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2016年山东省潍坊市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分
1．（3分）（2016•潍坊）计算：20•2﹣3=（ ）
A．﹣ B． C．0 D．8
2．（3分）（2016•潍坊）下列科学计算器的按键中，其上面标注的符号是轴对称图形但不是中
心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2016•潍坊）如图，几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯
视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2016•潍坊）近日，记者从潍坊市统计局获悉，2016年第一季度潍坊全市实现生产
总值1256.77亿元，将1256.77亿用科学记数法可表示为（精确到百亿位）（ ）
A．1.2×1011 B．1.3×1011 C．1.26×1011 D．0.13×1012
5．（3分）（2016•潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果
是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
6．（3分）（2016•潍坊）关于x的一元二次方程x2﹣ x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角
α等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
7．（3分）（2016•潍坊）木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆
的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，
其中正确的是（ ）
第1页（共23页）A． B．
C． D．
8．（3分）（2016•潍坊）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
9．（3分）（2016•潍坊）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分
别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是（ ）
A．10 B．8 C．4 D．2
10．（3分）（2016•潍坊）若关于x的方程 + =3的解为正数，则m的取值范围是（
）
A．m＜ B．m＜ 且m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣ 且m≠﹣
11．（3分）（2016•潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2 ，以直角边AC为直径作
⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
第2页（共23页）A． ﹣ B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣
12．（3分）（2016•潍坊）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为
一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分
13．（3分）（2016•潍坊）计算： （ + ）= ．
14．（3分）（2016•潍坊）若3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项，则m+n= ．
15．（3分）（2016•潍坊）超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：
测试项目 创新能力 综合知识 语言表达
测试成绩（分数） 70 80 92
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的
总成绩是 分．
16．（3分）（2016•潍坊）已知反比例函数y= （k≠0）的图象经过（3，﹣1），则当1＜y＜3时，
自变量x的取值范围是 ．
17．（3分）（2016•潍坊）已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边
OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是 ．
18．（3分）（2016•潍坊）在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A ，如图所示依
1
次作正方形A B C O、正方形A B C C 、…、正方形A B C C ，使得点A 、A 、A 、…在直
1 1 1 2 2 2 1 n n n n﹣1 1 2 3
线l上，点C 、C 、C 、…在y轴正半轴上，则点B 的坐标是 ．
1 2 3 n
第3页（共23页）三、解答题：本大题共7小题，共66分
19．（6分）（2016•潍坊）关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是 ，求另一个根及m的值．
20．（9分）（2016•潍坊）今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评
估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．
评估成绩n（分） 评定等级 频数
90≤n≤100 A 2
80≤n＜90 B
70≤n＜80 C 15
n＜70 D 6
根据以上信息解答下列问题：
（1）求m的值；
（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）
（3）从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等
级的概率．
21．（8分）（2016•潍坊）正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧 上取一点E，连接
DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：
第4页（共23页）（1）四边形EBFD是矩形；
（2）DG=BE．
22．（9分）（2016•潍坊）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上
的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的
仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）
23．（10分）（2016•潍坊）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观
光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律
如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加
5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．
第5页（共23页）（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为
多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）
（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
24．（12分）（2016•潍坊）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点
E，DF⊥BC于点F．
（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN= AC；
（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点
G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3 时，求旋转角的大小并指明旋转方向．
25．（12分）（2016•潍坊）如图，已知抛物线y= x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A
（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，
当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
第6页（共23页）（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形
与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
2016 年山东省潍坊市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分
1．（3分）（2016•潍坊）计算：20•2﹣3=（ ）
A．﹣ B． C．0 D．8
【考点】负整数指数幂；零指数幂．
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【分析】直接利用负整数指数幂的性质结合零指数幂的性质分析得出答案．
【解答】解：20•2﹣3=1× = ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质和零指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题
关键．
2．（3分）（2016•潍坊）下列科学计算器的按键中，其上面标注的符号是轴对称图形但不是中
心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
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【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
第7页（共23页）【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重
合．
3．（3分）（2016•潍坊）如图，几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯
视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【分析】根据俯视图的概念和看得到的边都应用实线表现在三视图中、看不到，又实际存在的，
又没有被其他边挡住的边用虚线表现在三视图中解答即可．
【解答】解：图中几何体的俯视图是C选项中的图形．
故选：C．
【点评】本题考查的是简单几何体的三视图，掌握主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正
面，左面，上面看得到的图形是解题的关键．
4．（3分）（2016•潍坊）近日，记者从潍坊市统计局获悉，2016年第一季度潍坊全市实现生产
总值1256.77亿元，将1256.77亿用科学记数法可表示为（精确到百亿位）（ ）
A．1.2×1011B．1.3×1011C．1.26×1011D．0.13×1012
【考点】科学记数法与有效数字．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1256.77亿用科学记数法可表示为1.3×1011．
故选B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）（2016•潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果
是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
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【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的
性质化简得出答案．
【解答】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，
则|a|+
第8页（共23页）=﹣a﹣（a﹣b）
=﹣2a+b．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．
6．（3分）（2016•潍坊）关于x的一元二次方程x2﹣ x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角
α等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【考点】根的判别式；特殊角的三角函数值．
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【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出sinα= ，再由α为锐角，即可得
出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣ x+sinα=0有两个相等的实数根，
∴△= ﹣4sinα=2﹣4sinα=0，
解得：sinα= ，
∵α为锐角，
∴α=30°．
故选B．
【点评】本题考查了根的判别式以及特殊角的三角形函数值，解题的关键是求出sinα= ．本
题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等
式或不等式组）是关键．
7．（3分）（2016•潍坊）木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆
的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，
其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轨迹；直角三角形斜边上的中线．
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【分析】先连接OP，易知OP是Rt△AOB斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半，可得OP= AB，由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么OP就是一个定值，
那么P点就在以O为圆心的圆弧上．
【解答】解：如右图，
连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，
所以OP= AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为
圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．
第9页（共23页）故选D．
【点评】本题考查了轨迹，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是知道直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半．
8．（3分）（2016•潍坊）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
【考点】因式分解的意义．
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【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果．
【解答】解：∵a2﹣1=（a+1）（a﹣1），
a2+a=a（a+1），
a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），
（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，
∴结果中不含有因式a+1的是选项C；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．
9．（3分）（2016•潍坊）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分
别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是（ ）
A．10 B．8 C．4 D．2
【考点】切线的性质；坐标与图形性质．
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【分析】如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H，先证明四边形OAMH是矩形，根据垂径定
理求出HB，在RT△AOM中求出OM即可．
【解答】解：如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H．
第10页（共23页）∵⊙M与x轴相切于点A（8，0），
∴AM⊥OA，OA=8，
∴∠OAM=∠MH0=∠HOA=90°，
∴四边形OAMH是矩形，
∴AM=OH，
∵MH⊥BC，
∴HC=HB=6，
∴OH=AM=10，
在RT△AOM中，OM= = =2 ．
故选D．
【点评】本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正
确添加辅助线，构造直角三角形．
10．（3分）（2016•潍坊）若关于x的方程 + =3的解为正数，则m的取值范围是（
）
A．m＜ B．m＜ 且m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣ 且m≠﹣
【考点】分式方程的解．
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【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出
答案．
【解答】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，
整理得：2x=﹣2m+9，
解得：x= ，
∵关于x的方程 + =3的解为正数，
∴﹣2m+9＞0，
级的：m＜ ，
当x=3时，x= =3，
解得：m= ，
第11页（共23页）故m的取值范围是：m＜ 且m≠ ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式方程的解以及不等式的解法，正确解分式方程是解题关键．
11．（3分）（2016•潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2 ，以直角边AC为直径作
⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． ﹣ B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣
【考点】扇形面积的计算；含30度角的直角三角形．
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【分析】连接连接OD、CD，根据S阴=S
△ABC
﹣S
△ACD
﹣（S扇形OCD ﹣S
△OCD
）计算即可解决问题．
【解答】解：如图连接OD、CD．
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∵BC是切线．
∴∠ACB=90°，∵BC=2 ，
∴AB=4 ，AC=6，
∴S阴=S
△ABC
﹣S
△ACD
﹣（S扇形OCD ﹣S
△OCD
）
= ×6×2 ﹣ ×3× ﹣（ ﹣ ×32）
= ﹣ π．
故选A．
【点评】本题考查扇形面积公式、直角三角形30度角性质、等边三角形性质等知识，解题的关
键是学会分割法求面积，属于中考常考题型．
第12页（共23页）12．（3分）（2016•潍坊）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为
一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23
【考点】一元一次不等式组的应用．
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【分析】根据运算程序，前两次运算结果小于等于95，第三次运算结果大于95列出不等式组，
然后求解即可．
【解答】解：由题意得， ，
解不等式①得，x≤47，
解不等式②得，x≤23，
解不等式③得，x＞11，
所以，x的取值范围是11＜x≤23．
故选C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运输程序并列出不等式组
是解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分
13．（3分）（2016•潍坊）计算： （ + ）= 1 2 ．
【考点】二次根式的混合运算．
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【专题】计算题．
【分析】先把 化简，再本括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算．
【解答】解：原式= •（ +3 ）
= ×4
=12．
故答案为12．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的
乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用
二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
14．（3分）（2016•潍坊）若3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项，则m+n= ．
【考点】同类项．
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【分析】直接利用同类项的定义得出关于m，n的等式，进而求出答案．
【解答】解：∵3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项，
∴ ，
第13页（共23页）解得：
则m+n= + = ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了同类项，正确把握同类项的定义是解题关键．
15．（3分）（2016•潍坊）超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：
测试项目 创新能力 综合知识 语言表达
测试成绩（分数） 70 80 92
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的
总成绩是 77. 4 分．
【考点】加权平均数．
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【分析】根据该应聘者的总成绩=创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达×所
占的比值即可求得．
【解答】解：根据题意，该应聘者的总成绩是：70× +80× +92× =77.4（分），
故答案为：77.4．
【点评】此题考查了加权平均数，解题的关键是熟记加权平均数的计算方法．
16．（3分）（2016•潍坊）已知反比例函数y= （k≠0）的图象经过（3，﹣1），则当1＜y＜3时，
自变量x的取值范围是 ﹣ 3 ＜ x ＜﹣ 1 ．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
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【分析】根据反比例函数过点（3，﹣1）结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，根据
k值可得出反比例函数在每个象限内的函数图象都单增，分别代入y=1、y=3求出x值，即可
得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y= （k≠0）的图象经过（3，﹣1），
∴k=3×（﹣1）=﹣3，
∴反比例函数的解析式为y= ．
∵反比例函数y= 中k=﹣3，
∴该反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内均单增．
当y=1时，x= =﹣3；
当y=3时，x= =﹣1．
∴1＜y＜3时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1．
故答案为：﹣3＜x＜﹣1．
第14页（共23页）【点评】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是
求出k值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由点的坐标结合反比例函数图象
上点的坐标特征求出k值，再根据反比例函数的性质找出去增减性是关键．
17．（3分）（2016•潍坊）已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边
OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是 2 ．
【考点】轴对称-最短路线问题．
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【分析】过M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距
离之和的最小值，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，
则MN′的长度等于PM+PN的最小值，
即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，
∵∠ON′M=90°，OM=4，
∴MN′=OM•sin60°=2 ，
∴点P到点M与到边OA的距离之和的最小值为2 ．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．
18．（3分）（2016•潍坊）在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A ，如图所示依
1
次作正方形A B C O、正方形A B C C 、…、正方形A B C C ，使得点A 、A 、A 、…在直
1 1 1 2 2 2 1 n n n n﹣1 1 2 3
线l上，点C 、C 、C 、…在y轴正半轴上，则点B 的坐标是 （ 2 n﹣ 1 ， 2 n ﹣ 1 ） ．
1 2 3 n
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．
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【专题】规律型．
【分析】先求出B 、B 、B 的坐标，探究规律后即可解决问题．
1 2 3
【解答】解：∵y=x﹣1与x轴交于点A ，
1
∴A 点坐标（1，0），
1
∵四边形A B C O是正方形，
1 1 1
∴B 坐标（1，1），
1
∵C A ∥x轴，
1 2
第15页（共23页）∴A 坐标（2，1），
2
∵四边形A B C C 是正方形，
2 2 2 1
∴B 坐标（2，3），
2
∵C A ∥x轴，
2 3
∴A 坐标（4，3），
3
∵四边形A B C C 是正方形，
3 3 3 2
∴B （4，7），
3
∵B （20，21﹣1），B （21，22﹣1），B （22，23﹣1），…，
1 2 3
∴B 坐标（2n﹣1，2n﹣1）．
n
故答案为（2n﹣1，2n﹣1）．
【点评】本题考查一次函数图象上点的特征，正方形的性质等知识，解题的关键是学会从特殊
到一般的探究方法，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题：本大题共7小题，共66分
19．（6分）（2016•潍坊）关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是 ，求另一个根及m的值．
【考点】根与系数的关系．
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【分析】由于x= 是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后由根与系数的
关系来求方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为t．
依题意得：3×（ ）2+ m﹣8=0，
解得m=10．
又 t=﹣ ，
所以t=﹣4．
综上所述，另一个根是﹣4，m的值为10．
【点评】此题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根的定义，把方程的根代入原方程就可
以确定待定系数m的值．
20．（9分）（2016•潍坊）今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评
估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．
评估成绩n（分） 评定等级 频数
第16页（共23页）90≤n≤100 A 2
80≤n＜90 B
70≤n＜80 C 15
n＜70 D 6
根据以上信息解答下列问题：
（1）求m的值；
（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）
（3）从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等
级的概率．
【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图．
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【分析】（1）由C等级频数为15，占60%，即可求得m的值；
（2）首先求得B等级的频数，继而求得B等级所在扇形的圆心角的大小；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中至少有一家是A
等级的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵C等级频数为15，占60%，
∴m=15÷60%=25；
（2）∵B等级频数为：25﹣2﹣15﹣6=2，
∴B等级所在扇形的圆心角的大小为： ×360°=28.8°=28°48′；
（3）评估成绩不少于80分的连锁店中，有两家等级为A，有两家等级为B，画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，其中至少有一家是A等级的有10种情况，
∴其中至少有一家是A等级的概率为： = ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率
=所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）（2016•潍坊）正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧 上取一点E，连接
DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：
（1）四边形EBFD是矩形；
（2）DG=BE．
第17页（共23页）【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理．
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【专题】证明题．
【分析】（1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出
∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，∠EDF=90°，进而得出答案；
（2）直接利用正方形的性质 的度数是90°，进而得出BE=DF，则BE=DG．
【解答】证明：（1）∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，
又∵DF∥BE，
∴∠EDF+∠BED=180°，
∴∠EDF=90°，
∴四边形EBFD是矩形；
（2））∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴ 的度数是90°，
∴∠AFD=45°，
又∵∠GDF=90°，
∴∠DGF=∠DFC=45°，
∴DG=DF，
又∵在矩形EBFD中，BE=DF，
∴BE=DG．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及圆周角定理和矩形的判定等知识，正确应用正方
形的性质是解题关键．
22．（9分）（2016•潍坊）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上
的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的
仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
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【分析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，根据直角三角形的性质和勾股定理求
出DF、CF的长，根据正切的定义求出EF，得到BE的长，根据正切的定义解答即可．
【解答】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，
第18页（共23页）∵∠BCD=150°，
∴∠DCF=30°，又CD=4，
∴DF=2，CF= =2 ，
由题意得∠E=30°，
∴EF= =2 ，
∴BE=BC+CF+EF=6+4 ，
∴AB=BE×tanE=（6+4 ）× =（2 +4）米，
答：电线杆的高度为（2 +4）米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角
三角函数的定义是解题的关键．
23．（10分）（2016•潍坊）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观
光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律
如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加
5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．
（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为
多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）
（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
【考点】二次函数的应用．
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【分析】（1）观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费，根据不等关系：
净收入为正，列出不等式求解即可；
（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．
【解答】解：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，
由50x﹣1100＞0，
解得x＞22，
又∵x是5的倍数，
∴每辆车的日租金至少应为25元；
（2）设每辆车的净收入为y元，
当0＜x≤100时，y =50x﹣1100，
1
∵y 随x的增大而增大，
1
∴当x=100时，y 的最大值为50×100﹣1100=3900；
1
当x＞100时，
第19页（共23页）y =（50﹣ ）x﹣1100
2
=﹣ x2+70x﹣1100
=﹣ （x﹣175）2+5025，
当x=175时，y 的最大值为5025，
2
5025＞3900，
故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．
【点评】本题用分段函数模型考查了一次函数，二次函数的性质与应用，解决问题的关键是弄
清题意，分清收费方式．
24．（12分）（2016•潍坊）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点
E，DF⊥BC于点F．
（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN= AC；
（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点
G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3 时，求旋转角的大小并指明旋转方向．
【考点】旋转的性质；菱形的性质．
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【分析】（1）连接BD，证明△ABD为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到AE=EB，
根据相似三角形的性质解答即可；
（2）分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即可．
【解答】（1）证明：如图1，连接BD，交AC于O，
在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∵DE⊥AB，
∴AE=EB，
∵AB∥DC，
∴ = = ，
同理， = ，
∴MN= AC；
（2）解：∵AB∥DC，∠BAD=60°，
∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，
第20页（共23页）∴∠EDF=60°，
当∠EDF顺时针旋转时，
由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，
DE=DF= ，∠DEG=∠DFP=90°，
在△DEG和△DFP中，
，
∴△DEG≌△DFP，
∴DG=DP，
∴△DGP为等边三角形，
∴△DGP的面积= DG2=3 ，
解得，DG=2 ，
则cos∠EDG= = ，
∴∠EDG=60°，
∴当顺时针旋转60°时，△DGP的面积等于3 ，
同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也等于3 ，
综上所述，将△EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于3
．
【点评】本题考查的是菱形的性质和旋转变换，掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离
相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等是解题的
关键．
25．（12分）（2016•潍坊）如图，已知抛物线y= x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A
（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，
当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形
与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
第21页（共23页）【考点】二次函数综合题．
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【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）设点P（m， m2+2m+1），表示出PE=﹣ m2﹣3m，再用S四边形AECP =S
△AEC
+S
△APC
=
AC×PE，建立函数关系式，求出极值即可；
（3）先判断出PF=CF，再得到∠PCF=∠EAF，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，分两
种情况计算即可．
【解答】解：（1）∵点A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y= x2+2x+1，
（2）∵AC∥x轴，A（0，1）
∴ x2+2x+1=1，
∴x =6，x =0，
1 2
∴点C的坐标（﹣6，1），
∵点A（0，1）．B（﹣9，10），
∴直线AB的解析式为y=﹣x+1，
设点P（m， m2+2m+1）
∴E（m，﹣m+1）
∴PE=﹣m+1﹣（ m2+2m+1）=﹣ m2﹣3m，
∵AC⊥EP，AC=6，
∴S四边形AECP
=S +S
△AEC △APC
= AC×EF+ AC×PF
= AC×（EF+PF）
= AC×PE
第22页（共23页）= ×6×（﹣ m2﹣3m）
=﹣m2﹣9m
=﹣（m+ ）2+ ，
∵﹣6＜m＜0
∴当m=﹣ 时，四边形AECP的面积的最大值是 ，
此时点P（﹣ ，﹣ ）．
（3）∵y= x2+2x+1= （x+3）2﹣2，
∴P（﹣3，﹣2），
∴PF=y ﹣y =3，CF=x ﹣x =3，
F P F C
∴PF=CF，
∴∠PCF=45°
同理可得：∠EAF=45°，
∴∠PCF=∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的Q，
设Q（t，1）且AB=9 ，AC=6，CP=3
∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
∴ ，
∴ ，
∴t=﹣4，
∴Q（﹣4，1）
②当△CQP∽△ABC时，
∴ ，
∴ ，
∴t=3，
∴Q（3，1）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，几何图形面积
的求法（用割补法），解本题的关键是求函数解析式．
第23页（共23页）
