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2019年山东省潍坊市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请
把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分）
1．（3分）2019的倒数的相反数是（ ）
A．﹣2019 B．﹣ C． D．2019
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a×2a＝6a B．a8÷a4＝a2
C．﹣3（a﹣1）＝3﹣3a D．（ a3）2＝ a9
3．（3分）“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程．截止去年9月底，
各地已累计完成投资1.002×1011元．数据1.002×1011可以表示为（ ）
A．10.02亿 B．100.2亿 C．1002亿 D．10020亿
4．（3分）如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新
几何体的三视图描述正确的是（ ）
A．俯视图不变，左视图不变
B．主视图改变，左视图改变
C．俯视图不变，主视图不变
D．主视图改变，俯视图改变
5．（3分）利用教材中时计算器依次按键下：
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ）
A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9
6．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax） B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2 D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2
17．（3分）小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下：
成绩（分） 94 95 97 98 100
周数（个） 1 2 2 4 1
这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是（ ）
A．97.5 2.8 B．97.5 3
C．97 2.8 D．97 3
8．（3分）如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．
②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接
CE，DE．
③连接OE交CD于点M．
下列结论中错误的是（ ）
A．∠CEO＝∠DEO B．CM＝MD
C．∠OCD＝∠ECD D．S ＝ CD•OE
四边形OCED
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设
运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
2C． D．
10．（3分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为
（ ）
A．m＝﹣2 B．m＝3 C．m＝3或m＝﹣2 D．m＝﹣3或m＝2
11．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接
AC交DE于点F．若sin∠CAB＝ ，DF＝5，则BC的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
12．（3分）抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝
0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6
二、填空题（本题共6小题，满分18分。只要求填写最后结果，每小题填对得3分。）
13．（3分）若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝ ．
14．（3分）当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是 ．
15．（3分）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝ （x＞0）与y＝
（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为 ．
316．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为
DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝ ．
17．（3分）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，
当△PAB的周长最小时，S ＝ ．
△PAB
18．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半
径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l，l，l，l，…都与x轴垂直，
0 1 2 3
相邻两直线的间距为l，其中l与y轴重合若半径为2的圆与l在第一象限内交于点P，
0 1 1
半径为3的圆与l在第一象限内交于点P，…，半径为n+1的圆与l在第一象限内交于点
2 2 n
P，则点P的坐标为 ．（n为正整数）
n n
4三、解答题（本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。）
19．（5分）己知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x＞y，求k的取值范围．
20．（6分）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步
行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB
＝200米，坡度为1： ；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，
其坡度为1：4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）
21．（9分）如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有
对应的数字2，3，4，5．小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一次停止后，
小明将指针所指数字记录如下：
次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次
数字 3 5 2 3 3 4 3 5
（1）求前8次的指针所指数字的平均数．
（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均数
不小于3.3，且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；
若不可能，说明理由．（指针指向盘面等分线时为无效转次．）
522．（10分）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，
交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．
（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．
（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．
23．（10分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．
与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了
1元，批发销售总额比去年增加了20%．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是
多少元？
（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41
元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，
设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最
大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．）
24．（13分）如图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线上，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心将菱形
ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′，B′C′交对角线AC于点M，
C′D′交直线l于点N，连接MN．
（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．
（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接
EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．
625．（13分）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的
中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．
（1）求圆心M的坐标；
（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；
（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于
点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝4 时，求点P的坐标．
72019年山东省潍坊市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请
把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分）
1．（3分）2019的倒数的相反数是（ ）
A．﹣2019 B．﹣ C． D．2019
【分析】先求2019的倒数，再求倒数的相反数即可；
【解答】解：2019的倒数是 ，再求 的相反数为﹣ ；
故选：B．
【点评】本题考查倒数和相反数；熟练掌握倒数和相反数的求法是解题的关键．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a×2a＝6a B．a8÷a4＝a2
C．﹣3（a﹣1）＝3﹣3a D．（ a3）2＝ a9
【分析】根据单项式乘法法则，同底数幂的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性质，对
各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、3a×2a＝6a2，故本选项错误；
B、a8÷a4＝a4，故本选项错误；
C、﹣3（a﹣1）＝3﹣3a，正确；
D、（ a3）2＝ a6，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了单项式乘法法则，同底数幂的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性
质．熟练掌握法则是解题的关键．
3．（3分）“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程．截止去年9月底，
各地已累计完成投资1.002×1011元．数据1.002×1011可以表示为（ ）
A．10.02亿 B．100.2亿 C．1002亿 D．10020亿
【分析】利用科学记数法的表示形式展开即可
【解答】解：
1.002×1011＝1 002 000 000 00＝1002亿
8故选：C．
【点评】本题主要考查科学记数法的展开，科学记数法是指把一个数表示成a×10的n次
幂的形式（1≤a＜10，n 为正整数．）
4．（3分）如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新
几何体的三视图描述正确的是（ ）
A．俯视图不变，左视图不变
B．主视图改变，左视图改变
C．俯视图不变，主视图不变
D．主视图改变，俯视图改变
【分析】利用结合体的形状，结合三视图可得出俯视图和左视图没有发生变化；
【解答】解：将正方体①移走后，
新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，俯视图和左视图没有发生改变；
故选：A．
【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解
题关键．
5．（3分）利用教材中时计算器依次按键下：
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ）
A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9
【分析】利用计算器得到 的近似值即可作出判断．
【解答】解：∵ ≈2.646，
∴与 最接近的是2.6，
故选：B．
【点评】本题主要考查计算器﹣基础知识，解题的关键是掌握计算器上常用按键的功能和
使用顺序．
6．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
9A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax） B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2 D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．
【解答】解：A、3ax2﹣6ax＝3ax（x﹣2），故此选项错误；
B、x2+y2，无法分解因式，故此选项错误；
C、a2+2ab﹣4b2，无法分解因式，故此选项错误；
D、﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
7．（3分）小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下：
成绩（分） 94 95 97 98 100
周数（个） 1 2 2 4 1
这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是（ ）
A．97.5 2.8 B．97.5 3
C．97 2.8 D．97 3
【分析】根据中位数和方差的定义计算可得．
【解答】解：这10个周的综合素质评价成绩的中位数是 ＝97.5（分），
平均成绩为 ×（94+95×2+97×2+98×4+100）＝97（分），
∴这组数据的方差为 ×[（94﹣97）2+（95﹣97）2×2+（97﹣97）2×2+（98﹣97）
2×4+（100﹣97）2]＝3（分2），
故选：B．
【点评】本题主要考查中位数和方差，解题的关键是掌握中位数和方差的定义．
8．（3分）如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．
②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接
CE，DE．
③连接OE交CD于点M．
下列结论中错误的是（ ）
10A．∠CEO＝∠DEO B．CM＝MD
C．∠OCD＝∠ECD D．S ＝ CD•OE
四边形OCED
【分析】利用基本作图得出角平分线的作图，进而解答即可．
【解答】解：由作图步骤可得：OE是∠AOB的角平分线，
∴∠CEO＝∠DEO，CM＝MD，S ＝ CD•OE，
四边形OCED
但不能得出∠OCD＝∠ECD，
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；
作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直
线的垂线）．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设
运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
11C． D．
【分析】由题意当0≤x≤3时，y＝3，当3＜x＜5时，y＝ ×3×（5﹣x）＝﹣ x+ ．由此
即可判断．
【解答】解：由题意当0≤x≤3时，y＝3，
当3＜x＜5时，y＝ ×3×（5﹣x）＝﹣ x+ ．
故选：D．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论是扇形
思考问题，属于中考常考题型．
10．（3分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为
（ ）
A．m＝﹣2 B．m＝3 C．m＝3或m＝﹣2 D．m＝﹣3或m＝2
【分析】设x，x是x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根，由根与系数的关系得x+x＝﹣2m，x•x
1 2 1 2 1 2
＝m2+m，再由x2+x2＝（x+x）2﹣2x•x代入即可；
1 2 1 2 1 2
【解答】解：设x，x是x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根，
1 2
∴△＝﹣4m≥0，
∴m≤0，
∴x+x＝﹣2m，x•x＝m2+m，
1 2 1 2
∴x2+x2＝（x+x）2﹣2x•x＝4m2﹣2m2﹣2m＝2m2﹣2m＝12，
1 2 1 2 1 2
∴m＝3或m＝﹣2；
∴m＝﹣2；
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式
是解题的关键．
11．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接
AC交DE于点F．若sin∠CAB＝ ，DF＝5，则BC的长为（ ）
12A．8 B．10 C．12 D．16
【分析】连接BD，如图，先利用圆周角定理证明∠ADE＝∠DAC得到FD＝FA＝5，再根据正弦
的定义计算出EF＝3，则AE＝4，DE＝8，接着证明△ADE∽△DBE，利用相似比得到BE＝16，
所以AB＝20，然后在Rt△ABC中利用正弦定义计算出BC的长．
【解答】解：连接BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵∠AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
而∠DCA＝∠ABD，
∴∠DAC＝∠ABD，
∵DE⊥AB，
∴∠ABD+∠BDE＝90°，
而∠ADE+∠BDE＝90°，
∴∠ABD＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴FD＝FA＝5，
在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝ ＝ ，
∴EF＝3，
∴AE＝ ＝4，DE＝5+3＝8，
∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，
∴△ADE∽△DBE，
∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，
∴BE＝16，
∴AB＝4+16＝20，
13在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝ ＝ ，
∴BC＝20× ＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于
这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所
对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
12．（3分）抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝
0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6
【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝x2﹣2x+3，将一元二次方程x2+bx+3﹣t＝
0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，再由﹣1＜x＜4的范围确定y的
取值范围即可求解；
【解答】解：∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3，
∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，
∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，
当x＝﹣1时，y＝6；
当x＝4时，y＝11；
函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；
∴2≤t＜11；
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直
线的交点问题，借助数形结合解题是关键．
二、填空题（本题共6小题，满分18分。只要求填写最后结果，每小题填对得3分。）
13．（3分）若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝ 1 5 ．
14【分析】由2x＝3，2y＝5，根据同底数幂的乘法可得2x+y＝2x•2y，继而可求得答案．
【解答】解：∵2x＝3，2y＝5，
∴2x+y＝2x•2y＝3×5＝15．
故答案为：15．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法．此题比较简单，注意掌握公式的逆运算．
14．（3分）当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是 1 ＜ k ＜ 3
．
【分析】根据一次函数y＝kx+b，k＜0，b＜0时图象经过第二、三、四象限，可得2﹣2k＜0，
k﹣3＜0，即可求解；
【解答】解：y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限，
∴2﹣2k＜0，k﹣3＜0，
∴k＞1，k＜3，
∴1＜k＜3；
故答案为1＜k＜3；
【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数y＝kx+b，k与b对函数图象
的影响是解题的关键．
15．（3分）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝ （x＞0）与y＝
（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为 ．
【分析】过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO＝∠ACO＝90°，根据反比例
函数的性质得到S ＝ ，S ＝ ，根据相似三角形的性质得到 ＝（ ）2＝
△BDO △AOC
15＝5，求得 ＝ ，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，
则∠BDO＝∠ACO＝90°，
∵顶点A，B分别在反比例函数y＝ （x＞0）与y＝ （x＜0）的图象上，
∴S ＝ ，S ＝ ，
△BDO △AOC
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴ ＝（ ）2＝ ＝5，
∴ ＝ ，
∴tan∠BAO＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．
解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为
DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝ ．
16【分析】利用矩形的性质，证明∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，∠C＝∠A'B'D＝90°，推
出△DB'A'≌△DCA'，CD＝B'D，设AB＝DC＝x，在Rt△ADE中，通过勾股定理可求出AB的
长度．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC，
由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E＝∠B＝∠A'B'D＝90°，
∴∠AED＝∠A'ED，∠A'EB＝∠A'EB'，BE＝B'E，
∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB＝ ×180°＝60°，
∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A'DE＝90°﹣∠A'EB＝30°，
∴∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，
又∵∠C＝∠A'B'D＝90°，DA'＝DA'，
∴△DB'A'≌△DCA'（AAS），
∴DC＝DB'，
在Rt△AED中，
∠ADE＝30°，AD＝2，
∴AE＝ ＝ ，
设AB＝DC＝x，则BE＝B'E＝x﹣
∵AE2+AD2＝DE2，
∴（ ）2+22＝（x+x﹣ ）2，
解得，x＝ （负值舍去），x＝ ，
1 2
故答案为： ．
【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明
17∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB＝60°．
17．（3分）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，
当△PAB的周长最小时，S ＝ ．
△PAB
【分析】根据轴对称，可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线
AB的距离和AB的长度，即可求得△PAB的面积，本题得以解决．
【解答】解： ，
解得， 或 ，
∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），
∴AB＝ ＝3 ，
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，
点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），
设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，
，得 ，
∴直线A′B的函数解析式为y＝ x+ ，
当x＝0时，y＝ ，
即点P的坐标为（0， ），
将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，
18∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，
∴点P到直线AB的距离是：（ ﹣1）×sin45°＝ ＝ ，
∴△PAB的面积是： ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的
关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半
径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l，l，l，l，…都与x轴垂直，
0 1 2 3
相邻两直线的间距为l，其中l与y轴重合若半径为2的圆与l在第一象限内交于点P，
0 1 1
半径为3的圆与l在第一象限内交于点P，…，半径为n+1的圆与l在第一象限内交于点
2 2 n
P，则点P的坐标为 （ n ， ） ．（n为正整数）
n n
【分析】连OP，OP，OP，l、l、l与x轴分别交于A、A、A，在Rt△OAP中，OA＝1，OP＝
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1
2，由勾股定理得出AP＝ ＝ ，同理：AP＝ ，AP＝ ，……，得出P
1 1 2 2 3 3 1
19的坐标为（ 1， ），P的坐标为（ 2， ），P的坐标为（3， ），……，得出规律，即可得
2 3
出结果．
【解答】解：连接OP，OP，OP，l、l、l与x轴分别交于A、A、A，如图所示：
1 2 3 1 2 3 1 2 3
在Rt△OAP中，OA＝1，OP＝2，
1 1 1 1
∴AP＝ ＝ ＝ ，
1 1
同理：AP＝ ＝ ，AP＝ ＝ ，……，
2 2 3 3
∴P的坐标为（ 1， ），P的坐标为（ 2， ），P的坐标为（3， ），……，
1 2 3
…按照此规律可得点P的坐标是（n， ），即（n， ）
n
故答案为：（n， ）．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理；由题
意得出规律是解题的关键．
三、解答题（本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。）
19．（5分）己知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x＞y，求k的取值范围．
【分析】先用加减法求得x﹣y的值（用含k的式子表示），然后再列不等式求解即可．
【解答】解：
①﹣②得：x﹣y＝5﹣k，
∵x＞y，
∴x﹣y＞0．
∴5﹣k＞0．
解得：k＜5．
20【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的解，求得x﹣y的值（用含k的式子表示）是解
题的关键．
20．（6分）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步
行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB
＝200米，坡度为1： ；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，
其坡度为1：4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）
【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得AE的长，进而得到CE的长，再根据锐角三角函
数可以得到ED的长，最后用勾股定理即可求得CD的长．
【解答】解：∵∠AEB＝90°，AB＝200，坡度为1： ，
∴tan∠ABE＝ ，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝ AB＝100，
∵AC＝20，
∴CE＝80，
∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1：4，
∴ ，
即 ，
解得，ED＝320，
∴CD＝ ＝ 米，
答：斜坡CD的长是 米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利
用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
21．（9分）如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有
21对应的数字2，3，4，5．小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一次停止后，
小明将指针所指数字记录如下：
次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次
数字 3 5 2 3 3 4 3 5
（1）求前8次的指针所指数字的平均数．
（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均数
不小于3.3，且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；
若不可能，说明理由．（指针指向盘面等分线时为无效转次．）
【分析】（1）根据平均数的定义求解可得；
（2）由这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5知后两次指正所指数字
和要满足不小于5且不大于7，再画树状图求解可得．
【解答】解：（1）前8次的指针所指数字的平均数为 ×（3+5+2+3+3+4+3+5）＝3.5；
（2）∵这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5，
∴后两次指正所指数字和要满足不小于5且不大于7，
画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中符合条件的有8种结果，
所以此结果的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查的是利用树状图求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况
数之比．
22．（10分）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，
交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．
（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．
22（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．
【分析】（1）通过证明四边形AHGD是平行四边形，可得AH＝DG，AD＝HG＝CD，由“SAS”可
证△DCG≌△HGF，可得DG＝HF，∠HFG＝∠HGD，可证AH⊥HF，AH＝HF，即可得结论；
（2）由题意可得DE＝2，由平行线分线段成比例可得 ＝ ，即可求EM的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形
∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90°
∵AD∥BC，AH∥DG
∴四边形AHGD是平行四边形
∴AH＝DG，AD＝HG＝CD
∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG
∴△DCG≌△HGF（SAS）
∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD
∴AH＝HF，
∵∠HGD+∠DGF＝90°
∴∠HFG+∠DGF＝90°
∴DG⊥HF，且AH∥DG
∴AH⊥HF，且AH＝HF
∴△AHF为等腰直角三角形．
（2）∵AB＝3，EC＝5，
∴AD＝CD＝3，DE＝2，EF＝5
∵AD∥EF
∴ ＝ ，且DE＝2
∴EM＝
【点评】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
23平行线分线段成比例等知识点，灵活运用这些知识进行推理是本题的关键．
23．（10分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．
与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了
1元，批发销售总额比去年增加了20%．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是
多少元？
（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41
元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，
设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最
大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．）
【分析】（1）由去年这种水果批发销售总额为10万元，可得今年的批发销售总额为10（1
﹣20%）＝12万元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）
元，可列出方程： ，求得x即可
（2）根据总利润＝（售价﹣成本）×数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值．
【解答】解：
（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元
今年的批发销售总额为10（1﹣20%）＝12万元
∴
整理得x2﹣19x﹣120＝0
解得x＝24或x＝﹣5（不合题意，舍去）
故这种水果今年每千克的平均批发价是24元．
（2）设每千克的平均售价为m元，依题意
由（1）知平均批发价为24元，则有
w＝（m﹣24）（ ×180+300）＝﹣60m2+4200m﹣66240
整理得w＝﹣60（m﹣35）2+7260
∵a＝﹣60＜0
∴抛物线开口向下
∴当m＝35元时，w取最大值
即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元
24【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数
的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润＝一
件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
24．（13分）如图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线上，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心将菱形
ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′，B′C′交对角线AC于点M，
C′D′交直线l于点N，连接MN．
（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．
（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接
EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．
【分析】（1）证明△AB′M≌△AD′N（SAS），推出∠B′AM＝∠D′AN，即可解决问题．
（2）证明△AEB′≌△AGD′（AAS），推出EB′＝GD′，AE＝AG，再证明△AHE≌△AHG
（SAS），推出EH＝GH，推出B′D′＝2，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形AB′C′D′是菱形，
∴AB′＝B′C′＝C′D′＝AD′，
∵∠B′AD′＝∠B′C′D′＝60°，
∴△AB′D′，△B′C′D′是等边三角形，
∵MN∥B′C′，
∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝60°，∠CNM＝∠C′D′B′＝60°，
∴△C′MN是等边三角形，
∴C′M＝C′N，
∴MB′＝ND′，
∵∠AB′M＝∠AD′N＝120°，AB′＝AD′，
∴△AB′M≌△AD′N（SAS），
∴∠B′AM＝∠D′AN，
∵∠CAD＝ ∠BAD＝30°，
25∠DAD′＝15°，
∴α＝15°．
（2）∵∠C′B′D′＝60°，
∴∠EB′G＝120°，
∵∠EAG＝60°，
∴∠EAG+∠EB′G＝180°，
∴四边形EAGB′四点共圆，
∴∠AEB′＝∠AGD′，
∵∠EAB′＝∠GAD′，AB′＝AD′，
∴△AEB′≌△AGD′（AAS），
∴EB′＝GD′，AE＝AG，
∵AH＝AH，∠HAE＝∠HAG，
∴△AHE≌△AHG（SAS），
∴EH＝GH，
∵△EHB′的周长为2，
∴EH+EB′+HB′＝B′H+HG+GD′＝B′D′＝2，
∴AB′＝AB＝2，
∴菱形ABCD的周长为8．
【点评】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键
是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（13分）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的
中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．
（1）求圆心M的坐标；
（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；
（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于
点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝4 时，求点P的坐标．
26【分析】（1）利用中点公式即可求解；
（2）设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，tan∠CAO＝ ＝ ＝tanα，则sinα
＝ ，cosα＝ ，AC＝ ，则CD＝ ＝10，即可求解；
（3）利用cos∠PEH＝ ，求出PE＝5，即可求解．
【解答】解：（1）点B（0，4），则点C（0，2），
∵点A（4，0），则点M（2，1）；
（2）∵⊙P与直线AD，则∠CAD＝90°，
设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，
tan∠CAO＝ ＝ ＝tanα，则sinα＝ ，cosα＝ ，
AC＝ ，则CD＝ ＝10，
则点D（0，﹣8），
将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：
直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；
（3）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1，
将点B坐标代入上式并解得：a＝ ，
27故抛物线的表达式为：y＝ x2﹣3x+4，
过点P作PH⊥EF，则EH＝ EF＝2 ，
cos∠PEH＝ ，
解得：PE＝5，
设点P（x， x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8），
则PE＝ x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，
解得x＝ 或2（舍去2），
则点P（ ， ）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会
利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，
从而求出线段之间的关系．
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