文档内容
2019年山东省济宁市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求
1．（3分）下列四个实数中，最小的是（ ）
A．﹣ B．﹣5 C．1 D．4
2．（3分）如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数
是（ ）
A．65° B．60° C．55° D．75°
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）以下调查中，适宜全面调查的是（ ）
A．调查某批次汽车的抗撞击能力
B．调查某班学生的身高情况
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．调查济宁市居民日平均用水量
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． ＝﹣3 B． ＝ C． ＝±6 D．﹣ ＝﹣
0.6
6．（3分）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G
网络．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G
网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x
兆数据，依题意，可列方程是（ ）
A． ﹣ ＝45 B． ﹣ ＝45
1C． ﹣ ＝45 D． ﹣ ＝45
7．（3分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，
该几何体的表面展开图是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，
得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2
9．（3分）如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将
△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y＝ 的图象恰好经过
A′B的中点D，则k的值是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
210．（3分）已知有理数a≠1，我们把 称为a的差倒数，如：2的差倒数是 ＝﹣
1，﹣1的差倒数是 ＝ ．如果a＝﹣2，a是a的差倒数，a是a的差倒数，a
1 2 1 3 2 4
是a的差倒数……依此类推，那么a+a+…+a 的值是（ ）
3 1 2 100
A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是 ．
12．（3分）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 ．
13．（3分）已知点P（x，y）位于第四象限，并且x≤y+4（x，y为整数），写出一个符
合上述条件的点P的坐标 ．
14．（3分）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点
D，交OA于点E，已知BC＝ ，AC＝3．则图中阴影部分的面积是 ．
15．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
则不等式ax2+mx+c＞n的解集是 ．
三、解答题：本大题共7小题，共55分，
316．（6分）计算：6sin60°﹣ +（ ）0+| ﹣2018|
17．（7分）某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，
调查结果按性别整理如下：
女生阅读时间人数统计表
阅读时间t（小时） 人数 占女生人数百分比
0≤t＜0.5 4 20%
0.5≤t＜1 m 15%
1≤t＜1.5 5 25%
1.5≤t＜2 6 n
2≤t＜2.5 2 10%
根据图表解答下列问题：
（1）在女生阅读时间人数统计表中，m＝ ，n＝ ；
（2）此次抽样调查中，共抽取了 名学生，学生阅读时间的中位数在 时
间段；
（3）从阅读时间在2～2.5小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰
好抽到男女生各一名的概率是多少？
18．（7分）如图，点M和点N在∠AOB内部．
（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等
（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请说明作图理由．
419．（8分）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速
度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）
与小王的行驶时间x（h）之间的函数关系．
请你根据图象进行探究：
（1）小王和小李的速度分别是多少？
（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是 的中点，E为OD延长线上一
点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若DH＝9，tanC＝ ，求直径AB的长．
21．（8分）阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x，x，
1 2
5（1）若x＜x，都有f（x）＜f（x），则称f（x）是增函数；
1 2 1 2
（2）若x＜x，都有f（x）＞f（x），则称f（x）是减函数．
1 2 1 2
例题：证明函数f（x）＝ （x＞0）是减函数．
证明：设0＜x＜x，
1 2
f（x）﹣f（x）＝ ﹣ ＝ ＝ ．
1 2
∵0＜x＜x，
1 2
∴x﹣x＞0，xx＞0．
2 1 1 2
∴ ＞0．即f（x）﹣f（x）＞0．
1 2
∴f（x）＞f（x）．
1 2
∴函数f（x）═ （x＞0）是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数f（x）＝ +x（x＜0），
f（﹣1）＝ +（﹣1）＝0，f（﹣2）＝ +（﹣2）＝﹣
（1）计算：f（﹣3）＝ ，f（﹣4）＝ ；
（2）猜想：函数f（x）＝ +x（x＜0）是 函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
22．（11分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩
形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．
（1）求线段CE的长；
（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，
设AM＝x，DN＝y．
①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；
②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，
请说明理由．
672019年山东省济宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求
1．（3分）下列四个实数中，最小的是（ ）
A．﹣ B．﹣5 C．1 D．4
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对
值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数大小比较的方法，可得
﹣5＜﹣ ＜1＜4，
所以四个实数中，最小的数是﹣5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（3分）如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数
是（ ）
A．65° B．60° C．55° D．75°
【分析】首先证明a∥b，推出∠4＝∠5，求出∠5即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠4＝∠5，
∵∠5＝180°﹣∠3＝55°，
∴∠4＝55°，
故选：C．
8【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常
考题型．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边
图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
4．（3分）以下调查中，适宜全面调查的是（ ）
A．调查某批次汽车的抗撞击能力
B．调查某班学生的身高情况
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．调查济宁市居民日平均用水量
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调
查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A、调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故A选项错误；
B、调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故B选项正确；
C、调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故C选项错误；
D、调查济宁市居民日平均用水量，适于抽样调查，故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考
9查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的
意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选
用普查．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． ＝﹣3 B． ＝ C． ＝±6 D．﹣ ＝﹣
0.6
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分析得出答案．
【解答】解：A、 ＝3，故此选项错误；
B、 ＝﹣ ，故此选项错误；
C、 ＝6，故此选项错误；
D、﹣ ＝﹣0.6，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的性质，正确掌握相关性质是解题
关键．
6．（3分）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G
网络．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G
网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x
兆数据，依题意，可列方程是（ ）
A． ﹣ ＝45 B． ﹣ ＝45
C． ﹣ ＝45 D． ﹣ ＝45
【分析】直接利用5G网络比4G网络快45秒得出等式进而得出答案．
【解答】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是：
﹣ ＝45．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等式是解题关键．
7．（3分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，
该几何体的表面展开图是（ ）
10A． B．
C． D．
【分析】由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面．
【解答】解：选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；
选项B能折叠成原几何体的形式；
选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．
故选：B．
【点评】本题主要考查了几何体的展开图．解题时勿忘记正四棱柱的特征及正方体展开
图的各种情形．注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力．
8．（3分）将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，
得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2
【分析】先把y＝x2﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点
（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣
2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），
把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移 1个单位长度得到点的坐标为
（4，﹣2），
所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不
11变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点
平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出
解析式．
9．（3分）如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将
△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y＝ 的图象恰好经过
A′B的中点D，则k的值是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，
求出点A′坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．
【解答】解：作A′H⊥y轴于H．
∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，
∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠A′BH，
∵BA＝BA′，
∴△AOB≌△BHA′（AAS），
∴OA＝BH，OB＝A′H，
∵点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），
∴OA＝2，OB＝6，
12∴BH＝OA＝2，A′H＝OB＝6，
∴OH＝4，
∴A′（6，4），
∵BD＝A′D，
∴D（3，5），
∵反比例函数y＝ 的图象经过点D，
∴k＝15．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣旋转等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压
轴题．
10．（3分）已知有理数a≠1，我们把 称为a的差倒数，如：2的差倒数是 ＝﹣
1，﹣1的差倒数是 ＝ ．如果a＝﹣2，a是a的差倒数，a是a的差倒数，a
1 2 1 3 2 4
是a的差倒数……依此类推，那么a+a+…+a 的值是（ ）
3 1 2 100
A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5
【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以﹣2， ， 依次循环，且﹣2+ +
＝﹣ ，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．
【解答】解：∵a＝﹣2，
1
∴a＝ ＝ ，a＝ ＝ ，a＝ ＝﹣2，……
2 3 4
∴这个数列以﹣2， ， 依次循环，且﹣2+ + ＝﹣ ，
∵100÷3＝33…1，
∴a+a+…+a ＝33×（﹣ ）﹣2＝﹣ ＝﹣7.5，
1 2 100
故选：A．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的
13因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是 ﹣ 2 ．
【分析】根据根与系数的关系得出xx＝ ＝﹣2，即可得出另一根的值．
1 2
【解答】解：∵x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，
∴xx＝ ＝﹣2，
1 2
∴1×x＝﹣2，
2
则方程的另一个根是：﹣2，
故答案为﹣2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解
决问题的关键．
12．（3分）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 140° ．
【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每
一个内角的度数．
【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，
则每个内角的度数＝ ＝140°．
故答案为：140°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°•（n﹣2），比较简单，解答本题
的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．
13．（3分）已知点P（x，y）位于第四象限，并且x≤y+4（x，y为整数），写出一个符
合上述条件的点P的坐标 （ 1 ，﹣ 2 ）（答案不唯一） ．
【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点得出x，y的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（x，y）位于第四象限，并且x≤y+4（x，y为整数），
∴x＞0，y＜0，
∴当x＝1时，1≤y+4，
14解得：0＞y≥﹣3，
∴y可以为：﹣2，
故写一个符合上述条件的点P的坐标可以为：（1，﹣2）（答案不唯一）．
故答案为：（1，﹣2）（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确把握横纵坐标的符号是解题关键．
14．（3分）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点
D，交OA于点E，已知BC＝ ，AC＝3．则图中阴影部分的面积是 ．
【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，再证明BD＝BC，进而由AD＝AB﹣BD可求出AD
的长度；利用特殊角的锐角三角函数可求出∠A的度数，则圆心角∠DOA的度数可求出，
在直角三角形ODA中求出OD的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC＝ ，AC＝3．
∴AB＝ ＝2 ，
∵BC⊥OC，
∴BC是圆的切线，
∵⊙O与斜边AB相切于点D，
∴BD＝BC，
∴AD＝AB﹣BD＝2 ﹣ ＝ ；
在Rt△ABC中，∵sinA＝ ＝ ＝ ，
∴∠A＝30°，
∵⊙O与斜边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°﹣∠A＝60°，
∵ ＝tanA＝tan30°，
15∴ ＝ ，
∴OD＝1，
∴S ＝ ＝ ．
阴影
故答案是： ．
【点评】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，熟记和圆有关
的各种性质定理是解题的关键．
15．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
则不等式ax2+mx+c＞n的解集是 x ＜﹣ 3 或 x ＞ 1 ．
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的下
方，
∴不等式ax2+mx+c＞n的解集为x＜﹣3或x＞1．
故答案为：x＜﹣3或x＞1．
16【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的
解集是解题的关键．
三、解答题：本大题共7小题，共55分，
16．（6分）计算：6sin60°﹣ +（ ）0+| ﹣2018|
【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简4个考点．
在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝6× ，
＝2019．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（7分）某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，
调查结果按性别整理如下：
女生阅读时间人数统计表
阅读时间t（小时） 人数 占女生人数百分比
0≤t＜0.5 4 20%
0.5≤t＜1 m 15%
1≤t＜1.5 5 25%
1.5≤t＜2 6 n
2≤t＜2.5 2 10%
根据图表解答下列问题：
（1）在女生阅读时间人数统计表中，m＝ 3 ，n＝ 30 % ；
（2）此次抽样调查中，共抽取了 5 0 名学生，学生阅读时间的中位数在 1 ≤ t ＜ 1. 5
时间段；
（3）从阅读时间在2～2.5小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰
好抽到男女生各一名的概率是多少？
17【分析】（1）由0≤t＜0.5时间段的人数及其所占百分比可得女生人数，再根据百分
比的意义求解可得；
（2）将男女生人数相加可得总人数，再根据中位数的概念求解可得；
（3）利用列举法求得所有结果的个数，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：（1）女生总人数为4÷20%＝20（人），
∴m＝20×15%＝3，n＝ ×100%＝30%，
故答案为：3，30%；
（2）学生总人数为20+6+5+12+4+3＝50（人），
这组数据的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据均落在1≤t＜1.5
范围内，
∴学生阅读时间的中位数在1≤t＜1.5时间段，
故答案为：50，1≤t＜1.5；
（3）学习时间在2～2.5小时的有女生2人，男生3人．
共有20种可能情况，则恰好抽到男女各一名的概率是 ＝ ．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图
获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
18．（7分）如图，点M和点N在∠AOB内部．
（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等
（保留作图痕迹，不写作法）；
18（2）请说明作图理由．
【分析】（1）根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图；
（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质解答．
【解答】解：（1）如图，点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等；
（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点
的距离相等．
【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本
作图的一般步骤、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
19．（8分）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速
度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）
与小王的行驶时间x（h）之间的函数关系．
请你根据图象进行探究：
（1）小王和小李的速度分别是多少？
（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
19【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；
（2）根据（1）中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由图可得，
小王的速度为：30÷3＝10km/h，
小李的速度为：（30﹣10×1）÷1＝20km/h，
答：小王和小李的速度分别是10km/h、20km/h；
（2）小李从乙地到甲地用的时间为：30×20＝1.5h，
当小李到达甲地时，两人之间的距离为：10×1.5＝15km，
∴点C的坐标为（1.5，15），
设线段BC所表示的y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，
，得 ，
即线段BC所表示的y与x之间的函数解析式是y＝30x﹣30（1≤x≤1.5）．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质
和数形结合的思想解答．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是 的中点，E为OD延长线上一
点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若DH＝9，tanC＝ ，求直径AB的长．
20【分析】（1）根据垂径定理得到OE⊥AC，求得∠AFE＝90°，求得∠EAO＝90°，于是
得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠ODB＝∠C，求得tanC＝tan∠ODB＝
＝ ，设HF＝3x，DF＝4x，根据勾股定理得到DF＝ ，HF＝ ，根据相似三角形的
性质得到CF＝ ＝ ，求得AF＝CF＝ ，设OA＝OD＝x，根据勾股定理即可
得到结论．
【解答】解：（1）∵D是 的中点，
∴OE⊥AC，
∴∠AFE＝90°，
∴∠E+∠EAF＝90°，
∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，
∴∠CAE＝∠AOE，
∴∠E+∠AOE＝90°，
∴∠EAO＝90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）∵∠C＝∠B，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴tanC＝tan∠ODB＝ ＝ ，
∴设HF＝3x，DF＝4x，
∴DH＝5x＝9，
∴x＝ ，
∴DF＝ ，HF＝ ，
∵∠C＝∠FDH，∠DFH＝∠CFD，
21∴△DFH∽△CFD，
∴ ＝ ，
∴CF＝ ＝ ，
∴AF＝CF＝ ，
设OA＝OD＝x，
∴OF＝x﹣ ，
∵AF2+OF2＝OA2，
∴（ ）2+（x﹣ ）2＝x2，
解得：x＝10，
∴OA＝10，
∴直径AB的长为20．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和
性质，正确的识别图形是解题的关键．
21．（8分）阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x，x，
1 2
（1）若x＜x，都有f（x）＜f（x），则称f（x）是增函数；
1 2 1 2
（2）若x＜x，都有f（x）＞f（x），则称f（x）是减函数．
1 2 1 2
例题：证明函数f（x）＝ （x＞0）是减函数．
证明：设0＜x＜x，
1 2
22f（x）﹣f（x）＝ ﹣ ＝ ＝ ．
1 2
∵0＜x＜x，
1 2
∴x﹣x＞0，xx＞0．
2 1 1 2
∴ ＞0．即f（x）﹣f（x）＞0．
1 2
∴f（x）＞f（x）．
1 2
∴函数f（x）═ （x＞0）是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数f（x）＝ +x（x＜0），
f（﹣1）＝ +（﹣1）＝0，f（﹣2）＝ +（﹣2）＝﹣
（1）计算：f（﹣3）＝ ﹣ ，f（﹣4）＝ ﹣ ；
（2）猜想：函数f（x）＝ +x（x＜0）是 增 函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；
（2）由（1）结论可得；
（3）根据题目中例子的证明方法可以证明（1）中的猜想成立．
【解答】解：（1）∵f（x）＝ +x（x＜0），
∴f（﹣3）＝ ﹣3＝﹣ ，f（﹣4）＝ ﹣4＝﹣
故答案为：﹣ ，﹣
（2）∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＞f（﹣3）
∴函数f（x）＝ +x（x＜0）是增函数
故答案为：增
（3）设x＜x＜0，
1 2
23∵f（x）﹣f（x）＝ +x﹣ ﹣x＝（x﹣x）（1﹣ ）
1 2 1 2 1 2
∵x＜x＜0，
1 2
∴x﹣x＜0，xx＜0，
1 2 1+ 2
∴f（x）﹣f（x）＜0
1 2
∴f（x）＜f（x）
1 2
∴函数f（x）＝ +x（x＜0）是增函数
【点评】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键
是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
22．（11分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩
形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．
（1）求线段CE的长；
（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，
设AM＝x，DN＝y．
①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；
②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，
请说明理由．
【分析】（1）由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．在
Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
（2）①证明△ADM∽△GMN，可得 ＝ ，由此即可解决问题．
②存在．有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时．如图3﹣2中，当MN＝DN时，作
MH⊥DG于H．分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
24∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，
∴∠B＝∠BCD＝90°，
由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．
在Rt△ABF中，BF＝ ＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，
在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴EC＝3．
（2）①如图2中，
∵AD∥CG，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝16，
在Rt△ABG中，AG＝ ＝8 ，
25在Rt△DCG中，DG＝ ＝10，
∵AD＝DG＝10，
∴∠DAG＝∠AGD，
∵∠DMG＝∠DMN+∠NMG＝∠DAM+∠ADM，∠DMN＝∠DAM，
∴∠ADM＝∠NMG，
∴△ADM∽△GMN，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴y＝ x2﹣ x+10．
当x＝4 时，y有最小值，最小值＝2．
②存在．有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时，
∵∠MDN＝∠GMD，∠DMN＝∠DGM，
∴△DMN∽△DGM，
∴ ＝ ，
∵MN＝DM，
∴DG＝GM＝10，
∴x＝AM＝8 ﹣10．
如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH⊥DG于H．
26∵MN＝DN，
∴∠MDN＝∠DMN，
∵∠DMN＝∠DGM，
∴∠MDG＝∠MGD，
∴MD＝MG，
∵BH⊥DG，
∴DH＝GH＝5，
由△GHM∽△GBA，可得 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴MG＝ ，
∴x＝AM＝8 ﹣ ＝ ．
综上所述，满足条件的x的值为8 ﹣10或 ．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似
三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构
建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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