文档内容
2010年山东省济宁市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）4的算术平方根是（ ）
A．±2 B．± C． D．2
2．（3分）据统计部门报告，我市去年国民生产总值为238 770 000 000元，那么这个数据用
科学记数法表示为（ ）
A．2.3877×1012元 B．2.3877×1011元
C．23877×107元 D．2387.7×108元
3．（3分）若一个三角形三个内角度数的比为2：3：4，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
4．（3分）把代数式3x3﹣6x2y+3xy2分解因式，结果正确的是（ ）
A．x（3x+y）（x﹣3y） B．3x（x2﹣2xy+y2）
C．x（3x﹣y）2 D．3x（x﹣y）2
5．（3分）已知 O 与 O 相切， O 的半径为3cm， O 的半径为2cm，则O O 的长是（
1 2 1 2 1 2
） ⊙ ⊙ ⊙ ⊙
A．1cm B．5cm
C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm
6．（3分）若 ，则x﹣y的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7
7．（3分）如图，是张老师出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑
点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是（ ）
A． B．
第1页（共19页）C． D．
8．（3分）由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小
立方体的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（3分）如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一
个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）
A．6cm B． cm C．8cm D． cm
10．（3分）在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点1000m的C地去，
先沿北偏东70°方向到达B地，然后再沿北偏西20°方向走了500m到达目的地C，此时小
霞在营地A的（ ）
A．北偏东20°方向上 B．北偏东30°方向上
C．北偏东40°方向上 D．北偏西30°方向上
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）函数y＝ ﹣1中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）若代数式x2﹣6x+b可化为（x﹣a）2﹣1，则b﹣a的值是 ．
第2页（共19页）13．（3分）如图，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形．如果△ABC中任意一点M的
坐标为（a，b），那么它的对应点N的坐标为 ．
14．（3分）某校举行以“保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛．经预赛，七、八年级各有
一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．前两名都是九年级同学的概率是
．
15．（3分）如图，是一张宽m的矩形台球桌ABCD，一球从点M（点M在长边CD上）出发沿
虚线MN射向边BC，然后反弹到边AB上的P点，如果MC＝n，∠CMN＝ ，那么P点与B
点的距离为 ． α
三、解答题（共8小题，满分55分）
16．（5分）计算： ﹣4sin45°+（3﹣ ）0+|﹣4|
17．（5分）上海世博会自2010年5月1日π 到10月31日，历时184天，预测参观人数达7000
万人次，如图是此次盛会在5月中旬入园人数的统计情况．
第3页（共19页）（1）请根据统计图完成下表：
众数 中位数 极差
入园人数/万
（2）推算世博会期间参观总人数与预测人数相差多少？
18．（6分）观察下面的变形规律： ＝1﹣ ； ＝ ﹣ ； ＝ ﹣ ；…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想 ＝ ；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和： + + +…+ ．
19．（6分）如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD
于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD＝CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
20．（7分）如图，正比例函数 的图象与反比例函数 （k≠0）在第一象限的图象交于
A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点，且B点的横坐标为1，在x轴上求一点
P，使PA+PB最小．（只需在图中作出点B，P，保留痕迹，不必写出理由）
第4页（共19页）21．（8分）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工
程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设
350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．
（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量的方案有几
种？请你帮助设计出来（工程队分配工程量为正整百数）．
22．（8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD的边长为12，P为边
BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线
于N．当CP＝6时，EM与EN的比值是多少？
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，
G，如图2，则可得： ，因为DE＝EP，所以DF＝FC．可求出EF和EG的值，进而可
求得EM与EN的比值．
（1）请按照小明的思路写出求解过程．
（2）小东又对此题作了进一步探究，得出了DP＝MN的结论，你认为小东的这个结论正确
吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，
C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．
第5页（共19页）（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请
判断抛物线的对称轴l与 C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上⊙的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置
时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．
第6页（共19页）2010 年山东省济宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．【分析】本题是求4的算术平方根，应看哪个正数的平方等于4，由此即可解决问题．
【解答】解：∵ ＝2，
∴4的算术平方根是2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了算术平方根的运算．一个数的算术平方根应该是非负数．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：238 770 000 000元，那么这个数据用科学记数法表示为2.3877×1011元．故选
B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】根据三角形的内角和定理和三个内角的度数比，即可求得三个内角的度数，再根据
三个内角的度数进一步判断三角形的形状．
【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：4，
∴三个内角分别是180°× ＝40°，180°× ＝60°，180°× ＝80°．
所以该三角形是锐角三角形．
故选：B．
【点评】三角形按边分类：不等边三角形和等腰三角形（等边三角形）；
三角形按角分类：锐角三角形，钝角三角形，直角三角形．
4．【分析】先提公因式3x，再利用完全平方公式分解因式．
【解答】解：3x3﹣6x2y+3xy2，
＝3x（x2﹣2xy+y2），
＝3x（x﹣y）2．
故选：D．
【点评】本题主要利用提公因式法、完全平方公式分解因式，熟记公式结构特点是解题的
第7页（共19页）关键．
5．【分析】 O 与 O 相切，包括内切和外切两种，内切时，O O ＝R﹣r，外切时，O O ＝R+r
1 2 1 2 1 2
（O O⊙表示圆⊙心距，R，r分别表示两圆的半径）．
1 2
【解答】解：两圆内切时，O O ＝R﹣r＝3﹣2＝1cm，
1 2
外切时，O O ＝R+r＝3+2＝5cm．故选C．
1 2
【点评】本题考查了由两圆位置关系求圆心距的方法．
6．【分析】首先根据非负数的性质，可列方程组求出x、y的值，进而可求出x﹣y的值．
【解答】解：由题意，得： ，
解得 ；
所以x﹣y＝4﹣（﹣3）＝7；
故选：C．
【点评】此题主要考查非负数的性质：非负数的和为0，则每个非负数必为0．
7．【分析】分别根据函数图象的实际意义可依次判断各个选项是否正确．
【解答】解：根据函数图象可知，张老师距离家先逐渐远去，有一段时间离家距离不变说明
他走的是一段弧线，之后逐渐离家越来越近直至回家，分析四个选项只有D符合题意．
故选：D．
【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能
从中获取准确的信息．
8．【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小
正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，主视
图右边的一列只有一行，说明俯视图中的右边一行只有一列，所以此几何体共有四个正方
体．故选B．
【点评】本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，
从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视
图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，
再检验是否符合题意．
9．【分析】因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，则留下的扇形的弧长＝
第8页（共19页）＝12 ，所以圆锥的底面半径r＝ ＝6cm，所以圆锥的高＝ ＝ ＝3
π
cm．
【解答】解：∵从半径为9cm的圆形纸片剪去 圆周的一个扇形，
∴剩下的扇形的角度＝360°× ＝240°，
∴留下的扇形的弧长＝ ＝12 ，
π
∴圆锥的底面半径r＝ ＝6cm，
∴圆锥的高＝ ＝ ＝3 cm．
故选：B．
【点评】主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，
（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解此类题目要根据
所构成的直角三角形的勾股定理作为等量关系求解．
10．【分析】根据方位角的概念及已知转向的角度结合三角函数的知识求解．
【解答】解：A点沿北偏东70°的方向走到B，则∠BAD＝70°，
B点沿北偏西20°的方向走到C，则∠EBC＝20°，
又∵∠BAF＝90°﹣∠DAB＝90°﹣70°＝20°，
∴∠1＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠CBE＝180°﹣70°﹣20°＝90°．
∵AC＝1000m，BC＝500m，
∴sin∠CAB＝500÷1000＝ ，
∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝∠BAD﹣∠CAB＝40°．
故小霞在营地A的北偏东40°方向上．
故选：C．
第9页（共19页）【点评】解答此类题需要从运动的角度，再结合三角函数的知识求解．本题求出∠ABC＝
90°是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．【分析】根据二次根式的意义，被开方数不能为负数，据此求解．
【解答】解：根据题意，得x≥0．
故答案为：x≥0．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．【分析】先将代数式配成完全平方式，然后再判断a、b的值．
【解答】解：x2﹣6x+b＝x2﹣6x+9﹣9+b＝（x﹣3）2+b﹣9＝（x﹣a）2﹣1，
∴a＝3，b﹣9＝﹣1，即a＝3，b＝8，故b﹣a＝5．
故答案为：5．
【点评】能够熟练运用完全平方公式，是解答此类题的关键．
13．【分析】观察图形可知，△PQR是△ABC绕点O旋转180°后得到的图形，即它们关于原点
成中心对称，所以N点坐标与M点坐标互为相反数．
【解答】解：观察图形可知，△PQR是△ABC绕点O旋转180°后得到的图形．
即它们关于原点成中心对称．
∵M（a，b），
∴N（﹣a，﹣b）．
故答案为：（﹣a，﹣b）．
【点评】关于原点对称的两个点的横坐标和纵坐标都互为相反数．
14．【分析】利用列举法求出四名同学排列的所有情况，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：四名同学排列共有：4×3×2×1＝24种，
九年级同学排在前面的情况为：
第10页（共19页）九1、九2、七、八；
九1、九2、八、七；
九2、九1、七、八；
九2、九1、八、七．
共4种；前两名都是九年级同学的概率是： ＝ ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
15．【分析】由于P点沿MN经边BC反弹到AB，那么∠PNB＝∠MNC，即∠BPN＝ ，可在
Rt△MNC中，用 和MC的长表示出NC，进而可求出BN的表达式；进一步可在Rαt△PBN
中，求出PB的长α．
【解答】解：由题意知：∠NPB＝∠NMC＝ ．
Rt△MNC中，MC＝n，∠NMC＝ ， α
∴NC＝MC•tan ＝n•tan ， α
∴BN＝BC﹣NCα＝m﹣n•αtan ．
Rt△BPN中，∠BPN＝ ， α
∵tan ＝ ， α
α
∴PB•tan ＝BN，
∴PB＝BN α ÷tan ＝ ．
α
故答案为： ．
【点评】此题是跨学科综合题，主要考查的是入射角等于反射角和解直角三角形的应用．
三、解答题（共8小题，满分55分）
16．【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的锐角三角函数值、二次根式化简、绝对值的化简4个
考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则，求得计算
第11页（共19页）结果．
【解答】解： ﹣4sin45°+（3﹣ ）0+|﹣4|
π
＝
＝5．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此
类题目的关键是熟练掌握零指数幂、特殊角的锐角三角函数值、二次根式、绝对值的化简
等考点的运算．
17．【分析】（1）众数是一组数据中出现最多的数值，中位数是将一组数据从小到大（或从大
到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），极差是数据中最大数与最
小数的差；
（2）求得5月中旬的日平均数，则参观总人数与预测人数相差数＝7000﹣184×日平均数．
【解答】解：（1）数据从小到大排列为：18，18，22，24，24，24，26，29，30，34，
24出现了3次，故众数为24，
第5个和第6个数均为24，故中位数是24，
极差＝34﹣18＝16；
（2） ＝7000﹣18.4×249＝7000﹣
4581.6＝2418.4（万）
答：世博会期间参观总人数与预测人数相差2418.4万．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要
的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．除此之外，本题
也考查了平均数、中位数、众数和极差的定义．
18．【分析】（1）根据所给的等式，进行推而广之即可；
（2）根据分式的加减运算法则进行证明；
（3）根据（2）中证明的结论，进行计算．
【解答】（1）解： ；
（2）证明：右边＝ ﹣ ＝ ﹣ ＝ ＝ ＝左边，
第12页（共19页）所以猜想成立．
（3）原式＝1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
＝1﹣
＝ ．
【点评】此题考查了异分母的分式相减的运算法则．
19．【分析】（1）利用等弧对等弦即可证明．
（2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD＝∠CBD再等量代换得出∠DBE＝∠DEB，从而
证明DB＝DE＝DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
【解答】（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴由垂径定理得：
∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD＝CD．
（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：由（1）知： ，
∴∠1＝∠2，
又∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴∠DBE＝∠3+∠4，∠DEB＝∠1+∠5，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠4＝∠5，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE．
由（1）知：BD＝CD
第13页（共19页）∴DB＝DE＝DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．（7分）
【点评】本题主要考查等弧对等弦，及确定一个圆的条件．
20．【分析】（1）A点在反比例函数上，三角形OAM的面积＝ ，三角形的面积已知，k可求出
来，从而确定解析式．
（2）三点在同一直线上，PA+PB最小，找A关于x的对称点C，连接BC，与x轴的交点，即
为所求的点．
【解答】解：（1）设A点的坐标为（a，b），则由 ，得ab＝2＝k，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）由条件知：两函数的交点为 ，
解得： ， ，
∴A点坐标为：（2，1），作出关于A点x轴对称点C点，连接BC，P点即是所求，
则点C（2，﹣1），
∵B（1，2），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
，
解得： ，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣3x+5，
当y＝0时，x＝ ，
∴点P（ ，0）．
第14页（共19页）【点评】本题考查反比例函数的综合运用，关键知道反比例函数上的点和坐标轴构成的面
积和k的关系，以及两个线段的和最短的问题．
21．【分析】（1）设甲工程队每天能铺设x米．根据甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程
队铺设250米所用的天数相同，列方程求解；
（2）设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队（1000﹣y）米．根据完成该项工程的工期
不超过10天，列不等式组进行分析．
【解答】解：（1）设甲工程队每天能铺设x米，则乙工程队每天能铺设（x﹣20）米．
根据题意得： ，
即350（x﹣20）＝250x，
∴7x﹣140＝5x
解得x＝70．
经检验，x＝70是原分式方程的解，且符合题意，
乙工程队每天能铺设：x﹣20＝70﹣20＝50米．
答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米．
（2）设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队（1000﹣y）米．
由题意，得
，
解得500≤y≤700．
所以分配方案有3种：
方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；
第15页（共19页）方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米；
方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，在工程问题中，
工作量＝工作效率×工作时间．在列分式方程解应用题的时候，也要注意进行检验．
22．【分析】（1）过E作EG∥BC交DC、AB分别于F、G，如图2，结合平行线分线段成比例定
理则可得： ，因为DE＝EP，可知所以DF＝FC，可求出EF和EG的值，再利用
AB∥CD，可得EM：EN＝EF：EG，进而可求得EM与EN的比值；
（2）作MH∥BC交AB于点H，先利用AB∥CD，可得∠MNH＝∠CMN，结合对顶角的性
质，易得∠MNH＝∠CMN＝∠DME＝90°﹣∠CDP，而∠DPC＝90°﹣∠CDP，那么∠DPC
＝∠MNH，再加上一对直角，和一组对应边（HM＝CD），可证两三角形△DPH和△MNH
全等，从而有DP＝MN．
【解答】（1）解：过E作直线GE平行于BC交DC，AB分别于点F，G，（如图2）
则 ， ，GF＝BC＝12，
∵DE＝EP，
∴DF＝FC，
∴ ，EG＝GF+EF＝12+3＝15，
∴ ；
（2）证明：正确，
作MH∥BC交AB于点H，（如图1）
则MH＝CB＝CD，∠MHN＝90°，
∵∠DCP＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DCP＝∠MHN，
∵NE是DP的垂直平分线，
∵∠MNH＝∠CMN＝∠DME＝90°﹣∠CDP，∠DPC＝90°﹣∠CDP，
∴∠DPC＝∠MNH，
∴△DPC≌△MNH，
∴DP＝MN．
第16页（共19页）【点评】本题利用了平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、平行线性质、全等三角
形的判定和性质等知识．关键是作合适的辅助线，使所求的线段在一个三角形中．
23．【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代
入其中，即可求出此二次函数的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、
BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；
（3）过P作y轴的平行线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而
可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出
关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△PAC的
最大面积及对应的P点坐标．
【解答】解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2﹣1，
∵抛物线经过点A（0，3），
∴3＝a（0﹣4）2﹣1， ；
∴抛物线为 ；
（2）相交．
证明：连接CE，则CE⊥BD，
当 时，x ＝2，x ＝6．
1 2
第17页（共19页）A（0，3），B（2，0），C（6，0），
对称轴x＝4，
∴OB＝2，AB＝ ＝ ，BC＝4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBC＝90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得CE＝ ，
∵ ＞2，
故抛物线的对称轴l与 C相交．
⊙
（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；
可求出AC的解析式为 ；
设P点的坐标为（m， ），
则Q点的坐标为（m， ）；
∴PQ＝﹣ m+3﹣（ m2﹣2m+3）＝﹣ m2+ m．
∵S△PAC ＝S△PAQ +S△PCQ ＝ ×（﹣ m2+ m）×6
＝﹣ （m﹣3）2+ ；
∴当m＝3时，△PAC的面积最大为 ；
此时，P点的坐标为（3， ）．
第18页（共19页）【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置
关系、图形面积的求法等知识．
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日期：2019/10/22 11:57:24；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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