文档内容
2019年山东省枣庄市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的
选项选出来。每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分。
1．（3分）下列运算，正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xy B．（x﹣3）2＝x2﹣9
C．（xy2）2＝x2y4 D．x6÷x3＝x2
2．（3分）下列图形，可以看作中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含
45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠ 的度数是（ ）
α
A．45° B．60° C．75° D．85°
4．（3分）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不
包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线
的函数表达式是（ ）
第1页（共23页）A．y＝﹣x+4 B．y＝x+4 C．y＝x+8 D．y＝﹣x+8
5．（3分）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在函数y＝
图象的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位
长度，得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
7．（3分）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到
△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．2
8．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD
于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留 ）（ ）
π
A．8﹣ B．16﹣2 C．8﹣2 D．8﹣
π π π π
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的
第2页（共23页）正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝ （x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的
值为（ ）
A．1 B． C． D．2
10．（3分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白
处的是（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝1，OA＝OB．若点C所表
示的数为a，则点B所表示的数为（ ）
A．﹣（a+1） B．﹣（a﹣1） C．a+1 D．a﹣1
12．（3分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的
面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（ ）
第3页（共23页）A．2 B．3 C．4 D．
二、填空题：本大题共6小题，满分24分。只填写最后结果，每小题填对得4分。
13．（4分）若m﹣ ＝3，则m2+ ＝ ．
14．（4分）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是
．
15．（4分）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B
点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB
的高度约为 m．（精确到 0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，
tan53°≈1.33）
16．（4分）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就
可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝ 度．
17．（4分）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐
角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线
第4页（共23页）上．若AB＝2，则CD＝ ．
18．（4分）观察下列各式：
＝1+ ＝1+（1﹣ ），
＝1+ ＝1+（ ﹣ ），
＝1+ ＝1+（ ﹣ ），
…
请利用你发现的规律，计算：
+ + +…+ ，
其结果为 ．
三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤。
19．（8分）先化简，再求值： ÷（ +1），其中x为整数且满足不等式组
20．（8分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保
留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
21．（8分）对于实数a、b，定义关于“ ”的一种运算：a b＝2a+b，例如3 4＝2×3+4＝10．
第5页（共23页）
⊗ ⊗ ⊗（1）求4 （﹣3）的值；
（2）若x⊗（﹣y）＝2，（2y） x＝﹣1，求x+y的值．
22．（8分）4月⊗23日是世界读书日，⊗习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得
到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该
校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程
如下：
一、数据收集，从全校随机抽取20学生，进行每周用于课外阅读时间的调查，数据如下
（单位：min）：
30 60 81 50 44 110 130 146 80 100
60 80 120 140 75 81 10 30 81 92
二、整理数据，按如下分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间x（min） 0≤x＜40 40≤x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160
等级 D C B A
人数 3 a 8 b
三、分析数据，补全下列表格中的统计量：
平均数 中位数 众数
80 c 81
四、得出结论：
表格中的数据：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
①用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为 ；
②如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有 人；
③假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟，请你用样本平均数估计该校学生每人一
④年（按52周计算）平均阅读 本课外书．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作 O，点D为 O上一点，且
CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E． ⊙ ⊙
（1）判断直线CD与 O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE＝2，DE＝⊙4，求圆的半径及AC的长．
第6页（共23页）24．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段
AM的长；
（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；
（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN＝
AM．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+ x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在
点A右侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点
P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；
第7页（共23页）若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当
MN＝3时，求点M的坐标．
第8页（共23页）2019 年山东省枣庄市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的
选项选出来。每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分。
1．【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和积的乘方运算法则、同底数幂的乘
除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、2x+3y，无法计算，故此选项错误；
B、（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，故此选项错误；
C、（xy2）2＝x2y4，正确；
D、x6÷x3＝x3，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和积的乘方运算、同底数幂的乘除
运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后
两部分重合．
3．【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF＝∠DGB＝45°，再利用∠ ＝∠D+∠DGB可得
答案． α
【解答】解：如图，
第9页（共23页）∵∠ACD＝90°、∠F＝45°，
∴∠CGF＝∠DGB＝45°，
则∠ ＝∠D+∠DGB＝30°+45°＝75°，
故选α：C．
【点评】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三
角形外角的性质．
4．【分析】设P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知PC＝x，PD＝y，根据围成的矩形的周长为
8，可得到x、y之间的关系式．
【解答】解：如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，
设P点坐标为（x，y），
∵P点在第一象限，
∴PD＝y，PC＝x，
∵矩形PDOC的周长为8，
∴2（x+y）＝8，
∴x+y＝4，
即该直线的函数表达式是y＝﹣x+4，
故选：A．
【点评】本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐
标都满足函数关系式y＝kx+b．根据坐标的意义得出x、y之间的关系是解题的关键．
5．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出mn＝6，列表找出所有mn的值，根据
表格中mn＝6所占比例即可得出结论．
【解答】解：∵点（m，n）在函数y＝ 的图象上，
∴mn＝6．
列表如下：
m ﹣1 ﹣1 ﹣1 2 2 2 3 3 3 ﹣6 ﹣6 ﹣6
第10页（共23页）n 2 3 ﹣6 ﹣1 3 ﹣6 ﹣1 2 ﹣6 ﹣1 2 3
mn ﹣2 ﹣3 6 ﹣2 6 ﹣12 ﹣3 6 ﹣18 6 ﹣12 ﹣18
mn的值为6的概率是 ＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表找
出mn＝6的概率是解题的关键．
6．【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．
【解答】解：∵将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点
A′，
∴点A′的横坐标为1﹣2＝﹣1，纵坐标为﹣2+3＝1，
∴A′的坐标为（﹣1，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移
减；纵坐标上移加，下移减．
7．【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出
正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
【解答】解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20，
∴AD＝DC＝2 ，
∵DE＝2，
∴Rt△ADE中，AE＝ ＝2
故选：D．
【点评】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边
关系是解题关键．
8．【分析】根据S阴 ＝S△ABD ﹣S扇形BAE 计算即可．
【解答】解：S阴 ＝S△ABD ﹣S扇形BAE ＝ ×4×4﹣ ＝8﹣2 ，
π
故选：C．
【点评】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法
求阴影部分面积．
第11页（共23页）9．【分析】根据题意可以求得OA和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，本
题得以解决．
【解答】解：∵等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝
90°，CA⊥x轴，AB＝1，
∴∠BAC＝∠BAO＝45°，
∴OA＝OB＝ ，AC＝ ，
∴点C的坐标为（ ， ），
∵点C在函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴k＝ ＝1，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键是
明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．【分析】根据题意知原图形中各行、各列中点数之和为10，据此可得．
【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，
符合此要求的只有
故选：D．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之
和为10．
11．【分析】根据题意和数轴可以用含a的式子表示出点B表示的数，本题得以解决．
【解答】解：∵O为原点，AC＝1，OA＝OB，点C所表示的数为a，
∴点A表示的数为a﹣1，
∴点B表示的数为：﹣（a﹣1），
故选：B．
【点评】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．【分析】由S△ABC ＝16、S△A′EF ＝9且AD为BC边的中线知S△A′DE ＝ S△A′EF ＝ ，S△ABD
第12页（共23页）＝ S△ABC ＝8，根据△DA′E∽△DAB知（ ）2＝ ，据此求解可得．
【解答】解：∵S△ABC ＝16、S△A′EF ＝9，且AD为BC边的中线，
∴S△A′DE ＝ S△A′EF ＝ ，S△ABD ＝ S△ABC ＝8，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A′E∥AB，
∴△DA′E∽△DAB，
则（ ）2＝ ，即（ ）2＝ ，
解得A′D＝3或A′D＝﹣ （舍），
故选：B．
【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性
质、相似三角形的判定与性质等知识点．
二、填空题：本大题共6小题，满分24分。只填写最后结果，每小题填对得4分。
13．【分析】根据完全平方公式，把已知式子变形，然后整体代入求值计算即可得出答案．
【解答】解：∵ ＝m2﹣2+ ＝9，
∴m2+ ＝11，
故答案为11．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，把已知式子变形，然后整体代入求值计算，
难度适中．
14．【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的
判别式是b2﹣4ac＞0即可进行解答
第13页（共23页）【解答】解：由关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根
得△＝b2﹣4ac＝4+4×3a＞0，
解得a＞
则a＞ 且a≠0
故答案为a＞ 且a≠0
【点评】本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
中，（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△＝0时，方程有两个相等的实数
根；（3）当△＜0时，方程没有实数根．
15．【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB，
∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，
∴∠ADE＝53°，
∵BC＝DE＝6m，
∴AE＝DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m，
∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝7.98+1.5＝9.48m≈9.5m，
故答案为：9.5
【点评】此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角
形．注意方程思想与数形结合思想的应用．
16．【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC＝ ＝108°，△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝36度．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．
第14页（共23页）n边形的内角和为：180°（n﹣2）．
17．【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2 ，BF＝AF＝ ，再利用勾股定理求
出DF，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B＝45°，
∴BC＝ AB＝2 ，BF＝AF＝ AB＝ ，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝2 ，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝ ＝ ，
∴CD＝BF+DF﹣BC＝ + ﹣2 ＝ ﹣ ，
故答案为： ﹣ ．
【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的
关键．
18．【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．
【解答】解： + + +…+
＝1+（1﹣ ）+1+（ ﹣ ）+…+1+（ ﹣ ）
＝2018+1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
＝2018 ，
故答案为：2018 ．
【点评】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握数字的变化规律是解题的
关键．
三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算
第15页（共23页）步骤。
19．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求出其整数解，
继而代入计算可得．
【解答】解：原式＝ ÷（ + ）
＝ •
＝ ，
解不等式组 得2＜x≤ ，
则不等式组的整数解为3，
当x＝3时，原式＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法
则及解一元一次不等式组的能力．
20．【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于 AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可；
【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC＝ ∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C．
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°，
第16页（共23页）∵EF垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
21．【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出所求．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝8﹣3＝5；
（2）根据题中的新定义化简得： ，
+ 得：3x+3y＝1，
① ②
则x+y＝ ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
22．【分析】 根据已知数据和中位数的概念可得；
由样本中①位数和众数、平均数都是B等级可得答案；
②利用样本估计总体思想求解可得；
③用没有阅读书籍的平均时间乘以一年的周数，再除以阅读每本书所需时间即可得．
④【解答】解： 由已知数据知a＝5，b＝4，
∵第10、11个①数据分别为80、81，
∴中位数c＝ ＝80.5，
故答案为：5、4、80.5；
用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为B，
②故答案为：B；
估计等级为“B”的学生有400× ＝160（人），
③
故答案为：160；
估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读课外书 ×52＝13（本），
④
故答案为：13．
第17页（共23页）【点评】此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数（平均数、中位数、众数）和
理解样本和总体的关系是关键．
23．【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设 O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2＝EB2+OB2，可得（4﹣r）2＝r2+22，推出r
⊙
＝1.5，由tan∠E＝ ＝ ，推出 ＝ ，可得CD＝BC＝3，再利用勾股定理即可解
决问题；
【解答】（1）证明：连接OC．
∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，
∴△OCB≌△OCD（SSS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是 O的切线；
⊙
（2）解：设 O的半径为r．
在Rt△OBE中⊙，∵OE2＝EB2+OB2，
∴（4﹣r）2＝r2+22，
∴r＝1.5，
∵tan∠E＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CD＝BC＝3，
在Rt△ABC中，AC＝ ＝ ＝3 ．
∴圆的半径为1.5，AC的长为3 ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解
题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
24．【分析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到AD＝BD＝DC＝ ，求出
∠MBD＝30°，根据勾股定理计算即可；
（2）证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质证明；
（3）过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，证明△BME≌△AMN，根据全等三角形的性
第18页（共23页）质得到BE＝AN，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，
∵AB＝2，
∴AD＝BD＝DC＝ ，
∵∠AMN＝30°，
∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠MBD＝30°，
∴BM＝2DM，
由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即（2DM）2﹣DM2＝（ ）2，
解得，DM＝ ，
∴AM＝AD﹣DM＝ ﹣ ；
（2）证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA）
∴BE＝AF；
（3）证明：过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，
∴∠AME＝90°，
则AE＝ AM，∠E＝45°，
∴ME＝MA，
∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，
∴∠BME＝∠AMN，
在△BME和△NMA中，
，
∴△BME≌△NMA（ASA），
第19页（共23页）∴BE＝AN，
∴AB+AN＝AB+BE＝AE＝ AM．
【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的
性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线x＝3，解出a的值，即可求得抛物线解析式，在令其
y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标；
（2）易求点C的坐标为（0，4），设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（8，0），C（0，
4）代入y＝kx+b，解出k和b的值，即得直线BC的解析式；设点P的坐标为（x，﹣ x2+
x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣ x+4），利用关系式
S四边形PBOC ＝S△BOC +S△PBC 得出关于x的二次函数，从而求得其最值；
（3）设点M的坐标为（m，﹣ + +4）则点N的坐标为（m，﹣ ），MN＝|﹣
+ +4﹣（﹣ ）|＝|﹣ +2m|，分当0＜m＜8时，或当m＜0或m＞8时来化简绝
对值，从而求解．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝3，
∴﹣ ＝3，解得a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣ x2+ x+4．
当y＝0时，﹣ x2+ x+4＝0，解得x ＝﹣2，x ＝8，
1 2
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
第20页（共23页）答：抛物线的解析式为：y＝﹣ x2+ x+4；点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
（2）当x＝0时，y＝﹣ x2+ x+4＝4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（8，0），C（0，4）代入y＝kx+b得
，解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣ x+4．
假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，
设点P的坐标为（x，﹣ x2+ x+4），如图所示，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则
点D的坐标为（x，﹣ x+4），
则PD＝﹣ x2+ x+4﹣（﹣ x+4）＝﹣ x2+2x，
∴S四边形PBOC ＝S△BOC +S△PBC
＝ ×8×4+ PD•OB
＝16+ ×8（﹣ x2+2x）
＝﹣x2+8x+16
＝﹣（x﹣4）2+32
∴当x＝4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是32
∵0＜x＜8，
∴存在点P（4，6），使得四边形PBOC的面积最大．
答：存在点P，使四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为（4，6），四边形PBOC面积的最
大值为32．
第21页（共23页）（3）设点M的坐标为（m，﹣ + +4）则点N的坐标为（m，﹣ ），
∴MN＝|﹣ + +4﹣（﹣ ）|＝|﹣ +2m|，
又∵MN＝3，
∴|﹣ +2m|＝3，
当0＜m＜8时，﹣ +2m﹣3＝0，解得m ＝2，m ＝6，
1 2
∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；
当m＜0或m＞8时，﹣ +2m+3＝0，解得m ＝4﹣2 ，m ＝4+2 ，
3 4
∴点M的坐标为（4﹣2 ， ﹣1）或（4+2 ，﹣ ﹣1）．
答：点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（4﹣2 ， ﹣1）或（4+2 ，﹣ ﹣1）．
【点评】本题属于二次函数压轴题，综合考查了待定系数法求解析式，解析法求面积及点
的坐标的存在性，最大值等问题，难度较大．
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