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2016年山东省日照市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，其中1-8小题，每小题3分，9-12小题，每小题3分，满分40分．
1．以下选项中比|﹣ |小的数是（ ）
A．1B．2C． D．
2．如图，小明同学将一个圆锥和一个三棱柱组成组合图形，观察其三视图，其俯视图是
（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式的运算正确的是（ ）
A． B．a2+a=2a3 C．（﹣2a）2=﹣2a2D．（a3）2=a6
4．小红把一把直尺与一块三角板如图放置，测得∠1=48°，则∠2的度数为（ ）
A．38° B．42° C．48° D．52°
5．每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其忧，据测定，杨絮纤维的直
径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为（ ）
A．1.05×105 B．0.105×10﹣4 C．1.05×10﹣5D．105×10﹣76．正比例函数y =k x（k ＞0）与反比例函数y = 图象如图所示，则不等式k x
1 1 1 2 1
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．积极行动起来，共建节约型社会！我市某居民小区200户居民参加了节水行动，现统计了
10户家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下：
节水量（单位：吨） 0.5 1 1.5 2
家庭数（户） 2 3 4 1
请你估计该200户家庭这个月节约用水的总量是（ ）
A．240吨 B．360吨C．180吨D．200吨
8．2015年某县GDP总量为1000亿元，计划到2017年全县GDP总量实现1210亿元的目标．
如果每年的平均增长率相同，那么该县这两年GDP总量的平均增长率为（ ）
A．1.21%B．8% C．10% D．12.1%
9．下列命题：①若a＜1，则（a﹣1） =﹣ ；②平行四边形既是中心对称图形又是
轴对称图形；③ 的算术平方根是3；④如果方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则实
数a＜1．其中正确的命题个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别是PB、PC（靠近点P）的三等分点，
△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S 、S 、S ，若AD=2，AB=2 ，∠A=60°，则S +S +S 的
1 2 3 1 2 3
值为（ ）
A． B． C． D．4
11．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；
③4a+2b+c＜0；④若（﹣ ），（ ）是抛物线上两点，则y ＜y 其中结论正确的
1 2
是（ ）
A．①②B．②③ C．②④ D．①③④
12．一个整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：
6=2×3，则6的所有正约数之和（1+3）+（2+6）=（1+2）×（1+3）=12；
12=22×3，则12的所有正约数之和（1+3）+（2+6）+（4+12）=（1+2+22）×（1+3）=28；
36=22×32，则36的所有正约数之和
（1+3+9）+（2+6+18）+（4+12+36）=（1+2+22）×（1+3+32）=91．
参照上述方法，那么200的所有正约数之和为（ ）
A．420 B．434 C．450 D．465
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，不需写出解答过程，请将答案直接写在
答题卡相应位置上．13．关于x的方程2x2﹣ax+1=0一个根是1，则它的另一个根为 ．
14．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下
降1米后，水面的宽度为 米．
15．如图，△ABC是一张直角三角形纸片，∠C=90°，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将
△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为EF，则tan∠CAE= ．
16．如图，直线y=﹣ 与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半
径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小是 ．
[来源:学科网]
三、解答题：本大题共6小题，满分64分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）已知﹣ 与xnym+n是同类项，求m、n的值；
（2）先化简后求值：（ ） ，其中a= ．18．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺
时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2=BE2+DF2．
19．未参加学校的“我爱古诗词”知识竞赛，小王所在班级组织了依次古诗词知识测试，并
将全班同学的分数（得分取正整数，满分为100分）进行统计．以下是根据这次测试成绩制作
的不完整的频率分布表和频率分布直方图．
组别 分组 频数 频率
1 50≤x＜60 9 0.18
2 60≤x＜70 a
3 70≤x＜80 20 0.40
4 80≤x＜90 0.08
5 90≤x≤100 2 b
合计
请根据以上频率分布表和频率分布直方图，回答下列问题：
（1）求出a、b、x、y的值；
（2）老师说：“小王的测试成绩是全班同学成绩的中位数”，那么小王的测试成绩在什么范
围内？
（3）若要从小明、小敏等五位成绩优秀的同学中随机选取两位参加竞赛，请用“列表法”或
“树状图”求出小明、小敏同时被选中的概率．（注：五位同学请用A、B、C、D、E表示，其中
小明为A，小敏为B）20．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自
行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车
每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将
比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A
型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车
销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
21．阅读理解：
我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．
例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM交EF于点P，那
么动点P为线段AM中点．
理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，
由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点．
由此你得到动点P的运动轨迹是： ．
知识应用：
如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等边△ABC的边
长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长．
拓展提高：
如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边
△APC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q．
（1）求∠AQB的度数；
（2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长．22．如图1，抛物线y=﹣ [（x﹣2）2+n]与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点
B的左侧），与y轴交于点C，连结BC．
（1）求m、n的值；
（2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的
最大值；
（3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点
P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不
存在，请说明理由．
2016 年山东省日照市中考数学试卷
参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，其中1-8小题，每小题3分，9-12小题，每小题3分，满分40分．
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在
答题卡相应位置上．
1．以下选项中比|﹣ |小的数是（ ）
A．1B．2C． D．
【考点】有理数大小比较；绝对值．
【分析】先求出|﹣ |的值，再根据有理数的大小比较法则比较即可．
【解答】解：∵|﹣ |= ，
A、1＞ ，故本选项错误；
B、2＞ ，故本选项错误；
C、 = ，故本选项错误；
D、﹣ ＜ ，故本选项正确；
故选D．
2．如图，小明同学将一个圆锥和一个三棱柱组成组合图形，观察其三视图，其俯视图是
（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据组合图形的俯视图，对照四个选项即可得出结论．【解答】解：由题意得：俯视图与选项B中图形一致．
故选B．
3．下列各式的运算正确的是（ ）
A． B．a2+a=2a3 C．（﹣2a）2=﹣2a2D．（a3）2=a6
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；约分．
【分析】A选项中分子分母同时约去公因式a可得a2，根据合并同类项的法则：把同类项的系
数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变可得B错误；根据积的乘方法则：把每一
个因式分别乘方，再把所得的幂相乘可得C错误；根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘可
得D错误．
【解答】解：A、 =a2，故原题计算错误；
B、a2和a不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
C、（﹣2a）2=4a4，故原题计算错误；
D、（a3）2=a6，故原题计算正确；
故选：D．
4．小红把一把直尺与一块三角板如图放置，测得∠1=48°，则∠2的度数为（ ）
A．38° B．42° C．48° D．52°
【考点】平行线的性质．
【分析】先根据余角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠1=48°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣48°=42°．
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠3=42°．
故选B．
5．每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其忧，据测定，杨絮纤维的直
径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为（ ）
A．1.05×105B．0.105×10﹣4 C．1.05×10﹣5D．105×10﹣7
【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的
科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面
的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000105=1.05×10﹣5，
故选：C．
6．正比例函数y =k x（k ＞0）与反比例函数y = 图象如图所示，则不等式k x
1 1 1 2 1
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
[来源:学科网ZXXK]
A． B． C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】由图象可以知道，当x=﹣2或x=2时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增
减性可以判断出不等式k x 的解集，即可得出结论．
1
【解答】解：两个函数图象的另一个交点坐标为（﹣2，﹣1），
当﹣2＜x＜0或x＞2时，直线y=k x在y = 图象的上方，
1 2
故不等式k x 的解集为x＜﹣1或x＞2．
1
故选：B．
7．积极行动起来，共建节约型社会！我市某居民小区200户居民参加了节水行动，现统计了
10户家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下：
节水量（单位：
0.5 1 1.5 2
吨）
家庭数（户） 2 3 4 1
请你估计该200户家庭这个月节约用水的总量是（ ）
A．240吨 B．360吨C．180吨D．200吨【考点】用样本估计总体．
【分析】先根据10户家庭一个月的节水情况，求得平均每户节水量，再计算200户家庭这个
月节约用水的总量即可．
【解答】解：根据10户家庭一个月的节水情况可得，平均每户节水：
（0.5×2+1×3+1.5×4+2×1）÷（2+3+4+1）=1.2（吨）
∴200户家庭这个月节约用水的总量是：200×1.2=240（吨）
故选（A）
8．2015年某县GDP总量为1000亿元，计划到2017年全县GDP总量实现1210亿元的目标．
如果每年的平均增长率相同，那么该县这两年GDP总量的平均增长率为（ ）
A．1.21%B．8% C．10% D．12.1%
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设该县这两年GDP总量的平均增长率为x，根据：2015年某县GDP总量×（1+增长
百分率）2=2017年全县GDP总量，列一元二次方程求解可得．
【解答】解：设该县这两年GDP总量的平均增长率为x，根据题意，
得：1000（1+x）2=1210，
解得：x =﹣2.1（舍），x =0.1=10%，
1 2
即该县这两年GDP总量的平均增长率为10%，
故选：C．
9．下列命题：①若a＜1，则（a﹣1） =﹣ ；②平行四边形既是中心对称图形又是
轴对称图形；③ 的算术平方根是3；④如果方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则实
数a＜1．其中正确的命题个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题与定理．
【分析】分别根据平方根的定义、平行四边形的性质、一元二次方程根与判别式的关系对各小
题进行逐一判断即可．
【解答】解：①∵a＜1，1﹣a＞0，∴（a﹣1） =﹣ ，故本小题正确；
②平行四边形既是中心对称图形但不是轴对称图形，故本小题错误；
③ 的算术平方根是 ，故本小题错误；
④∵方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4a＞0，解得a＜1且a≠0，故本小题
错误．
故选A．
10．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别是PB、PC（靠近点P）的三等分点，
△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S 、S 、S ，若AD=2，AB=2 ，∠A=60°，则S +S +S 的
1 2 3 1 2 3
值为（ ）A． B． C． D．4
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】先作辅助线DH⊥AB于点D，然后根据特殊角的三角函数值可以求得DH的长度，从
而可以求得平行四边形的面积，然后根据三角形的相似可以求得S +S +S 的值．
1 2 3
【解答】解：作DH⊥AB于点H，如右图所示，
∵AD=2，AB=2 ，∠A=60°，
∴DH=AD•sin60°=2× = ，
∴S =AB•DH=2 =6，
▱ABCD
∴S +S =S =3，
2 3 △PBC
又∵E、F分别是PB、PC（靠近点P）的三等分点，
∴ ，
∴S = ×3= ，
△PEF
即S = ，
1
∴S +S +S = +3= ，
1 2 3
故选A．11．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；
③4a+2b+c＜0；④若（﹣ ），（ ）是抛物线上两点，则y ＜y 其中结论正确的
1 2
是（ ）
A．①②B．②③ C．②④ D．①③④
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，有对称轴方程得到b=﹣2a＞0，由∵抛物线与y轴的交
点位置得到c＞0，则可对①进行判断；由b=﹣2a可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得
到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=2时，y＞0，于是可对③进行判断；通
过比较点（﹣ ）与点（ ）到对称轴的距离可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1，
∴b=﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵b=﹣2a，
∴2a+b=0，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以③错误；
∵点（﹣ ）到对称轴的距离比点（ ）对称轴的距离远，
∴y ＜y ，所以④正确．
1 2
故选C．
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12．一个整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：
6=2×3，则6的所有正约数之和（1+3）+（2+6）=（1+2）×（1+3）=12；
12=22×3，则12的所有正约数之和（1+3）+（2+6）+（4+12）=（1+2+22）×（1+3）=28；
36=22×32，则36的所有正约数之和（1+3+9）+（2+6+18）+（4+12+36）=（1+2+22）×（1+3+32）=91．
参照上述方法，那么200的所有正约数之和为（ ）
A．420 B．434 C．450 D．465
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】在类比推理中，200的所有正约数之和可按如下方法得到：根据200=23×52，可得200
的所有正约数之和为（1+2+22+23）（1+5+52），即可得出答案．
【解答】解：200的所有正约数之和可按如下方法得到：
因为200=23×52，
所以200的所有正约数之和为（1+2+22+23）×（1+5+52）=465．
故选（D）．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，不需写出解答过程，请将答案直接写在
答题卡相应位置上．
13．关于x的方程2x2﹣ax+1=0一个根是1，则它的另一个根为 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到1•t= ，然后解关于t的方程即可．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得1•t= ，解得t= ．
故答案为 ．
14．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下
降1米后，水面的宽度为 2 米．
【考点】二次函数的应用．
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解
析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可
得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点
C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），
到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间
的距离，
可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1=﹣0.5x2+2，
解得：x=± ，
所以水面宽度增加到2 米，
故答案为：2 米．
15．如图，△ABC是一张直角三角形纸片，∠C=90°，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将
△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为EF，则tan∠CAE= ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．
【分析】根据题意可以求得CE的长，从而可以求得tan∠CAE的值．
【解答】解：设CE=x，则BE=AE=8﹣x，
∵∠C=90°，AC=6，
∴62+x2=（8﹣x）2，
解得，x= ，∴tan∠CAE= = = ，
故答案为： ．
16．如图，直线y=﹣ 与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半
径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小是 ．
【考点】切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】过点C作CP⊥直线AB与点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连
接CQ，由点到直线的距离求出CP的长度，再根据勾股定理即可求出PQ的长度．
【解答】解：过点C作CP⊥直线AB与点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，
连接CQ，如图所示．
直线AB的解析式为y=﹣ ，即3x+4y﹣12=0，
∴CP= = ．
∵PQ为⊙C的切线，
∴在Rt△CQP中，CQ=1，∠CQP=90°，
∴PQ= = ．
故答案为： ．三、解答题：本大题共6小题，满分64分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）已知﹣ 与xnym+n是同类项，求m、n的值；
（2）先化简后求值：（ ） ，其中a= ．
【考点】分式的化简求值；同类项；解二元一次方程组．
【分析】（1）根据同类项的定义可以得到关于m、n的二元一次方程组，从而可以解答m、n的
值；
（2）先对原式化简，再将a= 代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）∵﹣ 与xnym+n是同类项，
∴ ，
解得， ，
即m的值是2，n的值是3；
（2）（ ）
=
[来源:学科网ZXXK]
= ，
当a= 时，原式= = ．18．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺
时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2=BE2+DF2．
【考点】旋转的性质；正方形的性质．
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应线段关系进而得出答案；
（2）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而利用勾股定理得出答案．
【解答】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴∠QAF=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠QAE=45°，
∴EA是∠QED的平分线；
（2）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，
在△AQE和△AFE中
，
∴△AQE≌△AFE（SAS），
∴QE=EF，
在Rt△QBE中，
QB2+BE2=QE2，
则EF2=BE2+DF2．
19．未参加学校的“我爱古诗词”知识竞赛，小王所在班级组织了依次古诗词知识测试，并
将全班同学的分数（得分取正整数，满分为100分）进行统计．以下是根据这次测试成绩制作
的不完整的频率分布表和频率分布直方图．组别 分组 频数 频率
1 50≤x＜60 9 0.18
2 60≤x＜70 a
3 70≤x＜80 20 0.40
4 80≤x＜90 0.08
5 90≤x≤100 2 b
合计
请根据以上频率分布表和频率分布直方图，回答下列问题：
（1）求出a、b、x、y的值；
（2）老师说：“小王的测试成绩是全班同学成绩的中位数”，那么小王的测试成绩在什么范
围内？
（3）若要从小明、小敏等五位成绩优秀的同学中随机选取两位参加竞赛，请用“列表法”或
“树状图”求出小明、小敏同时被选中的概率．（注：五位同学请用A、B、C、D、E表示，其中
小明为A，小敏为B）
【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数．
【分析】（1）先利用第1组的频数除以它的频率得到样本容量，再计算出第4组的频数，则用
样本容量分别减去其它各组的频数得到a的值，接着用第5组的频数除一样本容量得到b的
值，用b的值除以组距10得到y的值，然后计算第2组的频率，再把第2组的频率除以组距
得到x的值；
（2）根据中位数的定义求解；
（3）画树状图（五位同学请用A、B、C、D、E表示，其中小明为A，小敏为B）展示所有20种等
可能的结果数，再找出小明、小敏同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）9÷0.18=50，
50×0.08=4，
所以a=50﹣9﹣20﹣4﹣2=15，
b=2÷50=0.04，
x=15÷50÷10=0.03，
y=0.04÷10=0.004；
（2）小王的测试成绩在70≤x≤80范围内；
（3）画树状图为：（五位同学请用A、B、C、D、E表示，其中小明为A，小敏为B）共有20种等可能的结果数，其中小明、小敏同时被选中的结果数为2，
所以小明、小敏同时被选中的概率= = ．
20．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自
行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车
每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将
比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A
型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车
销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同
建立方程求出其解即可；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关
系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
【解答】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得
= ，
解得：x=2000．
经检验，x=2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得
y=a+（60﹣a），
y=﹣300a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
∴60﹣a≤2a，
∴a≥20．
∵y=﹣300a+36000．
∴k=﹣300＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y =30000元．
最大
∴B型车的数量为：60﹣20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
21．阅读理解：
我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．
例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．
问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM交EF于点P，那
么动点P为线段AM中点．
理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点．
由此你得到动点P的运动轨迹是： 线段 EF ．
知识应用：
如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等边△ABC的边
长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长．
拓展提高：
如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边
△APC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q．
（1）求∠AQB的度数；
（2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长．
【考点】三角形综合题．
【分析】阅读理解：根据轨迹的定义可知，动点P的运动轨迹是线段EF．
知识应用：如图1中，作△ABC的中位线MN，作EG∥AC交NM的延长线于G，EF与MN
交于点Q′，△GQ′E≌△NQ′F，推出Q、Q′重合即可解决问题．
拓展提高：如图2中，（1）只要证明△APD≌△CPB，推出∠DQG=∠BPG=60°结论解决问题．
（2）由（1）可知点P的运动轨迹是 ，设弧AB所在圆的圆心为O，Z 圆上任意取一点M，连
接AM，BM，则∠M=60°，作OH⊥AB于H，则AH=BH=3，OH= ，OB=2 ，利用弧长公式
即可解决．
【解答】阅读理解：根据轨迹的定义可知，动点P的运动轨迹是线段EF．
故答案为线段EF．
知识应用：如图1中，作△ABC的中位线MN，作EG∥AC交NM的延长线于G，EF与MN
交于点Q′
∵△ABC是等边三角形，MN是中位线，
∴AM=BM=AN=CN，
∵AF=BE，∴EM=FN，
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B=∠GME=60°，
∵∠A=∠GEM=60°，
∴△GEM是等边三角形，
∴EM=EG=FN，
在△GQ′E和△NQ′F中，
，
∴△GQ′E≌△NQ′F，
∴EQ′=FQ′，
∵EQ=QF，
′点Q、Q′重合，
∴点Q在线段MN上，
∴段EF中点Q的运动轨迹是线段MN，
MN= BC= ×8=4．
∴线段EF中点Q的运动轨迹的长为4．
拓展提高：如图2中，
（1）∵△APC，△PBD都是等边三角形，
∴AP=PC，PD=PB，∠APC=∠DPB=60°，
∴∠APD=∠CPB，
在△APD和△CPB中，，
∴△APD≌△CPB，
∴∠ADP=∠CBP，设BC与PD交于点G，
∵∠QGD=∠PGB，
∴∠DQG=∠BPG=60°，
∴∠AQB=180°﹣∠DQG=120°
（2）由（1）可知点P的运动轨迹是 ，设弧AB所在圆的圆心为O，Z 圆上任意取一点M，连
接AM，BM，
则∠M=60°，
∴∠AOB=2∠M=120°，作OH⊥AB于H，则AH=BH=3，OH= ，OB=2 ，
∴弧AB的长= = π．
∴动点Q运动轨迹的长 π．
22．如图1，抛物线y=﹣ [（x﹣2）2+n]与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点
B的左侧），与y轴交于点C，连结BC．
（1）求m、n的值；
（2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的
最大值；
（3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点
P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不
存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用抛物线的解析式确定对称轴为直线x=2，再利用对称性得到2﹣（m﹣2）
=2m+3﹣2，解方程可得m的值，从而得到A（﹣1，0），B（5，0），然后把A点坐标代入y=﹣
[（x﹣2）2+n]可求出n的值；
（2）作ND∥y轴交BC于D，如图2，利用抛物线解析式确定C（0，3），再利用待定系数法求
出直线BC的解析式为y=﹣ x+3，设N（x，﹣ x2+ x+3），则D（x，﹣ x+3），根据三角形
面积公式，利用S =S +S 可得S =﹣ x2+ x，然后利用二次函数的性质求
△NBC △NDC △NDB △BCN
解；
（3）先利用勾股定理计算出BC= ，再分类讨论：当∠PMB=90°，则∠PMC=90°，△PMC为
等腰直角三角形，MP=MC，设PM=t，则CM=t，MB= ﹣t，证明△BMP∽△BOC，利用相
似比可求出BP的长，再计算OP后可得到P点坐标；当∠MPB=90°，则MP=MC，设PM=t，则
CM=t，MB= ﹣t，证明△BMP∽△BCO，利用相似比可求出BP的长，再计算OP后可得到
P点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线的解析式为y=﹣ [（x﹣2）2+n]=﹣ （x﹣2）2﹣ n，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵点A和点B为对称点，
∴2﹣（m﹣2）=2m+3﹣2，解得m=1，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
把A（﹣1，0）代入y=﹣ [（x﹣2）2+n]得9+n=0，解得n=﹣9；
（2）作ND∥y轴交BC于D，如图2，
抛物线解析式为y=﹣ [（x﹣2）2﹣9]=﹣ x2+ x+3，
当x=0时，y=3，则C（0，3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（5，0），C（0，3）代入得 ，解得 ，
∴直线BC的解析式为y=﹣ x+3，设N（x，﹣ x2+ x+3），则D（x，﹣ x+3），
∴ND=﹣ x2+ x+3﹣（﹣ x+3）=﹣ x2+3x，
∴S =S +S = •5•ND=﹣ x2+ x=﹣（x﹣ ）2+ ，
△NBC △NDC △NDB
当x= 时，△NBC面积最大，最大值为 ；
（3）存在．
∵B（5，0），C（0，3），
∴BC= = ，
当∠PMB=90°，则∠PMC=90°，△PMC为等腰直角三角形，MP=MC，
设PM=t，则CM=t，MB= ﹣t，
∵∠MBP=∠OBC，
∴△BMP∽△BOC，
∴ = = ，即 = = ，解得t= ，BP= ，
∴OP=OB﹣BP=5﹣ = ，
此时P点坐标为（ ，0）；
当∠MPB=90°，则MP=MC，
设PM=t，则CM=t，MB= ﹣t，
∵∠MBP=∠CBO，
∴△BMP∽△BCO，
∴ = = ，即 = = ，解得t= ，BP= ，
∴OP=OB﹣BP=5﹣ = ，
此时P点坐标为（ ，0）；综上所述，P点坐标为（ ，0）或（ ，0）．2016年8月12日
