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山东省滨州市2018年中考数学真题试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】直接根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，
∴弦为 =5．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于
斜边长的平方．
2．（3分）若数轴上点A、B分别表示数2、﹣2，则A、B两点之间的距离可表示为（ ）
A．2+（﹣2）B．2﹣（﹣2）C．（﹣2）+2 D．（﹣2）﹣2
【分析】根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可．
【解答】解：A、B两点之间的距离可表示为：2﹣（﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查的是数轴上两点间的距离、数轴等知识，熟知数轴上两点间的距离公式是解
答此题的关键．
3．（3分）如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠1+∠3=180° D．∠3+∠4=180°
【分析】依据AB∥CD，可得∠3+∠5=180°，再根据∠5=∠4，即可得出∠3+∠4=180°．
【解答】解：如图，∵AB∥CD，
∴∠3+∠5=180°，
又∵∠5=∠4，
∴∠3+∠4=180°，
1故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
4．（3分）下列运算：①a2•a3=a6，②（a3）2=a6，③a5÷a5=a，④（ab）3=a3b3，其中结果正确的个数
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，
底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别
乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．
【解答】解：①a2•a3=a5，故原题计算错误；
②（a3）2=a6，故原题计算正确；
③a5÷a5=1，故原题计算错误；
④（ab）3=a3b3，故原题计算正确；
正确的共2个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法、乘法、幂的乘方、积的乘方，关键是熟练掌握各计算
法则．
5．（3分）把不等式组 中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为
（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+1≥3，得：x≥2，
解不等式﹣2x﹣6＞﹣4，得：x＜﹣1，
将两不等式解集表示在数轴上如下：
2故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意
解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．
6．（3分）在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点
O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的 后得到线段CD，则点A的对应点C的
坐标为（ ）
A．（5，1）B．（4，3）C．（3，4）D．（1，5）
【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，
又∵A（6，8），
∴端点C的坐标为（3，4）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是
解题关键．
7．（3分）下列命题，其中是真命题的为（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、例如等腰梯形，故本选项错误；
B、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误；
C、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定与命题的真假区别．正确的命题叫真命题，错误的命
题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．
38．（3分）已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧 的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可．
【解答】解：如图：连接AO，CO，
∵∠ABC=25°，
∴∠AOC=50°，
∴劣弧 的长= ，
故选：C．
【点评】此题考查三角形的外接圆与外心，关键是根据圆周角定理和弧长公式解答．
9．（3分）如果一组数据6、7、x、9、5的平均数是2x，那么这组数据的方差为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
【解答】解：根据题意，得： =2x，
解得：x=3，
则这组数据为6、7、3、9、5，其平均数是6，
所以这组数据的方差为 ×[（6﹣6）2+（7﹣6）2+（3﹣6）2+（9﹣6）2+（5﹣6）2]=4，
故选：A．
【点评】此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一
组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．
10．（3分）如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴
交于点A、点B（﹣1，0），则
4①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．
【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，
∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；
②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；
③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；
④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），
∴A（3，0），
故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解
题关键．
11．（3分）如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP= ，若点M、N分别是射线OA、OB
上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．3
【分析】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，利用轴对
5称的性质得 MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC= ，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以
∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则
CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可．
【解答】解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC= ，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，
∴此时△PMN周长最小，
作OH⊥CD于H，则CH=DH，
∵∠OCH=30°，
∴OH= OC= ，
CH= OH= ，
∴CD=2CH=3．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最
短解决路径最短问题．
12．（3分）如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]=2，那么函数y=x﹣[x]的图象
为（ ）
A． B． C ．
6D．
【分析】根据定义可将函数进行化简．
【解答】解：当﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，y=x+1
当0≤x＜1时，[x]=0，y=x
当1≤x＜2时，[x]=1，y=x﹣1
……
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解[x]的定义，然后对函数进行化简，本题
属于中等题型．
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）
13．（5分）在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C= 100° ．
【分析】直接利用三角形内角和定理进而得出答案．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，
∴∠C=180°﹣30°﹣50°=100°．
故答案为：100°
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确把握定义是解题关键．
14．（5分）若分式 的值为0，则x的值为 ﹣ 3 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．
据此可以解答本题．
【解答】解：因为分式 的值为0，所以 =0，
化简得x2﹣9=0，即x2=9．
解得x=±3
因为x﹣3≠0，即x≠3
所以x=﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题主要考查分式的值为0的条件，注意分母不为0．
715．（5分）在△ABC中，∠C=90°，若tanA= ，则sinB= ．
【分析】直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵∠C=90°，tanA= ，
∴设BC=x，则AC=2x，故AB= x，
则sinB= = = ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题关键．
16．（5分）若从﹣1，1，2这三个数中，任取两个分别作为点M的横、纵坐标，则点M在第二象
限的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到点M在第二象限的结果数，再根据概率公式计算
可得．
【解答】解：列表如下：
由表可知，共有6种等可能结果，其中点M在第二象限的有2种结果，
所以点M在第二象限的概率是 = ，
8故答案为： ．
【点评】本题考查了利用列表法与树状图法求概率的方法：先列表展示所有等可能的结果数
n，再找出某事件发生的结果数m，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率= ．
17．（5分）若关于x、y的二元一次方程组 ，的解是 ，则关于a、b的二元一次
方程组 的解是 ．
【分析】利用关于x、y的二元一次方程组 ，的解是 可得m、n的数值，代入关
于a、b的方程组即可求解，利用整体的思想整理找到两个方程组的联系求解的方法更好．
【解答】解：方法一：
∵关于x、y的二元一次方程组 ，的解是 ，
∴将解 代入方程组
可得m=﹣1，n=2
∴关于a、b的二元一次方程组 可整理为：
解得：
方法二：
关于x、y的二元一次方程组 ，的解是 ，
由关于a、b的二元一次方程组 可知
9解得：
故答案为：
【点评】本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体
现明显．
18．（5分）若点A（﹣2，y）、B（﹣1，y）、C（1，y）都在反比例函数y= （k为常数）的
1 2 3
图象上，则y、y、y 的大小关系为 y ＜ y ＜ y ．
1 2 3 2 1 3
【分析】设t=k2﹣2k+3，配方后可得出t＞0，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出y、
1
y、y 的值，比较后即可得出结论．
2 3
【解答】解：设t=k2﹣2k+3，
∵k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，
∴t＞0．
∵点A（﹣2，y）、B（﹣1，y）、C（1，y）都在反比例函数y= （k为常数）的图象上，
1 2 3
∴y=﹣ ，y=﹣t，y=t，
1 2 3
又∵﹣t＜﹣ ＜t，
∴y＜y＜y．
2 1 3
故答案为：y＜y＜y．
2 1 3
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征
求出y、y、y 的值是解题的关键．
1 2 3
19．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE= ，
∠EAF=45°，则AF的长为 ．
10【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF= x，再利用矩形的
性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的
值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．
【解答】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，
∴NF= x，AN=4﹣x，
∵AB=2，
∴AM=BM=1，
∵AE= ，AB=2，
∴BE=1，
∴ME= = ，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAE+∠NAF=45°，
∵∠MAE+∠AEM=45°，
∴∠MEA=∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴ ，
∴ ，
解得：x= ，
∴AF= = ．
故答案为： ．
11【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅
助线构造相似三角形是解题的关键，
20．（5分）观察下列各式：
=1+ ，
=1+ ，
=1+ ，
……
请利用你所发现的规律，
计算 + + +…+ ，其结果为 9 ．
【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【解答】解：由题意可得：
+ + +…+
=1+ +1+ +1+ +…+1+
=9+（1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
=9+
=9 ．
故答案为：9 ．
12【点评】此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．
三、解答题（本大题共6小题，满分74分）
21．（10分）先化简，再求值：（xy2+x2y）× ÷ ，其中x=π0﹣（ ）﹣1，
y=2sin45°﹣ ．
【分析】原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=xy（x+y）• • =x﹣y，
当x=1﹣2=﹣1，y= ﹣2 =﹣ 时，原式= ﹣1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（12分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：
（1）直线DC是⊙O的切线；
（2）AC2=2AD•AO．
【分析】（1）连接OC，由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC，据此知OC∥AD，根据
AD⊥DC即可得证；
（2）连接BC，证△DAC∽△CAB即可得．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
13∴∠OAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
又∵AD⊥CD，
∴OC⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴AB=2AO，∠ACB=90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴ = ，即AC2=AB•AD，
∵AB=2AO，
∴AC2=2AD•AO．
【点评】本题主要考查圆的切线，解题的关键是掌握切线的判定、圆周角定理及相似三角形的
判定与性质．
23．（12分）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，
如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系
y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
【分析】（1）根据题目中的函数解析式，令y=15即可解答本题；
（2）令y=0，代入题目中的函数解析式即可解答本题；
（3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．
14【解答】解：（1）当y=15时，
15=﹣5x2+20x，
解得，x=1，x=3，
1 2
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；
（2）当y=0时，
0═﹣5x2+20x，
解得，x=0，x=4，
3 2
∵4﹣0=4，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；
（3）y=﹣5x2+20x=﹣5（x﹣2）2+20，
∴当x=2时，y取得最大值，此时，y=20，
答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
24．（13分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半
轴上，顶点C的坐标为（1， ）．
（1）求图象过点B的反比例函数的解析式；
（2）求图象过点A，B的一次函数的解析式；
（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写
出自变量x的取值范围．
【分析】（1）由C的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出B的坐标，利用待定系数法求
出反比例函数解析式即可；
（2）由菱形的边长确定出A坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式即可；
（3）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标，由图象确定出满足题意x的范围即可．
【解答】解：（1）由C的坐标为（1， ），得到OC=2，
∵菱形OABC，
∴BC=OC=OA=2，BC∥x轴，
15∴B（3， ），
设反比例函数解析式为y= ，
把B坐标代入得：k=3 ，
则反比例解析式为y= ；
（2）设直线AB解析式为y=mx+n，
把A（2，0），B（3， ）代入得： ，
解得： ，
则直线AB解析式为y= x﹣2 ；
（3）联立得： ，
解得： 或 ，即一次函数与反比例函数交点坐标为（3， ）或（﹣1，﹣3
），
则当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，自变量x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜
3．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函
数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
25．（13分）已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．
（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；
（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．
【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根据同角的余角相
等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△BDE≌△ADF（ASA），再根据全等三角形的性质即可证
16出BE=AF；
（2）连接AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根据同
角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△EDB≌△FDA（ASA），再根据全等三角形的
性质即可得出BE=AF．
【解答】（1）证明：连接AD，如图①所示．
∵∠A=90°，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°．
∵点D为BC的中点，
∴AD= BC=BD，∠FAD=45°．
∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，
∴∠BDE=∠ADF．
在△BDE和△ADF中， ，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF；
（2）BE=AF，证明如下：
连接AD，如图②所示．
∵∠ABD=∠BAD=45°，
∴∠EBD=∠FAD=135°．
∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，
∴∠EDB=∠FDA．
在△EDB和△FDA中， ，
∴△EDB≌△FDA（ASA），
∴BE=AF．
17【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角，解题的关键是：
（1）根据全等三角形的判定定理ASA证出△BDE≌△ADF；（2）根据全等三角形的判定定理ASA
证出△EDB≌△FDA．
26．（14分）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相
切于点B．
（1）当x=2时，求⊙P的半径；
（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；
（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得
函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到 点 A 的距离等于到 x 轴 的距离的所有
点的集合．
（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）
在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．
【分析】（1）由题意得到AP=PB，求出y的值，即为圆P的半径；
18（2）利用两点间的距离公式，根据AP=PB，确定出y关于x的函数解析式，画出函数图象即可；
（3）类比圆的定义描述此函数定义即可；
（4）画出相应图形，求出m的值，进而确定出所求角的余弦值即可．
【解答】解：（1）由x=2，得到P（2，y），
连接AP，PB，
∵圆P与x轴相切，
∴PB⊥x轴，即PB=y，
由AP=PB，得到 =y，
解得：y= ，
则圆P的半径为 ；
（2）同（1），由AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2，
整理得：y= （x﹣1）2+1，即图象为开口向上的抛物线，
画出函数图象，如图②所示；
（3）给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点A的距离等于到x轴的距
离的所有点的集合；
故答案为：点A；x轴；
（4）连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F，
设PE=a，则有EF=a+1，ED= ，
∴D坐标为（1+ ，a+1），
代入抛物线解析式得：a+1= （1﹣a2）+1，
解得：a=﹣2+ 或a=﹣2﹣ （舍去），即PE=﹣2+ ，
在Rt△PED中，PE= ﹣2，PD=1，
则cos∠APD= = ﹣2．
19【点评】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：两点间的距离公式，二次函数的图象与性质，圆
的性质，勾股定理，弄清题意是解本题的关键．
20
