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山东省潍坊市2018年中考数学真题试题
一、选择题
1. ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：根据绝对值的性质解答即可．
详解：|1- |= ．
故选B．
点睛：此题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值
是0．
2. 生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000036毫米,数据0.000036用科学记数法表示正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：绝对值小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是
其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
详解：0.0000036=3.6×10-6；
故选C．
点睛：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一
个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 如图所示的几何体的左视图是( )
A. （A） B. （B） C. （C） D. （D）
【答案】D
1【解析】分析：找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
详解：从左面看可得矩形中间有一条横着的虚线．
故选D．
点睛：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
4. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
详解：A、a2•a3=a5，故A错误；
B、a3÷a=a2，故B错误；
C、a-（b-a）=2a-b，故C正确；
D、（- a）3=- a3，故D错误．
故选C．
点睛：本题考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5. 把一副三角板放在同一水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,则
的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：直接利用平行线的性质结合已知角得出答案．
详解：作直线l平行于直角三角板的斜边，
可得：∠2=∠3=45°，∠3=∠4=30°，
2故∠1的度数是：45°+30°=75°．
故选C．
点睛：此题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
6. 如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是：
（1）作线段 ,分别以 为圆心,以 长为半径作弧,两弧的交点为 ；
（2）以 为圆心,仍以 长为半径作弧交 的延长线于点 ；
（3）连接
下列说法不正确的是( )
A. B.
C. 点 是 的外心 D.
【答案】D
【解析】分析：根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性
质一一判断即可；
详解：由作图可知：AC=AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
由作图可知：CB=CA=CD，
∴点C是△ABD的外心，∠ABD=90°，
BD= AB，
∴S = AB2，
△ABD
∵AC=CD，
∴S = AB2，
△BDC
故A、B、C正确，
故选D．
点睛：本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心等知识，直角三角形等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
37. 某篮球队10名队员的年龄结构如下表,已知该队队员年龄的中位数为21．5,则众数与方差分别为( )
A. 22,3 B. 22,4 C. 21,3 D. 21,4
【答案】D
【解析】分析：先根据数据的总个数及中位数得出x=3、y=2，再利用众数和方差的定义求解可得．
详解：∵共有10个数据，
∴x+y=5，
又该队队员年龄的中位数为21.5，即 ，
∴x=3、y=2，
则这组数据的众数为21，平均数为 =22，
故选D．
点睛：本题主要考查中位数、众数、方差，解题的关键是根据中位数的定义得出x、y的值及方差的计算公式．
8. 在平面直角坐标系中,点 是线段 上一点,以原点 为位似中心把 放大到原来的两倍,则点
的对应点的坐标为( )
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】分析：根据位似变换的性质计算即可．
详解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n），
故选B．
点睛：本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，
相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
9. 已知二次函数 ( 为常数),当自变量 的值满足 时,与其对应的函数值 的最大值为-1,
则 的值为( )
4A. 3或6 B. 1或6 C. 1或3 D. 4或6
【答案】B
【解析】分析：分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元
二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；
当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
详解：如图，
当h＜2时，有-（2-h）2=-1，
解得：h=1，h=3（舍去）；
1 2
当2≤h≤5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有-（5-h）2=-1，
解得：h=4（舍去），h=6．
3 4
综上所述：h的值为1或6．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题
的关键．
10. 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系如图,在平面上取定一点 称为极点；从点 出
发引一条射线 称为极轴；线段 的长度称为极径点 的极坐标就可以用线段 的长度以及从 转动到
的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即 或 或 等,则点 关于点 成中心
对称的点 的极坐标表示不正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】分析：根据中心对称的性质解答即可．
5详解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°），
由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°），
故选D．
点睛：此题考查中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答．
11. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ，若 ,则 的值是(
)
A. 2 B. -1 C. 2或-1 D. 不存在
【答案】A
【解析】分析：先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再
根据根与系数的关系可得出x+x= ，xx= ，结合 ，即可求出m的值．
1 2 1 2
详解：∵关于x的一元二次方程mx2-（m+2）x+ =0有两个不相等的实数根x、x，
1 2
∴ ，
解得：m＞-1且m≠0．
∵x、x 是方程mx2-（m+2）x+ =0的两个实数根，
1 2
∴x+x= ，xx= ，
1 2 1 2
∵ ，
∴ =4m，
∴m=2或-1，
∵m＞-1，
∴m=2．
故选A．
6点睛：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系
数非零及根的判别式△＞0，找出关于m的不等式组；（2）牢记两根之和等于- 、两根之积等于 ．
12. 如图,菱形 的边长是4厘米, ,动点 以1厘米/秒的速度自 点出发沿 方向运动至 点
停止,动点 以2厘米/秒的速度自 点出发沿折线 运动至 点停止若点 同时出发运动了秒,记
的面积为 ,下面图象中能表示 与之间的函数关系的是( )
A. （A） B. （B） C. （C） D. （D）
【答案】D
【解析】分析：应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函
数的解析式，进一步即可求解．
详解：当0≤t＜2时，S=2t× ×（4-t）=- t2+4 t；
当2≤t＜4时，S=4× ×（4-t）=-2 t+8 ；
只有选项D的图形符合．
故选D．
点睛：本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的
关键．
二、填空题(本大题共6小题,共18分,只要求填写最后结果,每小题填对得3分)
13. 因式分解: ____________．
【答案】
【解析】分析：通过提取公因式（x+2）进行因式分解．
详解：原式=（x+2）（x-1）．
7故答案是：（x+2）（x-1）．
点睛：考查了因式分解-提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多
项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
14. 当 ____________时,解分式方程 会出现增根．
【答案】2
【解析】分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．
详解：分式方程可化为：x-5=-m，
由分母可知，分式方程的增根是3，
当x=3时，3-5=-m，解得m=2，
故答案为：2．
点睛：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15. 用教材中的计算器进行计算,开机后依次按下 ． 把显示结果输人下侧的程序中,则输出的结
果是____________．
【答案】34+9 ．
【解析】分析：先根据计算器计算出输入的值，再根据程序框图列出算式，继而根据二次根式的混合运算计算
可得．
详解：由题意知输入的值为32=9，
则输出的结果为[（9+3）- ]×（3+ ）
=（12- ）×（3+ ）
=36+12 -3 -2
=34+9 ，
故答案为：34+9 ．
点睛：本题主要考查计算器-基础知识，解题的关键是根据程序框图列出算式，并熟练掌握二次根式的混合运
算顺序和运算法则．
816. 如图,正方形 的边长为1,点 与原点重合,点 在 轴的正半轴上，点 在 轴的负半轴上将正方形
绕点 逆时针旋转 至正方形 的位置, 与 相交于点 ,则 的坐标为____________．
【答案】
【解析】分析：连接AM，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADM≌Rt△AB′M得
∠DAM= ∠B′AD=30°，由DM=ADtan∠DAM可得答案．
详解：如图，连接AM，
∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，
∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，
∴∠B′AD=60°，
在Rt△ADM和Rt△AB′M中，
∵ ，
∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL），
∴∠DAM=∠B′AM= ∠B′AD=30°，
∴DM=ADtan∠DAM=1× = ，
∴点M的坐标为（-1， ），
故答案为：（-1， ）．
9点睛：本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的不变性与正方形的性质、全等
三角形的判定与性质及三角函数的应用．
17. 如图,点 的坐标为 ,过点 作不轴的垂线交直 于点 以原点 为圆心, 的长为半径断弧
交 轴正半轴于点 ；再过点 作 轴的垂线交直线于点 ,以原点 为圆心,以 的长为半径画弧交 轴正
半轴于点 ；…按此作法进行下去,则 的长是____________．
【答案】
【解析】分析：先根据一次函数方程式求出B 点的坐标，再根据B 点的坐标求出A 点的坐标，得出B 的坐标，
1 1 2 2
以此类推总结规律便可求出点A 的坐标，再根据弧长公式计算即可求解，．
2019
详解：直线y= x，点A 坐标为（2，0），过点A 作x轴的垂线交 直线于点B 可知B 点的坐标为（2，2 ），
1 1 1 1
以原O为圆心，OB 长为半径画弧x轴于点A，OA=OB，
1 2 2 1
OA= ，点A 的坐标为（4，0），
2 2
这种方法可求得B 的坐标为（4，4 ），故点A 的坐标为（8，0），B（8，8 ）
2 3 3
以此类推便可求出点A 的坐标为（22019，0），
2019
则 的长是 ．
故答案为： ．
点睛：本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，做题时要注意数形结合思想的运用，是各地的中考热
点，学生在平常要多加训练，属于中档题．
18. 如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在 处测得岛礁 在东北方向上，继续航行
1．5小时后到达 处此时测得岛礁 在北偏东 方向,同时测得岛礁 正东方向上的避风港 在北偏东 方
10向为了在台风到来之前用最短时间到达 处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行____________小
时即可到达 (结果保留根号)
【答案】 .
【解析】分析：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角
△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．
详解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，
在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以 BQ=PQ-90．
在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°= PQ（海里），
所以 PQ-90= PQ，
所以 PQ=45（3+ ）（海里）
所以 MN=PQ=45（3+ ）（海里）
在直角△BMN中，∠MBN=30°，
所以 BM=2MN=90（3+ ）（海里）
所以 （小时）
故答案是： ．
点睛：本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形
的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
三、解答题
1119. 如图,直线 与反比例函数 的图象相交于 , 两点,连接 ．
(1)求 和 的值；
(2)求 的面积．
【答案】(1) ， ；(2) ．
【解析】分析： （1）先求出B点的坐标，再代入反比例函数解析式求出即可；
（2）先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，再求出即可．
详解：(1) 点 在直线 上,
,解得 ，
，
反比例函数 的图象也经过点 ，
,解得 ；
(2)设直线 分别与 轴, 轴相交于点 ,点 ，
当 时,即 , ，
当 时, ， ，
点 在直线 上，
．即 ，
．
12点睛：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题、函数图象上点
的坐标特征等知识点，能求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
20. 如图,点 是正方形 边 上一点,连接 ,作 于点 , 手点 ,连接 ．
(1)求证: ；
(2已知 ,四边形 的面积为24,求 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【解析】分析： （1）通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；
（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到 •x•x+
•x•2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，则EF=x-2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解．
详（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=AD，∠BAD=90°，
∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，
∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，
∴∠ABF=∠EAD，
在△ABF和△DEA中
，
∴△ABF≌△DEA（AAS），
∴BF=AE；
（2）解：设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，
∵四边形ABED的面积为24，
∴ •x•x+ •x•2=24，解得x=6，x=-8（舍去），
1 2
∴EF=x-2=4，
13在Rt△BEF中，BE= ，
∴sin∠EBF= ．
点睛：本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、
矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．
21. 为进一步提高全民“节约用水”意识,某学校组织学生进行家庭月用水量情况调查活动，小莹随机抽查
了所住小区 户家庭的月用水量,绘制了下面不完整的统计图．
(1)求 并补全条形统计图；
(2)求这 户家庭的月平均用水量；并估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭户
数；
(3)从月用水量为 和 的家庭中任选两户进行用水情况问卷调查,求选出的两户中月用水量为 和
恰好各有一户家庭的概率．
【答案】（1）n=20，补全条形图见解析；（2）这20户家庭的月平均用水量为6.95立方米，小莹所住小区月用水
量低于 的家庭户数为231；(3) ，
【解析】分析：（1）根据月用水量为9m3和10m3的户数及其所占百分比可得总户数，再求出5m3和8m3的户数
即可补全图形；
（2）根据加权平均数的定义计算可得月平均用水量，再用总户数乘以样本中低于月平均用水量的家庭户数所
占比例可得；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到满足条件的结果数，根据概率公式计算可得．
详解：（1）n=（3+2）÷25%=20，
月用水量为8m3的户数为20×55%-7=4户，
月用水量为5m3的户数为20-（2+7+4+3+2）=2户，
补全图形如下：
14（2）这20户家庭的月平均用水量为 =6.95（m3），
因为月用水量低于6.95m3的有11户，
所以估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于6.95m3的家庭户数为420× =231户；
（3）月用水量为5m3的两户家庭记为a、b，月用水量为9m3的3户家庭记为c、d、e，
列表如下：
a b c d e
a （b，a） （c，a） （d，a） （e，a）
b （a，b） （c，b） （d，b） （e，b）
c （a，c） （b，c） （d，c） （e，c）
d （a，d） （b，d） （c，d） （e，d）
e （a，e） （b，e） （c，e） （d，e）
由表可知，共有20种等可能结果，其中满足条件的共有12种情况，
所以选出的两户中月用水量为5m3和9m3恰好各有一户家庭的概率为 ．
点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事
件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图和用样本估计总体．
22. 如图, 为 外接圆 的直径,且 ．
(1)求证: 与 相切于点 ；
15(2)若 , ,求 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）AD= ．
【解析】分析：（1）连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：
∠BAE=∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，可得结论；
（2）先证明OA⊥BC，由垂径定理得： ，FB= BC，根据勾股定理计算AF、OB、AD的长即可．
详解：证明：（1）连接OA，交BC于F，则OA=OB，
∴∠D=∠DAO，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠DAO，
∵∠BAE=∠C，
∴∠BAE=∠DAO，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
即∠DAO+∠BAO=90°，
∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，
∴AE⊥OA，
∴AE与⊙O相切于点A；
（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，
∴ ，FB= BC，
∴AB=AC，
∵BC=2 ，AC=2 ，
∴BF= ，AB=2 ，
16在Rt△ABF中，AF= ，
在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB-AF）2，
∴OB=4，
∴BD=8，
∴在Rt△ABD中，AD= ．
点睛：本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关
键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．
23. 为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库
的土方施工任务．该工程队有 两种型号的挖掘机,已知3台 型和5台 型挖掘机同时施工一小时挖土
165立方米；4台 型和7台 型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台 型挖掘机一小时的施工费用为
300元,每台 型挖掘机一小时的施工费用为180元．
(1)分别求每台 型, 型挖掘机一小时挖土多少立方米?
(2)若不同数量的 型和 型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超
过12960元．问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元?
【答案】（1）每台 型挖掘机一小时挖土30立方米,每台 型挖据机一小时挖土15立方米；
（2）共有三种调配方案．方案一: 型挖据机7台, 型挖掘机5台；方案二: 型挖掘机8台, 型挖掘机4台；
方案三: 型挖掘机9台, 型挖掘机3台．当A型挖掘机7台, 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为
12000元．
【解析】分析： （1）根据题意列出方程组即可；
（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用．
详解：(1)设每台 型, 型挖掘机一小时分别挖土 立方米和 立方米,根据题意,得
解得
所以,每台 型挖掘机一小时挖土30立方米,每台 型挖据机一小时挖土15立方米．
(2)设 型挖掘机有 台,总费用为 元,则 型挖据机有 台．根据题意,得
，
因为 ，解得 ，
17又因为 ,解得 ,所以 ．
所以,共有三种调配方案．
方案一:当 时, ,即 型挖据机7台, 型挖掘机5台；
案二:当 时, ,即 型挖掘机8台, 型挖掘机4台；
方案三:当 时, ,即 型挖掘机9台, 型挖掘机3台．
,由一次函数的性质可知, 随 的减小而减小,
当 时， ，
此时 型挖掘机7台, 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．
点睛：本题考查了二元一次方程组和一次函数增减性，解答时先根据题意确定自变量取值范围，再应用一次
函数性质解答问题．
24. 如图1,在 中, 于点 的垂直平分线交 于点 ,交 于点 , ，
．
(1)如图2,作 于点 ,交 于点 ,将 沿 方向平移,得到 ，连接 ．
①求四边形 的面积；
②直线 上有一动点 ,求 周长的最小值．
(2)如图3．延长 交 于点 ．过点 作 ,过 边上的动点 作 ,并与 交于点 ,将 沿
直线 翻折,使点 的对应点 恰好落在直线 上,求线段 的长．
【答案】(1)① ；② 周长的最小值为9；(2) 的长为 或 ．
【解析】分析： （1）①根据相似三角形的判定和性质以及平移的性质进行解答即可；
②连接CM交直线EF于点N，连接DN，利用勾股定理解答即可；
（2）分点P在线段CE上和点P在线段ED上两种情况进行解答．
详解：（1）①在 ABCD中，AB=6，直线EF垂直平分CD，
▱
∴DE=FH=3，
又BF：FA=1：5，
18∴AH=2，
∵Rt△AHD∽Rt△MHF，
∴ ，即 ，
∴HM=1.5，
根据平移的性质，MM'=CD=6，连接BM，如图1，
四边形BHMM′的面积= ×6×1.5+ ×4×1.5＝7.5；
②连接CM交直线EF于点N，连接DN，如图2，
∵直线EF垂直平分CD，
∴CN=DN，
∵MH=1.5，
∴DM=2.5，
在Rt△CDM中，MC2=DC2+DM2，
∴MC2=62+（2.5）2，
即MC=6.5，
∵MN+DN=MN+CN=MC，
∴△DNM周长的最小值为9．
（2）∵BF∥CE，
∴ ，
∴QF=2，
∴PK=PK'=6，
19过点K'作E'F'∥EF，分别交CD于点E'，交QK于点F'，如图3，
当点P在线段CE上时，
在Rt△PK'E'中，
PE'2=PK'2-E'K'2，
∴PE′＝2 ，
∵Rt△PE'K'∽Rt△K'F'Q，
∴ ，即 ，
解得：QF′＝ ，
∴PE=PE'-EE'=2 − ＝ ，
∴CP＝ ，
同理可得，当点P在线段DE上时，CP′＝ ，如图4，
综上所述，CP的长为 或 ．
点睛：此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的性质和平移的性质解答，注意（2）分两种情况分析．
25. 如图1,抛物线 与 轴交于点 和点 ,与 轴交于点 ,抛物线 的顶点为
20轴于点 ．将抛物线 平移后得到顶点为 且对称轴为直的抛物线 ．
(1)求抛物线 的解析式；
(2)如图2,在直线上是否存在点 ,使 是等腰三角形?若存在,请求出所有点 的坐标:若不存在,请说明
理由；
(3)点 为抛物线 上一动点,过点 作 轴的平行线交抛物线 于点 ，点 关于直线的对称点为 ，若以
为顶点的三角形与 全等,求直线 的解析式．
【答案】（1）抛物线 的解析式为 ；（2）点的坐标为 , , ；（3）
的解析式为 或 .
【解析】分析：（1）把 和 代入 求出a、c的值，进而求出y，再根据平移得出y 即可；
1 2
（2）抛物线 的对称轴为 ,设 ,已知 ，过点 作 轴于 ,分三种情况时行讨论等腰
三角形的底和腰，得到关于t的方程，解方程即可；
（3）设 ,则 ,根据对称性得 ,分点 在直线的左侧或
右侧时,结合以 构成的三角形与 全等求解即可.
详解:(1)由题意知，
，
解得 ，
所以,抛物线y的解析式为 ；
21因为抛物线 平移后得到抛物线 ,且顶点为 ，
所以抛物线 的解析式为 ，
即 ；
(2)抛物线 的对称轴为 ,设 ,已知 ，
过点 作 轴于 ,
则 ，
，
，
当 时，
即 ，
解得 或 ；
当 时,得 ，无解；
当 时,得 ,解得 ;
综上可知,在抛物线 的对称轴上存在点 使 是等腰三角形,此时 点的坐标为 ,
22, .
(3)设 ,则 ,
因为 关于 对称,
所以 ,
情况一:当点 在直线的左侧时,
,
,
又因为以 构成的三角形与 全等,
当 且 时, ,
可求得 ,即点 与点 重合
所以 ,
设 的解析式 ,
则有
解得 ,
即 的解析式为 ,
当 且 时,无解,
情况二:当点 在直线右侧时,
23,
,
同理可得
的解析式为 ,
综上所述, 的解析式为 或 .
点睛：本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全
等三角形的性质等知识，解答（1）问的关键是求出a、c的值，解答（2）、（3）问的关键是正确地作出图形，进行
分类讨论解答，此题有一定的难度．
24
