文档内容
2011 年山东省济宁市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共30分）．
1．（3分）﹣1﹣2的结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
2．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a3﹣a2＝a C．a2•a3＝a6 D．（a2）3＝a6
3．（3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是（ ）
A．15cm B．16cm C．17cm D．16cm或17cm
4．（3分）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．2 C． D．
5．（3分）已知关于x的方程x2+bx+a＝0的一个根是﹣a（a≠0），则a﹣b值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
6．（3分）如图，AE∥BD，∠1＝120°，∠2＝40°，则∠C的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
7．（3分）在x2□2xy□y2的空格□中，分别填上“+”或“﹣”，在所得的代数式中，能构成完
全平方式的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 4 1 0 1 4 …
点A（x ，y ）、B（x ，y ）在函数的图象上，则当1＜x ＜2，3＜x ＜4时，y 与y 的大小关系
1 1 2 2 1 2 1 2
正确的是（ ）
A．y ＞y B．y ＜y C．y ≥y D．y ≤y
1 2 1 2 1 2 1 2
9．（3分）如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕
第1页（共19页）交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE＝4cm，则△ABD的周长是（ ）
A．22cm B．20cm C．18cm D．15cm
10．（3分）如图是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是（ ）
A．a＞c B．b＞c C．4a2+b2＝c2 D．a2+b2＝c2
二、填空题（每小题3分，共15分；只要求填写最后结果）
11．（3分）若反比例函数y＝ 在第一，三象限，则k的取值范围是 ．
12．（3分）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝ ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝4cm，以点C为圆心，以3cm长为
半径作圆，则 C与AB的位置关系是 ．
⊙
14．（3分）如图，观察每一个图中黑色正六边形的排列规律，则第10个图中黑色正六边形有
个．
15．（3分）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD＝BE，
AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则 ＝ ．
第2页（共19页）三、解答题（共55分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
16．（5分）化简： ÷（a﹣ ）．
17．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，
分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．
18．（6分）日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上
巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环
境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于
海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时 的速度向正北方向行驶，下午2时海检
船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处
与城市P的距离？
（参考数据： ， ， ， ）
19．（6分）某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级
200名学生民主投票，每人只能推荐一人（不设弃权票），选出了票数最多的甲、乙、丙三人．
投票结果统计如图一：
第3页（共19页）其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试．各项成绩如下表所示：
测试项目 测试成绩/分
甲 乙 丙
笔试 92 90 95
面试 85 95 80
图二是某同学根据上表绘制的一个不完全的条形图．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）补全图一和图二；
（2）请计算每名候选人的得票数；
（3）若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照2：5：3的比确定，计算三
名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？
20．（7分）如图，AB是 O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切 O于点E，交AM与于
点D，交BN于点C⊙，F是CD的中点，连接OF． ⊙
（1）求证：OD∥BE；
（2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．
21．（8分）“五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计划用160000元购进一批
家电，这批家电的进价和售价如下表：
类别 彩电 冰箱 洗衣机
进价 2000 1600 1000
第4页（共19页）售价 2200 1800 1100
（1）若全部资金用来购买彩电和洗衣机共100台，问商店可以购买彩电和洗衣机各多少台？
（2）若在现有资金160000元允许的范围内，购买上表中三类家电共100台，其中彩电台数
和冰箱台数相同，且购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数，请你算一算有几种进货方
案？哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？并求出最大利润．（利润
＝售价﹣进价）
22．（8分）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河
道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计
图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如
图）．两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）．
（1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短？
（2）水泵站建在距离大桥多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？
23．（10分）如图，第一象限内半径为2的 C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作 C
的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动⊙点，已知直线PA的解析式为：y＝kx+3． ⊙
（1）设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式．
（2）设 C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的
什么位⊙置时，都有△AMN∽△ABP．请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证
明；
（3）是否存在使△AMN的面积等于 的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请
说明理由．
第5页（共19页）第6页（共19页）2011 年山东省济宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共30分）．
1．【分析】根据有理数减法法则：减去一个数等于加上它的相反数，计算即可．
【解答】解：﹣1﹣2＝﹣1+（﹣2）＝﹣（1+2）＝﹣3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数减法，关键是正确把握法则．
2．【分析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法
则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2+a3＝a5，不是同类项不能合并，故本选项错误；
B、a3﹣a2＝a，不是同类项不能合并，故本选项错误；
C、a2•a3＝a5，故本选项错误；
D、（a2）3＝a6，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化
是解题的关键．
3．【分析】已知等腰三角形的两边长，但没指出哪个是腰哪个是底，故应该分两种情况进行分
析．
【解答】解：（1）当腰长是5cm时，周长＝5+5+6＝16cm；
（2）当腰长是6cm时，周长＝6+6+5＝17cm．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质的理解及运用，注意分类讨论思想的运用．
4．【分析】根据二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的
二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变即可解答．
【解答】解：A，∵ + 不能进行合并，故错误；
B，∵2+ 为不同的被开方数，不能直接相加，故错误；
C，∵3 ﹣ ＝2 ≠3，故错误；
D，∵ ﹣ ＝ ﹣ ＝ ，故正确；
故选：D．
第7页（共19页）【点评】本题考查二次根式的加减法，属于基础题，关键是掌握二次根式相加减，先把各个
二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相
加减，根式不变．
5．【分析】由一元二次方程的根与系数的关系x •x ＝ 、以及已知条件求出方程的另一根是
1 2
﹣1，然后将﹣1代入原方程，求a﹣b的值即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2+bx+a＝0的一个根是﹣a（a≠0），
∴x •（﹣a）＝a，即x ＝﹣1，
1 1
∴1﹣b+a＝0，
∴a﹣b＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．解答该题时，还借用了一元二次方程的根与
系数的关系x •x ＝ ．
1 2
6．【分析】由AE∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠CBD的度数，又由对顶角相
等，即可得∠CDB的度数，由三角形内角和定理即可求得∠C的度数．
【解答】解：∵AE∥BD，
∴∠CBD＝∠1＝120°，
∵∠BDC＝∠2＝40°，∠C+∠CBD+∠CDB＝180°，
∴∠C＝20°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质与三角形内角和定理．注意两直线平行，同位角相等．
7．【分析】让填上“+”或“﹣”后成为完全平方公式的情况数除以总情况数即为所求的概
率．
【解答】解：能够凑成完全平方公式，则2xy前可是“﹣”，也可以是“+”，但y2前面的符
号一定是：“+”，
此题总共有（﹣，﹣）、（+，+）、（+，﹣）、（﹣，+）四种情况，能构成完全平方公式的有2种，
所以概率是 ．
故选：C．
【点评】此题考查完全平方公式与概率的综合应用，注意完全平方公式的形式．用到的知
第8页（共19页）识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；a2±2ab+b2能构成完全平方式．
8．【分析】由表格可知，当1＜x＜2时，0＜y＜1，当3＜x＜4时，1＜y＜4，由此可判断y 与y
1 2
的大小．
【解答】解：∵当1＜x＜2时，函数值y小于1，当3＜x＜4时，函数值y大于1，
∴y ＜y ．
1 2
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是由表格判断自变量取值范围内，
函数值的大小．
9．【分析】由图形和题意可知AD＝DC，AE＝CE＝4，AB+BC＝22，△ABD的周长＝
AB+AD+BD＝AB+CD+BC﹣CD＝AB+BC，即可求出周长为22．
【解答】解：∵AE＝4cm，
∴AC＝8，
∵△ABC的周长为30cm，
∴AB+BC＝22，
∵△ABD的周长＝AB+AD+BD，AD＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BC﹣CD＝AB+BC＝22
故选：A．
【点评】本题主要考查翻折变换的性质、三角形的周长，关键在于求出AB+BC的长度．
10．【分析】由三视图知道这个几何体是圆锥，圆锥的高是b，母线长是c，底面圆的半径是a，
刚好组成一个以c为斜边的直角三角形．
【解答】解：根据勾股定理，a2+b2＝c2．
故选：D．
【点评】本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了圆锥的高，母线和底面半
径的关系．
二、填空题（每小题3分，共15分；只要求填写最后结果）
11．【分析】根据反比例函数在第一，三象限得到k﹣1＞0，求解即可．
【解答】解：根据题意，得k﹣1＞0，
解得k＞1．
故答案为：k＞1．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质：当k＞0时，函数图象位于第一、三象限，当k＜0
时，函数图象位于第二、四象限．
第9页（共19页）12．【分析】将二次函数y＝x2﹣4x+5的右边配方即可化成y＝（x﹣h）2+k的形式．
【解答】解：y＝x2﹣4x+5，
y＝x2﹣4x+4﹣4+5，
y＝x2﹣4x+4+1，
y＝（x﹣2）2+1．
故答案为：y＝（x﹣2）2+1．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y＝ax2+bx+c，顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
两根式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）．
1 2
13．【分析】先求出点C到直线AB的距离，比较与3的大小，从而得出答案．
【解答】解：过C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∵BC＝4cm，
∴CD＝2cm，
∵2＜3，
∴ C与直线AB相交．
故⊙答案为：相交．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，解题的关键是判断圆的半径和圆心到直线的距
离．
14．【分析】从图案分析可知，第1个图中黑色正六边形的个数都是1的平方，第2个图中黑
色正六边形的个数都是2的平方，第3个图中黑色正六边形的个数都是3的平方，依此类
推可得规律，那么第10个图中黑色正六边形个数可求．
【解答】解：第1个图中黑色正六边形的个数是：12＝1，
第2个图中黑色正六边形的个数是：22＝4，
第3个图中黑色正六边形的个数是：32＝9，
第10个图中黑色正六边形的个数是：102＝100．
故答案为：100．
【点评】本题主要考查图形的变化规律：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什
第10页（共19页）么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观
察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
15．【分析】首先根据题意推出△CAE≌△BCD，可知∠DCB＝∠CAE，因此∠AFG＝
∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠DCB＝60°，所以∠FAG＝30°，即可推出结论．
【解答】解：∵AD＝BE，
∴CE＝BD，
∵等边三角形ABC，
∴△CAE≌△DCB，
∴∠DCB＝∠CAE，
∴∠AFG＝∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠DCB＝60°，
∵AG⊥CD，
∴∠FAG＝30°，
∴FG：AF＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三
角形的性质，解题的关键在于根据题意推出△CAE≌△DCB和∠AFG＝∠CAF+∠ACF＝
∠ACF+∠DCB＝60°．
三、解答题（共55分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
16．【分析】首先通分，进行减法运算，然后把除法转化为乘法，再进行化简即可
【解答】解：原式＝
＝
＝ ．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，分式的化简，解题的关键在于掌握好分式的混合
运算法则．
17．【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形，即可得 AD∥BC，OB＝OD，易证得
△OED≌△OFB，可得DE＝BF，即可证得四边形BEDF是平行四边形，又由EF⊥BD，即
可证得平行四边形BEDF是菱形．
第11页（共19页）【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∵∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB，
∴△OED≌△OFB（AAS），
∴DE＝BF，
又∵ED∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴ ▱BEDF是菱形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定以及全等三角形的判定与性质．
此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
18．【分析】过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，设PC＝x海里，用含有x的式子表示AC，BC
的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答．
【解答】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC＝x海里
在Rt△APC中，∵tanA＝ ，
∴AC＝ ＝
在Rt△PCB中，∵tanB＝ ，
∴BC＝ ＝
∵从上午9时到下午2时要经过五个小时
∴AC+BC＝AB＝21×5，
∴ + ＝21×5，
解得x＝60
∵sinB＝ ，
∴PB＝ ＝ ＝60× ＝100（海里）
∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里．
故答案为：100海里．
第12页（共19页）【点评】本题考查方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一
般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
19．【分析】（1）由图1可看出，乙的得票所占的百分比为1减去“丙+甲+其他”的百分比；
（2）由题意可分别求得三人的得票数，甲的得票数＝200×34%，乙的得票数＝200×30%，丙
的得票数＝200×28%；
（3）由题意可分别求得三人的得分，比较得出结论．
【解答】解：（1）
（2）甲的票数是：200×34%＝68（票），
乙的票数是：200×30%＝60（票），
丙的票数是：200×28%＝56（票）；
（3）甲的平均成绩： ，
乙的平均成绩： ，
丙的平均成绩： ，
∵乙的平均成绩最高，
第13页（共19页）∴应该录取乙．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及加权平均数的求法．重点考查了理解统
计图的能力和平均数的计算能力．
20．【分析】（1）连接OE，由于AM、DE是 O的切线，∠OAD＝∠OED＝90°，那么DA＝
⊙
DE，而OD＝OD，于是可证△AOD≌△EOD，从而有∠AOD＝∠EOD＝ ∠AOE，根据圆
周角定理有∠ABE＝ ∠AOE，那么∠AOD＝∠ABE，从而有OD∥BE；
（ 2 ） 连 接 OC ， 由 （ 1 ） 得 ∠ OCB ＝ ∠ OCE ， 而 AM∥ BN ， 于 是 可 得
∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE＝180°，再由（1）得∠ADO＝∠EDO，易证∠EDO+∠OCE
＝90°，从而可知△OCD是直角三角形，而F是斜边上的中点，于是OF＝ CD．
【解答】解：（1）证明：连接OE，
∵AM、DE是 O的切线，
∴DA＝DE，∠⊙OAD＝∠OED＝90°，
又∵OD＝OD，
在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD，
∴∠AOD＝∠EOD＝ ∠AOE，
∵∠ABE＝ ∠AOE，
∴∠AOD＝∠ABE，
∴OD∥BE；
（2）OF＝ CD．
理由：连接OC，
∵BC、CE是 O的切线，
∴∠OCB＝∠⊙OCF，
第14页（共19页）∵AM∥BN，
∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE＝180°，
由（1）得∠ADO＝∠EDO，
∴2∠EDO+2∠OCE＝180°，
即∠EDO+∠OCE＝90°，
在Rt△DOC中，
∵F是DC的中点，
∴OF＝ CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、平行线的判定、直角三角形斜
边的中线等于斜边的一半．解题的关键是连接OE、OC，构造直角三角形．
21．【分析】（1）根据题意商店购买彩电x台，则购买洗衣机（100﹣x）台，列出一元一次方程，
解方程即可得出答案；
（2）根据题意设购买彩电和冰箱a台，则购买洗衣机为（100﹣2a）台，列出不等式，解不等
式得共有四种进货方案，进而计算出当a＝37时，获得的利润最大．
【解答】解：（1）设商店购买彩电x台，则购买洗衣机（100﹣x）台．
由题意，得2000x+1000（100﹣x）＝160000，
解得x＝60，
则洗衣机为：100﹣x＝40（台），
所以，商店可以购买彩电60台，洗衣机40台．（3分）
（2）设购买彩电和冰箱各a台，则购买洗衣机为（100﹣2a）台．
根据题意，得2000a+1600a+1000（100﹣2a）≤160000，
∴整理得：4a≤150，
a≤37.5．
∵100﹣2a≤a，
第15页（共19页）∴33 ≤a，
解得 ．因为a是整数，所以a＝34、35、36、37．
因此，共有四种进货方案．（6分）
设商店销售完毕后获得的利润为w元，
则w＝（2200﹣2000）a+（1800﹣1600）a+（1100﹣1000）（100﹣2a），
＝200a+10000，（7分）
∵200＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝37时，w最大值 ＝200×37+10000＝17400，（8分）
所以，商店获得的最大利润为17400元．
【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变
量的取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题．
22．【分析】（1）为了使所修水泵站的所用输水管道最短，利用轴对称的方法画图可求；
（2）所求点要满足两个条件，到张村和李村的距离相等，可以作连接两村线段的垂直平分
线，与x轴的交点即为所求．
【解答】解：（1）作点B关于x轴的对称点E，连接AE，则点E为（12，﹣7）
设直线AE的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），则
解得 ，
当y＝0时，x＝5．
所以，水泵站建在距离大桥5千米的地方，可使所用输水管道最短．
（2）作线段AB的垂直平分线GF，交AB于点F，交x轴于点G
设点G的坐标为（x，0）
在Rt△AGD中，AG2＝AD2+DG2＝32+（x﹣2）2
在Rt△BCG中，BG2＝BC2+GC2＝72+（12﹣x）2
∵AG＝BG，
∴32+（x﹣2）2＝72+（12﹣x）2
第16页（共19页）解得x＝9．
所以，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，线段的垂直平分线，轴对称的作图方
法．关键是明确每条线上点的性质，合理地选择．
23．【分析】（1）由切线的性质知∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，所以可以判定四边形OADB
是矩形；根据 O的半径是2求得直径AD＝4，从而求得点P的坐标，将其代入直线方程y
＝kx+3即可知⊙p变化的函数关系式；
（2）连接DN．∵直径所对的圆周角是直角，∴∠AND＝90°，∴根据图示易证∠AND＝
∠ABD；然后根据同弧所对的圆周角相等推知∠ADN＝∠AMN，再由等量代换可知∠ABD
＝∠AMN；最后利用相似三角形的判定定理AA证明△AMN∽△ABP；
（3）存在．把x＝0代入y＝kx+3得y＝3，即OA＝BD＝3，然后由勾股定理求得AB＝5；又
由相似三角形的相似比推知相似三角形的面积比．分两种情况进行讨论： 当点P在B
点上方时，由相似三角形的面积比得到k2﹣4k﹣2＝0，解关于k的一元二次①方程； 当点
P在B点下方时，由相似三角形的面积比得到k2+1＝﹣（4k+3），解关于k的一元二②次方程．
【解答】解：（1）∵y轴和直线l都是 C的切线，
∴OA⊥AD，BD⊥AD； ⊙
又∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，
∴四边形OADB是矩形；
∵ C的半径为2，
∴⊙AD＝OB＝4；
∵点P在直线l上，
∴点P的坐标为（4，p）；
第17页（共19页）又∵点P也在直线AP上，
∴p＝4k+3；
（2）连接DN．
∵AD是 C的直径，
∴∠AND⊙＝90°，
∵∠ADN＝90°﹣∠DAN，∠ABD＝90°﹣∠DAN，
∴∠ADN＝∠ABD，
又∵∠ADN＝∠AMN，
∴∠ABD＝∠AMN
∵∠MAN＝∠BAP
∴△AMN∽△ABP
（3）存在．
理由：把x＝0代入y＝kx+3得：y＝3，即OA＝BD＝3，
AB＝ ，
∵S△ABD ＝ AB•DN＝ AD•DB
∴DN＝ ＝ ，
∴AN2＝AD2﹣DN2＝ ，
∵△AMN∽△ABP，
∴ ，即
当点P在B点上方时，
∵AP2＝AD2+PD2＝AD2+（PB﹣BD）2＝42+（4k+3﹣3）2＝16（k2+1），
或AP2＝AD2+PD2＝AD2+（BD﹣PB）2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），
S△ABP ＝ PB•AD＝ （4k+3）×4＝2（4k+3），
第18页（共19页）∴ ，
整理得：k2﹣4k﹣2＝0，
解得k ＝2+ ，k ＝2﹣
1 2
当点P在B点下方时，
∵AP2＝AD2+PD2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），S△ABP ＝ PB•AD＝ [﹣（4k+3）]×4＝﹣
2（4k+3）
∴
化简得：k2+1＝﹣（4k+3），解得：k＝﹣2，
综合以上所得，当k＝2± 或k＝﹣2时，△AMN的面积等于
【点评】本题主要考查了梯形的性质，矩形的判定，相似三角形的判定和性质以及一次函
数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．
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日期：2019/10/22 11:56:52；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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