文档内容
2020年山东省滨州市中考数学试卷
一、选择题
1．下列各式正确的是（ ）
A．﹣|﹣5|＝5 B．﹣（﹣5）＝﹣5 C．|﹣5|＝﹣5 D．﹣（﹣5）＝5
2．如图，AB∥CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD
的大小为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．100°
3．冠状病毒的直径约为80～120纳米，1纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示110纳
米，则正确的结果是（ ）
A．1.1×10﹣9米 B．1.1×10﹣8米 C．1.1×10﹣7米 D．1.1×10﹣6米
4．在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则
点M的坐标为（ ）
A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（4，﹣5） D．（5，﹣4）
5．下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中既是轴对称图形，又是中心对称
图形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，点A在双曲线y＝ 上，点B在双曲线y＝ 上，且AB∥x轴，点C、D在x轴
上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．127．下列命题是假命题的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
8．已知一组数据：5，4，3，4，9，关于这组数据的下列描述：
平均数是5， 中位数是4， 众数是4， 方差是4.4，
①其中正确的个数②为（ ） ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
9．在 O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（
） ⊙
A．6 B．9 C．12 D．15
10．对于任意实数k，关于x的方程 x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判定
11．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小
明同学得出了以下结论： abc＜0， b2＞4ac， 4a+2b+c＞0， 3a+c＞0，
a+b≤m（am+b）（m为①任意实数），②当x＜﹣1时③，y随x的增大而④增大．其中结
⑤论正确的个数为（ ） ⑥
A．3 B．4 C．5 D．6
12．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折
叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕 BM，BM与EF相交于点N．若直线
BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（ ）A． B． C． D．
二、填空题：本大题共8个小题．每小题5分，满分40分．
13．若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
14．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为 ．
15．若正比例函数y＝2x的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比
例函数的解析式为 ．
16．如图， O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，ED与 O相交于点
M，则si⊙n∠MFG的值为 ． ⊙
17．现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率
为 ．
18．若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围为 ．
19．观察下列各式：a ＝ ，a ＝ ，a ＝ ，a ＝ ，a ＝ ，…，根据其中的规律可
1 2 3 4 5
得a ＝ （用含n的式子表示）．
n
20．如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2 、 、
4，则正方形ABCD的面积为 ．三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答时请写出必要的演推过程．
21．先化简，再求值：1﹣ ÷ ；其中x＝cos30°× ，y＝（ ﹣3）0﹣
π
（ ）﹣1．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x﹣1与直线y＝﹣2x+2相交于点P，并分别
与x轴相交于点A、B．
（1）求交点P的坐标；
（2）求△PAB的面积；
（3）请把图象中直线y＝﹣2x+2在直线y＝﹣ x﹣1上方的部分描黑加粗，并写出此时
自变量x的取值范围．
23．如图，过 ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、
BC、CD、D▱A于点P、M、Q、N．
（1）求证：△PBE≌△QDE；
（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．24．某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可
售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
25．如图，AB是 O的直径，AM和BN是它的两条切线，过 O上一点E作直线DC，分
别交AM、BN⊙于点D、C，且DA＝DE． ⊙
（1）求证：直线CD是 O的切线；
（2）求证：OA2＝DE•C⊙E．
26．如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣ ），点F（2，1）为
其对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P
（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；
（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，
并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的
选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分
36分．
1．下列各式正确的是（ ）
A．﹣|﹣5|＝5 B．﹣（﹣5）＝﹣5 C．|﹣5|＝﹣5 D．﹣（﹣5）＝5
【分析】根据绝对值的性质和相反数的定义对各选项分析判断即可．
解：A、∵﹣|﹣5|＝﹣5，
∴选项A不符合题意；
B、∵﹣（﹣5）＝5，
∴选项B不符合题意；
C、∵|﹣5|＝5，
∴选项C不符合题意；
D、∵﹣（﹣5）＝5，
∴选项D符合题意．
故选：D．
2．如图，AB∥CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD
的大小为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．100°
【分析】根据平行线和角平分线的定义即可得到结论．
解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠CPF＝55°，
∵PF是∠EPC的平分线，
∴∠CPE＝2∠CPF＝110°，
∴∠EPD＝180°﹣110°＝70°，故选：B．
3．冠状病毒的直径约为80～120纳米，1纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示110纳
米，则正确的结果是（ ）
A．1.1×10﹣9米 B．1.1×10﹣8米 C．1.1×10﹣7米 D．1.1×10﹣6米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大
数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数 n由原数左边起第一个不为
零的数字前面的0的个数所决定．
解：110纳米＝110×10﹣9米＝1.1×10﹣7米．
故选：C．
4．在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则
点M的坐标为（ ）
A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（4，﹣5） D．（5，﹣4）
【分析】直接利用点的坐标特点进而分析得出答案．
解：∵在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为
5，
∴点M的纵坐标为：﹣4，横坐标为：5，
即点M的坐标为：（5，﹣4）．
故选：D．
5．下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中既是轴对称图形，又是中心对称
图形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：线段是轴对称图形，也是中心对称图形；
等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；
圆是轴对称图形，也是中心对称图形；
则既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个．
故选：B．
6．如图，点A在双曲线y＝ 上，点B在双曲线y＝ 上，且AB∥x轴，点C、D在x轴
上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成
的矩形的面积S的关系S＝|k|即可判断．
解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线y＝ 上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线线y＝ 上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12﹣4＝8．
故选：C．
7．下列命题是假命题的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
【分析】利用正方形的判定依次判断，可求解．
解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形是真命题，故选项A不合题意；
B、对角线互相垂直的矩形是正方形是真命题，故选项B不合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形是真命题，故选项C不合题意；D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即对角线互相垂直且平分的四边形是正方
形是假命题，故选项D符合题意；
故选：D．
8．已知一组数据：5，4，3，4，9，关于这组数据的下列描述：
平均数是5， 中位数是4， 众数是4， 方差是4.4，
①其中正确的个数②为（ ） ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先把数据由小到大排列为3，4，4，5，9，然后根据算术平均数、中位数和众
数的定义得到数据的平均数，中位数和众数，再根据方差公式计算数据的方差，然后利
用计算结果对各选项进行判断．
解：数据由小到大排列为3，4，4，5，9，
它的平均数为 ＝5，
数据的中位数为4，众数为4，
数据的方差＝ [（3﹣5）2+（4﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（9﹣5）2]＝4.4．
所以A、B、C、D都正确．
故选：D．
9．在 O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（
） ⊙
A．6 B．9 C．12 D．15
【分析】直接根据题意画出图形，再利用垂径定理以及勾股定理得出答案．
解：如图所示：∵直径AB＝15，
∴BO＝7.5，
∵OC：OB＝3：5，
∴CO＝4.5，
∴DC＝ ＝6，
∴DE＝2DC＝12．
故选：C．10．对于任意实数k，关于x的方程 x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判定
【分析】先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可．
解： x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0，
△＝[﹣（k+5）]2﹣4× ×（k2+2k+25）＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16，
不论k为何值，﹣（k﹣3）2≤0，
即△＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0，
所以方程没有实数根，
故选：B．
11．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小
明同学得出了以下结论： abc＜0， b2＞4ac， 4a+2b+c＞0， 3a+c＞0，
a+b≤m（am+b）（m为①任意实数），②当x＜﹣1时③，y随x的增大而④增大．其中结
⑤论正确的个数为（ ） ⑥
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然
后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解： 由图象可知：a＞0，c＜0，
①
∵﹣ ＝1，∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＜0，故 错误；
∵抛物线与①x轴有两个交点，
②∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故 正确；
当x＝2时，②y＝4a+2b+c＜0，故 错误；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， ③
④∴3a+c＞0，故 正确；
当x＝1时，④y的值最小，此时，y＝a+b+c，
⑤而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故 正确，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故 ⑤错误，
⑥故选：A． ⑥
12．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折
叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕 BM，BM与EF相交于点N．若直线
BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中位线定理可得AM＝2，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得A′M
＝A′N＝2，过M点作MG⊥EF于G，可求A′G，根据勾股定理可求MG，进一步得
到BE，再根据平行线分线段成比例可求OF，从而得到OD．
解：∵EN＝1，
∴由中位线定理得AM＝2，
由折叠的性质可得A′M＝2，
∵AD∥EF，
∴∠AMB＝∠A′NM，∵∠AMB＝∠A′MB，
∴∠A′NM＝∠A′MB，
∴A′N＝2，
∴A′E＝3，A′F＝2
过M点作MG⊥EF于G，
∴NG＝EN＝1，
∴A′G＝1，
由勾股定理得MG＝ ＝ ，
∴BE＝OF＝MG＝ ，
∴OF：BE＝2：3，
解得OF＝ ，
∴OD＝ ﹣ ＝ ．
故选：B．
二、填空题：本大题共8个小题．每小题5分，满分40分．
13．若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x ≥ 5 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣5≥0，求出即可．
解：要使二次根式 在实数范围内有意义，必须x﹣5≥0，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5．
14．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为 80 ° ．
【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180°列式进行计
算即可得解．
解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°．
故答案为：80°．
15．若正比例函数y＝2x的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比
例函数的解析式为 y ＝ ．
【分析】当y＝2时，即y＝2x＝2，解得：x＝1，故该点的坐标为（1，2），将（1，
2）代入反比例函数表达式y＝ ，即可求解．
解：当y＝2时，即y＝2x＝2，解得：x＝1，
故该点的坐标为（1，2），
将（1，2）代入反比例函数表达式y＝ 并解得：k＝2，
故答案为：y＝ ．
16．如图， O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，ED与 O相交于点
⊙ ⊙
M，则sin∠MFG的值为 ．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的
边的比的问题．
解：∵ O是正方形ABCD的内切圆，
⊙
∴AE＝ AB，EG＝BC；
根据圆周角的性质可得：∠MFG＝∠MEG．
∵sin∠MFG＝sin∠MEG＝ ＝ ，∴sin∠MFG＝ ．
故答案为： ．
17．现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率
为 ．
【分析】利用完全列举法展示所有可能的结果数，再利用三角形三边的关系得到组成三
角形的结果数，然后根据概率公式计算．
解：3，5，8，10，13，从中任取三根，所有情况为：3、5、8；3、5、10；3、5、13；
3、8、10；3、8、13；3，10，13；5、8、10；5、8、13；5、10、13；8、10、13；
共有10种等可能的结果数，其中可以组成三角形的结果数为 4，所以可以组成三角形的
概率＝ ＝ ．
故答案为 ．
18．若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围为 a ≥ 1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得答案．
解：解不等式 x﹣a＞0，得：x＞2a，
解不等式4﹣2x≥0，得：x≤2，
∵不等式组无解，
∴2a≥2，
解得a≥1，
故答案为：a≥1．19．观察下列各式：a ＝ ，a ＝ ，a ＝ ，a ＝ ，a ＝ ，…，根据其中的规律可
1 2 3 4 5
得a ＝ （用含n的式子表示）．
n
【分析】观察分母的变化为3、5、7，…，2n+1次幂；分子的变化为：奇数项为n2+1；
偶数项为n2﹣1；依此即可求解．
解：由分析可得a ＝ ．
n
故答案为： ．
20．如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2 、 、
4，则正方形ABCD的面积为 14+ 4 ．
【分析】如图，将△ABP绕点B顺时针旋转 90°得到△CBM，连接 PM，过点 B作
BH⊥PM于H．首先证明∠PMC＝90°，推出∠CMB＝∠APB＝135°，推出A，P，M
共线，利用勾股定理求出AB2即可．
解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM
于H．∵BP＝BM＝ ，∠PBM＝90°，
∴PM＝ PB＝2，
∵PC＝4，PA＝CM＝2 ，
∴PC2＝CM2+PM2，
∴∠PMC＝90°，
∵∠BPM＝∠BMP＝45°，
∴∠CNB＝∠APB＝135°，
∴∠APB+∠BPM＝180°，
∴A，P，M共线，
∵BH⊥PM，
∴PH＝HM，
∴BH＝PH＝HM＝1，
∴AH＝2 +1，
∴AB2＝AH2+BH2＝（2 +1）2+12＝14+4 ，
∴正方形ABCD的面积为14+4 ．
故答案为14+4 ．
三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答时请写出必要的演推过程．
21．先化简，再求值：1﹣ ÷ ；其中x＝cos30°× ，y＝（ ﹣3）0﹣
π
（ ）﹣1．【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再计算x，y的值，进而代入得出答案．
解：原式＝1﹣ ÷
＝1+ •
＝1+
＝
＝ ，
∵x＝cos30°× ＝ ×2 ＝3，y＝（ ﹣3）0﹣（ ）﹣1＝1﹣3＝﹣2，
π
∴原式＝ ＝0．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x﹣1与直线y＝﹣2x+2相交于点P，并分别
与x轴相交于点A、B．
（1）求交点P的坐标；
（2）求△PAB的面积；
（3）请把图象中直线y＝﹣2x+2在直线y＝﹣ x﹣1上方的部分描黑加粗，并写出此时
自变量x的取值范围．
【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得交点P的坐标；
（2）求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）根据图象求得即可．解：（1）由 解得 ，
∴P（2，﹣2）；
（2）直线y＝﹣ x﹣1与直线y＝﹣2x+2中，令y＝0，则﹣ x﹣1＝0与﹣2x+2＝0，
解得x＝﹣2与x＝1，
∴A（﹣2，0），B（1，0），
∴AB＝3，
∴S ＝ ＝ ＝3；
△PAB
（3）如图所示：
自变量x的取值范围是x＜2．
23．如图，过 ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、
BC、CD、D▱A于点P、M、Q、N．
（1）求证：△PBE≌△QDE；
（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．
【分析】（1）由ASA证△PBE≌△QDE即可；
（2）由全等三角形的性质得出EP＝EQ，同理△BME≌△DNE（ASA），得出EM＝
EN，证出四边形PMQN是平行四边形，由对角线PQ⊥MN，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABD是平行四边形，
∴EB＝ED，AB∥CD，∴∠EBP＝∠EDQ，
在△PBE和△QDE中， ，
∴△PBE≌△QDE（ASA）；
（2）证明：如图所示：
∵△PBE≌△QDE，
∴EP＝EQ，
同理：△BME≌△DNE（ASA），
∴EM＝EN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵PQ⊥MN，
∴四边形PMQN是菱形．
24．某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可
售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【分析】（1）由月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×10，可求解；
（2）设每千克水果售价为x元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可
求解；
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由利润＝每千克的利润×销售的
数量，可得y与x的关系式，有二次函数的性质可求解．
解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果＝500﹣10×（55﹣50）＝450千克；
（2）设每千克水果售价为x元，
由题意可得：8750＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，
解得：x＝65，x＝75，
1 2答：每千克水果售价为65元或75元；
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，
由题意可得：y＝（m﹣40）[500﹣10（m﹣50）]＝﹣10（m﹣70）2+9000，
∴当m＝70时，y有最大值为9000元，
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．
25．如图，AB是 O的直径，AM和BN是它的两条切线，过 O上一点E作直线DC，分
别交AM、BN⊙于点D、C，且DA＝DE． ⊙
（1）求证：直线CD是 O的切线；
（2）求证：OA2＝DE•C⊙E．
【分析】（1）连接OD，OE，证明△OAD≌△OED，得∠OAD＝∠OED＝90°，进而
得CD是切线；
（2）过D作DF⊥BC于点F，得四边形ABFD为矩形，得DF＝20A，再证明CF＝CE
﹣DE，进而根据勾股定理得结论．
解：（1）连接OD，OE，如图1，
在△OAD和△OED中，
，
∴△OAD≌△OED（SSS），
∴∠OAD＝∠OED，
∵AM是 O的切线，
∴∠OAD⊙＝90°，
∴∠OED＝90°，
∴直线CD是 O的切线；
⊙（2）过D作DF⊥BC于点F，如图2，则∠DFB＝∠RFC＝90°，
∵AM、BN都是 O的切线，
∴∠ABF＝∠BA⊙D＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴DF＝AB＝2OA，AD＝BF，
∵CD是 O的切线，
∴DE＝D⊙A，CE＝CB，
∴CF＝CB﹣BF＝CE﹣DE，
∵DE2＝CD2﹣CF2，
∴4OA2＝（CE+DE）2﹣（CE﹣DE）2，
即4OA2＝4DE•CE，
∴OA2＝DE•CE．
26．如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣ ），点F（2，1）为
其对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P
（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；
（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．
【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x
﹣2）2﹣1，把点B坐标代入求出a即可．
（2）由题意P（m， m2﹣ m﹣ ），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题．
（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周
长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝ ＝2 ，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的
周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．
【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝
a（x﹣2）2﹣1，
∵抛物线经过B（0，﹣ ），
∴﹣ ＝4a﹣1，
∴a＝ ，
∴抛物线的解析式为y＝ （x﹣2）2﹣1．
（2）证明：∵P（m，n），
∴n＝ （m﹣2）2﹣1＝ m2﹣ m﹣ ，
∴P（m， m2﹣ m﹣ ），
∴d＝ m2﹣ m﹣ ﹣（﹣3）＝ m2﹣ m+ ，
∵F（2，1），∴PF＝ ＝ ，
∵d2＝ m4﹣ m3+ m2﹣ m+ ，PF2＝ m4﹣ m3+ m2﹣ m+ ，
∴d2＝PF2，
∴PF＝d．
（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．
∵△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝ ＝2 ，
∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，
∵QF＝QH，
∴DQ+DF＝DQ+QH，
根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，
点Q在线段DN上，
∴DQ+QH的最小值为3，
∴△DFQ的周长的最小值为2 +3，此时Q（4，﹣ ）
