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2015年山东省枣庄市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把遮光器
的选项选择出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分。
1．（3分）下列各式，计算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．a•a2＝a3
C．a8÷a2＝a4 D．a3+a2＝a5
2．（3分）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，
那么∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
3．（3分）如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．ac＞bc B．|a﹣b|＝a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c
5．（3分）已知直线y＝kx+b，若k+b＝﹣5，kb＝5，那该直线不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（3分）关于x的分式方程 ＝1的解为正数，则字母a的取值范围为（ ）
第1页（共24页）A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣1
7．（3分）如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（ ）
A．140 B．70 C．35 D．24
8．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x ＝﹣2，x ＝4，则
1 2
m+n的值是（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2
9．（3分）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB C D ，边
1 1 1
B C 与CD交于点O，则四边形AB OD的面积是（ ）
1 1 1
A． B． C． D． ﹣1
10．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是
一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使
这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个
格点正方形的作法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
11．（3分）如图，一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与 O的直径相等． O与BC相切
于点C，与AC相交于点E，则CE的长为（ ） ⊙ ⊙
第2页（共24页）A．4cm B．3cm C．2cm D．1.5cm
12．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝ ，且经过点（2，
0），有下列说法： abc＜0； a+b＝0； 4a+2b+c＜0； 若（0，y ），（1，y ）是抛物线上
1 2
的两点，则y ＝y①．上述说法②正确的是（③ ） ④
1 2
A． B． C． D．
二、填空①题②：④本大题共6小题③，④满分24分，只要求写①最③后④结果，每小题填①对得②4分。
13．（4分）已知a，b满足方程组 ，则2a+b的值为 ．
14．（4分）如图，平面上直线a，b分别经过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐
角是 ．
15．（4分）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等
于 ．
第3页（共24页）16．（4分）在一个不透明的盒子中有12个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均
相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是 ，则黄球的个数 ．
17．（4分）如图，直线y＝2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三
角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为
．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），连接AB，将△AOB沿过点B的
直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线
BC的解析式为 ．
三、解答题：本大题共7小题，满分60分。解答时，要写出必要得文字说明、证明过程或演算
步骤。
19．（8分）先化简，再求值：（ +2﹣x）÷ ，其中x满足x2﹣4x+3＝0．
20．（8分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，
2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
第4页（共24页）（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A B C ，点C 的坐标是 ；
1 1 1 1
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A B C ，使△A B C 与△ABC位似，且位似比为
2 2 2 2 2 2
2：1，点C 的坐标是 ；
2
（3）△A B C 的面积是 平方单位．
2 2 2
21．（8分）在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小明在全校随机抽取一部分同学就
“我最喜爱的体育项目”进行了一次抽样调查．下面是他通过收集的数据绘制的两幅不
完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）小明共抽取 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“立定跳远”部分对应的圆心角的度数是 ；
（4）若全校共有2130名学生，请你估算“其他”部分的学生人数．
22．（8分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）
两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使kx+b＜ 成立的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
第5页（共24页）23．（8分）如图， ▱ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连
接EF交BD于O．
（1）求证：BO＝DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AD的长．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC
于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．
（1）判断DE与 O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC2＝⊙CD•2OE；
（3）若cos∠BAD＝ ，BE＝6，求OE的长．
25．（10分）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（ ， ）和B（4，m），点
P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，
请说明理由；
第6页（共24页）（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
第7页（共24页）2015 年山东省枣庄市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把遮光器
的选项选择出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分。
1．【分析】分别根据完全平方公式、同底数幂的乘法及除法法则对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、左边＝a2+b2+2ab≠右边，故本选项错误；
B、左边＝a3＝右边，故本选项正确；
C、左边＝a8﹣2+a6≠右边，故本选项错误；
D、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法法则是解答此题的关键．
2．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再求解即可．
【解答】解：∵直尺的两边平行，∠1＝20°，
∴∠3＝∠1＝20°，
∴∠2＝45°﹣20°＝25°．
故选：C．
【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
3．【分析】由已知条件可知，俯视图有3行，每行小正方数形数目分别为1，3，1；第一行的1
个在中间，第三行的1个在最左边，据此得出答案即可．
【解答】解：由 6 个相同的小正方体组成的几何体，那么这个几何体的俯视图是
．
故选：D．
第8页（共24页）【点评】此题考查简单组合体的三视图，根据看到的小正方形的个数和位置是正确解决问
题的关键．
4．【分析】先根据各点在数轴上的位置比较出其大小，再对各选项进行分析即可．
【解答】解：∵由图可知，a＜b＜0＜c，
∴A、ac＜bc，故A选项错误；
B、∵a＜b，
∴a﹣b＜0，
∴|a﹣b|＝b﹣a，故B选项错误；
C、∵a＜b＜0，
∴﹣a＞﹣b，故C选项错误；
D、∵﹣a＞﹣b，c＞0，
∴﹣a﹣c＞﹣b﹣c，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的
关键．
5．【分析】首先根据k+b＝﹣5、kb＝5得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经
过的象限，进而求解即可．
【解答】解：∵k+b＝﹣5，kb＝5，
∴k＜0，b＜0，
∴直线y＝kx+b经过二、三、四象限，即不经过第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据k、b之间的关系确定
其符号．
6．【分析】将分式方程化为整式方程，求得x的值，然后根据解为正数，求得a的范围，但还应
考虑分母x+1≠0即x≠﹣1．
【解答】解：分式方程去分母得：2x﹣a＝x+1，
解得：x＝a+1，
根据题意得：a+1＞0且a+1≠﹣1，
解得：a＞﹣1且a≠﹣2．
即字母a的取值范围为a＞﹣1．
故选：B．
第9页（共24页）【点评】本题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
7．【分析】由矩形的周长和面积得出a+b＝7，ab＝10，再把多项式分解因式，然后代入计算即
可．
【解答】解：根据题意得：a+b＝ ＝7，ab＝10，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝10×7＝70；
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、分解因式、矩形的周长和面积的计算；熟练掌握矩形的性
质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
8．【分析】根据根与系数的关系得出﹣2+4＝﹣m，﹣2×4＝n，求出即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x ＝﹣2，x ＝4，
1 2
∴﹣2+4＝﹣m，﹣2×4＝n，
解得：m＝﹣2，n＝﹣8，
∴m+n＝﹣10，
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出﹣2+4＝﹣m，﹣
2×4＝n是解此题的关键．
9．【分析】连接AC ，AO，根据四边形AB C D 是正方形，得出∠C AB ＝∠AC B ＝45°，求出
1 1 1 1 1 1 1 1
∠DAB ＝45°，推出A、D、C 三点共线，在Rt△C D A中，由勾股定理求出AC ，进而求出
1 1 1 1 1
DC ＝OD，根据三角形的面积计算即可．
1
【解答】方法一：
解：连接AC ，
1
∵四边形AB C D 是正方形，
1 1 1
∴∠C AB ＝ ×90°＝45°＝∠AC B ，
1 1 1 1
∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB C D ，
1 1 1
∴∠B AB＝45°，
1
∴∠DAB ＝90°﹣45°＝45°，
1
∴AC 过D点，即A、D、C 三点共线，
1 1
∵正方形ABCD的边长是1，
∴四边形AB C D 的边长是1，
1 1 1
第10页（共24页）在Rt△C D A中，由勾股定理得：AC ＝ ＝ ，
1 1 1
则DC ＝ ﹣1，
1
∵∠AC B ＝45°，∠C DO＝90°，
1 1 1
∴∠C OD＝45°＝∠DC O，
1 1
∴DC ＝OD＝ ﹣1，
1
∴S△ADO ＝ ×OD•AD＝ ，
∴四边形AB OD的面积是＝2× ＝ ﹣1，
1
方法二：
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝ ，∠OCB ＝45°，
1
∴CB ＝OB
1 1
∵AB ＝1，
1
∴CB ＝OB ＝AC﹣AB ＝ ﹣1，
1 1 1
∴S△OB1C ＝ •OB
1
•CB
1
＝ （ ﹣1）2，
∵S△ADC ＝ AD•AC＝ ×1×1＝ ，
∴S四边形AB1OD ＝S△ADC ﹣S△OB1C ＝ ﹣ （ ﹣1）2＝ ﹣1；
故选：D．
【点评】本题考查了正方形性质，勾股定理等知识点，主要考查学生运用性质进行计算的
能力，正确的作出辅助线是解题的关键．
10．【分析】利用轴对称图形的性质以及中心对称图形的性质分析得出符合题意的图形即可．
【解答】解：如图所示：组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，
第11页（共24页）则这个格点正方形的作法共有4种．
故选：C．
【点评】此题主要考查了利用轴对称以及旋转设计图案，正确把握相关定义是解题关键．
11．【分析】连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，求出等边三角形的高即可得出圆的直径，继
而得出OC的长度，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长．
【解答】解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，
∵△ABC为等边三角形，边长为4cm，
∴△ABC的高为2 cm，
∴OC＝ cm，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠OCF＝30°，
在Rt△OFC中，可得FC＝ cm，
即CE＝2FC＝3cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查了切线的性质，等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识，题
目不是太难，属于基础性题目．
12．【分析】 根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；
根据对①称轴求出b＝﹣a；
②把x＝2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系；
③
求出点（0，y ）关于直线x＝ 的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y 和y 的大小．
1 1 2
④
【解答】解： ∵二次函数的图象开口向下，
① 第12页（共24页）∴a＜0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
∴c＞0，
∵对称轴是直线x＝ ，
∴﹣ ，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0．
故 正确；
①∵由 中知b＝﹣a，
②∴a+b＝①0，
故 正确；
②把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c，
③∵抛物线经过点（2，0），
∴当x＝2时，y＝0，即4a+2b+c＝0．
故 错误；
③
∵（0，y ）关于直线x＝ 的对称点的坐标是（1，y ），
1 1
④
∴y ＝y ．
1 2
故 正确；
综④上所述，正确的结论是 ．
故选：A． ①②④
【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的
图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．
二、填空题：本大题共6小题，满分24分，只要求写最后结果，每小题填对得4分。
13．【分析】求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出2a+b的值．
【解答】解：解方程组得 ，
所以2a+b＝2× + ＝ ，
第13页（共24页）故答案为： ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与
加减消元法．
14．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：由三角形的外角性质得，a，b相交所成的锐角的度数是100°﹣70°＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质
是解题的关键．
15．【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC＝2DE＝10；然后在直
角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．
【解答】解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE＝5，
∴DE＝ AC＝5，
∴AC＝10．
在直角△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝6，AC＝10，则根据勾股定理，得
CD＝ ＝ ＝8．
故答案是：8．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．
16．【分析】设黄球的个数为x个，根据概率公式得到 ＝ ，然后解方程即可．
【解答】解：设黄球的个数为x个，
根据题意得 ＝ ，解得x＝6，
所以黄球的个数为6个．
故答案为6．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以
第14页（共24页）所有可能出现的结果数．
17．【分析】先求出直线y＝2x+4与y轴交点B的坐标为（0，4），再由C在线段OB的垂直平
分线上，得出C点纵坐标为2，将y＝2代入y＝2x+4，求得x＝﹣1，即可得到C′的坐标为
（﹣1，2）．
【解答】解：∵直线y＝2x+4与y轴交于B点，
∴x＝0时，
得y＝4，
∴B（0，4）．
∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，
∴C在线段OB的垂直平分线上，
∴C点纵坐标为2．
将y＝2代入y＝2x+4，得2＝2x+4，
解得x＝﹣1．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图形变化
﹣平移，得出C点纵坐标为2是解题的关键．
18．【分析】在Rt△OAB中，OA＝4，OB＝3，用勾股定理计算出AB＝5，再根据折叠的性质得
BA′＝BA＝5，CA′＝CA，则OA′＝BA′﹣OB＝2，设OC＝t，则CA＝CA′＝4﹣t，在
Rt△OA′C中，根据勾股定理得到t2+22＝（4﹣t）2，解得t＝ ，则C点坐标为（0， ），然
后利用待定系数法确定直线BC的解析式．
【解答】解：∵A（0，4），B（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
在Rt△OAB中，AB＝ ＝5，
∵△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，
∴BA′＝BA＝5，CA′＝CA，
∴OA′＝BA′﹣OB＝5﹣3＝2，
设OC＝t，则CA＝CA′＝4﹣t，
在Rt△OA′C中，
∵OC2+OA′2＝CA′2，
第15页（共24页）∴t2+22＝（4﹣t）2，解得t＝ ，
∴C点坐标为（0， ），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（3，0）、C（0， ）代入得 ，解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣ x+ ．
故答案为：y＝﹣ x+ ．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形
状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理和待定系数法求一次
函数解析式．
三、解答题：本大题共7小题，满分60分。解答时，要写出必要得文字说明、证明过程或演算
步骤。
19．【分析】通分相加，因式分解后将除法转化为乘法，再将方程的解代入化简后的分式解答．
【解答】解：原式＝ ÷
＝ •
＝﹣ ，
解方程x2﹣4x+3＝0得，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
x ＝1，x ＝3．
1 2
当x＝1时，原式无意义；当x＝3时，原式＝﹣ ＝﹣ ．
【点评】本题综合考查了分式的混合运算及因式分解同时考查了一元二次方程的解法．在
代入求值时，要使分式有意义．
20．【分析】（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可；
第16页（共24页）（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A B C 的面积．
2 2 2
【解答】解：（1）如图所示：C （2，﹣2）；
1
故答案为：（2，﹣2）；
（2）如图所示：C （1，0）；
2
故答案为：（1，0）；
（3）∵A C 2＝20，B C ＝20，A B ＝40，
2 2 2 2 2
∴△A B C 是等腰直角三角形，
2 2 2
∴△A B C 的面积是： ×20＝10平方单位．
2 2 2
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出
对应点坐标是解题关键．
21．【分析】（1）画出统计图，根据跳绳的人数除以占的百分比即可得出抽取的学生总数；
（2）根据总学生数，求出踢毽子与其中的人数，补全条形统计图即可；
（3）根据立定跳远占的百分比乘以360即可得到结果；
（4）由其他占的百分比，乘以2130即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：15÷30%＝50（名），
则小明共抽取50名学生；
（2）根据题意得：踢毽子人数为50×18%＝9（名），其他人数为50×（1﹣30%﹣18%﹣32%）
＝10（名），
补全条形统计图，如图所示：
第17页（共24页）；
（3）根据题意得：360°×32%＝115.2°，
则“立定跳远”部分对应的圆心角的度数是115.2°；
（4）根据题意得“其他”部分的学生有2130×20%＝426（名）．
故答案为：（1）50；（3）115.2°
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解
本题的关键．
22．【分析】（1）先把A、B点坐标代入y＝ 求出m、n的值；然后将其分别代入一次函数解析
式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（2）根据图象可以直接写出答案；
（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．
S△AOB ＝S△AOD ﹣S△BOD ，由三角形的面积公式可以直接求得结果．
【解答】解：（1）∵点A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴m＝1，n＝2，
即A（1，6），B（3，2）．
又∵点A（m，6），B（3，n）两点在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴ ．
解得 ，
则该一次函数的解析式为：y＝﹣2x+8；
（2）根据图象可知使kx+b＜ 成立的x的取值范围是0＜x＜1或x＞3；
第18页（共24页）（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．
令﹣2x+8＝0，得x＝4，即D（4，0）．
∵A（1，6），B（3，2），
∴AE＝6，BC＝2，
∴S△AOB ＝S△AOD ﹣S△BOD ＝ ×4×6﹣ ×4×2＝8．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：先由点的坐标求函数解析式，然
后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想．
23．【分析】（1）通过证明△ODF与△OBE全等即可求得．
（2）由△ADB是等腰直角三角形，得出∠A＝45°，因为EF⊥AB，得出∠G＝45°，所以
△ODG与△DFG都是等腰直角三角形，从而求得DG的长和EF＝2，然后等腰直角三角
形的性质即可求得．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∴∠ODF＝∠OBE，
在△ODF与△OBE中
∴△ODF≌△OBE（AAS）
∴BO＝DO；
（2）解：∵BD⊥AD，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝45°，
∴∠DBA＝∠A＝45°，
第19页（共24页）∵EF⊥AB，
∴∠G＝∠A＝45°，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴DF⊥OG，
∴OF＝FG，△DFG是等腰直角三角形，
∵△ODF≌△OBE（AAS）
∴OE＝OF，
∴GF＝OF＝OE，
即2FG＝EF，
∵△DFG是等腰直角三角形，
∴DF＝FG＝1，∴DG＝ ＝DO，
∴在等腰RT△ADB 中，DB＝2DO＝2 ＝AD
∴AD＝2 ，
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的
性质以及平行线分行段定理．
24．【分析】（1）连接OD，BD，由AB为圆O的直径，得到∠ADB为直角，可得出三角形BCD
为直角三角形，E为斜边BC的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE＝DE，
利用等边对等角得到一对角相等，再由OA＝OD，利用等边对等角得到一对角相等，由直
角三角形ABC中两锐角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO与∠CDE互余，可得出
∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为圆O的切线；
（2）证明OE是△ABC的中位线，则AC＝2OE，然后证明△ABC∽△BDC，根据相似三角
形的对应边的比相等，即可证得；
（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可
求得．
【解答】（1）证明：连接OD，BD，
第20页（共24页）∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴CE＝DE＝BE＝ BC，
∴∠C＝∠CDE，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∵∠ABC＝90°，即∠C+∠A＝90°，
∴∠ADO+∠CDE＝90°，即∠ODE＝90°，
∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，
∴DE为 O的切线；
⊙
（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC＝2OE，
∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴ ＝ ，即BC2＝AC•CD．
∴BC2＝2CD•OE；
（3）解：∵cos∠BAD＝ ，
∴sin∠BAC＝ ＝ ，
又∵BE＝6，E是BC的中点，即BC＝12，
∴AC＝15．
又∵AC＝2OE，
∴OE＝ AC＝ ．
第21页（共24页）【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点．要证
某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
25．【分析】（1）已知B（4，m）在直线y＝x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐
标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线
AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系
式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．
（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求
解．
【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y＝x+2上，
∴m＝4+2＝6，
∴B（4，6），
∵A（ ， ）、B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx+6上，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣8x+6．
（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），
∴PC＝（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），
＝﹣2n2+9n﹣4，
＝﹣2（n﹣ ）2+ ，
∵PC＞0，
∴当n＝ 时，线段PC最大且为 ．
第22页（共24页）（3）∵△PAC为直角三角形，
i）若点P为直角顶点，则∠APC＝90°．
由题意易知，PC∥y轴，∠APC＝45°，因此这种情形不存在；
ii）若点A为直角顶点，则∠PAC＝90°．
如答图3﹣1，过点A（ ， ）作AN⊥x轴于点N，则ON＝ ，AN＝ ．
过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，
∴MN＝AN＝ ，∴OM＝ON+MN＝ + ＝3，
∴M（3，0）．
设直线AM的解析式为：y＝kx+b，
则： ，解得 ，
∴直线AM的解析式为：y＝﹣x+3
又抛物线的解析式为：y＝2x2﹣8x+6
①
②
联立 式，解得：x＝3或x＝ （与点A重合，舍去）
①②
∴C（3，0），即点C、M点重合．
当x＝3时，y＝x+2＝5，
∴P （3，5）；
1
iii）若点C为直角顶点，则∠ACP＝90°．
第23页（共24页）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2．
如答图3﹣2，作点A（ ， ）关于对称轴x＝2的对称点C，
则点C在抛物线上，且C（ ， ）．
当x＝ 时，y＝x+2＝ ．
∴P （ ， ）．
2
∵点P （3，5）、P （ ， ）均在线段AB上，
1 2
∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（ ， ）．
【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的
判定、函数图象交点坐标的求法等知识．
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日期：2019/10/21 11:45:26；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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