文档内容
2021年山东省枣庄市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正
确的选项选出来.每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分.
1．﹣5的倒数是（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．
2．将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝
40°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
3．将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的
数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．4
5．下列计算正确的是（ ）A．3a+2b＝5ab B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．（a+1）2＝a2+2a+1 D．a3•a4＝a12
6．为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取
了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：
一分钟跳绳个数 141 144 145 146
（个）
学生人数（名） 5 2 1 2
则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A．平均数是144 B．众数是141
C．中位数是144.5 D．方差是5.4
7．小明有一个呈等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图的九个空格，下面有四种
积木的搭配，其中不能放入的有（ ）
A．搭配① B．搭配② C．搭配③ D．搭配④
8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6 ，BD＝6，点P是
AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．6
9．如图，三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折
叠，使点B与点A重合，折痕交BC于点F．已知EF＝ ，则BC的长是（ ）A． B．3 C．3 D．3
10．在平面直角坐标系xOy中，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别
与直线y＝x和双曲线y＝ 相交于点A，B，且AC+BC＝4，则△OAB的面积为（ ）
A．2+ 或2﹣ B．2 +2或2 ﹣2 C．2﹣ D．2 +2
11．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．
以C为圆心，2为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，1为半径作圆弧BO，OD，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A． ﹣1 B． ﹣3 C． ﹣2 D．4﹣
π π π π
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝ ，且经过点（2，
0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣ ，y ），（
1
，y ）是抛物线上的两点，则y ＜y ；⑤ b+c＞m（am+b）+c（其中m≠ ）．正确
2 1 2
的结论有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题：本大题共6小题，满分24分.只填写最后结果，每小题填对得4分.
13．（4分）已知x，y满足方程组 ，则x+y的值为 ．
14．（4分）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫
图．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对
角线上的数字之和都是15，则m的值为 ．
15．（4分）如图，正比例函数y ＝k x（k ≠0）与反比例函数y ＝ （k ≠0）的图象相
1 1 1 2 2
交于 A，B 两点，其中点 A 的横坐标为 1．当 k x＜ 时，x 的取值范围是
1
．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，
则点P的坐标为 ．
17．（4分）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的两个根，则n的值为 ．
18．（4分）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接
AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB＝
30°；③DF＝ AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形，其中，
判断正确的是 ．（填序号）
三、解答题：本大题共7小题，满分60分.解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤.
19．（6分）先化简，再求值： ÷（1+ ），其中x＝ ﹣1．
20．（8分）某中学为组织学生参加庆祝中国共产党成立100周年书画展评活动，全校征
集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了A，B，C，D四个班，对征集作
品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师采取的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”），王老师所
调查的4个班共征集到作品 件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角的度数为 ；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1件作品的作者是男生，3件作品
的作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，
求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
21．（8分）2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭
从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为
30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．
O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．
（结果精确到1米，参考数据： ≈1.732， ≈1.414）
22．（8分）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数 y＝
（x≠0）的图象与性质进行探究．
因为y＝ ＝1﹣ ，即y＝﹣ +1，所以可以对比函数y＝﹣ 来探究．
列表：（1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝ ，n＝ ；
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 …
﹣
… 1 2 4 ﹣4 ﹣2 ﹣1 …
y＝﹣ ﹣ ﹣
… 2 3 m ﹣3 ﹣1 0 n …
y＝
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝ 相应的函数值为
纵坐标，描出相应的点，如图所示：（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；
（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”）
②函数y＝ 的图象是由y＝﹣ 的图象向 平移 个单位而得到．
③函数图象关于点 中心对称．（填点的坐标）
23．（8分）如图， O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交 O于点
D，连接BD，CD⊙，过点D作 O的切线与AC的延长线交于点P． ⊙
（1）求证：DP∥BC； ⊙
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
24．（10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是
垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图 1，垂美四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O．猜想：
AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形
ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+3与x轴交于点A，与y轴交于
点B，抛物线y＝ x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．
（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；
（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于
时，求E点的坐标；
（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取
点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°．2021年山东省枣庄市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正
确的选项选出来.每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分.
1．﹣5的倒数是（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．
【分析】根据倒数的定义可直接解答．
【解答】解：﹣5的倒数是﹣ ；
故选：D．
2．将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝
40°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】由DE∥AF得∠AFD＝∠CDE＝40°，再根据三角形的外角性质可得答案．
【解答】解：由题意知DE∥AF，
∴∠AFD＝∠CDE＝40°，
∵∠B＝30°，
∴∠BAF＝∠AFD﹣∠B＝40°﹣30°＝10°，
故选：A．
3．将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
4．如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的
数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．4
【分析】关键：是找出原点位置．理解相反数在数轴上的几何意义，即两数分布在原点
的左右两侧，一正一负，且等距．点A到点B之间共六格，所以原点在点A右边的第3
格（也可以说是在点B左边第3格）．
【解答】解：因为点A，点B表示的数互为相反数，所以原点在线段AB中间，即在点A
右边的第3格，得出点C在原点的右边第1格，所以点C对应的数是1
故选：C．
5．下列计算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．（a+1）2＝a2+2a+1 D．a3•a4＝a12
【分析】根据完全平方公式，合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法的运算法则逐一
计算可得．
【解答】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（﹣2a）2＝4a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（a+1）2＝a2+2a+1，原计算正确，故此选项符合题意；D、a3•a4＝a7，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
6．为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取
了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：
一分钟跳绳个数 141 144 145 146
（个）
学生人数（名） 5 2 1 2
则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A．平均数是144 B．众数是141
C．中位数是144.5 D．方差是5.4
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的性质分别计算出结果，然后判判断即可．
【解答】解：根据题目给出的数据，可得：
平均数为： ，故A选项错误；
众数是：141，故B选项正确；
中位数是： ，故C选项错误；
方 差 是 ：
＝4.4，故D选项错误；
故选：B．
7．小明有一个呈等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图的九个空格，下面有四种
积木的搭配，其中不能放入的有（ ）
A．搭配① B．搭配② C．搭配③ D．搭配④
【分析】把这四种搭配进行组合，可得出如图的九个空格的形状，即为本题的选项．
【解答】解：搭配④中，有10个小正方形，显然不符合9个小正方形的条件，
故选：D．8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6 ，BD＝6，点P是
AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．6
【分析】由三角形的三边关系可得当点P在DE上时，PD+PE的最小值为DE的长，由
菱形的性质可得AO＝CO＝3 ，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝AD，由锐角三角函数
可求∠ABO＝60°，可证△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质可得DE⊥AB，即可
求解．
【解答】解：如图，连接DE，
在△DPE中，DP+PE≥DE，
∴当点P在DE上时，PD+PE的最小值为DE的长，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝3 ，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝AD，
∴tan∠ABO＝ ＝ ，
∴∠ABO＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵sin∠ABD＝ ，
∴ ＝ ，
∴DE＝3 ，故选：A．
9．如图，三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折
叠，使点B与点A重合，折痕交BC于点F．已知EF＝ ，则BC的长是（ ）
A． B．3 C．3 D．3
【分析】由题意可得点F是BC的中点，△ABF是等腰直角三角形，再根据EF的长度，
可求出BF的长度，进而得出结论．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
由折叠可知，EF⊥AB，BE＝AB，AF＝BF，
∴∠B＝∠BAF＝45°，
∴∠AFB＝90°，即AF⊥BC，
∴点F是BC的中点，
∴BC＝2BF，
在△ABF中，∠AFB＝90°，BE＝AB，
∴BE＝EF＝ ，
∴BF＝ ，
∴BC＝3 ．
故选：C．
10．在平面直角坐标系xOy中，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别
与直线y＝x和双曲线y＝ 相交于点A，B，且AC+BC＝4，则△OAB的面积为（ ）
A．2+ 或2﹣ B．2 +2或2 ﹣2 C．2﹣ D．2 +2
【分析】先求出点A，点B坐标，可得AC＝x＝OC，BC＝ ，由AC+BC＝4，可求x的值，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：设点C（x，0），
∵直线AB与直线y＝x和双曲线y＝ 相交于点A，B，
∴点A（x，x），点B（x， ），
∴AC＝x＝OC，BC＝ ，
∵AC+BC＝4，
∴x+ ＝4，
∴x＝2± ，
当x＝2+ 时，AC＝2+ ＝OC，BC＝2﹣ ，
∴AB＝2 ，
∴△OAB的面积＝ ×BA×OC＝2 +2；
当x＝2﹣ 时，AC＝2﹣ ＝OC，BC＝2+ ，
∴AB＝2 ，
∴△OAB的面积＝ ×BA×OC＝2 ﹣2；
综上所述：△OAB的面积为2 +2或2 ﹣2，
故选：B．
11．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．
以C为圆心，2为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，1为半径作圆弧BO，OD，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A． ﹣1 B． ﹣3 C． ﹣2 D．4﹣
【分π析】连接BD，根据在π同圆或等圆中，相等的π圆心角所对的弧，所对的π弦分别相等，
利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形CBD减去直角三角形
CBD的面积之差．【解答】解：连接BD，EF，如图，
∵正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，
由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．
∵点E，F分别为BC，AD的中点，
∴FD＝FEO＝EB＝1，
∴ ，OB＝OD．
∴弓形OB＝弓形OD．
∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．
∴S阴影 ＝S扇形CBD ﹣S△CBD ＝ ＝ ﹣2．
π
故选：C．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝ ，且经过点（2，
0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣ ，y ），（
1
，y ）是抛物线上的两点，则y ＜y ；⑤ b+c＞m（am+b）+c（其中m≠ ）．正确
2 1 2
的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】抛物线开口向下，且交y轴于正半轴及对称轴为x＝ ，推导出a＜0，b＞0、c＞0以及a与b之间的关系：b＝﹣a；根据二次函数图像经过点（2，0），可得出0＝
4a+2b+c；再由二次函数的对称性，当a＜0时，距离对称轴越远x所对应的y越小；由
抛物线开口向下，对称轴是x＝ ，可知当x＝ 时，y有最大值．
【解答】解：∵抛物线开口向下，且交y轴于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴x＝﹣ ＝ ，即b＝﹣a，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0），
∴0＝4a+2b+c，
故③不正确；
又可知b＝﹣a，
∴0＝﹣4b+2b+c，即﹣2b+c＝0，
故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是x＝ ，且 ＝1， ＝2，
∴y ＞y ，
1 2
故选④不正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是x＝ ，
∴当x＝ 时，抛物线y取得最大值y ＝ ＝ ，
max
当x＝m时，y ＝am2+bm+c＝m（am+b）+c，且m≠ ，
m
∴y ＞y ，
max m
故⑤正确，
综上，结论①②⑤正确，
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，满分24分.只填写最后结果，每小题填对得4分.13．（4分）已知x，y满足方程组 ，则x+y的值为 ﹣ 2 ．
【分析】用加减消元法解二元一次方程组，然后求解．
【解答】解： ，
②×2，得：4x+2y＝6③，
①﹣③，得：y＝﹣7，
把y＝﹣7代入②，得2x﹣7＝3，
解得：x＝5，
∴方程组的解为 ，
∴x+y＝﹣2，
故答案为：﹣2．
14．（4分）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫
图．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对
角线上的数字之和都是15，则m的值为 1 ．
【分析】根据幻方的定义，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：依题意，得：6+m+8＝15，
解得：m＝1．
故答案为：1．
15．（4分）如图，正比例函数y ＝k x（k ≠0）与反比例函数y ＝ （k ≠0）的图象相
1 1 1 2 2交于A，B两点，其中点A的横坐标为1．当k x＜ 时，x的取值范围是 0 ＜ x ＜ 1 或
1
x ＜﹣ 1 ．
【分析】由正比例函数与反比例函数的对称性可得点B横坐标，然后通过图象求解．
【解答】解：由正比例函数与反比例函数的对称性可得点B横坐标为﹣1，
由图象可得当k x＜ 时，x的取值范围是0＜x＜1或x＜﹣1．
1
故答案为：0＜x＜1或x＜﹣1．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，
则点P的坐标为 （ 1 ，﹣ 1 ） ．
【分析】连接AA′，CC′，线段AA′、CC′的垂直平分线的交点就是点P．
【解答】解：连接AA′、CC′，
作线段AA′的垂直平分线MN，作线段CC′的垂直平分线EF，
直线MN和直线EF的交点为P，点P就是旋转中心．
∵直线MN为：x＝1，设直线CC′为y＝kx+b，由题意： ，
∴ ，
∴直线CC′为y＝ x+ ，∵直线EF⊥CC′，经过CC′中点（ ， ），
∴直线EF为y＝﹣3x+2，
由 得 ，
∴P（1，﹣1）．
故答案为（1，﹣1）．
17．（4分）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的两个
根，则n的值为 8 或 9 ．
【分析】当4为腰长时，将x＝4代入原一元二次方程可求出n的值，将n值代入原方程
可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n＝4符合题意；当4为底边长
时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式△＝0，解之可得出n值，将n值代入原
方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n＝9符合题意．
【解答】解：当4为腰长时，将x＝4代入x2﹣6x+n＝0，得：42﹣6×4+n＝0，
解得：n＝8，
当n＝8时，原方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x ＝2，x ＝4，
1 2
∵2+4＞4，
∴n＝8符合题意；
当4为底边长时，关于x的方程x2﹣6x+n＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×n＝0，
解得：n＝9，
当n＝9时，原方程为x2﹣6x+9＝0，解得：x ＝x ＝3，
1 2
∵3+3＝6＞4，
∴n＝9符合题意．
∴n的值为8或9．
故答案为：8或9．
18．（4分）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接
AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB＝
30°；③DF＝ AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形，其中，
判断正确的是 ①③④ ．（填序号）
【分析】由矩形得EB＝ED＝EA，∠BAD为直角，再由等腰三角形的三线合一性质可判
断①的正误；根据矩形的性质可得∠ADB＝22.5°，便可判断②的正误；连接BF，由线
段的垂直平分线得BF＝DF，证明△AOF≌△ABD，得AF＝AB，进而便可判断③的正
误；由直角三角形斜边上的中线定理得 AG＝OG，进而求得∠AGE＝45°，由矩形性质
得ED＝EA，进而得∠EAD＝22.5°，再得∠EAG＝90°，便可判断④的正误．
【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴EB＝ED，
∵BO＝DO，
∴OE平分∠BOD，故①正确；
②∵∠BOD＝45°，BO＝DO，
∴∠ABD＝ （180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠ADB＝90°﹣27.5°＝22.5°，故②错误；
③∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OAD＝∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵OB＝OD，BE＝DE，
∴OE⊥BD，∴∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠BOE＝∠BDA，
∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，
∴∠ADO＝45°，
∴AO＝AD，
∴△AOF≌△ABD（ASA），
∴OF＝BD，
∴AF＝AB，
连接BF，如图1，
∴BF＝ AF，
∵BE＝DE，OE⊥BD，
∴DF＝BF，
∴DF＝ AF，故③正确；
④根据题意作出图形，如图2，
∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，
∴AG＝OG，
∴∠AOG＝∠OAG，
∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，
∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，
∴∠FAG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，
∴∠EAG＝90°，
∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，
∴∠AEG＝45°，
∴AE＝AG，
∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；
∴判断正确的是①③④．
故答案为：①③④．
三、解答题：本大题共7小题，满分60分.解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤.
19．（6分）先化简，再求值： ÷（1+ ），其中x＝ ﹣1．
【分析】利用平方差公式、通分将原式化简成 ，代入x＝ ﹣1即可求出结论．
【解答】解：原式＝ ÷ ，
＝ × ，
＝ ．
∵x＝ ﹣1，
∴原式＝ ＝ ．
20．（8分）某中学为组织学生参加庆祝中国共产党成立100周年书画展评活动，全校征
集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了A，B，C，D四个班，对征集作
品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．（1）王老师采取的调查方式是 抽样调查 （填“普查”或“抽样调查”），王老师
所调查的4个班共征集到作品 2 4 件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角的度数为 150 ° ；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1件作品的作者是男生，3件作品
的作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，
求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
【分析】（1）根据全面调查与抽样调查的概念得出王老师采取的调查方式是抽样调查；
利用A班的作品数除以它所占的百分比得到调查的总作品件数，再用总件数减去其他班
级的件数，得出B班级的件数，然后补全统计图即可；
（2）用360°乘以C班所占的百分比即可得出C班圆心角的度数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽中一男一女的结果数，然后根据
概率公式求解．
【解答】解：（1）王老师采取的调查方式是抽样调查；
王老师所调查的4个班共征集到作品有4÷ ＝24（件），
B班级的件数有：24﹣4﹣10﹣4＝6（件），补全统计图如下：
故答案为：抽样调查，24；
（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角是：360°× ＝150°；
故答案为：150°；
（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6，
所以恰好抽中一男一女的概率＝ ＝ ．
21．（8分）2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四
运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭
从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为
30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．
O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．
（结果精确到1米，参考数据： ≈1.732， ≈1.414）
【分析】在两个直角三角形中求出AO、BO，进而计算出AB，最后求出速度即可．
【解答】解：由题意得，AD＝4000米，∠ADO＝30°，CD＝460米，∠BCO＝45°，
在Rt△AOD中，
∵AD＝4000米，∠ADO＝30°，
∴OA＝ AD＝2000（米），OD＝ AD＝2000 （米），
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴OB＝OC＝OD﹣CD＝（2000 ﹣460）米，
∴AB＝OB﹣OA＝2000 ﹣460﹣2000≈1004（米），
∴火箭的速度为1004÷3≈335（米/秒），答：火箭的速度约为335米/秒．
22．（8分）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数 y＝
（x≠0）的图象与性质进行探究．
因为y＝ ＝1﹣ ，即y＝﹣ +1，所以可以对比函数y＝﹣ 来探究．
列表：（1）下表列出y与x的几组对应值，请写出 m，n的值：m＝ 5 ，n＝
；
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 …
﹣
… 1 2 4 ﹣4 ﹣2 ﹣1 …
y＝﹣ ﹣ ﹣
… 2 3 m ﹣3 ﹣1 0 n …
y＝
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝ 相应的函数值为
纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；
（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 增大 ；（填“增大”或“减小”）
②函数y＝ 的图象是由y＝﹣ 的图象向 上 平移 1 个单位而得到．③函数图象关于点 （ 0 ， 1 ） 中心对称．（填点的坐标）
【分析】（1）x＝﹣ ，x＝3，分别代入y＝﹣ +1即可得m、n的值；
（2）按要求分别用条光滑曲线顺次连接所描的点即可；
（3）数形结合，观察函数图象即可得到答案．
【解答】解：（1）x＝﹣ 时，y＝﹣ +1＝5，
∴m＝5，
x＝3时，y＝﹣ +1＝ ，
∴n＝ ；
故答案为：5， ；
（2）把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来，如图：
（3）根据图象可得：
①在y轴左边，y随x增大而增大，
故答案为：增大；
②函数y＝ 的图象是由y＝﹣ 的图象向上平移1个单位得到的，
故答案为：上，1；
③函数图象关于点 （0，1）中心对称，故答案为：（0，1）．
23．（8分）如图， O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交 O于点
D，连接BD，CD⊙，过点D作 O的切线与AC的延长线交于点P． ⊙
（1）求证：DP∥BC； ⊙
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
【分析】（1）连接OD，由∠BAC是直径所对的圆周角，可知∠BAC＝90°，再由AD是
∠BAC的平分线，可得∠BAD＝45°，根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，可得
∠BOD＝90°，再由切线DP⊥OD，可证DP∥BC；
（2）由（1）DP∥BC，得∠ACB＝∠P，再由同弧所对圆周角相等，得∠ACB＝
∠ADB，进而得到∠P＝∠ADB，又由∠ODC＝45°，∠CDP＝45°，即可证明
△ABD∽△DCP；
（3）由已知可求BC＝13cm，在Rt△COD中，CD＝ ，在Rt△BOD中，BD＝
，再由△ABD∽△DCP，可得 ＝ ，即可求CP＝ ．
【解答】解：（1）连接OD，
∵DP是 O的切线，
∴DO⊥D⊙P，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴ ＝ ，
∵BC是圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∴OD⊥BC，∴DP∥BC；
（2）∵DP∥BC，
∴∠ACB＝∠P，
∵ ＝ ，
∴∠ACB＝∠ADB，
∴∠P＝∠ADB，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴△ABD∽△DCP；
（3）∵AB＝5cm，AC＝12cm，∠BAC＝90°，
∴BC＝13cm，
在Rt△COD中，CD＝ ，
在Rt△BOD中，BD＝ ，
∵△ABD∽△DCP，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CP＝ ．
24．（10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是
垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图 1，垂美四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O．猜想：
AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形
ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【分析】（1）连接AC、BD，根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）如图3，连接CG、BE，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计
算即可．
【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
理由如下：如图2，连接AC、BD，
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，
理由如下：
如图1中，∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）如图3，连接CG、BE，
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝ ＝ ＝3，
∵CG＝ ＝ ＝4 ，BE＝ ＝ ＝5 ，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4 ）2+（5 ）2﹣32＝73，
∴GE＝ ．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+3与x轴交于点A，与y轴交于
点B，抛物线y＝ x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．
（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；
（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于
时，求E点的坐标；
（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取
点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△EAB的面积＝S△EHB +S△EHA ＝ ×EH×OA＝ 6×（﹣ x+3﹣ x2+2x）＝
，即可求解；
（3）由直线 CM 的表达式知，tan∠MCD＝ ，则 sin∠MCD＝ ，则 DM＝
CDsin∠MCD＝（2+3）× ＝ ，由点D、M的坐标得，DM＝ ＝
，即可求解．
【解答】解：（1）对于y＝﹣ x+3，令y＝﹣ x+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝
3，
故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），
∵抛物线y＝ x2+bx+c经过坐标原点，故c＝0，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝ ×36+6b，解得b＝﹣2，
故抛物线的表达式为y＝ x2﹣2x；
则抛物线的对称轴为x＝3，当x＝3时，y＝ x2﹣2x＝﹣3，
则点M的坐标为（3，﹣3）；
（2）如图1，过点E作EH∥y轴交AB于点H，
设点E的坐标为（x， x2﹣2x），则点H（x，﹣ x+3），
则△EAB的面积＝S△EHB +S△EHA ＝ ×EH×OA＝ 6×（﹣ x+3﹣ x2+2x）＝ ，
解得x＝1或 ，
故点E的坐标为（1，﹣ ）或（ ，﹣ ）；
（3）∵直线AB向下平移后过点M（3，﹣3），
故直线CM的表达式为y＝﹣ （x﹣3）﹣3＝﹣ x﹣ ，
令y＝﹣ x﹣ ＝0，解得x＝﹣3，
故点C（﹣3，0）；
故点D作DH⊥CM于点H，∵直线CM的表达式为y＝﹣ x﹣ ，故tan∠MCD＝ ，则sin∠MCD＝ ，
则DM＝CDsin∠MCD＝（2+3）× ＝ ，
由点D、M的坐标得，DM＝ ＝ ，
则sin∠HMD＝ ＝ ，
故∠HMD＝45°＝∠DCM＝∠ADM﹣∠ACM＝45°，
∴∠ADM﹣∠ACM＝45°．
