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2016 年山东省济宁市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求
1．（3分）在：0，﹣2，1， 这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣2 C．1 D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3=x5 B．x6+x6=x12 C．（x2）3=x5 D．x﹣1=x
3．（3分）如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，那么∠2的度数
是（ ）
A．20° B．30° C．35° D．50°
4．（3分）如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是（
）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，在⊙O中， = ，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（ ）
第1页（共28页）A．40° B．30° C．20° D．15°
6．（3分）已知x﹣2y=3，那么代数式3﹣2x+4y的值是（ ）
A．﹣3 B．0 C．6 D．9
7．（3分）如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那
么四边形ABFD的周长是（ ）
A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm
8．（3分）在学校开展的“争做最优秀中学生”的一次演讲比赛中，编号1，2，3，
4，5的五位同学最后成绩如下表所示：
参赛者编 1 2 3 4 5
号
成绩/分 96 88 86 93 86
那么这五位同学演讲成绩的众数与中位数依次是（ ）
A．96，88， B．86，86 C．88，86 D．86，88
9．（3分）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现
在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴
对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，
sin∠AOB= ，反比例函数y= 在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，
则△AOF的面积等于（ ）
第2页（共28页）A．60 B．80 C．30 D．40
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分
11．（3分）若式子 有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，
请你添加一个适当的条件： ，使△AEH≌△CEB．
13．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么
的值等于 ．
14．（3分）已知A，B两地相距160km，一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高
了25%，结果比原来提前0.4h到达，这辆汽车原来的速度是 km/h．
15．（3分）按一定规律排列的一列数： ，1，1，□， ， ， ，…请你仔细观察，
按照此规律方框内的数字应为 ．
第3页（共28页）三、解答题：本大题共7小题，共55分
16．（6分）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b= ．
17．（6分）2016年6月19日是父亲节，某商店老板统计了这四年父亲节当天剃须
刀销售情况，以下是根据该商店剃须刀销售的相关数据所绘制统计图的一部
分．
请根据图1、图2解答下列问题：
（1）近四年父亲节当天剃须刀销售总额一共是5.8万元，请将图1中的统计图补
充完整；
（2）计算该店2015年父亲节当天甲品牌剃须刀的销售额．
第4页（共28页）18．（7分）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，
为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1： ．
（1）求新坡面的坡角a；
（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆除？请说明理
由．
19．（8分）某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，
并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万
元．
（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优
先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户
以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受
到优先搬迁租房奖励？
20．（8分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使
CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．
第5页（共28页）（1）已知EO= ，求正方形ABCD的边长；
（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．
21．（9分）已知点P（x ，y ）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用
0 0
公式d= 计算．
第6页（共28页）例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．
解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．
所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d= = =
= ．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；
（2）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y= x+9的位
置关系并说明理由；
（3）已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．
22．（11分）如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上，并过点
B（0，1），直线n：y=﹣ x+ 与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，
第7页（共28页）过B点的直线BE与直线n相交于点E（﹣7，7）．
（1）求抛物线m的解析式；
（2）P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；
（3）抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若
存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第8页（共28页）2016 年山东省济宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求
1．（3分）在：0，﹣2，1， 这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣2 C．1 D．
【考点】18：有理数大小比较．
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【分析】根据有理数大小比较的法则解答．
【解答】解：∵在0，﹣2，1， 这四个数中，只有﹣2是负数，
∴最小的数是﹣2．
故选：B．
【点评】本题很简单，只要熟知正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数即
可．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3=x5 B．x6+x6=x12 C．（x2）3=x5 D．x﹣1=x
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；6F：负整
数指数幂．
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【专题】11：计算题；511：实数．
【分析】原式利用同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方及负整数指数幂法则计
算，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=x5，正确；
B、原式=2x6，错误；
C、原式=x6，错误；
D、原式= ，错误，
故选：A．
第9页（共28页）【点评】此题考查了负整数指数幂，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方
与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（3分）如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，那么∠2的度数
是（ ）
A．20° B．30° C．35° D．50°
【考点】JA：平行线的性质．
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【分析】由垂线的性质和平角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出
∠2的度数．
【解答】解：∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠3=180°﹣90°﹣∠1=35°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=35°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质、垂线的性质；熟练掌握平行线的性质，求出∠3
的度数是解决问题的关键．
4．（3分）如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是（
）
第10页（共28页）A． B． C． D．
【考点】U1：简单几何体的三视图．
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【专题】55F：投影与视图．
【分析】观察几何体，找出左视图即可．
【解答】解：如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是
，
故选：D．
【点评】此题考查了简单几何体的三视图，左视图是从物体左边看的视图．
5．（3分）如图，在⊙O中， = ，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系．
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【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=40°，再由圆周角定理即可
得出结论．
【解答】解：连接CO，如图：
∵在⊙O中， = ，
∴∠AOC=∠AOB，
∵∠AOB=40°，
∴∠AOC=40°，
∴∠ADC= ∠AOC=20°，
第11页（共28页）故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理；熟知在同圆或等圆中，同
弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题
的关键．
6．（3分）已知x﹣2y=3，那么代数式3﹣2x+4y的值是（ ）
A．﹣3 B．0 C．6 D．9
【考点】33：代数式求值．
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【分析】将3﹣2x+4y变形为3﹣2（x﹣2y），然后代入数值进行计算即可．
【解答】解：∵x﹣2y=3，
∴3﹣2x+4y=3﹣2（x﹣2y）=3﹣2×3=﹣3；
故选：A．
【点评】本题主要考查的是求代数式的值，将x﹣2y=3整体代入是解题的关键．
7．（3分）如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那
么四边形ABFD的周长是（ ）
A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm
【考点】Q2：平移的性质．
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【分析】先根据平移的性质得到EF=AD=2cm，AE=DF，而AB+BE+AE=16cm，则四边
形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD，然后利用整体代入的方法计算即可
【解答】解：∵△ABE向右平移2cm得到△DCF，
∴EF=AD=2cm，AE=DF，
∵△ABE的周长为16cm，
第12页（共28页）∴AB+BE+AE=16cm，
∴四边形ABFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD
=AB+BE+AE+EF+AD
=16cm+2cm+2cm
=20cm．
故选：C．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一
个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都
是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的
线段平行且相等．
8．（3分）在学校开展的“争做最优秀中学生”的一次演讲比赛中，编号1，2，3，
4，5的五位同学最后成绩如下表所示：
参赛者编 1 2 3 4 5
号
成绩/分 96 88 86 93 86
那么这五位同学演讲成绩的众数与中位数依次是（ ）
A．96，88， B．86，86 C．88，86 D．86，88
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【专题】11：计算题；541：数据的收集与整理．
【分析】找出五位同学演讲成绩出现次数最多的分数即为众数，将分数按照从小
到大的顺序排列，找出中位数即可．
【解答】解：这五位同学演讲成绩为96，88，86，93，86，
按照从小到大的顺序排列为86，86，88，93，96，
则这五位同学演讲成绩的众数与中位数依次是86，88，
故选：D．
【点评】此题考查了众数与中位数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
9．（3分）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现
在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴
对称图形的概率是（ ）
第13页（共28页）A． B． C． D．
【考点】P8：利用轴对称设计图案；X4：概率公式．
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【分析】由在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有13种
等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直
接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，
白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况，
∴使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是： ．
故选：B．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．也考查了轴对称图形的定义．
10．（3分）如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，
sin∠AOB= ，反比例函数y= 在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，
则△AOF的面积等于（ ）
第14页（共28页）A．60 B．80 C．30 D．40
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G8：反比例函数与一次函数的交点
问题；L8：菱形的性质．
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【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，设OA=a，通过解直角三角形找出点A的坐标，
结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a的值，再根据四边形OACB是
菱形、点F在边BC上，即可得出S = S ，结合菱形的面积公式即可得
△AOF 菱形OBCA
出结论．
【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．
设OA=a，
在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB= ，
∴AM=OA•sin∠AOB= a，OM= = a，
∴点A的坐标为（ a， a）．
∵点A在反比例函数y= 的图象上，
∴ a× a= =48，
解得：a=10，或a=﹣10（舍去）．
∴AM=8，OM=6，OB=OA=10．
∵四边形OACB是菱形，点F在边BC上，
∴S = S = OB•AM=40．
△AOF 菱形OBCA
故选：D．
第15页（共28页）【点评】本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标
特征，解题的关键是找出S = S ．
△AOF 菱形OBCA
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分
11．（3分）若式子 有意义，则实数x的取值范围是 x ≥ 1 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件．
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【分析】根据二次根式的性质可以得到x﹣1是非负数，由此即可求解．
【解答】解：依题意得
x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解
决问题．
12．（3分）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，
请你添加一个适当的条件： AH=CB 等（只要符合要求即可） ，使
△AEH≌△CEB．
【考点】KB：全等三角形的判定．
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【专题】26：开放型．
【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，
就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠BEC=∠AEC=90°，
在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，
又∵∠EAH=∠BAD，
第16页（共28页）∴∠BAD=90°﹣∠AHE，
在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，
∴∠EAH=∠DCH，
∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，
所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB；
根据ASA添加AE=CE．
可证△AEH≌△CEB．
故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能
添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
13．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么
的值等于 ．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式
即可得到结论．
【解答】解：∵AG=2，GD=1，
∴AD=3，
∵AB∥CD∥EF，
∴ = ，
故答案为： ．
【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是
准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式求解、计算．
第17页（共28页）14．（3分）已知A，B两地相距160km，一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高
了25%，结果比原来提前0.4h到达，这辆汽车原来的速度是 8 0 km/h．
【考点】B7：分式方程的应用．
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【分析】设这辆汽车原来的速度是xkm/h，由题意列出分式方程，解方程求出x的
值即可．
【解答】解：设这辆汽车原来的速度是xkm/h，由题意列方程得：
，
解得：x=80
经检验，x=80是原方程的解，
所以这辆汽车原来的速度是80km/h．
故答案为：80．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，掌握常见问题中的基本关系，如行
程问题：速度= ；工作量问题：工作效率= 等等是解决问题的关键
15．（3分）按一定规律排列的一列数： ，1，1，□， ， ， ，…请你仔细观察，
按照此规律方框内的数字应为 1 ．
【考点】37：规律型：数字的变化类．
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【分析】观察可发现所有分数的分子都是奇数，分母都是质数，所以可将第一个1
化为 ，第二个1化为 ，再观察其规律即可．
【解答】解：把整数1化为 ，得 ， ， ，（ ）， ， ， …
可以发现分子为连续奇数，分母为连续质数，
所以，第4个数的分子是7，分母是7，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查数列的规律探索，把整数统一为分数，观察找出存在的规律
是解题的关键．
三、解答题：本大题共7小题，共55分
第18页（共28页）16．（6分）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b= ．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最
简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=a2﹣2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2，
当a=﹣1，b= 时，原式=2+2=4．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
17．（6分）2016年6月19日是父亲节，某商店老板统计了这四年父亲节当天剃须
刀销售情况，以下是根据该商店剃须刀销售的相关数据所绘制统计图的一部
分．
请根据图1、图2解答下列问题：
（1）近四年父亲节当天剃须刀销售总额一共是5.8万元，请将图1中的统计图补
充完整；
（2）计算该店2015年父亲节当天甲品牌剃须刀的销售额．
【考点】VC：条形统计图；VD：折线统计图．
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【分析】（1）将销售总额减去2012、2014、2015年的销售总额，求出2013年的销
售额，补全条形统计图即可；
（2）将2015年的销售总额乘以甲品牌剃须刀所占百分比即可．
【解答】解：（1）2013年父亲节当天剃须刀的销售额为5.8﹣1.7﹣1.2﹣1.3=1.6（万
第19页（共28页）元），
补全条形图如图：
（2）1.3×17%=0.221（万元）．
答：该店2015年父亲节当天甲品牌剃须刀的销售额为0.221万元．
【点评】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同
的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出
每个项目的数据．
18．（7分）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，
为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1： ．
（1）求新坡面的坡角a；
（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆除？请说明理
由．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】（1）由新坡面的坡度为1： ，可得tanα=tan∠CAB= = ，然后由特殊
角的三角函数值，求得答案；
（2）首先过点C作CD⊥AB于点D，由坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：
．即可求得AD，BD的长，继而求得AB的长，则可求得答案．
【解答】解：（1）∵新坡面的坡度为1： ，
第20页（共28页）∴tanα=tan∠CAB= = ，
∴∠α=30°．
答：新坡面的坡角a为30°；
（2）文化墙PM不需要拆除．
过点C作CD⊥AB于点D，则CD=6，
∵坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1： ，
∴BD=CD=6，AD=6 ，
∴AB=AD﹣BD=6 ﹣6＜8，
∴文化墙PM不需要拆除．
【点评】此题考查了坡度坡角的知识．注意根据题意构造直角三角形是关键．
19．（8分）某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，
并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万
元．
（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优
先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户
以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受
到优先搬迁租房奖励？
【考点】AD：一元二次方程的应用．
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【分析】（1）设年平均增长率为x，根据：2014年投入资金给×（1+增长率）2=2016
年投入资金，列出方程求解可得；
（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据：前1000户获得的奖励总
数+1000户以后获得的奖励总和≥500万，列不等式求解可得．
【解答】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，
得：1280（1+x）2=1280+1600，
第21页（共28页）解得：x=0.5或x=﹣2.5（舍），
答：从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；
（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，
得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000，
解得：a≥1900，
答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
【点评】本题主要考查一元二次方程与一元一次不等式的应用，由题意准确抓住
相等关系并据此列出方程或不等式是解题的关键．
20．（8分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使
CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．
（1）已知EO= ，求正方形ABCD的边长；
（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．
【考点】LE：正方形的性质．
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【分析】（1）根据正方形的性质以及勾股定理即可求得AC的长，再证得EO是
△AFC的中位线，从而得EO、AC的长，知道AC的长后可求BC；
（2）连接 FN，根据等腰三角形三线合一的性质证得 CE⊥AF，进一步得出
∠BAF=∠BCN，然后通过证得△ABF≌△CBN 得出 BF=BN，进而证得
△CFN∽△EOM，根据相似三角形的性质，可得EM与CN的数量关系．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴CA= = BC．
∵CF=CA，CE是∠ACF的角平分线，
∴E是AF的中点．
∵E、O分别是AF、AC的中点，
第22页（共28页）∴EO∥BC，且EO= CF，
∵EO= ，
∴CA=CF=2 ，
∴BC=2．
∴正方形ABCD的边长为2；
（2）EM= CN．
证明：连接FN，
∵CF=CA，CE是∠ACF的平分线，
∴CE⊥AF，
∴∠AEN=∠CBN=90°，
∵∠ANE=∠CNB，
∴∠BAF=∠BCN，
在△ABF和△CBN中，
，
∴△ABF≌△CBN（AAS），
∴BF=BN，
∴∠CFN=∠FNB=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=45°，
∵EO∥BC，
∴∠EOM=∠DBC=45°，∠OEM=∠FCN，
∴∠CFN=∠EOM，
∴△CFN∽△EOM，
∴ ，
∵EO= CF，
第23页（共28页）∴EM= CN．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，
三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解
题的关键．
21．（9分）已知点P（x ，y ）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用
0 0
公式d= 计算．
例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．
解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．
所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d= = =
= ．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；
（2）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y= x+9的位
置关系并说明理由；
（3）已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．
【考点】FI：一次函数综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）根据点P到直线y=kx+b的距离公式直接计算即可；
（2）先利用点到直线的距离公式计算出圆心Q到直线y= x+9，然后根据切线的
判定方法可判断⊙Q与直线y= x+9相切；
第24页（共28页）（3）利用两平行线间的距离定义，在直线y=﹣2x+4上任意取一点，然后计算这个
点到直线y=﹣2x﹣6的距离即可．
【解答】解：（1）因为直线y=x﹣1，其中k=1，b=﹣1，
所以点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离为：d= = =
= ；
（2）⊙Q与直线y= x+9的位置关系为相切．
理由如下：
圆心Q（0，5）到直线y= x+9的距离为：d= = =2，
而⊙O的半径r为2，即d=r，
所以⊙Q与直线y= x+9相切；
（3）当x=0时，y=﹣2x+4=4，即点（0，4）在直线y=﹣2x+4，
因为点（0，4）到直线y=﹣2x﹣6的距离为：d= = =2 ，
因为直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，
所以这两条直线之间的距离为2 ．
【点评】本题考查了一次函数的综合题：熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、
切线的判定方法和两平行线间的距离的定义；提高阅读理解能力．
22．（11分）如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上，并过点
B（0，1），直线n：y=﹣ x+ 与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，
过B点的直线BE与直线n相交于点E（﹣7，7）．
（1）求抛物线m的解析式；
（2）P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；
（3）抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若
存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第25页（共28页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】535：二次函数图象及其性质．
【分析】（1）抛物线顶点在x轴上则可得出顶点纵坐标为0，将解析式进行配方就
可以求出a的值，继而得出函数解析式；
（2）利用轴对称求最短路径的方法，首先通过B点关于l的对称点B′来确定P点
位置，再求出直线B′E的解析式，进而得出P点坐标；
（3）可以先求出直线FD的解析式，结合以线段FQ为直径的圆恰好经过点D这个
条件，明确∠FDG=90°，得出直线DG解析式的k值与直线FD解析式的k值乘
积为﹣1，利用D点坐标求出直线DG解析式，将点Q坐标用抛物线解析式表示
后代入DG直线解析式可求出点Q坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上
∴配方得y=a（x﹣3）2﹣9a+1，则有﹣9a+1=0，解得a=
∴A点坐标为（3，0），抛物线m的解析式为y= x2﹣ x+1；
（2）∵点B关于对称轴直线x=3的对称点B′为（6，1）
第26页（共28页）∴连接EB′交l于点P，如图所示
设直线EB′的解析式为y=kx+b，把（﹣7，7）（6，1）代入得
解得 ，
则函数解析式为y=﹣ x+
把x=3代入解得y= ，
∴点P坐标为（3， ）；
（3）∵y=﹣ x+ 与x轴交于点D，
∴点D坐标为（7，0），
∵y=﹣ x+ 与抛物线m的对称轴l交于点F，
∴点F坐标为（3，2），
求得 FD 的直线解析式为 y=﹣ x+ ，若以 FQ 为直径的圆经过点 D，可得
∠FDQ=90°，则DQ的直线解析式的k值为2，
设DQ的直线解析式为y=2x+b，把（7，0）代入解得b=﹣14，则DQ的直线解析式
为y=2x﹣14，
设点Q的坐标为（a， ），把点Q代入y=2x﹣14得
第27页（共28页）=2a﹣14
解得a =9，a =15．
1 2
∴点Q坐标为（9，4）或（15，16）．
【点评】本题考查的知识点是二次函数性质、一次函数性质、轴对称性质，解题的
关键是明确找线段和最小的点要通过轴对称性质找对称点，以线段FQ为直径
的圆恰好经过点D则要转化为∠FDG=90°的条件来考虑．
第28页（共28页）
