⊥AB，垂足为E，如果AE=3EB，EB=7，那么BC= ．
17．（4分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2．如图，将直角顶点B放在原点，
点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移
动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为
．
第3页（共35页）三、解答题（本大题共7小题，共64分）
18．（6分）先化简，再求值：（a﹣ ）÷ ，其中a满足a2+3a﹣1=0．
19．（8分）企业举行“爱心一日捐”活动，捐款金额分为五个档次，分别是50元，
100元，150元，200元，300元．宣传小组随机抽取部分捐款职工并统计了他们的
捐款金额，绘制成两个不完整的统计图，请结合图表中的信息解答下列问题：
（1）宣传小组抽取的捐款人数为 人，请补全条形统计图；
（2）统计的捐款金额的中位数是 元；
（3）在扇形统计图中，求100元所对应扇形的圆心角的度数；
（4）已知该企业共有500人参与本次捐款，请你估计捐款总额大约为多少元？
第4页（共35页）20．（9分）某体育场看台的坡面AB与地面的夹角是37°，看台最高点B到地面的
垂直距离BC为3.6米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE，在B点用测角仪测
得旗杆的最高点E的仰角为33°，已知测角仪BF的高度为1.6米，看台最低点A
与旗杆底端D之间的距离为16米（C，A，D在同一条直线上）．
（1）求看台最低点A到最高点B的坡面距离；
（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G、H之间的距离为1.2米，
下端挂钩H与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求
红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数）（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，
tan37°≈0.75，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
21．（9分）如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，D为△ABC内一点，连接AD，将线
段AD绕点A旋转至AE，使得∠DAE=∠BAC，F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，连
接BD，CE，GF，GH．
（1）求证：GH=GF；
（2）试说明∠FGH与∠BAC互补．
第5页（共35页）22．（10分）为迎接“国家卫生城市”复检，某市环卫局准备购买A、B两种型号
的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540
元；购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．
（1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？
（2）现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共300个，分别由甲、乙两人进行安装，要
求在12天内完成（两人同时进行安装）．已知甲负责A型垃圾箱的安装，每天可
以安装15个，乙负责B型垃圾箱的安装，每天可以安装20个，生产厂家表示若购
买A型垃圾箱不少于150个时，该型号的产品可以打九折；若购买B型垃圾箱超
过150个时，该型号的产品可以打八折，若既能在规定时间内完成任务，费用又
最低，应购买A型和B型垃圾箱各多少个？最低费用是多少元？
第6页（共35页）23．（10分）已知AB、CD是⊙O的两条弦，直线AB、CD互相垂直，垂足为E，连接
AC，过点B作BF⊥AC，垂足为F，直线BF交直线CD于点M．
（1）如图1，当点E在⊙O内时，连接AD，AM，BD，求证：AD=AM；
（2）如图2，当点E在⊙O外时，连接AD，AM，求证：AD=AM；
（3）如图3，当点E在⊙O外时，∠ABF的平分线与AC交于点H，若tan∠C= ，求
tan∠ABH的值．
第7页（共35页）24．（12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣
2，﹣3），直线BC与y轴交于点D，E为二次函数图象上任一点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点E在直线BC的上方，过E分别作BC和y轴的垂线，交直线BC于不同的
两点F，G（F在G的左侧），求△EFG周长的最大值；
（3）是否存在点E，使得△EDB是以BD为直角边的直角三角形？如果存在，求点
E的坐标；如果不存在，请说明理由．
第8页（共35页）2016 年山东省莱芜市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）（2016•莱芜）4的算术平方根为（ ）
A．﹣2 B．2C．±2 D．
【分析】依据算术平方根根的定义求解即可．
【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的
关键．
2．（3分）（2016•莱芜）下列运算正确的是（ ）
A．a7÷a4=a3B．5a2﹣3a=2a C．3a4•a2=3a8 D．（a3b2）2=a5b4
【分析】分别利用单项式乘以单项式以及单项式除以单项式、积的乘方运算法则
分别化简得出答案．
【解答】解：A、a7÷a4=a3，正确；
B、5a2﹣3a，无法计算，故此选项错误；
C、3a4•a2=3a6，故此选项错误；
D、（a3b2）2=a6b4，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了幂的运算性质以及整式的加减运算，正确掌握相关性质
是解题关键．
3．（3分）（2016•莱芜）如图，有理数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B，C，
D，若a+c=0，则b+d（ ）
第9页（共35页）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不确定
【分析】由a+c=0可知a与c互为相反数，所以原点是AC的中点，利用b、d与原点
的距离可知b+d与0的大小关系．
【解答】解：∵a+c=0，
∴a，c互为相反数，
∴原点O是AC的中点，
∴由图可知：点D到原点的距离大于点B到原点的距离，且点D、B分布在原点的
两侧，
故b+d＜0，
故选（B）．
【点评】本题考查数轴、相反数、有理数加法法则，属于中等题型．
4．（3分）（2016•莱芜）投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是3的倍数的概率是（
）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，分析可得掷一枚骰子，共6种情况，其中是3的倍数的有3、6，2
种情况，由概率公式可得答案．
【解答】解：根据题意，掷一枚骰子，共6种情况，
其中是3的倍数的有3、6，2种情况，
故其概率为 ；
故选C．
【点评】本题考查概率的求法，其计算方法为：如果一个事件有n种可能，而且这
些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
5．（3分）（2016•莱芜）如图，△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，BD平分∠ABC，交AC
于点D，那么∠BDC的度数是（ ）
第10页（共35页）A．76° B．81° C．92° D．104°
【分析】由题意利用三角形内角和定理求出∠ABC度数，再由BD为角平分线求出
∠ABD度数，根据外角性质求出所求角度数即可．
【解答】解：∵△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，
∴∠ABC=60°，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵∠BDC为△ABD外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=76°，
故选A
【点评】此题考查了三角形内角和定理，以及外角性质，熟练掌握内角和定理是解
本题的关键．
6．（3分）（2016•莱芜）将函数y=﹣2x的图象向下平移3个单位，所得图象对应的
函数关系式为（ ）
A．y=﹣2（x+3）B．y=﹣2（x﹣3）C．y=﹣2x+3D．y=﹣2x﹣3
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：把函数y=﹣2x的图象向下平移3个单位后，所得图象的函数关系式为
y=﹣2x﹣3．
故选D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移时“上加
下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
7．（3分）（2016•莱芜）甲、乙两个转盘同时转动，甲转动270圈时，乙恰好转了
330圈，已知两个转盘每分钟共转200圈，设甲每分钟转x圈，则列方程为（ ）
第11页（共35页）A． = B． =
C． = D． =
【分析】根据“甲转动270圈和乙转了330圈所用的时间相等”列出方程即可；
【解答】解：设甲每分钟转x圈，则乙每分钟转动（200﹣x）圈，
根据题意得： = ，
故选D．
【点评】本题考查了分式方程的知识，解题的关键是能够从实际问题中找到等量
关系，难度不大．
8．（3分）（2016•莱芜）用面积为12π，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆
锥的高是（ ）
A．2 B．4 C．2 D．2
【分析】根据题意可以求得围成圆锥底面圆的周长和半径，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
围成的圆锥底面圆的周长为： =4π，
设围成的圆锥底面圆的半径为r，则2πr=4π，
解得，r=2，
∴则圆锥的高是： ，
故选B．
【点评】本题考查圆锥的计算，解题的关键是明确扇形弧长公式，圆锥的底面圆的
周长等于侧面扇形的弧长．
9．（3分）（2016•莱芜）正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为 ：2，则这个正
多边形为（ ）
A．正十二边形 B．正六边形C．正四边形D．正三角形
【分析】设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，在直角△AOC中，利用三角函数求得
∠AOC的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，即
第12页（共35页）可求得边数．
【解答】解：正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为 ：2，则半径之比为 ：2，
设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，
则OC= ，OA=OB=2，
在直角△AOC中，cos∠AOC= = ，
∴∠AOC=30°，
∴∠AOC=60°，
则正多边形边数是： =6．
故选：B．
【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，正多边形的计算一
般是转化成半径，边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算
10．（3分）（2016•莱芜）已知△ABC中，AB=6，AC=8，BC=11，任作一条直线将
△ABC分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多
有（ ）
A．3条B．5条 C．7条 D．8条
【分析】分别以A、B、C为等腰三角形的顶点，可画出直线，再分别以AB、AC、BC为
底的等腰三角形，可画出直线，综合两种情况可求得答案．
【解答】解：
分别以A、B、C为等腰三角形的顶点的等腰三角形有4个，如图1，
第13页（共35页）分别为△ABD、△ABE、△ABF、△ACG，
∴满足条件的直线有4条；
分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形有3个，如图2，
分别为△ABH、△ACM、△BCN，
∴满足条件的直线有3条，
综上可知满足条件的直线共有7条，
故选C．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，正确画出图形是解题的关键．
11．（3分）（2016•莱芜）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M从点B出发以
3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从
点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA向点A运动，到达点A停止运动，设点M运
动时间为x（s），△AMN的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）
第14页（共35页）A． B． C． D．
【分析】分三种情况进行讨论，当0≤x≤1时，当1≤x≤2时，当2≤x≤3时，分别
求得△ANM的面积，列出函数解析式，根据函数图象进行判断即可．
【解答】解：由题可得，BN=x，
当0≤x≤1时，M在BC边上，BM=3x，AN=3﹣x，则
S = AN•BM，
△ANM
∴y= •（3﹣x）•3x=﹣ x2+ x，故C选项错误；
当1≤x≤2时，M点在CD边上，则
S = AN•BC，
△ANM
∴y= （3﹣x）•3=﹣ x+ ，故D选项错误；
当2≤x≤3时，M在AD边上，AM=9﹣x，
∴S = AM•AN，
△ANM
∴y= •（9﹣3x）•（3﹣x）= （x﹣3）2，故B选项错误；
故选（A）．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的
含义即会识图．利用数形结合，分类讨论是解决问题的关键．
12．（3分）（2016•莱芜）已知四边形ABCD为矩形，延长CB到E，使CE=CA，连接
AE，F为AE的中点，连接BF，DF，DF交AB于点G，下列结论：
（1）BF⊥DF；
（2）S =S ；
△BDG △ADF
（3）EF2=FG•FD；
第15页（共35页）（4） =
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用矩形的性质和直角三角形的性质得出结论判断出△BDF≌△ACF，借
助直角三角形的斜边大于直角边，再用面积公式判断出面积大小，判断出
△AFG∽△DFA，△BFG∽△DFB，即可判断出结论．
【解答】解：如图1，连接CF，
设AC与BD的交点为点O，
∵点F是AE中点，
∴AF=EF，
∵CE=CA，
∴CF⊥AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵点F是Rt△ABE斜边上的中点，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠FBA，
∴∠FAC=∠FBD，
第16页（共35页）在△BDF和△ACF中， ，
∴△BDF≌△ACF，
∴∠BFD=∠AFC=90°，
∴BD⊥DF，
所以①正确；
过点F作FH⊥AD交DA的延长线于点H，
在Rt△AFH中，FH＜AF，
在Rt△BFG中，BG＞BF，
∵AF=BF，
∴BG＞FH，
∵S = FH×AD，S = BG×AD，
△ADF △BDG
∴S ＞S ，
△BDG △ADF
所以②错误；
∵∠ABF+∠BGF=∠ADG+∠AGD=90°，
∴∠ABF=∠ADG，
∵∠BAF=∠FBA，
∴∠BAF=∠ADG，
∵∠AFG=∠DFA，
∴△AFG∽△DFA，
∴ ，
∴AF2=FG•FD，
∵EF=AF，
∴EF2=FG•FD，
所以③正确；
∵BF=EF，
∴BF2=FG•FD，
∴ ，
第17页（共35页）∵∠BFG=∠DFB，
∴△BFG∽△DFB，
∴∠ABF=∠BDF，
∵由③知，∠ABF=∠ADF
∴∠ADF=∠BDF，
∴ （利用角平分线定理），
∵BD=AC，AD=BC，
∴ ，
所以④正确，
故选C．
【点评】此题是相似三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形
的性质，等腰三角形的性质，三角形内角平分线定理，解本题的是△BDF≌△ACF．
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）（2016•莱芜）（2﹣π）0+ ﹣（ ）﹣1﹣|tan45°﹣3|= ﹣ 1 ．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，立方根定义，以及绝对值的代数
意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=1+3﹣3﹣2=﹣1．
故答案为：﹣1
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（4分）（2016•莱芜）若一次函数y=x+3与y=﹣2x的图象交于点A，则A关于y
轴的对称点A′的坐标为 （ 1 ， 2 ） ．
【分析】直接联立函数解析式求出A点坐标，再利用关于y轴对称点的性质得出答
第18页（共35页）案．
【解答】解：∵一次函数y=x+3与y=﹣2x的图象交于点A，
∴x+3=﹣2x，
解得：x=﹣1，
则y=2，
故A点坐标为：（﹣1，2），
∴A关于y轴的对称点A′的坐标为：（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】此题主要考查了一次函数的交点问题以及关于y轴对称点的性质，正确得
出A点坐标是解题关键．
15．（4分）（2016•莱芜）如图，A，B是反比例函数y= 图象上的两点，过点A作
AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D．若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k
的值为 8 ．
【分析】先设点D坐标为（a，b），得出点B的坐标为（2a，2b），A的坐标为（4a，b），
再根据△AOD的面积为3，列出关系式求得k的值．
【解答】解：设点D坐标为（a，b），
∵点D为OB的中点，
∴点B的坐标为（2a，2b），
∴k=4ab，
又∵AC⊥y轴，A在反比例函数图象上，
∴A的坐标为（4a，b），
∴AD=4a﹣a=3a，
∵△AOD的面积为3，
第19页（共35页）∴ ×3a×b=3，
∴ab=2，
∴k=4ab=4×2=8．
故答案为：8
【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及运用待定系数法求反
比例函数解析式，根据△AOD的面积为3列出关系式是解题的关键．
16．（4分）（2016•莱芜）如图，将Rt△ABC沿斜边AC所在直线翻折后点B落到点
D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，如果AE=3EB，EB=7，那么BC= 4 ．
【分析】根据相似三角形的判定和性质、以及勾股定理解答即可．
【解答】解：∵DE⊥AB，∠B=90°，
∴DE∥BC，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴DH=DC，
第20页（共35页）∵DE∥BC，
∴△AFH∽△ABC，
∴ ，
设EH=3x，BC=DC=DH=4x，
∴DE=7x，
∵AE=3EB，EB=7，
∴AE=21，
∵AD=AB=AE+BE=7+21=28，
在Rt△ADE中，DE= ，
∴7x=7 ，
∴x= ，
∴BC=4 ．
故答案为：4 ．
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，证明DH=DC是解题关键．
17．（4分）（2016•莱芜）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2．如图，将直角顶
点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之
在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原
点的最大距离为 2 + 2 ．
【分析】根据题意首先取A B 的中点E，连接OE，C E，当O，E，C 在一条直线上时，
1 1 1 1
点C到原点的距离最大，进而求出答案．
【解答】解：如图所示：取A B 的中点E，连接OE，C E，当O，E，C 在一条直线上时，
1 1 1 1
点C到原点的距离最大，在
Rt△A OB 中，∵A B =AB=4，点OE为斜边中线，
1 1 1 1
第21页（共35页）∴OE=B E= A B =2，
1 1 1
又∵B C =BC=2，
1 1
∴C E= =2 ，
1
∴点C到原点的最大距离为：OE+C E=2+2 ．
1
故答案为：2+2 ．
【点评】此题主要考查了轨迹以及勾股定理等知识，正确得出C点位置是解题关
键．
三、解答题（本大题共7小题，共64分）
18．（6分）（2016•莱芜）先化简，再求值：（a﹣ ）÷ ，其中a满足a2+3a
﹣1=0．
【分析】根据题意得到a2+3a=1，根据分式的通分、约分法则把原式化简，代入计算
即可．
【解答】解：∵a2+3a﹣1=0，
∴a2+3a=1
原式= × =（a+1）（a+2）=a2+3a+2=3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的通分、约分法则是解题的关键．
19．（8分）（2016•莱芜）企业举行“爱心一日捐”活动，捐款金额分为五个档次，
分别是50元，100元，150元，200元，300元．宣传小组随机抽取部分捐款职工并
统计了他们的捐款金额，绘制成两个不完整的统计图，请结合图表中的信息解答
下列问题：
（1）宣传小组抽取的捐款人数为 5 0 人，请补全条形统计图；
（2）统计的捐款金额的中位数是 15 0 元；
第22页（共35页）（3）在扇形统计图中，求100元所对应扇形的圆心角的度数；
（4）已知该企业共有500人参与本次捐款，请你估计捐款总额大约为多少元？
【分析】（1）根据题意即可得到结论；求得捐款200元的人数即可补全条形统计
图；
（2）根据中位数的定义即可得到结论；
（3）用周角乘以100元所占的百分比即可求得圆心角；
（4）根据题意即可得到结论．
【解答】解：（1）50，补全条形统计图，
故答案为：50；
（2）150，
故答案为：150；
（3） ×360°=72°．
（4） （50×4+100×10+150×12+200×18+300×6）×500=84000（元）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同
的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个
项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
第23页（共35页）20．（9分）（2016•莱芜）某体育场看台的坡面AB与地面的夹角是37°，看台最高
点B到地面的垂直距离BC为3.6米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE，在B
点用测角仪测得旗杆的最高点E的仰角为33°，已知测角仪BF的高度为1.6米，
看台最低点A与旗杆底端D之间的距离为16米（C，A，D在同一条直线上）．
（1）求看台最低点A到最高点B的坡面距离；
（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G、H之间的距离为1.2米，
下端挂钩H与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求
红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数）（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，
tan37°≈0.75，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
【分析】（1）根据正弦的定义计算即可；
（2）作FP⊥ED于P，根据正切的定义求出AC，根据正切的概念求出EP，计算即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，
AB= =6米；
（2）AC= =4.8米，
则CD=4，.8+16=20.8米，
作FP⊥ED于P，
∴FP=CD=20.8，
∴EP=FP×tan∠EFP=13.52，
DP=BF+BC=5.2，
ED=EP+PD=18.72，
EG=ED﹣GH﹣HD=16.52，
则红旗升起的平均速度为：16.52÷30=0.55，
第24页（共35页）答：红旗升起的平均速度为0.55米/秒．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概
念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．（9分）（2016•莱芜）如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，D为△ABC内一点，
连接AD，将线段AD绕点A旋转至AE，使得∠DAE=∠BAC，F，G，H分别为BC，CD，
DE的中点，连接BD，CE，GF，GH．
（1）求证：GH=GF；
（2）试说明∠FGH与∠BAC互补．
【分析】（1）首先得出△ABD≌△ACE（SAS），进而利用三角形中位线定理得出
GH=GF；
（2）利用全等三角形的性质结合平行线的性质得出∠FGH=∠DGF+∠HGD进而得
出答案．
【解答】证明：（1）∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
第25页（共35页）∵F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，
∴GH∥GF，且GH= CE，GF= BD，
∴GH=GF；
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵HG∥CE，GE∥BD，
∴∠HGD=∠ECD，∠GFC=∠DBC，
∴∠HGD=∠ACD+∠ECA=∠ACD+∠ABD，
∠DGF=∠GFC+∠GCF=∠DBC+∠GCF，
∴∠FGH=∠DGF+∠HGD
=∠DBC+∠GCF+∠ACD+∠ABD
=∠ABC+∠ACB
=180°﹣∠BAC，
∴∠FGH与∠BAC互补．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，正确
得出△ABD≌△ACE是解题关键．
22．（10分）（2016•莱芜）为迎接“国家卫生城市”复检，某市环卫局准备购买A、
B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾
箱共需540元；购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．
（1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？
（2）现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共300个，分别由甲、乙两人进行安装，要
求在12天内完成（两人同时进行安装）．已知甲负责A型垃圾箱的安装，每天可
以安装15个，乙负责B型垃圾箱的安装，每天可以安装20个，生产厂家表示若购
第26页（共35页）买A型垃圾箱不少于150个时，该型号的产品可以打九折；若购买B型垃圾箱超
过150个时，该型号的产品可以打八折，若既能在规定时间内完成任务，费用又
最低，应购买A型和B型垃圾箱各多少个？最低费用是多少元？
【分析】（1）设每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别为x元和y元，利用两次购买的
费用列方程 ，然后解方程组即可；
（2）设购买A型垃圾箱m个，则购买B型垃圾箱（300﹣m）个，购买垃圾箱的费用
为w元，利用工作效率和总工作时间可得到60≤m≤180，然后讨论：若60≤m＜
150得到w=4m+28800，若150≤m≤180得w=﹣30m+3600，再利用一次函数的
性质求出两种情况下的w的最小值，于是比较大小可得到满足条件的购买方案．
【解答】解：（1）设每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别为x元和y元，
根据题意得 ，解得 ，
∴每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别为100元和120元；
（2）设购买A型垃圾箱m个，则购买B型垃圾箱（300﹣m）个，购买垃圾箱的费用
为w元，
根据题意得 ，解得60≤m≤180，
若60≤m＜150，w=100m+120×0.8×（300﹣m）=4m+28800，
当m=60时，w最小，w的最小值=4×60+28800=29040（元）；
若150≤m≤180，w=100×0.9×m+120×（300﹣m）=﹣30m+3600，
当m=180，w最小，w的最小值=﹣30×180+36000=30600（元）；
∵29040＜30600，
∴购买A型垃圾箱60个，则购买B型垃圾箱240个时，既能在规定时间内完成任
务，费用又最低，最低费用为29040元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用：分析题意，找出不等关系；设未知
数，列出不等式组；解不等式组；从不等式组解集中找出符合题意的答案；作答．
也考查了二元一次方程组合一次函数的性质．
第27页（共35页）23．（10分）（2016•莱芜）已知AB、CD是⊙O的两条弦，直线AB、CD互相垂直，垂
足为E，连接AC，过点B作BF⊥AC，垂足为F，直线BF交直线CD于点M．
（1）如图1，当点E在⊙O内时，连接AD，AM，BD，求证：AD=AM；
（2）如图2，当点E在⊙O外时，连接AD，AM，求证：AD=AM；
（3）如图3，当点E在⊙O外时，∠ABF的平分线与AC交于点H，若tan∠C= ，求
tan∠ABH的值．
【分析】（1）根据垂直的定义和垂直平分线的判定好小子即可求解；
（2）如图2，连结BD，先证明四边形ABDC是圆内接四边形，根据圆内接四边形的
性质和垂直平分线的性质即可求解；
（3）如图3，过点H作HN⊥AB，垂足为N，在Rt△ABF中和在Rt△BNH中，根据三
角函数的定义即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，BF⊥AC，
∴∠BEM=∠BFA=90°，
∴∠EBM+∠BME=90°，∠ABF+∠BAF=90°，
∴∠BME=∠BAC，
∴∠BDM=∠BMD，
∴BD=BM，
∵AB⊥CD，
∴AB是MD的垂直平分线，
∴AD=AM；
（2）证明：如图2，连结BD，
∵AB⊥CD，BF⊥AC，
∴∠BEM=∠BFA=90°，
∵∠EBM=∠FBA，
第28页（共35页）∴∠BME=∠BAF，
∴四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠BDM=∠BAC，
∴∠BDM=∠BMD，
∴BD=BM，
∵AB⊥CD，
∴AB是MD的垂直平分线，
∴AD=AM；
（3）解：如图3，过点H作HN⊥AB，垂足为N．
易知∠AHN=∠ABF=∠C，
在Rt△ANH中，设HM=3m，
∵tan∠AHN=tan∠C= = ，
∴AN=4m，
∴AH=5m，
∵BH平分∠ABF，
∴HN=HF=3m，
∴AF=AH+HF=8m，
在Rt△ABF中，∵tan∠ABF=tan∠C= = ，
∴BF=6m，
∴AB=10m，
∴BN=AB﹣AN=6m，
∴在Rt△BNH中，tan∠NBH= = = ，
∴tan∠ABH= ．
第29页（共35页）【点评】本题考查了圆的综合，涉及了圆内接四边形的判定与性质、等腰三角形的
判定与性质及垂直平分线的性质，三角函数，解答本题的关键是掌握数形结合思
想运用．
24．（12分）（2016•莱芜）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B
（4，0），C（﹣2，﹣3），直线BC与y轴交于点D，E为二次函数图象上任一点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点E在直线BC的上方，过E分别作BC和y轴的垂线，交直线BC于不同的
两点F，G（F在G的左侧），求△EFG周长的最大值；
（3）是否存在点E，使得△EDB是以BD为直角边的直角三角形？如果存在，求点
E的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图1，运用待定系数法求这个二次函数的解析式；
（2）如图2，先求直线BC的解析式为y= x﹣2，设出点E的坐标，写出点G的坐标
第30页（共35页）（﹣m2+3m+8，﹣ m2+ m+2），求出EG的长，证明∴△EFG∽△DOB，根据相似三
角形周长的比等于相似比表示△EFG周长═ （﹣m2+2m+8）= [﹣（m
﹣1）2+9]，根据二次函数的顶点确定其最值；
（3）分二种情况讨论：分别以D、B两个顶点为直角时，列方程组，求出点E的坐标，
根据两垂直直线的一次项系数为负倒数得出结论．
【解答】解：（1）如图1，把A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3）代入y=ax2+bx+c中，得：
，
解得： ，
则二次函数的解析式y=﹣ x2+ x+2；
（2）如图2，设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（4，0），C（﹣2，﹣3）代入y=kx+b中得： ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为y= x﹣2，
设E（m，﹣ m2+ m+2），﹣2＜m＜4，
∵EG⊥y轴，
∴E和G的纵坐标相等，
∵点G在直线BC上，
当y=﹣ m2+ m+2时，﹣ m2+ m+2= x﹣2，
x=﹣m2+3m+8，
第31页（共35页）则G（﹣m2+3m+8，﹣ m2+ m+2），
∴EG=﹣m2+3m+8﹣m=﹣m2+2m+8，
∵EG∥AB，
∴∠EGF=∠OBD，
∵∠EFG=∠BOD=90°，
∴△EFG∽△DOB，
∴ = ，
∵D（0，﹣2），B（4，0），
∴OB=4，OD=2，
∴BD= =2 ，
∴ =﹣ ，
∴△EFG的周长= （﹣m2+2m+8），
= [﹣（m﹣1）2+9]，
∴当m=1时，△EFG周长最大，最大值是 ；
（3）存在点E，
分两种情况：
①若∠EBD=90°，则BD⊥BE，如图3，
设BD的解析式为：y=kx+b，
把B（4，0）、D（0，﹣2）代入得： ，
解得： ，
∴BD的解析式为：y= x﹣2，
∴设直线EB的解析式为：y=﹣2x+b，
第32页（共35页）把B（4，0）代入得：b=8，
∴直线EB的解析式为：y=﹣2x+8，
∴ ，
﹣ x2+ x+2=﹣2x+8，
解得：x =3，x =4（舍），
1 2
当x=3时，y=﹣2×3+8=2，
∴E（3，2），
②当BD⊥DE时，即∠EDB=90°，如图4，
同理得：DE的解析式为：y=﹣2x+b，
把D（0，﹣2）代入得：b=﹣2，
∴DE的解析式为：y=﹣2x﹣2，
∴ ，
解得： ，
∴E（8，﹣18）或（﹣1，0），
综上所述，点E（3，2）或（8，﹣18）或（﹣1，0），
故存在满足条件的点E，点E的坐标为（3，2）或（﹣1，0）或（8，18）．
第33页（共35页）【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数、一次函数
的解析式；根据两直线垂直，则一次项系数为负倒数，利用一条直线求另一条直
线的解析式；若三角形直角三角形时，要采用分类讨论的思想，分二种情况进行
讨论，利用勾股定理或解析式或相似求出点E的坐标．
第34页（共35页）参与本试卷答题和审题的老师有：三界无我；sd2011；神龙杉；守拙；sks；HJJ；sjzx；
zgm666；nhx600；Ldt；szl；星月相随；1987483819；gbl210；知足长乐；王学峰；gsls；
tcm123（排名不分先后）
菁优网
2017年3月1日
第35页（共35页）
