文档内容
2015 年山东省济宁市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2015•济宁）﹣ 的相反数是（ ）
A． ﹣ B． C． D． ﹣
2．（3分）（2015•济宁）化简﹣16（x﹣0.5）的结果是（ ）
A． ﹣16x﹣0.5 B． ﹣16x+0.5 C． 16x﹣8 D． ﹣16x+8
3．（3分）（2015•济宁）要使二次根式 有意义，x必须满足（ ）
A． x≤2 B． x≥2 C． x＞2 D． x＜2
4．（3分）（2015•济宁）一个正方体的每个面都有一个汉字，其展开图如图所示，那么在该
正方体中和“值”字相对的字是（ ）
A． 记 B． 观 C． 心 D． 间
5．（3分）（2015•济宁）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的
两根，则该三角形的周长为（ ）
A． 13 B． 15 C． 18 D． 13或18
6．（3分）（2015•济宁）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面
高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线），这个容器的形状是下图中
的（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2015•济宁）只用下列哪一种正多边形可以进行平面镶嵌（ ）A． 正五边形 B． 正六边形 C． 正八边形 D． 正十边形
8．（3分）（2015•济宁）解分式方程 + =3时，去分母后变形为（ ）
A． 2+（x+2）=3（x﹣1） B． 2﹣x+2=3（x﹣1）
C． 2﹣（x+2）=3（1﹣x） D． 2﹣（x+2）=3（x﹣1）
9．（3分）（2015•济宁）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3 米，坡顶
有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（
）
A． 5米 B． 6米 C． 8米 D． （3+ ）米
10．（3分）（2015•济宁）将一副三角尺（在Rt ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt
△
EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图摆放，点D为AB的中点，
△
DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），DE′交
AC于点M，DF′交BC于点N，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分
11．（3分）（2015•济宁）2014年，我国国内生产总值约为636000亿元，用科学记数法表示
2014年国内生产总值约为 亿元．
12．（3分）（2015•济宁）分解因式：12x2﹣3y2= ．
13．（3分）（2015•济宁）甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天
日平均气温方差大小关系为S 2 S 2（填＞或＜）．
甲 乙
14．（3分）（2015•济宁）在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点A（4，5）逆时针旋转
90°，得到的点A′的坐标为 ．
15．（3分）（2015•济宁）若1×22﹣2×32=﹣1×2×7；
（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）=﹣2×3×11；
（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）+（5×62﹣6×72）=﹣3×4×15；
则（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）+…+[（2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2 = ．
]
三、解答题：本大题共7小题，共55分
16．（5分）（2015•济宁）计算：π0+2﹣1﹣ ﹣|﹣ |17．（7分）（2015•济宁）某学校初三年级男生共200名，随机抽取10名测量他们的身高
（单位：cm）为：181，176，169，155，163，
175，173，167，165，166．
（1）求这10名男生的平均身高和上面这组数据的中位数；
（2）估计该校初三年级男生身高高于170cm的人数；
（3）从身高为181，176，175，173的男生中任选2名，求身高为181cm的男生被抽中的概
率．
18．（7分）（2015•济宁）小明到服装店进行社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以
下问题：服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元，乙种每件进价
60元，售价90元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500元，则甲种服装最多购进多少件？？
（2）在（1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行促销活
动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？19．（8分）（2015•济宁）如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角．
实验与操作：
根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）
（1）作∠DAC的平分线AM；
（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE，CF．
猜想并证明：
判断四边形AECF的形状并加以证明．
20．（8分）（2015•济宁）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分别以OB，OA所在直线为x轴
和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上一点（不与B、C两点重合），过点
F的反比例函数y= （k＞0）图象与AC边交于点E．
（1）请用k的表示点E，F的坐标；
（2）若△OEF的面积为9，求反比例函数的解析式．21．（9分）（2015•济宁）阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
= = ，利用上述结论可以求解如下题目：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．
解：在△ABC中，∵ = ∴b= = = =3 ．
理解应用：
如图，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A 处时，乙船位于甲
1
船的北偏西105°方向的B 处，且乙船从B 处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航
1 1
行20分钟到达A 时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 处，此时两船相距10 海
2 2
里．
（1）判断△A A B 的形状，并给出证明；
1 2 2
（2）求乙船每小时航行多少海里？22．（11分）（2015•济宁）如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两
点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y= x+4，与x轴
相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；
（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．2015 年山东省济宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2015•济宁）﹣ 的相反数是（ ）
A． ﹣ B． C． D． ﹣
考点： 相反数．
分析： 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
解答： 解：﹣ 的相反数是 ，
故选：C．
点评： 本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3分）（2015•济宁）化简﹣16（x﹣0.5）的结果是（ ）
A． ﹣16x﹣0.5 B． ﹣16x+0.5 C． 16x﹣8 D． ﹣16x+8
考点： 去括号与添括号．
分析： 根据去括号的法则计算即可．
解答： 解：﹣16（x﹣0.5）=﹣16x+8，
故选D
点评： 此题考查去括号，关键是根据括号外是负号，去括号时应该变号．
3．（3分）（2015•济宁）要使二次根式 有意义，x必须满足（ ）
A． x≤2 B． x≥2 C． x＞2 D． x＜2
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．解答： 解：根据题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2．
故选B．
点评： 本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次
根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
4．（3分）（2015•济宁）一个正方体的每个面都有一个汉字，其展开图如图所示，那么在该
正方体中和“值”字相对的字是（ ）
A． 记 B． 观 C． 心 D． 间
考点： 专题：正方体相对两个面上的文字．
分析： 由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
解答： 解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，
与“值”字相对的字是“记”．
故选：A．
点评： 本题考查了正方体相对的两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入
手，分析及解答问题．
5．（3分）（2015•济宁）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的
两根，则该三角形的周长为（ ）
A． 13 B． 15 C． 18 D． 13或18
考点： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
分析： 先求出方程x2﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到合题意的
边，进而求得三角形周长即可．
解答： 解：解方程x2﹣13x+36=0得，
x=9或4，
即第三边长为9或4．边长为9，3，6不能构成三角形；
而4，3，6能构成三角形，
所以三角形的周长为3+4+6=13，
故选：A．
点评： 此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，求三角形的
周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．
6．（3分）（2015•济宁）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面
高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线），这个容器的形状是下图中
的（ ）
A． B． C． D．
考点： 函数的图象．
分析： 根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗
细，作出判断．
解答： 解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给
容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为C．
故选C．
点评： 此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．
7．（3分）（2015•济宁）只用下列哪一种正多边形可以进行平面镶嵌（ ）
A． 正五边形 B． 正六边形 C． 正八边形 D． 正十边形
考点： 平面镶嵌（密铺）．分析： 分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整
除360°即可作出判断．
解答： 解：A、正五边形的每个内角度数为180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能进行
平面镶嵌，不符合题意；
B、正六边形的每个内角度数为180°﹣360°÷6=120°，能整除360°，能进行平面镶嵌，符合
题意；
C、正八边形的每个内角度数为180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能进行平面镶嵌，
不符合题意；
D、正十边形的每个内角度数为180°﹣360°÷10=144°，不能整除360°，不能进行平面镶嵌
不符合题意；
故选B．
点评： 本题考查平面密铺的问题，用到的知识点为：一种正多边形能镶嵌平面，这个正
多边形的一个内角的度数是360°的约数；正多边形一个内角的度数=180°﹣360°÷边数．
8．（3分）（2015•济宁）解分式方程 + =3时，去分母后变形为（ ）
A． 2+（x+2）=3（x﹣1） B． 2﹣x+2=3（x﹣1） C． 2﹣（x+2）=3（1﹣x） D． 2﹣
（x+2）=3（x﹣1）
考点： 解分式方程．
分析： 本题考查对一个分式确定最简公分母，去分母得能力．观察式子x﹣1和1﹣x互
为相反数，可得1﹣x=﹣（x﹣1），所以可得最简公分母为x﹣1，因为去分母时式子不能
漏乘，所以方程中式子每一项都要乘最简公分母．
解答： 解：方程两边都乘以x﹣1，
得：2﹣（x+2）=3（x﹣1）．
故选D．
点评： 考查了解分式方程，对一个分式方程而言，确定最简公分母后要注意不要漏乘，
这正是本题考查点所在．切忌避免出现去分母后：2﹣（x+2）=3形式的出现．9．（3分）（2015•济宁）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3 米，坡顶
有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（
）
A． 5米 B． 6米 C． 8米 D． （3+ ）米
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析： 设CD=x，则AD=2x，根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC的长，然后
根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长．
解答： 解：设CD=x，则AD=2x，
由勾股定理可得，AC= = x，
∵AC=3 米，
∴ x=3 ，
∴x=3米，
∴CD=3米，
∴AD=2×3=6米，
在Rt ABD中，BD= =8米，
△
∴BC=8﹣3=5米．
故选A．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题，找到合适的直角三角形，熟
练运用勾股定理是解题的关键．10．（3分）（2015•济宁）将一副三角尺（在Rt ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt
△
EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图摆放，点D为AB的中点，
△
DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），DE′交
AC于点M，DF′交BC于点N，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
考点： 旋转的性质．
专题： 计算题．
分析： 先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD=AD=DB，则∠ACD=∠A=30°，
∠BCD=∠B=60°，由于∠EDF=90°，可利用互余得∠CPD=60°，再根据旋转的性质得
∠PDM=∠CDN=α，于是可判断△PDM∽△CDN，得到 = ，然后在Rt PCD中利用正切
△
的定义得到tan∠PCD=tan30°= ，于是可得 = ．
解答： 解：∵点D为斜边AB的中点，
∴CD=AD=DB，∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，
∵∠EDF=90°，
∴∠CPD=60°，
∴∠MPD=∠NCD，
∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），
∴∠PDM=∠CDN=α，
∴△PDM∽△CDN，
∴ = ，
在Rt PCD中，∵tan∠PCD=tan30°= ，
△
∴ =tan30°= ．
故选C．
点评： 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连
线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分
11．（3分）（2015•济宁）2014年，我国国内生产总值约为636000亿元，用科学记数法表示
2014年国内生产总值约为 6.36×1 0 5 亿元．
考点： 科学记数法—表示较大的数．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：将636000用科学记数法表示为6.36×105．故答案为6.36×105．
点评： 本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）（2015•济宁）分解因式：12x2﹣3y2= 3 （ 2x+ y ）（ 2x﹣ y ） ．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 考查了对一个多项式因式分解的能力，本题属于基础题．当一个多项式有公因式，
将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．此题应提公因式，再用公
式．
解答： 解：12x2﹣3y2=3（2x﹣y）（2x+y）．
点评： 本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差
公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式
来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不
能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公
式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一
般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式
13．（3分）（2015•济宁）甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天
日平均气温方差大小关系为S 2 ＞ S 2（填＞或＜）．
甲 乙
考点： 方差；折线统计图．
分析： 根据气温统计图可知：贵阳的平均气温比较稳定，波动小，由方差的意义知，波动
小者方差小．解答： 解：观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；
则乙地的日平均气温的方差小，
故S2 ＞S2 ．
甲 乙
故答案为：＞．
点评： 本题考查方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，
反之也成立．
14．（3分）（2015•济宁）在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点A（4，5）逆时针旋转
90°，得到的点A′的坐标为 （﹣ 5 ， 4 ） ．
考点： 坐标与图形变化-旋转．
分析： 首先根据点A的坐标求出OA的长度，然后根据旋转变换只改变图形的位置，不
改变图形的形状与大小，可得OA′=OA，据此求出点A′的坐标即可．
解答： 解：如图，过点A作AC⊥y轴于点C，作AB⊥x轴于点B，过A′作A′E⊥y轴于点
E，作A′D⊥x轴于点D， ，
∵点A（4，5），
∴AC=4，AB=5，∵点A（4，5）绕原点逆时针旋转90°得到点A′，
∴A′E=AB=5，A′D=AC=4，
∴点A′的坐标是（﹣5，4）．
故答案为：（﹣5，4）．
点评： 此题主要考查了坐标与图形变换﹣旋转，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．
15．（3分）（2015•济宁）若1×22﹣2×32=﹣1×2×7；
（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）=﹣2×3×11；
（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）+（5×62﹣6×72）=﹣3×4×15；
则（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）+…+（[ 2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2 = ﹣ n（ n+ 1 ）（ 4n+ 3 ）
．
]
考点： 规律型：数字的变化类．
分析： 仔细观察题目提供的三个算式，发现结果和式子序列号之间的关系，然后将这个
规律表示出来即可．
解答： 解：∵1×22﹣2×32=﹣1×2×7=﹣1×2×（4×1+3）；
（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）=﹣2×3×11=﹣2×3×（4×2+3）；
（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）+（5×62﹣6×72）=﹣3×4×15═﹣3×4×（4×3+3）；
…
（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）+…+[（2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2 =﹣n（n+1）（4n+3），
故答案为：﹣n（n+1）（4n+3）．
]
点评： 本题考查了数字的变化类问题，仔细观察提供的算式，用含有n的代数式表示出
来即可．
三、解答题：本大题共7小题，共55分16．（5分）（2015•济宁）计算：π0+2﹣1﹣ ﹣|﹣ |
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项
利用算术平方根的定义计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
解答： 解：原式=1+ ﹣ ﹣
= ．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（7分）（2015•济宁）某学校初三年级男生共200名，随机抽取10名测量他们的身高
（单位：cm）为：181，176，169，155，163，
175，173，167，165，166．
（1）求这10名男生的平均身高和上面这组数据的中位数；
（2）估计该校初三年级男生身高高于170cm的人数；
（3）从身高为181，176，175，173的男生中任选2名，求身高为181cm的男生被抽中的概
率．
考点： 列表法与树状图法；用样本估计总体；算术平均数；中位数．
分析： （1）利用平均数及中位数的定义分别计算后即可确定正确的结论；
（2）用样本平均数估计总体平均数即可；
（3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
解答： 解：（1）平均身高为： =169cm；
∵排序后位于中间的两数167和169，
∴中位数为168cm；（2）∵10人中身高高于170的有4人，
∴200名初三学生中共有200× =80人；
（3）身高分别为181，176，175，173的四名男生分别用1，2，3，4表示，
列表得：
1 2 3 4
1 12 13 14
2 21 23 24
3 31 32 34
4 41 42 43
∵共有12种等可能的结果，有1的有6种，
∴身高为181cm的男生被抽中的概率 = ．
点评： 本题考查了中位数、平均数及列表与树状图的知识，解题的关键是能够利用列表
将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
18．（7分）（2015•济宁）小明到服装店进行社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以
下问题：服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元，乙种每件进价
60元，售价90元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500元，则甲种服装最多购进多少件？？
（2）在（1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行促销活
动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？
考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
分析： （1）设甲种服装购进x件，则乙种服装购进（100﹣x）件，然后根据购进这100件
服装的费用不得超过7500元，列出不等式解答即可；
（2）首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进
货方案．
解答： 解：（1）设甲种服装购进x件，则乙种服装购进（100﹣x）件，根据题意得：
，
解得：65≤x≤75，
∴甲种服装最多购进75件；
（2）设总利润为W元，
W=（120﹣80﹣a）x+（90﹣60）（100﹣x）
即w=（10﹣a）x+3000．
①当0＜a＜10时，10﹣a＞0，W随x增大而增大，
∴当x=75时，W有最大值，即此时购进甲种服装75件，乙种服装25件；
②当a=10时，所以按哪种方案进货都可以；
③当10＜a＜20时，10﹣a＜0，W随x增大而减小．
当x=65时，W有最大值，即此时购进甲种服装65件，乙种服装35件．
点评： 本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，以及一次函数的性质，正确
利用x表示出利润是关键．
19．（8分）（2015•济宁）如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角．
实验与操作：
根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）
（1）作∠DAC的平分线AM；
（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE，CF．
猜想并证明：
判断四边形AECF的形状并加以证明．考点： 作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
专题： 作图题．
分析： 先作以个角的交平分线，再作线段的垂直平分线得到几何图形，由AB=AC得
∠ABC=∠ACB，由AM平分∠DAC得∠DAM=∠CAM，则利用三角形外角性质可得
∠CAM=∠ACB，再根据线段垂直平分线的性质得OA=OC，∠AOF=∠COE，于是可证明
△AOF≌△COE，所以OF=OE，然后根据菱形的判定方法易得四边形AECF的形状为菱形．
解答： 解：如图所示，
四边形AECF的形状为菱形．理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AM平分∠DAC，
∴∠DAM=∠CAM，
而∠DAC=∠ABC+∠ACB，
∴∠CAM=∠ACB，
∴EF垂直平分∠AC，∴OA=OC，∠AOF=∠COE，
在△AOF和△COE中
，
∴△AOF≌△COE，
∴OF=OE，
即AC和EF互相垂直平分，
∴四边形AECF的形状为菱形．
点评： 本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结
合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质
结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂直平分线
的性质和菱形的判定方法．
20．（8分）（2015•济宁）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分别以OB，OA所在直线为x轴
和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上一点（不与B、C两点重合），过点
F的反比例函数y= （k＞0）图象与AC边交于点E．
（1）请用k的表示点E，F的坐标；
（2）若△OEF的面积为9，求反比例函数的解析式．考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）易得E点的纵坐标为4，F点的横坐标为6，把它们分别代入反比例函数y=
（k＞0）即可得到E点和 F点的坐标；
（2）分别用矩形面积和能用图中的点表示出的三角形的面积表示出所求的面积，解方程
即可求得k的值．
解答： 解：（1）E（ ，4），F（6， ）；
（2）∵E，F两点坐标分别为E（ ，4），F（6， ），
∴S = EC•CF= （6﹣ k）（4﹣ k），
ECF
△
∴S =S ﹣S ﹣S ﹣S
EOF 矩形AOBC AOE BOF ECF
△ △ △ △
=24﹣ k﹣ k﹣S
ECF
△
=24﹣k﹣ （6﹣ k）（4﹣ k），
∵△OEF的面积为9，
∴24﹣k﹣ （6﹣ k）（4﹣ k）=9，
整理得， =6，
解得k=12．
∴反比例函数的解析式为y= ．点评： 本题考查了反比例函数的性质和图形的面积计算；点在反比例函数图象上，则点
的横纵坐标满足其解析式；在求坐标系内一般三角形的面积，通常整理为矩形面积减去
若干直角三角形的面积的形式．
21．（9分）（2015•济宁）阅读材料：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， = = ，利用上述结论可
以求解如下题目：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．
解：在△ABC中，∵ = ∴b= = = =3 ．
理解应用：
如图，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A 处时，乙船位于甲
1
船的北偏西105°方向的B 处，且乙船从B 处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航
1 1
行20分钟到达A 时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 处，此时两船相距10 海
2 2
里．
（1）判断△A A B 的形状，并给出证明；
1 2 2
（2）求乙船每小时航行多少海里？
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．分析： （1）先根据路程=速度×时间求出A A =30 × =10 ，又A B =10 ，
1 2 2 2
∠A A B =60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得出△A A B 是等
1 2 2 1 2 2
边三角形；
（2）先由平行线的性质及方向角的定义求出∠A B B =75°﹣15°=60°，由等边三角形的性
1 1 2
质得出∠A A B =60°，A B =A A =10 ，那么∠B A B =105°﹣60°=45°．然后在△B A B
2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2
中，根据阅读材料可知， = ，求出B B 的距离，再由时间求出乙船航行的
1 2
速度．
解答： 解：（1）△A A B 是等边三角形，理由如下：
1 2 2
连结A B ．
1 2
∵甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达A ，
2
∴A A =30 × =10 ，
1 2
又∵A B =10 ，∠A A B =60°，
2 2 1 2 2
∴△A A B 是等边三角形；
1 2 2
（2）如图，∵B N∥A A ，
1 1 2
∴∠A B N=180°﹣∠B A A =180°﹣105°=75°，
1 1 1 1 2
∴∠A B B =75°﹣15°=60°．
1 1 2
∵△A A B 是等边三角形，
1 2 2
∴∠A A B =60°，A B =A A =10 ，
2 1 2 1 2 1 2∴∠B A B =105°﹣60°=45°．
1 1 2
在△B A B 中，∵A B =10 ，∠B A B =105°﹣60°=45°，∠A A B =60°，
1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
由阅读材料可知， = ，
解得B B = = ，
1 2
所以乙船每小时航行： ÷ =20 海里．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，等边三角形的判定与性质，方向
角的定义，锐角三角函数的定义，学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力．正确理解阅
读材料是解题的关键．
22．（11分）（2015•济宁）如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两
点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y= x+4，与x轴
相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；
（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．考点： 二次函数综合题．
分析： （1）连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，利用勾股定理求出OA的长，结合垂径
定理求出OC的长，从而得到C点坐标，进而得到抛物线的解析式；
（2）求出点D的坐标为（﹣ ，0），根据△AOE∽△DOA，求出∠DAE=90°，判断出直线l
与⊙E相切与A．
（3）过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于
点M．设M（m，m+4），P（m，﹣ m2+m﹣4），得到PM= m+4﹣（﹣ m2+m﹣4）= m2
﹣ m+8= （m﹣2）2+ ，根据△PQM的三个内角固定不变，得到PQ最小=PM
最
•sin∠QMP=PM •sin∠AEO= × = ，从而得到最小距离．
小 最小
解答： 解：（1）如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，
在Rt AOE中，由勾股定理得，OA= = =4，
△
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理得，OB=OA=4，
OC=OE+CE=3+5=8，
∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0），∵抛物线的定点为C，
∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣8）2，
将点B的坐标代入上解析的式，得64a=﹣4，故a=﹣ ，
∴y=﹣ （x﹣8）2，
∴y=﹣ x2+x﹣4为所求抛物线的解析式，
（2）在直线l的解析式y= x+4中，令y=0，得 x+4=0，解得x=﹣ ，
∴点D的坐标为（﹣ ，0），
当x=0时，y=4，
∴点A在直线l上，
在Rt AOE和Rt DOA中，
∵ =△， = ，△
∴ = ，
∵∠AOE=∠DOA=90°，
∴△AOE∽△DOA，
∴∠AEO=∠DAO，
∵∠AEO+∠EAO=90°，
∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，因此，直线l与⊙E相切与A．（3）如图2，过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直
线l于点M．
设M（m， m+4），P（m，﹣ m2+m﹣4），则
PM= m+4﹣（﹣ m2+m﹣4）= m2﹣ m+8= （m﹣2）2+ ，
当m=2时，PM取得最小值 ，
此时，P（2，﹣ ），
对于△PQM，
∵PM⊥x轴，
∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，
又∠PQM=90°，
∴△PQM的三个内角固定不变，
∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，
∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，
PQ最小=PM •sin∠QMP=PM •sin∠AEO= × = ，
最小 最小
∴当抛物线上的动点P的坐标为（2，﹣ ）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为 ．点评： 本题考查了二次函数综合题，涉及勾股定理、待定系数法求二次函数解析式、切
线的判定和性质、二次函数的最值等知识，在解答（3）时要注意点P、点M坐标的设法，
以便利用二次函数的最值求解．
