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2015年山东省泰安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共20道小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确
的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（3分）（2015•泰安）若（ ）﹣（﹣2）=3，则括号内的数是（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
2．（3分）（2015•泰安）下列计算正确的是（ ）
A．a4+a4=a8 B．（a3）4=a7
C．12a6b4÷3a2b﹣2=4a4b2 D．（﹣a3b）2=a6b2
3．（3分）（2015•泰安）下列四个几何体：
其中左视图与俯视图相同的几何体共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）（2015•泰安）地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为
（ ）
A．0.51×109 B．5.1×109 C．5.1×108 D．0.51×107
5．（3分）（2015•泰安）如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（ ）
A．122° B．151° C．116° D．97°
6．（3分）（2015•泰安）如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形
涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
第1页（共27页）7．（3分）（2015•泰安）小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种
水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千
克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2015•泰安）化简：（a+ ）（1﹣ ）的结果等于（ ）
A．a﹣2 B．a+2 C． D．
9．（3分）（2015•泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长
等于（ ）
A．4 B．6 C．2 D．8
10．（3分）（2015•泰安）若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中
高数，如796就是一个“中高数”．若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两数，与7
组成“中高数”的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）（2015•泰安）某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统
计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是（ ）
第2页（共27页）A．94分，96分 B．96分，96分 C．94分，96.4分 D．96分，96.4分
12．（3分）（2015•泰安）不等式组 的整数解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（3分）（2015•泰安）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的
延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；
③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．（3分）（2015•泰安）如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航
行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔
A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）
A．20海里 B．40海里 C． D．
海里 海里
15．（3分）（2015•泰安）如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，
0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横
坐标为3，则点B′的坐标为（ ）
第3页（共27页）A．（4，2 ） B．（3，3 ） C．（4，3 ） D．（3，2 ）
16．（3分）（2015•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可
能是（ ）
A． B． C． D．
17．（3分）（2015•泰安）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，以点B为圆心的圆与AD、
DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． +π C． D．
+ ﹣ 2 +
18．（3分）（2015•泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x的值为（ ）
A．135 B．170 C．209 D．252
第4页（共27页）19．（3分）（2015•泰安）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的
表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5
20．（3分）（2015•泰安）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得
到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4 ，则FD的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．2
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
21．（3分）（2015•泰安）分解因式：9x3﹣18x2+9x= ．
22．（3分）（2015•泰安）方程：（2x+1）（x﹣1）=8（9﹣x）﹣1的根为 ．
23．（3分）（2015•泰安）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是
线段BM、CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为 ．
24．（3分）（2015•泰安）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一
点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E= ．
第5页（共27页）三、解答题（本大题共5小题，满分48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步
骤）
25．（8分）（2015•泰安）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800
元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进
价比乙种款型每件的进价少30元．
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店
决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？
26．（8分）（2015•泰安）一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象相交于A（﹣1，4），B（2，
n）两点，直线AB交x轴于点D．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S．
27．（10分）（2015•泰安）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且
∠APD=∠B．
第6页（共27页）（1）求证：AC•CD=CP•BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
28．（10分）（2015•泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四
边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：
（1）DF=AE；
（2）DF⊥AC．
29．（12分）（2015•泰安）如图，抛物线y=ax2+bx+c为x轴的一交点为A（﹣6，0），与y轴的交
点为C（0，3），且经过点G（﹣2，3）．
（1）求抛物线的表达式；
第7页（共27页）（2）点P是线段OA上一动点，过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，设△CPQ的面积为
S，求S的最大值；
（3）若点B是抛物线与x轴的另一定点，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上，
∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．
2015 年山东省泰安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共20道小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确
的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（3分）（2015•泰安）若（ ）﹣（﹣2）=3，则括号内的数是（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
考点：有理数的加法．
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专题：计算题．
分析：根据题意列出算式，计算即可得到结果．
解答：解：根据题意得：3+（﹣2）=1，
则1﹣（﹣2）=3，
故选B．
点评：此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（3分）（2015•泰安）下列计算正确的是（ ）
A．a4+a4=a8 B．（a3）4=a7
C．12a6b4÷3a2b﹣2=4a4b2 D．（﹣a3b）2=a6b2
考点：整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
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专题：计算题．
分析：原式各项计算得到结果，即可做出判断．
解答：解：A、原式=2a4，错误；
B、原式=a12，错误；
C、原式=4a4b6，错误；
第8页（共27页）D、原式=a6b2，正确．
故选D．
点评：此题考查了整式的除法，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是
解本题的关键．
3．（3分）（2015•泰安）下列四个几何体：
其中左视图与俯视图相同的几何体共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点：简单几何体的三视图．
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分析：左视图、俯视图是分别从物体左面和上面看，所得到的图形．
解答：解：正方体左视图、俯视图都是正方形，左视图与俯视图相同；
球左视图、俯视图都是圆，左视图与俯视图相同；
圆锥左视图、俯视图分别是三角形、有圆心的圆，左视图与俯视图不相同；
圆柱左视图、俯视图分别是长方形、圆，左视图与俯视图不相同；
即同一个几何体的左视图与俯视图相同的几何体共有2个．
故选B．
点评：本题考查了简单几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在
三视图中．
4．（3分）（2015•泰安）地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为
（ ）
A．0.51×109 B．5.1×109 C．5.1×108 D．0.51×107
考点：科学记数法—表示较大的数．
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分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错
点，由于510000000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．
解答：解：510 000 000=5.1×108．
故选C．
点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
5．（3分）（2015•泰安）如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（ ）
A．122° B．151° C．116° D．97°
考点：平行线的性质．
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分析：根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFD，然后根
据两直线平行，同旁内角互补解答．
第9页（共27页）解答：解：∵AB∥CD，∠1=58°，
∴∠EFD=∠1=58°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠GFD= ∠EFD= ×58°=29°，
A∵B∥CD，
∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．
故选B．
点评：题考查了平行线的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质是解题的关
键．
6．（3分）（2015•泰安）如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形
涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点：概率公式；轴对称图形．
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分析：由随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使
与图中阴影部分构成轴对称图形的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答
案．
解答：解：∵在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等
可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，
∴使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是：3÷5= ．
故选C．
点评：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之
比．也考查了轴对称图形的定义．
7．（3分）（2015•泰安）小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种
水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千
克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．
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分析：设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，根据两种水果共花去28元，乙种
水果比甲种水果少买了2千克，据此列方程组．
解答：解：设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，
由题意得 ．
故选A．
点评：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未
知数，找出合适的等量关系，列方程组．
第10页（共27页）8．（3分）（2015•泰安）化简：（a+ ）（1﹣ ）的结果等于（ ）
A．a﹣2 B．a+2 C． D．
考点：分式的混合运算．
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专题：计算题．
分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果．
解答：
解： •
= •
=a+2．
故选B．
点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（3分）（2015•泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长
等于（ ）
A．4 B．6 C．2 D．8
考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理．
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分析：首先连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，由圆周角定理可求得∠AOC的度数，进
而可在构造的直角三角形中，根据勾股定理求得弦AC的一半，由此得解．
解答：解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，
∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD= ∠AOC，
∴∠COD=∠B=60°；
在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，
∴CD= OC=2 ，
∴AC=2CD=4 ．
故选A．
点评：此题主要考查了三角形的外接圆以及勾股定理的应用，还涉及到圆周角定理、垂径定
理以及直角三角形的性质等知识，难度不大．
第11页（共27页）10．（3分）（2015•泰安）若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中
高数，如796就是一个“中高数”．若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两数，与7
组成“中高数”的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点：列表法与树状图法．
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专题：新定义．
分析：首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与与7组成“中高
数”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：列表得：
9 379 479 579 679 879 ﹣
8 378 478 578 678 ﹣ 978
6 376 476 576 ﹣ 876 976
5 375 475 ﹣ 675 875 975
4 374 ﹣ 574 674 874 974
3 ﹣ 473 573 673 873 973
3 4 5 6 8 9
∵共有30种等可能的结果，与7组成“中高数”的有12种情况，
∴与7组成“中高数”的概率是： = ．
故选C．
点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数
之比．
11．（3分）（2015•泰安）某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统
计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是（ ）
A．94分，96分 B．96分，96分 C．94分，96.4分 D．96分，96.4分
考点：中位数；扇形统计图；条形统计图；算术平均数．
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分析：首先利用扇形图以及条形图求出总人数，进而求得每个小组的人数，然后根据中位数
的定义求出这些职工成绩的中位数，利用加权平均数公式求出这些职工成绩的平均
数．
解答：解：总人数为6÷10%=60（人），
则94分的有60×20%=12（人），
98分的有60﹣6﹣12﹣15﹣9=18（人），
第30与31个数据都是96分，这些职工成绩的中位数是（96+96）÷2=96；
这些职工成绩的平均数是（92×6+94×12+96×15+98×18+100×9）÷60
=（552+1128+1440+1764+900）÷60
=5784÷60
=96.4．
第12页（共27页）故选：D．
点评：本题考查了统计图及中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排
列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数
据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．解题的关键是从
统计图中获取正确的信息并求出各个小组的人数．同时考查了平均数的计算．
12．（3分）（2015•泰安）不等式组 的整数解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：一元一次不等式组的整数解．
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分析：先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出所有的整数解即可求出个数．
解答：
解： ，
解不等式①得，x＞﹣ ，
解不等式②得，x≤1，
所以，不等式组的解集是﹣ ＜x≤1，
所以，不等式组的整数解有﹣1、0、1共3个．
故选C．
点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等
式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
13．（3分）（2015•泰安）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的
延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；
③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质．
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分析：根据等腰三角形的性质三线合一得到BD=CD，AD⊥BC，故②③正确；通过
△CDE≌△DBF，得到DE=DF，CE=BF，故①④正确．
解答：解：∵BF∥AC，
∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
第13页（共27页）在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF，
∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2BF，
∴AC=3BF，故④正确．
故选A．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三
角形的性质三线合一是解题的关键．
14．（3分）（2015•泰安）如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航
行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔
A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）
A．20海里 B．40海里 C． D．
海里 海里
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
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分析：
作AM⊥BC于M．由题意得，∠DBC=20°，∠DBA=50°，BC=60× =40海里，
∠NCA=10°，则∠ABC=∠ABD﹣∠CBD=30°．由BD∥CN，得出∠BCN=∠DBC=20°，那
么∠ACB=∠ACN+∠BCN=30°=∠ABC，根据等角对等边得出AB=AC，由等腰三角形三
线合一的性质得到CM= BC=20海里．然后在直角△ACM中，利用余弦函数的定义得
出AC= ，代入数据计算即可．
解答：解：如图，作AM⊥BC于M．
由题意得，∠DBC=20°，∠DBA=50°，BC=60× =40海里，∠NCA=10°，
则∠ABC=∠ABD﹣∠CBD=50°﹣20°=30°．
B∵D∥CN，
∴∠BCN=∠DBC=20°，
第14页（共27页）∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=10°+20°=30°，
∴∠ACB=∠ABC=30°，
∴AB=AC，
A∵M⊥BC于M，
∴CM= BC=20海里．
在直角△ACM中，∵∠AMC=90°，∠ACM=30°，
∴AC= = = （海里）．
故选D．
点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，等腰三角形的判定与
性质，余弦函数的定义，难度适中．求出CM= BC=20海里是解题的关键．
15．（3分）（2015•泰安）如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，
0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横
坐标为3，则点B′的坐标为（ ）
A．（4，2 ） B．（3，3 ） C．（4，3 ） D．（3，2 ）
考点：坐标与图形变化-平移；等边三角形的性质．
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分析：作AM⊥x轴于点M．根据等边三角形的性质得出OA=OB=2，∠AOB=60°，在直角
△OAM中利用含30°角的直角三角形的性质求出OM= OA=1，AM= OM= ，则
A（1， ），直线OA的解析式为y= x，将x=3代入，求出y=3 ，那么A（′ 3，3 ），
由一对对应点A与A′的坐标求出平移规律，再根据此平移规律即可求出点B′的坐标．
解答：解：如图，作AM⊥x轴于点M．
∵正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），
∴OA=OB=2，∠AOB=60°，
第15页（共27页）∴OM= OA=1，AM= OM= ，
∴A（1， ），
∴直线OA的解析式为y= x，
∴当x=3时，y=3 ，
∴A′（3，3 ），
∴将点A向右平移2个单位，再向上平移2 个单位后可得A′，
∴将点B（2，0）向右平移2个单位，再向上平移2 个单位后可得B′，
∴点B′的坐标为（4，2 ），
故选A．
点评：本题考查了坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点
的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
也考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质．求出点A′的坐标是解题
的关键．
16．（3分）（2015•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可
能是（ ）
A． B． C． D．
考点：二次函数的图象；一次函数的图象．
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分析：本题可先由一次函数y=﹣mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+m的
图象相比较看是否一致．
解答：解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；
B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
点评：本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，
难度适中．
17．（3分）（2015•泰安）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，以点B为圆心的圆与AD、
DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为（ ）
第16页（共27页）A． B． +π C． D．
+ ﹣ 2 +
考点：扇形面积的计算；菱形的性质；切线的性质．
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分析：设AD与圆的切点为G，连接BG，通过解直角三角形求得圆的半径，然后根据扇形的
面积公式求得三个扇形的面积，进而就可求得阴影的面积．
解答：解：设AD与圆的切点为G，连接BG，
∴BG⊥AD，
∵∠A=60°，BG⊥AD，
∴∠ABG=30°，
在直角△ABG中，BG= AB= ×2= ，AG=1，
∴圆B的半径为 ，
∴S = ×1× =
△ABG
在菱形ABCD中，∠A=60°，则∠ABC=120°，
∴∠EBF=120°，
∴S阴影=（S
△ABG
﹣S扇形ABG ）+S扇形FBE =2（ ﹣ ）+ =
+ ．
故选A．
点评：此题主要考查了菱形的性质以及切线的性质以及扇形面积等知识，正确利用菱形的性
质和切线的性质求出圆的半径是解题关键．
18．（3分）（2015•泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x的值为（ ）
A．135 B．170 C．209 D．252
考点：规律型：数字的变化类．
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第17页（共27页）分析：首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，左下角的数等于n+1；然后根据
4﹣1=3，6﹣2=4，8﹣3=5，10﹣4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角
的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少；最后根据每个表格中右下角
的数等于左下角的数与右上角的数的积加上左上角的数，求出x的值是多少即可．
解答：解：∵a+（a+2）=20，
∴a=9，
∵b=a+1，
∴b=a+1=9+1=10，
∴x=20b+a
=20×10+9
=200+9
=209
故选：C．
点评：此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．
19．（3分）（2015•泰安）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的
表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5
考点：二次函数的图象．
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分析：根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．
解答：解：由函数图象关于对称轴对称，得
（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上，
把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得
，
解得 ，
函数解析式为y=﹣3x2+1
x=2时y=﹣11，
故选：D．
点评：本题考查了二次函数图象，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键．
20．（3分）（2015•泰安）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得
到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4 ，则FD的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．2
考点：翻折变换（折叠问题）．
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分析：根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明
第18页（共27页）△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出
FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
解答：解：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵△ ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE=EG，AB=BG，
∴ED=EG，
∵在矩形ABCD中，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=90°，
∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，
，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），
∴DF=FG，
设DF=x，则BF=6+x，CF=6﹣x，
在Rt△BCF中，（4 ）2+（6﹣x）2=（6+x）2，
解得x=4．
故选：B．
点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟
记性质，找出三角形全等的条件EF=EC是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
21．（3分）（2015•泰安）分解因式：9x3﹣18x2+9x= 9 x （ x﹣ 1 ） 2 ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
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分析：首先提取公因式9x，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
解答：解：9x3﹣18x2+9x
=9x（x2﹣2x+1）
=9x（x﹣1）2．
故答案为：9x（x﹣1）2．
点评：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关
键．
22．（3分）（2015•泰安）方程：（2x+1）（x﹣1）=8（9﹣x）﹣1的根为 ﹣ 8 或 ．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
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分析：首先去括号，进而合并同类项，再利用十字相乘法分解因式得出即可．
解答：解：（2x+1）（x﹣1）=8（9﹣x）﹣1
整理得：2x2﹣x﹣1=72﹣8x﹣1
2x2+7x﹣72=0，
则（x+8）（2x﹣9）=0，
解得：x =﹣8，x = ．
1 2
第19页（共27页）故答案为：﹣8或 ．
点评：此题主要考查了因式分解法解方程，正确利用十字相乘法分解因式是解题关键．
23．（3分）（2015•泰安）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是
线段BM、CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为 2 0 ．
考点：三角形中位线定理；勾股定理；矩形的性质．
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分析：根据M是边AD的中点，得AM=DM=6，根据勾股定理得出BM=CM=10，再根据E、F
分别是线段BM、CM的中点，即可得出EM=FM=5，再根据N是边BC的中点，得出
EM=FN，EN=FM，从而得出四边形EN，FM的周长．
解答：解：∵M、N分别是边AD、BC的中点，AB=8，AD=12，
∴AM=DM=6，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴BM=CM=10，
∵E、F分别是线段BM、CM的中点，
∴EM=FM=5，
∴EN，FN都是△BCM的中位线，
∴EN=FN=5，
∴四边形ENFM的周长为5+5+5+5=20，
故答案为20．
点评：本题考查了三角形的中位线，勾股定理以及矩形的性质，是中考常见的题型，难度不
大，比较容易理解．
24．（3分）（2015•泰安）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一
点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E= 50 ° ．
考点：切线的性质．
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分析：连接DF，连接AF交CE于G，由AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，得到
，由于EF是⊙O的切线，推出∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°根据外角的性
质和圆周角定理得到∠EFG=∠EGF=65°，于是得到结果．
解答：解：连接DF，连接AF交CE于G，
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴ ，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，
第20页（共27页）∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，
∵∠DFE=∠DCF，
∠GFD=∠AFC，
∠EFG=∠EGF=65°，
∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°，
故答案为：50°．
点评：本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，满分48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步
骤）
25．（8分）（2015•泰安）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800
元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进
价比乙种款型每件的进价少30元．
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店
决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？
考点：分式方程的应用．
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分析：（1）可设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，根据甲种款
型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，列出方程即可求解；
（2）先求出甲款型的利润，乙款型前面销售一半的利润，后面销售一半的亏损，再相加
即可求解．
解答：解：（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，依题意有
+30= ，
解得x=40，
经检验，x=40是原方程组的解，且符合题意，
1.5x=60．
答：甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件；
（2） =160，
160﹣30=130（元），
130×60%×60+160×60%×（40÷2）﹣160×[1﹣（1+60%）×0.5 ×（40÷2）
=4680+1920﹣640
=5960（元） ]
答：售完这批T恤衫商店共获利5960元．
点评：本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，分析题意，找到关
键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
26．（8分）（2015•泰安）一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象相交于A（﹣1，4），B（2，
n）两点，直线AB交x轴于点D．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
第21页（共27页）（2）过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
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分析：
（1）把A（﹣1，4）代入反比例函数y= 可得m的值，即确定反比例函数的解析式；再把
B（2，n）代入反比例函数的解析式得到n的值；然后利用待定系数法确定一次函数的
解析式；
（2）先由BC⊥y轴，垂足为C以及B点坐标确定C点坐标，再利用待定系数法求出直
线AC的解析式，进一步求出点E的坐标，然后计算得出△AED的面积S．
解答：
解：（1）把A（﹣1，4）代入反比例函数y= 得，m=﹣1×4=﹣4，
所以反比例函数的解析式为y=﹣ ；
把B（2，n）代入y=﹣ 得，2n=﹣4，
解得n=﹣2，
所以B点坐标为（2，﹣2），
把A（﹣1，4）和B（2，﹣2）代入一次函数y=kx+b得，
，
解得 ，
所以一次函数的解析式为y=﹣2x+2；
（2）∵BC⊥y轴，垂足为C，B（2，﹣2），
∴C点坐标为（0，﹣2）．
设直线AC的解析式为y=px+q，
∵A（﹣1，4），C（0，﹣2），
∴ ，
解 ，
∴直线AC的解析式为y=﹣6x﹣2，
当y=0时，﹣6x﹣2=0，解答x=﹣ ，
∴E点坐标为（﹣ ，0），
∵直线AB的解析式为y=﹣2x+2，
∴直线AB与x轴交点D的坐标为（1，0），
∴DE=1﹣（﹣ ）= ，
第22页（共27页）∴△AED的面积S= × ×4= ．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求反比例函数与一次
函数的解析式，三角形的面积，正确求出函数的解析式是解题的关键．
27．（10分）（2015•泰安）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且
∠APD=∠B．
（1）求证：AC•CD=CP•BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
考点：相似三角形的判定与性质．
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分析：
（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到 = ，即
AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；
（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，
然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．
解答：解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴ = ，
∴AB•CD=CP•BP．
∵AB=AC，
∴AC•CD=CP•BP；
（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．
∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．
∵∠B=∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴ = ．
∵AB=10，BC=12，
∴ = ，
∴BP= ．
第23页（共27页）点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形
外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）
小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．
28．（10分）（2015•泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四
边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：
（1）DF=AE；
（2）DF⊥AC．
考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
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专题：证明题．
分析：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．构建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），则由该全
等三角形的对应边相等证得结论；
（2）设AC与FD交于点O．利用（1）中全等三角形的对应角相等，等角的补角相等以
及三角形内角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC．
解答：证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴ED∥BC，ED=BC．
∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，
∴AG=BG，DG⊥AB．
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．
又BF=BC，
∴BF=DE．
∴在△AED与△DFB中， ，
∴△AED≌△DFB（SAS），
∴AE=DF，即DF=AE；
（2）设AC与FD交于点O．
∵由（1）知，△AED≌△DFB，
∴∠AED=∠DFB，
∴∠DEO=∠DFG．
∵∠DFG+∠FDG=90°，
∴∠DO+∠EDO=90°，
第24页（共27页）∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．
点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合
全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择
恰当的判定条件．
29．（12分）（2015•泰安）如图，抛物线y=ax2+bx+c为x轴的一交点为A（﹣6，0），与y轴的交
点为C（0，3），且经过点G（﹣2，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是线段OA上一动点，过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，设△CPQ的面积为
S，求S的最大值；
（3）若点B是抛物线与x轴的另一定点，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上，
∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．
考点：二次函数综合题．
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分析：（1）利用待定系数法，把A、C、G三点坐标代入可求得抛物线解析式；
（2）可先求得直线AC的解析式，设P（x，0），可表示出OP、PQ，则可表示出S，再结合
二次函数的性质可求得S的最大值；
（3）由条件可求得BD=BC=5，可求得D点坐标，连接DN，根据条件可证明DN∥BC，
可得出DN为△ABC的中位线，可求得DM的长，则可求得OM的长，可求得M点的
坐标．
解答：解：
（1）把A、C、G三点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，
第25页（共27页）∴抛物线的表达式为y=﹣ x2﹣ x+3；
（2）∵C（0，3），
∴可设直线AC解析式为y=kx+3，
把A点坐标代入可得0=﹣6k+3，解得k= ，
∴直线AC解析式为y= x+3，
设P点坐标为（x，0）（x＜0），则Q点坐标为（x， x+3），
∴PQ= x+3，PO=﹣x，
∴S= PQ•PO= （ x+3）（﹣x）=﹣ x2﹣ x=﹣ （x+3）+ ，
∴△CPQ的面积S的最大值为 ；
（3）当y=0时，﹣ x2﹣ x+3=0，解得x=﹣6或x=4，
∴B点坐标为（4，0），
∴BC= =5，
∵∠CDB=∠DCB，
∴BD=BC=5，
∴OD=BD﹣OB=5﹣4=1，
∴D点坐标为（﹣1，0），
∴D为AB中点，
如图，连接DN，则DN=DM，∠NDC=∠MDC，
∴∠NDC=∠DCB，
∴DN∥BC，
∵D是AB中点，
∴N是AC中点，
∴DN是△ABC的中位线，
又DN=DM= BC= ，
∴OM=DM﹣OD= ﹣1= ，
∴点M坐标为（ ，0）．
点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的
性质、线段垂直平分线的性质、平行线的判定和性质、三角形中位线等知识点．在（1）
中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中设出P点坐标，表示出PQ、OP的长是解题的
关键，注意函数性质的应用，在（3）中求得D点坐标和DM的长是解题的关键．本题考
查知识点较多，综合性质很强，有一定的难度．
第26页（共27页）第27页（共27页）
