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2016 年山东省枣庄市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，
请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个
均计零分。
1．（3分）下列计算，正确的是（ ）
A．a2•a2=2a2B．a2+a2=a4 C．（﹣a2）2=a4 D．（a+1）2=a2+1
2．（3分）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°36′，在OB上有一点E，从
E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的
度数是（ ）
A．75°36′ B．75°12′ C．74°36′ D．74°12′
3．（3分）某中学篮球队12名队员的年龄如表：
年龄 13 14 15 16
（岁）
人数 1 5 4 2
关于这12名队员年龄的年龄，下列说法错误的是（ ）
A．众数是14 B．极差是3C．中位数是14.5 D．平均数是14.8
4．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与
∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
5．（3分）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A．5B．﹣1 C．2D．﹣5
第1页（共34页）6．（3分）有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现
把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜
色是（ ）
A．白 B．红 C．黄 D．黑
7．（3分）如图，△ABC的面积为6，AC=3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C
落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可能是（ ）
A．3B．4C．5.5 D．10
8．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一
次函数y=kx+b的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于
（ ）
A． B． C．5D．4
10．（3分）已知点P（a+1，﹣ +1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范
围在数轴上表示正确的是（ ）
第2页（共34页）A． B．
C． D．
11．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2 ，则阴影部分
的面积为（ ）
A．2π B．πC． D．
12．（3分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个
结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6小题，满分24分，只填写最后结果，每小题填对得4分。
13．（4分）计算： ﹣2﹣1+ ﹣|﹣2|= ．
14．（4分）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下
数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为 米
（结果精确到0.1米，参考数据： =1.41， =1.73）．
第3页（共34页）15．（4分）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，
若AC=2，则tanD= ．
16．（4分）如图，点A的坐标为（﹣4，0），直线y= x+n与坐标轴交于点B、C，连
接AC，如果∠ACD=90°，则n的值为 ．
17．（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC= ，将△ABC绕点A顺时针方向旋
转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ．
18．（4分）一列数a ，a ，a ，…满足条件：a = ，a = （n≥2，且n为整数），
1 2 3 1 n
则a = ．
2016
三、解答题：本大题共7小题，满分60分，解答时，要写出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤。
第4页（共34页）19．（8分）先化简，再求值： ，其中a是方程2x2+x﹣3=0的
解．
20．（8分）P 表示n边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些
n
交点都不重合，那么P 与n的关系式是：P = •（n2﹣an+b）（其中a，b是常
n n
数，n≥4）
（1）通过画图，可得：四边形时，P = ；五边形时，P =
4 5
（2）请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a，b的值．
21．（8分）小军同学在学校组织的社会实践活动中，负责了解他所居住的小区
450户具名的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用水量（单位：
t），并绘制了样本的频数分布表：
月均用水量 2≤x＜3 3≤x＜4 4≤x＜5 5≤x＜6 6≤x＜7 7≤x＜8 8≤x＜9
频数 2 12 ① 10 ② 3 2
百分比 4% 24% 30% 20% ③ 6% 4%
（1）请根据题中已有的信息补全频数分布：① ，② ，③ ；
（2）如果家庭月均用水量在5≤x＜8范围内为中等用水量家庭，请你通过样本估
计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？
（3）记月均用水量在2≤x＜3范围内的两户为a ，a ，在7≤x＜8范围内的3户
1 2
b 、b 、b ，从这5户家庭中任意抽取2户，试完成下表，并求出抽取出的2户家庭
1 2 3
来自不同范围的概率．
a a b b b
1 2 1 2 3
a
1
a
2
第5页（共34页）b
1
b
2
b
3
22．（8分）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B
重合），过点F的反比例函数y= （k＞0）的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？
23．（8分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、
AB，∠PBA=∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2 ，求BC的长．
第6页（共34页）24．（10分）如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，
AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6 ，∠BAD=60°，且AB＞6 ．
（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP=10，求AE+AF的值；
（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长
的最大值和最小值．
第7页（共34页）25．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物
线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离
之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的
点P的坐标．
第8页（共34页）2016 年山东省枣庄市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，
请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个
均计零分。
1．（3分）（2016•枣庄）下列计算，正确的是（ ）
A．a2•a2=2a2B．a2+a2=a4 C．（﹣a2）2=a4 D．（a+1）2=a2+1
【分析】根据同底数幂相乘判断A，根据合并同类项法则判断B，根据积的乘方与
幂的乘方判断C，根据完全平方公式判断D．
【解答】解：A、a2•a2=a4，故此选项错误；
B、a2+a2=2a2，故此选项错误；
C、（﹣a2）2=a4，故此选项正确；
D、（a+1）2=a2+2a+1，故此选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了幂的运算、合并同类项法则及完全平方公式，熟练掌握其
法则是解题的关键．
2．（3分）（2016•枣庄）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°36′，在OB上
有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，
则∠DEB的度数是（ ）
A．75°36′ B．75°12′ C．74°36′ D．74°12′
【分析】过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，故
∠1=∠3；然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1=∠2；最后由三角形的内角和
第9页（共34页）定理求得∠DEB的度数．
【解答】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．
∵入射角等于反射角，
∴∠1=∠3，
∵CD∥OB，
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）；
∴∠2=∠3（等量代换）；
在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=37°36′，
∴∠2=90°﹣37°36′=52°24′；
∴在△DEF中，∠DEB=180°﹣2∠2=75°12′．
故选B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是根据题意找到法线，然
后由法线的性质来解答问题．
3．（3分）（2016•枣庄）某中学篮球队12名队员的年龄如表：
年龄 13 14 15 16
（岁）
人数 1 5 4 2
关于这12名队员年龄的年龄，下列说法错误的是（ ）
A．众数是14 B．极差是3C．中位数是14.5 D．平均数是14.8
【分析】分别利用极差以及中位数和众数以及平均数的求法分别分析得出答案．
【解答】解：由图表可得：14岁的有5人，故众数是14，故选项A正确，不合题意；
极差是：16﹣13=3，故选项B正确，不合题意；
中位数是：14.5，故选项C正确，不合题意；
平均数是：（13+14×5+15×4+16×2）÷12≈14.5，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
第10页（共34页）【点评】此题主要考查了极差以及中位数和众数以及平均数的求法，正确把握相
关定义是解题关键．
4．（3分）（2016•枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，
∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
【分析】先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得
∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，则2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到
∠D= ∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．
【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠ACE=∠A+∠ABC，
即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，
∴2∠1=2∠3+∠A，
∵∠1=∠3+∠D，
∴∠D= ∠A= ×30°=15°．
故选A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角
形外角性质进行分析．
第11页（共34页）5．（3分）（2016•枣庄）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根
为（ ）
A．5B．﹣1 C．2D．﹣5
【分析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，可以设出另一个根，然后根
据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．
【解答】解：∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，设另一个根为m，
∴﹣2+m= ，
解得，m=﹣1，
故选B．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数
与二次项系数比值的相反数．
6．（3分）（2016•枣庄）有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法
完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面
的对面的颜色是（ ）
A．白 B．红 C．黄 D．黑
【分析】根据图形可得涂有绿色一面的邻边是白，黑，红，蓝，即可得到结论．
【解答】解：∵涂有绿色一面的邻边是白，黑，红，蓝，
∴涂成绿色一面的对面的颜色是黄色，
故选C．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字问题，此类问题可以制作一个正
方体，根据题意在各个面上标上图案，再确定对面上的图案，可以培养动手操作
能力和空间想象能力．
7．（3分）（2016•枣庄）如图，△ABC的面积为6，AC=3，现将△ABC沿AB所在直线
翻折，使点C落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可
第12页（共34页）能是（ ）
A．3B．4C．5.5 D．10
【分析】过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，根据折叠得出∠C′AB=∠CAB，根据角
平分线性质得出BN=BM，根据三角形的面积求出BN，即可得出点B到AD的最短
距离是4，得出选项即可．
【解答】解：如图：
过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，
∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，
∴∠C′AB=∠CAB，
∴BN=BM，
∵△ABC的面积等于6，边AC=3，
∴ ×AC×BN=6，
∴BN=4，
∴BM=4，
即点B到AD的最短距离是4，
∴BP的长不小于4，
即只有选项A的3不正确，
故选A．
【点评】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，角平分线性质的应用，解此题的
关键是求出B到AD的最短距离，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
8．（3分）（2016•枣庄）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的
第13页（共34页）实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大
于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．
【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4（kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；
D．k＜0，b=0，即kb=0，故D不正确；
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方
程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）
△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△
⇔
＜0 方程没有实数根．
⇔ ⇔
9．（3分）（2016•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则
DH等于（ ）
A． B． C．5D．4
【分析】根据菱形性质求出AO=4，OB=3，∠AOB=90°，根据勾股定理求出AB，再根
据菱形的面积公式求出即可．
第14页（共34页）【解答】解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，
∵AC=8，DB=6，
∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，
由勾股定理得：AB= =5，
∵S = ，
菱形ABCD
∴ ，
∴DH= ，
故选A．
【点评】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S
菱形
= 是解此题的关键．
ABCD
10．（3分）（2016•枣庄）已知点P（a+1，﹣ +1）关于原点的对称点在第四象限，则
a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D ．
【分析】根据关于原点对称点的性质得出对应点坐标，再利用第四象限点的坐标
性质得出答案．
【解答】解：∵点P（a+1，﹣ +1）关于原点的对称点坐标为：（﹣a﹣1， ﹣1），该
第15页（共34页）点在第四象限，
∴ ，
解得：a＜﹣1，
则a的取值范围在数轴上表示为：
．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及不等式组的解法，正确得出
关于a的不等式组是解题关键．
11．（3分）（2016•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2
，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π B．πC． D．
【分析】要求阴影部分的面积，由图可知，阴影部分的面积等于扇形COB的面积，
根据已知条件可以得到扇形COB的面积，本题得以解决．
【解答】解：∵∠CDB=30°，
∴∠COB=60°，
又∵弦CD⊥AB，CD=2 ，
∴OC= ，
∴ ，
故选D．
第16页（共34页）【点评】本题考查扇形面积的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的
条件，利用数形结合的思想解答问题．
12．（3分）（2016•枣庄）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，
给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的
结论有（ ）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
【分析】首先根据二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，可得c=0，所以abc=0；然
后根据x=1时，y＜0，可得a+b+c＜0；再根据图象开口向下，可得a＜0，图象的对
称轴为x=﹣ ，可得﹣ ，b＜0，所以b=3a，a＞b；最后根据二次函数
y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，可得△＞0，所以b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，据
此解答即可．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，
∴c=0，
∴abc=0
∴①正确；
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②不正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴是x=﹣ ，
第17页（共34页）∴﹣ ，b＜0，
∴b=3a，
又∵a＜0，b＜0，
∴a＞b，
∴③正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，
∴④正确；
综上，可得
正确结论有3个：①③④．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的
关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物
线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同
决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号
时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴
交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
二、填空题：本大题共6小题，满分24分，只填写最后结果，每小题填对得4分。
13．（4分）（2016•枣庄）计算： ﹣2﹣1+ ﹣|﹣2|= 2 ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及结合绝对值的性质和二次根式的性质
分别化简求出答案．
【解答】解： ﹣2﹣1+ ﹣|﹣2|
=3﹣ +2﹣2
=2 ．
第18页（共34页）故答案为：2 ．
【点评】此题主要考查了实数运算，根据题意正确化简各数是解题关键．
14．（4分）（2016•枣庄）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测
量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD
为 2. 9 米（结果精确到0.1米，参考数据： =1.41， =1.73）．
【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4m，再根据勾股定理可得
MC2+MB2=（2MC）2，代入数可得答案．
【解答】解：由题意可得：∵AM=4米，∠MAD=45°，
∴DM=4m，
∵AM=4米，AB=8米，
∴MB=12米，
∵∠MBC=30°，
∴BC=2MC，
∴MC2+MB2=（2MC）2，
MC2+122=（2MC）2，
∴MC=4 ，
则DC=4 ﹣4≈2.9（米），
故答案为：2.9．
【点评】此题主要考查了勾股定理得应用，关键是掌握直角三角形中，两直角边的
平方和等于斜边的平方．
15．（4分）（2016•枣庄）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，
连接AC，BD，若AC=2，则tanD= 2 ．
第19页（共34页）【分析】连接BC可得RT△ACB，由勾股定理求得BC的长，进而由tanD=tanA= 可
得答案．
【解答】解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=6，AC=2，
∴BC= = =4 ，
又∵∠D=∠A，
∴tanD=tanA= = =2 ．
故答案为：2 ．
【点评】本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形，连接BC构造直
角三角形是解题的关键．
16．（4分）（2016•枣庄）如图，点A的坐标为（﹣4，0），直线y= x+n与坐标轴交
于点B、C，连接AC，如果∠ACD=90°，则n的值为 ．
第20页（共34页）【分析】由直线y= x+n与坐标轴交于点B，C，得B点的坐标为（﹣ n，0），C点
的坐标为（0，n），由A点的坐标为（﹣4，0），∠ACD=90°，用勾股定理列出方程求
出n的值．
【解答】解：∵直线y= x+n与坐标轴交于点B，C，
∴B点的坐标为（﹣ n，0），C点的坐标为（0，n），
∵A点的坐标为（﹣4，0），∠ACD=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∵AC2=AO2+OC2，BC2=OB2+OC2，
∴AB2=AO2+OC2+OB2+OC2，
即（﹣ n+4）2=42+n2+（﹣ n）2+n2
解得n=﹣ ，n=0（舍去）．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及解直角三角形，解题的
关键是利用勾股定理列出方程求n．
17．（4分）（2016•枣庄）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC= ，将△ABC绕点A
顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ﹣ 1 ．
第21页（共34页）【分析】连接BB′，根据旋转的性质可得AB=AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据
等边三角形的三条边都相等可得 AB=BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和
△B′BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于
D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等
边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD﹣C′D
计算即可得解．
【解答】解：如图，连接BB′，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴AB=BB′，
在△ABC′和△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠ABC′=∠B′BC′，
延长BC′交AB′于D，
则BD⊥AB′，
∵∠C=90°，AC=BC= ，
∴AB= =2，
∴BD=2× = ，
C′D= ×2=1，
第22页（共34页）∴BC′=BD﹣C′D= ﹣1．
故答案为： ﹣1．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与
性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出 BC′在等边三
角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．
18．（4分）（2016•枣庄）一列数a ，a ，a ，…满足条件：a = ，a = （n≥2，且
1 2 3 1 n
n为整数），则a = ﹣ 1 ．
2016
【分析】根据题意求出a ，a ，a ，…的值，找出循环规律即可求解．
1 2 3
【解答】解：a = ，a = =2，a = =﹣1，a = = …
1 2 3 4
可以发现：数列以 ，2，﹣1循环出现，
2016÷3=672，
所以a =﹣1．
2016
故答案为﹣1．
【点评】此题主要考查数列的规律探索，认真计算找出循环出现的规律是解题的
关键．
三、解答题：本大题共7小题，满分60分，解答时，要写出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤。
19．（8分）（2016•枣庄）先化简，再求值： ，其中a是方程
第23页（共34页）2x2+x﹣3=0的解．
【分析】先化简代数式、解方程，然后结合分式的性质对a的值进行取舍，并代入
求值即可．
【解答】解：原式= ÷ ，
= • ，
= ．
由2x2+x﹣3=0得到：x =1，x =﹣ ，
1 2
又a﹣1≠0即a≠1，
所以a=﹣ ，
所以原式= =﹣ ．
【点评】本题考查了分式的化简求值．解答该题时，一定要注意分式的分母不等于
零这一限制性条件，以防错解该题．
20．（8分）（2016•枣庄）P 表示n边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交
n
点），如果这些交点都不重合，那么P 与n的关系式是：P = •（n2﹣an+b）
n n
（其中a，b是常数，n≥4）
（1）通过画图，可得：四边形时，P = 1 ；五边形时，P = 5
4 5
（2）请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a，b的值．
【分析】（1）依题意画出图形，数出图形中对角线交点的个数即可得出结论；
（2）将（1）中的数值代入公式可得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可
得出结论．
【解答】解：（1）画出图形如下．
第24页（共34页）由画形，可得：
当n=4时，P =1；当n=5时，P =5．
4 5
故答案为：1；5．
（2）将（1）中的数值代入公式，
得： ，
解得： ．
【点评】本题考查了多边形的对角线、作图以及二元一次方程组的应用，解题的关
键是：（1）画出图形，数出对角线交点的个数；（2）代入数据得出关于a、b的二元
一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，依据题意画出图形
利用数形结合解决问题是关键．
21．（8分）（2016•枣庄）小军同学在学校组织的社会实践活动中，负责了解他所
居住的小区450户具名的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用
水量（单位：t），并绘制了样本的频数分布表：
月均 2≤x＜ 3≤x＜ 4≤x＜ 5≤x＜ 6≤x＜ 7≤x＜ 8≤x＜
用水量 3 4 5 6 7 8 9
频数 2 12 ① 10 ② 3 2
百分 4% 24% 30% 20% ③ 6% 4%
比
（1）请根据题中已有的信息补全频数分布：① 1 5 ，② 6 ，③ 12% ；
（2）如果家庭月均用水量在5≤x＜8范围内为中等用水量家庭，请你通过样本估
计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？
（3）记月均用水量在2≤x＜3范围内的两户为a ，a ，在7≤x＜8范围内的3户
1 2
b 、b 、b ，从这5户家庭中任意抽取2户，试完成下表，并求出抽取出的2户家庭
1 2 3
来自不同范围的概率．
第25页（共34页）a a b b b
1 2 1 2 3
a
1
a
2
b
1
b
2
b
3
【分析】（1）根据频数的相关知识列式计算即可．
（2）用总体乘以样本中中等用水量家庭的百分比即可；
（3）先完成表格，再求概率即可．
【解答】解：（1）①50×30%=15，
②50﹣2﹣12﹣15﹣10﹣3﹣2=6，
③6÷50=0.12=12%，
故答案为：15，6，12%；
（2）中等用水量家庭大约有450×（20%+12%+6%）=171（户）；
（3）
抽取出的2户家庭来自不同范围的概率：
P= = ．
【点评】此题主要考查频数分布表和概率的相关知识，会求频数，会用样本估计总
体，会用列表法求事件的概率是解题的关键．
22．（8分）（2016•枣庄）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动
第26页（共34页）点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y= （k＞0）的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式
即可；
（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二
次函数求出最值即可．
【解答】解：（1）∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2，
∴B（3，2），
∵F为AB的中点，
∴F（3，1），
∵点F在反比例函数y= （k＞0）的图象上，
∴k=3，
∴该函数的解析式为y= （x＞0）；
（2）由题意知E，F两点坐标分别为E（ ，2），F（3， ），
∴S = AF•BE= × k（3﹣ k），
△EFA
= k﹣ k2
=﹣ （k2﹣6k+9﹣9）
=﹣ （k﹣3）2+
第27页（共34页）当k=3时，S有最大值．
S = ．
最大值
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数
法确定反比例解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关
键．
23．（8分）（2016•枣庄）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一
点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2 ，求BC的长．
【分析】（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由
OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；
（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．
【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2 ，
第28页（共34页）∴OB=2 ，AC=4 ，
∵OP∥BC，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴ ，
即 ，
∴BC=2．
【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定
与性质；熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键．
24．（10分）（2016•枣庄）如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分
别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6 ，∠BAD=60°，且AB＞6 ．
（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP=10，求AE+AF的值；
（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长
的最大值和最小值．
【分析】（1）根据锐角三角函数求出∠FPG，最后求出∠EPF．
（2）先判断出Rt△PME≌Rt△PNF，再根据锐角三角函数求解即可，
（3）根据运动情况及菱形的性质判断求出AP最大和最小值．
第29页（共34页）【解答】解：（1）过点P作PG⊥EF于点G，如图1所示．
∵PE=PF=6，EF=6 ，
∴FG=EG=3 ，∠FPG=∠EPG= ∠EPF．
在Rt△FPG中，sin∠FPG= = = ，
∴∠FPG=60°，
∴∠EPF=120°．
（2）过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AD于点N，如图2所示．
∵AC为菱形ABCD的对角线，
∴∠DAC=∠BAC，AM=AN，PM=PN．
在Rt△PME和Rt△PNF中，PM=PN，PE=PF，
∴Rt△PME≌Rt△PNF，
∴ME=NF．
又AP=10，∠PAM= ∠DAB=30°，
∴AM=AN=APcos30°=10× =5 ，
∴AE+AF=（AM+ME）+（AN﹣NF）=AM+AN=10 ．
（3）如图，
第30页（共34页）当△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P′，P之间运动，
∴P′O=PO=3，AO=9，
∴AP的最大值为12，AP的最小值为6，
【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的
三角函数，解本题的关键是作出辅助线．
25．（10分）（2016•枣庄）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=
﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离
之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的
点P的坐标．
【分析】（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，
再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求
出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方
程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1
代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（﹣1+3）
第31页（共34页）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t
值即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）依题意得： ，
解之得： ，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3
∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，
得 ，
解之得： ，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；
（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，
∴M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；
（3）设P（﹣1，t），
又∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t = ，
1
t = ；
2
第32页（共34页）综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1， ） 或（﹣1， ）．
【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和
一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一
道不错的中考压轴题．
第33页（共34页）参与本试卷答题和审题的老师有：三界无我；HLing；sd2011；1987483819；
zgm666；王学峰；家有儿女；知足长乐；zjx111；gbl210；放飞梦想；冯新明；
nhx600；曹先生；守拙；星月相随；wd1899（排名不分先后）
菁优网
2017年3月1日
第34页（共34页）
