文档内容
山东省莱芜市 2018 年中考数学试卷
一、选择题（本大题共 12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确
的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得 3 分，选错、不选或
选出的答案超过一个均记 0 分，共 36分)
1．（3 分）﹣2 的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第
二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴|﹣2|=﹣（﹣2）=2．
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，所以﹣
2 的绝对值是 2．部分学生易混淆相反数、绝对值、倒数的意义，而错误的认为
﹣2 的绝对值是 ，而选择 B．
2．（3 分）经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客
1.47 亿人次，1.47 亿用科学记数法表示为（ ）
A．14.7×107 B．1.47×107 C．1.47×108 D．0.147×109
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确
定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n
是负数．
【解答】解：1.47 亿用科学记数法表示为 1.47×108，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的
形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及n 的值．3．（3 分）无理数2 ﹣3 在（ ）
A．2 和3 之间 B．3 和4 之间 C．4 和5 之间 D．5 和6 之间
【分析】首先得出 2 的取值范围进而得出答案．
【解答】解：∵2 = ，
∴6＜ ＜7，
∴无理数 2 ﹣3 在3 和4 之间．
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题
关键．
4．（3 分）下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义进行判断．
【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形的判断．关键是根据图形自身的
对称性进行判断．
5．（3 分）若x，y的值均扩大为原来的 3 倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】据分式的基本性质，x，y 的值均扩大为原来的 3 倍，求出每个式子的
结果，看结果等于原式的即是．
【解答】解：根据分式的基本性质，可知若 x，y的值均扩大为原来的 3 倍，A、 ，错误；
B、 ，错误；
C、 ，错误；
D、 ，正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为 0 的数，分
式的值不变．此题比较简单，但计算时一定要细心．
6．（3 分）某校举行汉字听写大赛，参赛学生的成绩如下表：
成绩（分） 89 90 92 94 95
人数 4 6 8 5 7
对于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．平均数是92 B．中位数是 92 C．众数是 92 D．极差是6
【分析】根据平均数、中位数、众数及极差的定义逐一计算即可判断．
【解答】解：A、平均数为 = ，符合题意；
B、中位数是 =92，不符合题意；
C、众数为92，不符合题意；
D、极差为95﹣89=6，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了极差、众数、平均数、中位数的知识，解答本题的关键是掌
握各知识点的概念．
7．（3 分）已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（ ）A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2
【分析】先利用三视图得到底面圆的半径为 5cm，圆锥的高为 12cm，再根据勾
股定理计算出母线长为 13cm，然后根据锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的
弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计
算．
【解答】解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为 10cm，即底面圆的半径为
5cm，圆锥的高为12cm，
所以圆锥的母线长= =13，
所以这个圆锥的侧面积= •2π•5•13=65π（cm2）．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长
等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
8．（3 分）在平面直角坐标系中，已知△ABC 为等腰直角三角形，CB=CA=5，点
C（0，3），点 B 在 x 轴正半轴上，点 A 在第三象限，且在反比例函数 y= 的图
象上，则k=（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【分析】如图，作 AH⊥y轴于H．构造全等三角形即可解决问题；
【解答】解：如图，作 AH⊥y轴于H．
∵CA=CB，∠AHC=∠BOC，∠ACH=∠CBO，
∴△ACH≌△CBO，∴AH=OC，CH=OB，
∵C（0，3），BC=5，
∴OC=3，OB= =4，
∴CH=OB=4，AH=OC=3，
∴OH=1，
∴A（﹣3，﹣1），
∵点A 在y= 上，
∴k=3，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判
定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
9．（3 分）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE 的平分线与∠CDE 的平分线交于
点F，则∠DFB=（ ）
A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°
【分析】过点E 作EG∥AB，根据平行线的性质可得“∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+
∠EDC=180°”，根据角的计算以及角平分线的定义可得“∠FBE+∠EDF= （∠ABE+
∠CDE）”，再依据四边形内角和为 360°结合角的计算即可得出结论．
【解答】解：如图，过点 E 作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GE，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；
又∵∠BED=61°，
∴∠ABE+∠CDE=299°．
∵∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于 F，∴∠FBE+∠EDF= （∠ABE+∠CDE）=149.5°，
∵四边形的 BFDE 的内角和为 360°，
∴∠BFD=360°﹣149.5°﹣61°=149.5°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及四边形内角和为 360°，
解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．
10．（3 分）函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值 y＜0 成
立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4 或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0 或x＞2 D．0＜x＜2
【分析】先求出抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到抛物线与 x轴
的另一个交点坐标为（﹣4，0），然后利用函数图象写出抛物线在 x 轴下方所对
应的自变量的范围即可．
【解答】解：抛物线 y=ax2+2ax+m 得对称轴为直线 x=﹣ =﹣1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与 x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜﹣4 或x＞2 时，y＜0．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c
是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于 x的一元二次方程．也考查
了二次函数的性质．
11．（3 分）如图，边长为 2 的正△ABC 的边 BC 在直线 l 上，两条距离为 l 的平
行直线 a 和 b 垂直于直线 l，a 和 b 同时向右移动（a 的起始位置在 B 点），速度均为每秒 1 个单位，运动时间为 t（秒），直到 b 到达 C 点停止，在 a 和 b 向右
移动的过程中，记△ABC 夹在 a 和 b 之间的部分的面积为 s，则 s 关于 t 的函数
图象大致为（ ）
A． B． C ．
D．
【分析】依据a 和b 同时向右移动，分三种情况讨论，求得函数解析式，进而得
到当0≤t＜1 时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当 1≤t＜2 时，函数
图象为开口向下的抛物线的一部分，当 2≤t≤3 时，函数图象为开口向上的抛物
线的一部分．
【解答】解：如图①，当0≤t＜1 时，BE=t，DE= t，
∴s=S = ×t× t= ；
△BDE
如图②，当 1≤t＜2 时，CE=2﹣t，BG=t﹣1，∴DE= （2﹣t），FG= （t﹣1），
∴s=S =S ﹣S ﹣S = ×2× ﹣ ×（t﹣1）× （t﹣1）﹣ ×
五边形AFGED △ABC △BGF △CDE
（2﹣t）× （2﹣t）=﹣ +3 t﹣ ；
如图③，当 2≤t≤3 时，CG=3﹣t，GF= （3﹣t），
∴s=S = ×（3﹣t）× （3﹣t）= ﹣3 t+ ，
△CFG
综上所述，当 0≤t＜1 时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当 1≤t＜2
时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当 2≤t≤3 时，函数图象为开口向
上的抛物线的一部分，
故选：B．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，通
过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决
问题的能力．
12．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，∠ADC的平分线与AB交于E，点 F 在DE 的
延长线上，∠BFE=90°，连接AF、CF，CF 与 AB交于G．有以下结论：
①AE=BC
②AF=CF
③BF2=FG•FC④EG•AE=BG•AB
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①只要证明△ADE 为直角三角形即可
②只要证明△AEF≌△CBF（SAS）即可；
③假设 BF2=FG•FC，则△FBG∽△FCB，推出∠FBG=∠FCB=45°，由∠ACF=45°，推
出∠ACB=90°，显然不可能，故③错误，
④由△ADF∽△GBF，可得 = = ，由 EG∥CD，推出 = = ，推出 = ，
由AD=AE，EG•AE=BG•AB，故④正确，
【解答】解：①DE 平分∠ADC，∠ADC为直角，
∴∠ADE= ×90°=45°，
∴△ADE 为直角三角形
∴AD=AE，
又∵四边形 ABCD 矩形，
∴AD=BC，
∴AE=BC
②∵∠BFE=90°，∠BFE=∠AED=45°，
∴△BFE 为等腰直角三角形，
∴则有 EF=BF
又∵∠AEF=∠DFB+∠ABF=135°，∠CBF=∠ABC+∠ABF=135°，
∴∠AEF=∠CBF
在△AEF 和△CBF 中，AE=BC，∠AEF=∠CBF，EF=BF，
∴△AEF≌△CBF（SAS）
∴AF=CF
③假设 BF2=FG•FC，则△FBG∽△FCB，∴∠FBG=∠FCB=45°，
∵∠ACF=45°，
∴∠ACB=90°，显然不可能，故③错误，
④∵∠BGF=180°﹣∠CGB，∠DAF=90°+∠EAF=90°+（90°﹣∠AGF）=180°﹣∠AGF，
∠AGF=∠BGC，
∴∠DAF=∠BGF，∵∠ADF=∠FBG=45°，
∴△ADF∽△GBF，
∴ = = ，
∵EG∥CD，
∴ = = ，
∴ = ，∵AD=AE，
∴EG•AE=BG•AB，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判
定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20分。请将答案填在答题卡上)
13．（4 分）计算：（π﹣3.14）0+2cos60°= 2 ．
【分析】原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式=1+2× =1+1=2，
故答案为：2
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（4 分）已知x ，x 是方程2x2﹣3x﹣1=0 的两根，则x 2+x 2= ．
1 2 1 2【分析】找出一元二次方程的系数 a，b 及 c 的值，利用根与系数的关系求出两
根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之
积代入，即可求出所求式子的值．
【解答】解：∵x 、x 是方程2x2﹣3x﹣1=0 的两根，
1 2
∴x +x = ．x x =﹣ ，
1 2 1 2
∴x 2+x 2= ，
1 2
故答案为：
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的
变形是解决本题的关键．
15．（4 分）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其
四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是 2 和2，则图中阴
影部分的面积是 2 ．
【分析】由正方形的面积公式和正三角形的面积公式求得图中大矩形的宽和长，
然后求大矩形的面积，从而求得图中阴影部分的面积．
【解答】解：设正三角形的边长为 a，则 a2× =2 ，
解得a=2 ．
则图中阴影部分的面积=2 × ﹣2=2．
故答案是：2．
【点评】考查了二次根式的应用．解题的关键是根据图中正三角形和正方形的面
积求得大矩形的长和宽．
16．（4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为2a，E 为BC边的中点， 、 的圆心分别在边AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为 ．
【分析】作DE 的中垂线交 CD 于G，则G为 的圆心，H为 的圆心，连接 EF，
GH，交于点O，连接 GF，FH，HE，EG，依据勾股定理可得 GE=FG= ，根据四
边形EGFH是菱形，四边形 BCGH是矩形，即可得到 Rt△OEG中，OE= a，即可
得到EF= a．
【解答】解：如图，作 DE 的中垂线交CD 于 G，则G为 的圆心，同理可得，H
为 的圆心，
连接EF，GH，交于点 O，连接GF，FH，HE，EG，
设GE=GD=x，则CG=2a﹣x，CE=a，
Rt△CEG中，（2a﹣x）2+a2=x2，
解得x= ，
∴GE=FG= ，
同理可得，EH=FH= ，
∴四边形 EGFH是菱形，四边形 BCGH是矩形，
∴GO= BC=a，
∴Rt△OEG中，OE= = a，
∴EF= a，
故答案为： a．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质，相交两圆的连心线
（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公
共弦在两圆之间建立联系．
17．（4 分）如图，若△ABC内一点P 满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点 P 为△ABC
的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发
现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡
尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC 中，CA=CB，∠
ACB=120°，P 为△ABC的布罗卡尔点，若PA= ，则PB+PC= 1+ ．
【分析】作 CH⊥AB 于 H．首先证明 BC= BC，再证明△PAB∽△PBC，可得
= = = ，即可求出 PB、PC；
【解答】解：作CH⊥AB于H．
∵CA=CB，CH⊥AB，∠ACB=120°，
∴AH=BH，∠ACH=∠BCH=60°，∠CAB=∠CBA=30°，
∴AB=2BH=2•BC•cos30°= BC，
∵∠PAC=∠PCB=∠PBA，
∴∠PAB=∠PBC，
∴△PAB∽△PBC，
∴ = = = ，∵PA= ，
∴PB=1，PC= ，
∴PB+PC=1+ ．
故答案为1+ ．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的
性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 64分，解答要写出必要的文字说明、证明过
程或推演步骤)
18．（6 分）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中a= +1．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当a= +1时，
原式= ×
= ×
=
=
=2
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于
基础题型．
19．（8 分）我市正在开展“食品安全城市”创建活动，为了解学生对食品安全知识
的了解情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果按照“A 非常
了解、B了解、C了解较少、D 不了解”四类分别进行统计，并绘制了下列两幅统
计图（不完整）．请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了 120 名学生；
（2）扇形统计图中 D所在扇形的圆心角为 54° ；
（3）将上面的条形统计图补充完整；
（4）若该校共有 800 名学生，请你估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人
数．
【分析】（1）根据 B的人数除以占的百分比即可得到总人数；
（2）先根据题意列出算式，再求出即可；
（3）先求出对应的人数，再画出即可；
（4）先列出算式，再求出即可．
【解答】解：（1）（25+23）÷40%=120（名），
即此次共调查了120 名学生，
故答案为：120；
（2）360°× =54°，
即扇形统计图中D 所在扇形的圆心角为 54°，
故答案为：54°；
（3）如图所示： ；（4）800× =200（人），
答：估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数是 200 人．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图，总体、个体、样本、样本容量，
用样本估计总体等知识点，两图结合是解题的关键．
20．（9 分）在小水池旁有一盏路灯，已知支架 AB的长是0.8m，A 端到地面的距
离AC是4m，支架 AB与灯柱AC的夹角为65°．小明在水池的外沿D测得支架B
端的仰角是 45°，在水池的内沿 E 测得支架 A 端的仰角是 50°（点 C、E、D 在同
一直线上），求小水池的宽 DE．（结果精确到0.1m）（sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，
tan50°≈1.2）
【分析】过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD 于 G，根据三角函数和直角三角形的性
质解答即可．
【解答】解：过点 B作BF⊥AC于F，BG⊥CD 于G，
在Rt△BAF 中，∠BAF=65°，BF=AB•sin∠BAF=0.8×0.9=0.72，
AF=AB•cos∠BAF=0.8×0.4=0.32，
∴FC=AF+AC=4.32，
∵四边形 FCGB是矩形，
∴BG=FC=4.32，CG=BF=0.72，
∵∠BDG=45°，
∴∠BDG=∠GBD，
∴GD=GB=4.32，
∴CD=CG+GD=5.04，在Rt△ACE中，∠AEC=50°，CE= ，
∴DE=CD﹣CE=5.04﹣3.33=1.71≈1.7，
答：小水池的宽DE 为1.7 米．
【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，关键是本题
要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角
形．
21．（9 分）已知△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E 分别是 AB、AC 的中点，
将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转一个角度 α（0°＜α＜90°）得到△AD'E′，连接
BD′、CE′，如图1．
（1）求证：BD′=CE'；
（2）如图2，当α=60°时，设AB与D′E′交于点 F，求 的值．
【分析】（1）首先依据旋转的性质和中点的定义证明 AD′=AE′，然后再利用 SAS
证明△BD′A≌△CE′A，最后，依据全等三角形的性质进行证明即可；
（2）连接 DD′，先证明△ADD′为等边三角形，然后再证明△△ABD′为直角三角
形，接下来，再证明△BFD′∽△AFE′，最后，依据相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）证明：∵AB=AC，D、E 分别是 AB、AC的中点，
∴AD=BD=AE=EC．
由旋转的性质可知：∠DAD′=∠EAE′=α，AD′=AD，AE′=AE．
∴AD′=AE′，
∴△BD′A≌△CE′A，
∴BD′=CE′．
（2）连接DD′．∵∠DAD′=60°，AD=AD′，
∴△ADD′是等边三角形．
∴∠ADD′=∠AD′D=60°，DD′=DA=DB．
∴∠DBD′=∠DD′B=30°，
∴∠BD′A=90°．
∵∠D′AE′=90°，
∴∠BAE′=30°，
∴∠BAE′=∠ABD′，
又∵∠BFD′=∠AFE′，
∴△BFD′∽△AFE′，
∴ ．
∵在Rt△ABD′中，tan∠BAD′= = ，
∴ = ．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、
旋转的性质，发现△BFD′∽△AFE′是解题的关键．
22．（10 分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分
拣．已知购买甲型机器人 1 台，乙型机器人 2 台，共需 14 万元；购买甲型机器
人2 台，乙型机器人 3台，共需 24 万元．
（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；
（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是 1200 件和 1000 件，该
公司计划购买这两种型号的机器人共 8 台，总费用不超过 41 万元，并且使这 8
台机器人每小时分拣快递件数总和不少于 8300 件，则该公司有哪几种购买方
案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？【分析】（1）利用二元一次方程组解决问题；
（2）用不等式组确定方案，利用一次函数找到费用最低值．
【解答】解：（1）设甲型机器人每台价格是 x万元，乙型机器人每台价格是 y万
元，根据题意得
解这个方程组得：
答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是 6 万元、4 万元
（2）设该公可购买甲型机器人 a 台，乙型机器人（8﹣a）台，根据题意得
解这个不等式组得
∵a 为正整数
∴a 的取值为2，3，4，
∴该公司有 3 种购买方案，分别是
购买甲型机器人2 台，乙型机器人 6 台
购买甲型机器人3 台，乙型机器人 5 台
购买甲型机器人4 台，乙型机器人 4 台
设该公司的购买费用为 w万元，则w=6a+4（8﹣a）=2a+32
∵k=2＞0
∴w随a 的增大而增大
当a=2 时，w最小，w =2×2+32=36（万元）
最小
∴该公司购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 6台这个方案费用最低，最低费用是
36 万元．
【点评】本题是一次函数综合题，考查列一次函数解析式、一次函数增减性、二
元一次方程组和不等式组的应用．
23．（10 分）如图，已知 A、B 是⊙O 上两点，△OAB 外角的平分线交⊙O 于另一点C，CD⊥AB交 AB 的延长线于D．
（1）求证：CD 是⊙O的切线；
（2）E 为 的中点，F 为⊙O上一点，EF 交 AB于G，若tan∠AFE= ，BE=BG，
EG=3 ，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接 OC，如图，先证明∠OCB=∠CBD 得到OC∥AD，再利用 CD⊥
AB得到 OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）解：连接 OE 交 AB 于 H，如图，利用垂径定理得到 OE⊥AB，再利用圆周
角定理得到∠ABE=∠AFE，在Rt△BEH中利用正切可设 EH=3x，BH=4x，则BE=5x，
所以BG=BE=5x，GH=x，接着在Rt△EHG中利用勾股定理得到 x2+（3x）2=（3 ）
2，解方程得x=3，接下来设⊙O的半径为r，然后在 Rt△OHB中利用勾股定理得
到方程（r﹣9）2+122=r2，最后解关于r 的方程即可．
【解答】（1）证明：连接 OC，如图，
∵BC平分∠OBD，
∴∠OBD=∠CBD，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB=∠CBD，
∴OC∥AD，
而CD⊥AB，
∴OC⊥CD，
∴CD 是⊙O的切线；
（2）解：连接OE 交 AB于H，如图，
∵E 为 的中点，
∴OE⊥AB，
∵∠ABE=∠AFE，∴tan∠ABE=tan∠AFE= ，
∴在Rt△BEH中，tan∠HBE= =
设EH=3x，BH=4x，
∴BE=5x，
∵BG=BE=5x，
∴GH=x，
在Rt△EHG中，x2+（3x）2=（3 ）2，解得 x=3，
∴EH=9，BH=12，
设⊙O的半径为r，则 OH=r﹣9，
在Rt△OHB中，（r﹣9）2+122=r2，解得r= ，
即⊙O的半径为 ．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直
线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与
圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得
半径”．也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形．
24．（12 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c经过 A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）
三点，D 为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．
（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段 DE 长度的最大值；
（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE 中有
一个角与∠CFO相等？若存在，求点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可
得 DM，根据相似三角形的判定与性质，可得 DE 的长，根据二次函数的性质，
可得答案；
（3）根据正切函数，可得∠CFO，根据相似三角形的性质，可得 GH，BH，根据
待定系数法，可得 CG 的解析式，根据解方程组，可得答案．
【解答】解：（1）由题意，得 ，
解得 ，
抛物线的函数表达式为 y=﹣ x2+ x+3；
（2）设直线BC的解析是为 y=kx+b， ，
解得
∴y=﹣ x+3，
设D（a，﹣ a2+ a+3），（0＜a＜4），过点 D 作DM⊥x轴交BC于M 点，
如图1 ，
M（a，﹣ a+3），DM=（﹣ a2+ a+3）﹣（﹣ a+3）=﹣ a2+3a，
∵∠DME=∠OCB，∠DEM=∠BOC，
∴△DEM∽△BOC，
∴ = ，
∵OB=4，OC=3，
∴BC=5，
∴DE= DM
∴DE=﹣ a2+ a=﹣（ （a﹣2）2+ ，
当a=2 时，DE 取最大值，最大值是 ，
（3）假设存在这样的点 D，△CDE 使得中有一个角与∠CFO相等，
∵点F 为AB的中点，
∴OF= ，tan∠CFO= =2，
过点B作BG⊥BC，交 CD 的延长线于G点，过点 G作GH⊥x轴，垂足为 H，
如图2 ，
①若∠DCE=∠CFO，
∴tan∠DCE= =2，
∴BG=10，
∵△GBH∽BCO，
∴ = = ，
∴GH=8，BH=6，
∴G（10，8），
设直线CG的解析式为 y=kx+b，∴ ，
解得
∴直线 CG的解析式为 y= x+3，
∴ ，
解得x= ，或x=0（舍）．
②若∠CDE=∠CFO，
同理可得BG= ，GH=2，BH= ，
∴G（ ，2），
同理可得，直线CG 的解析是为 y=﹣ x+3，
∴ ，
解得x= 或x=0（舍），
综上所述，存在点D，使得△CDE 中有一个角与∠CFO相等，点D 的横坐标为 或
．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的
关键是利用相似三角形的性质得出 DE 的长，又利用了二次函数的性质；解（3）
的关键是利用相似三角形的性质得出 G 点的坐标，由；利用了待定系数法求函
数解析式，解方程组的横坐标．
