文档内容
2016年山东省潍坊市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分
1．计算：20•2﹣3=（ ）
A．﹣ B． C．0 D．8
2．下列科学计算器的按键中，其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是（
）
A． B． C． D．
3．如图，几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．近日，记者从潍坊市统计局获悉，2016年第一季度潍坊全市实现生产总值1256.77亿元，
将1256.77亿用科学记数法可表示为（精确到百亿位）（ ）
A．1.2×1011B．1.3×1011C．1.26×1011D．0.13×1012
5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
6．关于x的一元二次方程x2﹣ x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
7．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿
着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（
）
A． B． C． D．
8．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
第1页（共24页）9．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和
点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是（ ）
A．10 B．8 C．4 D．2
10．若关于x的方程 + =3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＜ 且m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣ 且m≠﹣
11．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2 ，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则
图中阴影部分的面积是（ ）
A． ﹣ B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣
12．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果
程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分
13．计算： （ + ）= ．
14．若3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项，则m+n= ．
15．超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：
测试项目 创新能力 综合知识 语言表达
第2页（共24页）测试成绩（分数） 70 80 92
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的
总成绩是 分．
16．已知反比例函数y= （k≠0）的图象经过（3，﹣1），则当1＜y＜3时，自变量x的取值范围
是 ．
17．已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则
点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是 ．
18．在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A ，如图所示依次作正方形
1
A B C O、正方形A B C C 、…、正方形A B C C ，使得点A 、A 、A 、…在直线l上，点
1 1 1 2 2 2 1 n n n n﹣1 1 2 3
C 、C 、C 、…在y轴正半轴上，则点B 的坐标是 ．
1 2 3 n
三、解答题：本大题共7小题，共66分
19．关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是 ，求另一个根及m的值．
20．今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照
评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．
评估成绩n（分） 评定等级 频数
90≤n≤100 A 2
80≤n＜90 B
70≤n＜80 C 15
n＜70 D 6
根据以上信息解答下列问题：
（1）求m的值；
（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）
（3）从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等
级的概率．
第3页（共24页）21．正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧 上取一点E，连接DE、BE，过点D作
DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：
（1）四边形EBFD是矩形；
（2）DG=BE．
22．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、
CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电
线杆的高度（结果保留根号）
23．旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只
能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过
100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观
光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．
（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为
多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）
（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
24．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN= AC；
（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点
G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3 时，求旋转角的大小并指明旋转方向．
第4页（共24页）25．如图，已知抛物线y= x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，
10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，
当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形
与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
第5页（共24页）2016 年山东省潍坊市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分
1．计算：20•2﹣3=（ ）
A．﹣ B． C．0 D．8
【考点】负整数指数幂；零指数幂．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质结合零指数幂的性质分析得出答案．
【解答】解：20•2﹣3=1× = ．
故选：B．
2．下列科学计算器的按键中，其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
3．如图，几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据俯视图的概念和看得到的边都应用实线表现在三视图中、看不到，又实际存在的，
又没有被其他边挡住的边用虚线表现在三视图中解答即可．
【解答】解：图中几何体的俯视图是C选项中的图形．
故选：C．
第6页（共24页）4．近日，记者从潍坊市统计局获悉，2016年第一季度潍坊全市实现生产总值1256.77亿元，
将1256.77亿用科学记数法可表示为（精确到百亿位）（ ）
A．1.2×1011B．1.3×1011C．1.26×1011D．0.13×1012
【考点】科学记数法与有效数字．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1256.77亿用科学记数法可表示为1.3×1011．
故选B．
5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的
性质化简得出答案．
【解答】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，
则|a|+
=﹣a﹣（a﹣b）
=﹣2a+b．
故选：A．
6．关于x的一元二次方程x2﹣ x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【考点】根的判别式；特殊角的三角函数值．
【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出sinα= ，再由α为锐角，即可得
出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣ x+sinα=0有两个相等的实数根，
∴△= ﹣4sinα=2﹣4sinα=0，
解得：sinα= ，
∵α为锐角，
∴α=30°．
故选B．
第7页（共24页）7．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿
着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（
）
A． B． C． D．
【考点】轨迹；直角三角形斜边上的中线．
【分析】先连接OP，易知OP是Rt△AOB斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半，可得OP= AB，由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么OP就是一个定值，
那么P点就在以O为圆心的圆弧上．
【解答】解：如右图，
连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，
所以OP= AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为
圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．
故选D．
8．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
【考点】因式分解的意义．
【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果．
【解答】解：∵a2﹣1=（a+1）（a﹣1），
a2+a=a（a+1），
a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），
（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，
∴结果中不含有因式a+1的是选项C；
故选：C．
9．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和
点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是（ ）
第8页（共24页）A．10 B．8 C．4 D．2
【考点】切线的性质；坐标与图形性质．
【分析】如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H，先证明四边形OAMH是矩形，根据垂径定
理求出HB，在RT△AOM中求出OM即可．
【解答】解：如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H．
∵⊙M与x轴相切于点A（8，0），
∴AM⊥OA，OA=8，
∴∠OAM=∠MH0=∠HOA=90°，
∴四边形OAMH是矩形，
∴AM=OH，
∵MH⊥BC，
∴HC=HB=6，
∴OH=AM=10，
在RT△AOM中，OM= = =2 ．
故选D．
10．若关于x的方程 + =3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＜ 且m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣ 且m≠﹣
【考点】分式方程的解．
【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出
答案．
【解答】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，
第9页（共24页）整理得：2x=﹣2m+9，
解得：x= ，
∵关于x的方程 + =3的解为正数，
∴﹣2m+9＞0，
级的：m＜ ，
当x=3时，x= =3，
解得：m= ，
故m的取值范围是：m＜ 且m≠ ．
故选：B．
11．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2 ，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则
图中阴影部分的面积是（ ）
A． ﹣ B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣
【考点】扇形面积的计算；含30度角的直角三角形．
【分析】连接连接OD、CD，根据S =S ﹣S ﹣（S ﹣S ）计算即可解决问题．
阴 △ABC △ACD 扇形OCD △OCD
【解答】解：如图连接OD、CD．
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
第10页（共24页）∵BC是切线．
∴∠ACB=90°，∵BC=2 ，
∴AB=4 ，AC=6，
∴S =S ﹣S ﹣（S ﹣S ）
阴 △ABC △ACD 扇形OCD △OCD
= ×6×2 ﹣ ×3× ﹣（ ﹣ ×32）
= ﹣ π．
故选A．
12．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果
程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23
【考点】一元一次不等式组的应用．
【分析】根据运算程序，前两次运算结果小于等于95，第三次运算结果大于95列出不等式组，
然后求解即可．
【解答】解：由题意得， ，
解不等式①得，x≤47，
解不等式②得，x≤23，
解不等式③得，x＞11，
所以，x的取值范围是11＜x≤23．
故选C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分
13．计算： （ + ）= 1 2 ．
【考点】二次根式的混合运算．
第11页（共24页）【分析】先把 化简，再本括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算．
【解答】解：原式= •（ +3 ）
= ×4
=12．
故答案为12．
14．若3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项，则m+n= ．
【考点】同类项．
【分析】直接利用同类项的定义得出关于m，n的等式，进而求出答案．
【解答】解：∵3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项，
∴ ，
解得：
则m+n= + = ．
故答案为： ．
15．超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：
测试项目 创新能力 综合知识 语言表达
测试成绩（分数） 70 80 92
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的
总成绩是 77. 4 分．
【考点】加权平均数．
【分析】根据该应聘者的总成绩=创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达×所
占的比值即可求得．
【解答】解：根据题意，该应聘者的总成绩是：70× +80× +92× =77.4（分），
故答案为：77.4．
第12页（共24页）16．已知反比例函数y= （k≠0）的图象经过（3，﹣1），则当1＜y＜3时，自变量x的取值范围
是 ﹣ 3 ＜ x ＜﹣ 1 ．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数过点（3，﹣1）结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，根据
k值可得出反比例函数在每个象限内的函数图象都单增，分别代入y=1、y=3求出x值，即可
得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y= （k≠0）的图象经过（3，﹣1），
∴k=3×（﹣1）=﹣3，
∴反比例函数的解析式为y= ．
∵反比例函数y= 中k=﹣3，
∴该反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内均单增．
当y=1时，x= =﹣3；
当y=3时，x= =﹣1．
∴1＜y＜3时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1．
故答案为：﹣3＜x＜﹣1．
17．已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则
点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是 2 ．
【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】过M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距
离之和的最小值，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，
则MN′的长度等于PM+PN的最小值，
即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，
∵∠ON′M=90°，OM=4，
∴MN′=OM•sin60°=2 ，
∴点P到点M与到边OA的距离之和的最小值为2 ．
第13页（共24页）18．在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A ，如图所示依次作正方形
1
A B C O、正方形A B C C 、…、正方形A B C C ，使得点A 、A 、A 、…在直线l上，点
1 1 1 2 2 2 1 n n n n﹣1 1 2 3
C 、C 、C 、…在y轴正半轴上，则点B 的坐标是 （ 2 n﹣ 1 ， 2 n ﹣ 1 ） ．
1 2 3 n
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．
【分析】先求出B 、B 、B 的坐标，探究规律后即可解决问题．
1 2 3
【解答】解：∵y=x﹣1与x轴交于点A ，
1
∴A 点坐标（1，0），
1
∵四边形A B C O是正方形，
1 1 1
∴B 坐标（1，1），
1
∵C A ∥x轴，
1 2
∴A 坐标（2，1），
2
∵四边形A B C C 是正方形，
2 2 2 1
∴B 坐标（2，3），
2
∵C A ∥x轴，
2 3
∴A 坐标（4，3），
3
∵四边形A B C C 是正方形，
3 3 3 2
∴B （4，7），
3
∵B （20，21﹣1），B （21，22﹣1），B （22，23﹣1），…，
1 2 3
∴B 坐标（2n﹣1，2n﹣1）．
n
故答案为（2n﹣1，2n﹣1）．
第14页（共24页）三、解答题：本大题共7小题，共66分
19．关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是 ，求另一个根及m的值．
【考点】根与系数的关系．
【分析】由于x= 是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后由根与系数的
关系来求方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为t．
依题意得：3×（ ）2+ m﹣8=0，
解得m=10．
又 t=﹣ ，
所以t=﹣4．
综上所述，另一个根是﹣4，m的值为10．
20．今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照
评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．
评估成绩n（分） 评定等级 频数
90≤n≤100 A 2
80≤n＜90 B
70≤n＜80 C 15
n＜70 D 6
根据以上信息解答下列问题：
（1）求m的值；
（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）
（3）从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等
级的概率．
第15页（共24页）【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图．
【分析】（1）由C等级频数为15，占60%，即可求得m的值；
（2）首先求得B等级的频数，继而求得B等级所在扇形的圆心角的大小；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中至少有一家是A
等级的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵C等级频数为15，占60%，
∴m=15÷60%=25；
（2）∵B等级频数为：25﹣2﹣15﹣6=2，
∴B等级所在扇形的圆心角的大小为： ×360°=28.8°=28°48′；
（3）评估成绩不少于80分的连锁店中，有两家等级为A，有两家等级为B，画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，其中至少有一家是A等级的有10种情况，
∴其中至少有一家是A等级的概率为： = ．
21．正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧 上取一点E，连接DE、BE，过点D作
DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：
（1）四边形EBFD是矩形；
（2）DG=BE．
【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理．
【分析】（1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出
∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，∠EDF=90°，进而得出答案；
第16页（共24页）（2）直接利用正方形的性质 的度数是90°，进而得出BE=DF，则BE=DG．
【解答】证明：（1）∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，
又∵DF∥BE，
∴∠EDF+∠BED=180°，
∴∠EDF=90°，
∴四边形EBFD是矩形；
（2））∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴ 的度数是90°，
∴∠AFD=45°，
又∵∠GDF=90°，
∴∠DGF=∠DFC=45°，
∴DG=DF，
又∵在矩形EBFD中，BE=DF，
∴BE=DG．
22．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、
CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电
线杆的高度（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，根据直角三角形的性质和勾股定理求
出DF、CF的长，根据正切的定义求出EF，得到BE的长，根据正切的定义解答即可．
【解答】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，
∵∠BCD=150°，
∴∠DCF=30°，又CD=4，
∴DF=2，CF= =2 ，
由题意得∠E=30°，
∴EF= =2 ，
∴BE=BC+CF+EF=6+4 ，
第17页（共24页）∴AB=BE×tanE=（6+4 ）× =（2 +4）米，
答：电线杆的高度为（2 +4）米．
23．旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只
能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过
100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观
光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．
（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为
多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）
（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费，根据不等关系：
净收入为正，列出不等式求解即可；
（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．
【解答】解：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，
由50x﹣1100＞0，
解得x＞22，
又∵x是5的倍数，
∴每辆车的日租金至少应为25元；
（2）设每辆车的净收入为y元，
当0＜x≤100时，y =50x﹣1100，
1
∵y 随x的增大而增大，
1
∴当x=100时，y 的最大值为50×100﹣1100=3900；
1
当x＞100时，
y =（50﹣ ）x﹣1100
2
=﹣ x2+70x﹣1100
=﹣ （x﹣175）2+5025，
第18页（共24页）当x=175时，y 的最大值为5025，
2
5025＞3900，
故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．
24．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN= AC；
（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点
G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3 时，求旋转角的大小并指明旋转方向．
【考点】旋转的性质；菱形的性质．
【分析】（1）连接BD，证明△ABD为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到AE=EB，
根据相似三角形的性质解答即可；
（2）分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即可．
【解答】（1）证明：如图1，连接BD，交AC于O，
在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∵DE⊥AB，
∴AE=EB，
∵AB∥DC，
∴ = = ，
同理， = ，
∴MN= AC；
（2）解：∵AB∥DC，∠BAD=60°，
∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，
∴∠EDF=60°，
当∠EDF顺时针旋转时，
由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，
第19页（共24页）DE=DF= ，∠DEG=∠DFP=90°，
在△DEG和△DFP中，
，
∴△DEG≌△DFP，
∴DG=DP，
∴△DGP为等边三角形，
∴△DGP的面积= DG2=3 ，
解得，DG=2 ，
则cos∠EDG= = ，
∴∠EDG=60°，
∴当顺时针旋转60°时，△DGP的面积等于3 ，
同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也等于3 ，
综上所述，将△EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于3
．
25．如图，已知抛物线y= x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，
10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，
当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形
与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
第20页（共24页）【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）设点P（m， m2+2m+1），表示出PE=﹣ m2﹣3m，再用S =S +S =
四边形AECP △AEC △APC
AC×PE，建立函数关系式，求出极值即可；
（3）先判断出PF=CF，再得到∠PCF=∠EAF，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，分两
种情况计算即可．
【解答】解：（1）∵点A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y= x2+2x+1，
（2）∵AC∥x轴，A（0，1）
∴ x2+2x+1=1，
∴x =6，x =0，
1 2
∴点C的坐标（﹣6，1），
∵点A（0，1）．B（﹣9，10），
∴直线AB的解析式为y=﹣x+1，
设点P（m， m2+2m+1）
∴E（m，﹣m+1）
∴PE=﹣m+1﹣（ m2+2m+1）=﹣ m2﹣3m，
∵AC⊥EP，AC=6，
∴S
四边形AECP
第21页（共24页）=S +S
△AEC △APC
= AC×EF+ AC×PF
= AC×（EF+PF）
= AC×PE
= ×6×（﹣ m2﹣3m）
=﹣m2﹣9m
=﹣（m+ ）2+ ，
∵﹣6＜m＜0
∴当m=﹣ 时，四边形AECP的面积的最大值是 ，
此时点P（﹣ ，﹣ ）．
（3）∵y= x2+2x+1= （x+3）2﹣2，
∴P（﹣3，﹣2），
∴PF=y ﹣y =3，CF=x ﹣x =3，
F P F C
∴PF=CF，
∴∠PCF=45°
同理可得：∠EAF=45°，
∴∠PCF=∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的Q，
设Q（t，1）且AB=9 ，AC=6，CP=3
∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
∴ ，
∴ ，
第22页（共24页）∴t=﹣4，
∴Q（﹣4，1）
②当△CQP∽△ABC时，
∴ ，
∴ ，
∴t=3，
∴Q（3，1）．
第23页（共24页）2016年7月11日
第24页（共24页）
