文档内容
2014 年山东省淄博市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题4分）
1．（4分）(2014年山东淄博)计算（﹣3）2等于（ ）
A．﹣9 B．﹣6 C．6 D．9
2．（4分）(2014年山东淄博)方程 ﹣ =0解是（ ）
A．x= B．x= C．x= D．x=﹣1
3．（4分）(2014年山东淄博)如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的
车速（单位：千米/时）情况．则这些车的车速的众数、中位数分别是（ ）
A．8，6 B．8，5 C．52，53 D．52，52
4．（4分）(2014年山东淄博)如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两
个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长．该几何体的主视图、俯视图和左
视图的面积分别是S ，S ，S ，则S ，S ，S 的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．S ＞S ＞S B．S ＞S ＞S C．S ＞S ＞S D．S ＞S ＞S
1 2 3 3 2 1 2 3 1 1 3 2
5．（4分）(2014年山东淄博)一元二次方程x2+2 x﹣6=0的根是（ ）
A．x =x = B．x =0，x =﹣2
1 2 1 2
C．x = ，x =﹣3 D．x =﹣ ，x =3
1 2 1 26．（4分）(2014年山东淄博)当x=1时，代数式 ax3﹣3bx+4的值是7，则当x=﹣1
时，这个代数式的值是（ ）
A．7 B．3 C．1 D．﹣7
7．（4分）(2014年山东淄博)如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、DB相交于点
P，∠BAC=∠CDB=90°，AB=AD=DC．则cos∠DPC的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）(2014年山东淄博)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它
与反比例函数y=﹣ 的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y=x2﹣x﹣2 B．y=x2﹣x+2 C．y=x2+x﹣2 D．y=x2+x+2
9．（4分）(2014年山东淄博)如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，
AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F
﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣
C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的
地的先后顺序（由先至后）是（ ）A．甲乙丙 B．甲丙乙 C．乙丙甲 D．丙甲乙
10．（4分）(2014年山东淄博)如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且
AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（ ）
A．1 B． C． D．2
11．（4分）(2014年山东淄博)如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F
为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF．若⊙O的半径为 ，CD=4，则弦EF的长为（
）
A．4 B．2 C．5 D．6
12．（4分）(2014年山东淄博)已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A
（0，2），B（8，3），则h的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）13．（4分）(2014年山东淄博)分解因式：8（a2+1）﹣16a= ．
14．（4分）(2014年山东淄博)某实验中学九年级（1）班全体同学的综合素质评价
“运动与健康”方面的等级统计如图所示，其中评价为“A”所在扇形的圆心角
是
度．
15．（4分）(2014年山东淄博)已知 ▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添
加一个适当的条件，使 ▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是 ．
16．（4分）(2014年山东淄博)关于x的反比例函数y= 的图象如图，A、P为该
图象上的点，且关于原点成中心对称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相
交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+ =0的根的情
况是 ．
17．（4分）(2014年山东淄博)如图，在正方形网格中有一边长为4的平行四边形
ABCD，请将其剪拼成一个有一边长为6的矩形．（要求：在答题卡的图中画出裁
剪线即可）三、解答题（共7小题，共52分）
18．（5分）(2014年山东淄博)计算： • ．
19．（5分）(2014年山东淄博)如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，
∠1=55°，求∠2的度数．
20．（8分）(2014年山东淄博)节能灯根据使用寿命分成优等品、正品和次品三个
等级，其中使用寿命大于或等于8000小时的节能灯是优等品，使用寿命小于
6000小时的节能灯是次品，其余的节能灯是正品．质检部门对某批次的一种节能
灯（共200个）的使用寿命进行追踪调查，并将结果整理成此表．
（1）根据分布表中的数据，在答题卡上写出a，b，c的值；
（2）某人从这200个节能灯中随机购买1个，求这种节能灯恰好不是次品的概率
寿命（小时） 频数 频率
4000≤t≤5000 10 0.05
5000≤t＜6000 20 a
6000≤t＜7000 80 0.40
7000≤t＜8000 b 0.15
8000≤t＜9000 60 c
合计 200 121．（8分）(2014年山东淄博)为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具
体执行方案如表：
档次 每户每月用电数（度） 执行电价（元/度）
第一档 小于等于200 0.55
第二档 大于200小于400 0.6
第三档 大于等于400 0.85
例如：一户居民七月份用电420度，则需缴电费420×0.85=357（元）．
某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户六月份用电量大
于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度．问该户居民五、六月份各月电多
少度？
22．（8分）(2014年山东淄博)如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0.3），点C
是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形．当
点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．
（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图），求
证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？
（2）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．23．（9分）(2014年山东淄博)如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点
F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接
MF，NF．
（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；
（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．
24．（9分）(2014年山东淄博)如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P
是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使∠APB=30°的点P有 个；
（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明
此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．2014 年山东省淄博市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分）
1．（4分）(2014年山东淄博)计算（﹣3）2等于（ ）
A．﹣9 B．﹣6 C．6 D．9
【考点】有理数的乘方．
【分析】根据负数的偶次幂等于正数，可得答案．
【解答】解：原式=32
=9．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘方，负数的偶次幂是正数．
2．（4分）(2014年山东淄博)方程 ﹣ =0解是（ ）
A．x= B．x= C．x= D．x=﹣1
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x+3﹣7x=0，
解得：x= ，
经检验x= 是分式方程的解．
故选B
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
3．（4分）(2014年山东淄博)如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的
车速（单位：千米/时）情况．则这些车的车速的众数、中位数分别是（ ）A．8，6 B．8，5 C．52，53 D．52，52
【考点】频数（率）分布直方图；中位数；众数．
【专题】计算题．
【分析】找出出现次数最多的速度即为众数，将车速按照从小到大顺序排列，求出
中位数即可．
【解答】解：根据题意得：这些车的车速的众数52千米/时，
车速分别为50，50，51，51，51，51，51，52，52，52，52，52，52，52，52，53，53，53，
53，53，53，54，54，54，54，55，55，
中间的为52，即中位数为52千米/时，
则这些车的车速的众数、中位数分别是52，52．
故选D
【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，中位数，以及众数，弄清题意是解本题
的关键．
4．（4分）(2014年山东淄博)如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两
个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长．该几何体的主视图、俯视图和左
视图的面积分别是S ，S ，S ，则S ，S ，S 的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．S ＞S ＞S B．S ＞S ＞S C．S ＞S ＞S D．S ＞S ＞S
1 2 3 3 2 1 2 3 1 1 3 2【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左
面看得到的图形是左视图，根据边角面积的大小，可得答案．
【解答】解：主视图的面积是三个正方形的面积，左视图是两个正方形的面积，俯
视图是一个正方形的面积，
S ＞S ＞S ，
1 3 2
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，分别得出三视图是解题关键．
5．（4分）(2014年山东淄博)一元二次方程x2+2 x﹣6=0的根是（ ）
A．x =x = B．x =0，x =﹣2
1 2 1 2
C．x = ，x =﹣3 D．x =﹣ ，x =3
1 2 1 2
【考点】解一元二次方程-公式法．
【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，再根据x=
，将a，b及c的值代入计算，即可求出原方程的解．
【解答】解：∵a=1，b=2 ，c=﹣6
∴x= = = =﹣ ±2 ，
∴x = ，x =﹣3 ；
1 2
故选C．
【点评】此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方
程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出
根的判别式，当根的判别式大于等于0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求
出原方程的解．
6．（4分）(2014年山东淄博)当x=1时，代数式 ax3﹣3bx+4的值是7，则当x=﹣1
时，这个代数式的值是（ ）A．7 B．3 C．1 D．﹣7
【考点】代数式求值．
【专题】整体思想．
【分析】把x=1代入代数式求值a、b的关系式，再把x=﹣1代入进行计算即可得解．
【解答】解：x=1时， ax3﹣3bx+4= a﹣3b+4=7，
解得 a﹣3b=3，
当x=﹣1时， ax3﹣3bx+4=﹣ a+3b+4=﹣3+4=1．
故选C．
【点评】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．
7．（4分）(2014年山东淄博)如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、DB相交于点
P，∠BAC=∠CDB=90°，AB=AD=DC．则cos∠DPC的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】等腰梯形的性质．
【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，故可得出
∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，再由AB=AD=DC可知∠ABD=∠ADB，
∠DAP=∠ACD，所以∠DAP=∠ABD=∠DBC，再根据∠BAC=∠CDB=90°可知，
3∠ABD=90°，故∠ABD=30°，再由直角三角形的性质求出∠DPC的度数，进而得
出结论．
【解答】解：∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，
∴∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，
∵AB=AD=DC，
∴∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，∴∠DAP=∠ABD=∠DBC，
∵∠BAC=∠CDB=90°，
∴3∠ABD=90°，
∴∠ABD=30°，
在△ABP中，
∵∠ABD=30°，∠BAC=90°，
∴∠APB=60°，
∴∠DPC=60°，
∴cos∠DPC=cos60°= ．
故选A．
【点评】本题考查的是等腰梯形的性质，熟知等腰梯形同一底上的两个角相等是
解答此题的关键．
8．（4分）(2014年山东淄博)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它
与反比例函数y=﹣ 的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y=x2﹣x﹣2 B．y=x2﹣x+2 C．y=x2+x﹣2 D．y=x2+x+2
【考点】待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【分析】将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出A的坐标，将A与B坐
标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出二次函数解析式．
【解答】解：将A（m，4）代入反比例解析式得：4=﹣ ，即m=﹣2，
∴A（﹣2，4），将A（﹣2，4），B（0，﹣2）代入二次函数解析式得： ，
解得：b=﹣1，c=﹣2，
则二次函数解析式为y=x2﹣x﹣2．
故选A．
【点评】此题考查l待定系数法求二次函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐
标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
9．（4分）(2014年山东淄博)如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，
AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F
﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣
C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的
地的先后顺序（由先至后）是（ ）
A．甲乙丙 B．甲丙乙 C．乙丙甲 D．丙甲乙
【考点】正方形的性质；线段的性质：两点之间线段最短；比较线段的长短．[来源:
学科网ZXXK]
【分析】根据正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ECF，根据直角三角形
得出AF＞AB，EF＞CF，分别求出甲、乙、丙行走的距离，再比较即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=90°，
甲行走的距离是AB+BF+CF=AB+BC=2AB；
乙行走的距离是AF+EF+EC+CD；
丙行走的距离是AF+FC+CD，∵∠B=∠ECF=90°，
∴AF＞AB，EF＞CF，
∴AF+FC+CD＞2AB，AF+FC+CD＜AF+EF+EC+CD，
∴甲比丙先到，丙比乙先到，
即顺序是甲丙乙，
故选B．[来源:学.科.网Z.X.X.K]
【点评】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质的应用，题目比较典型，难
度适中．
10．（4分）(2014年山东淄博)如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且
AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．
【分析】本题要依靠辅助线的帮助，连接CE，首先利用线段垂直平分线的性质证
明BC=EC．求出EC后根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，连接EC．
∵FC垂直平分BE，[来源:Z。xx。k.Com]
∴BC=EC（线段垂直平分线的性质）
又∵点E是AD的中点，AE=1，AD=BC，
故EC=2
利用勾股定理可得AB=CD= = ．
故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，本题的
关键是要画出辅助线，证明BC=EC后易求解．本题难度中等．
11．（4分）(2014年山东淄博)如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F
为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF．若⊙O的半径为 ，CD=4，则弦EF的长为（
）
A．4 B．2 C．5 D．6
【考点】切线的性质．
【分析】首先连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，由直线AB与⊙O相切
于点A，弦CD∥AB，可求得OH的长，然后由勾股定理求得AC的长，又由
∠CDE=∠ADF，可证得EF=AC，继而求得答案．
【解答】解：连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，
∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
∵弦CD∥AB，
∴AH⊥CD，
∴CH= CD= ×4=2，
∵⊙O的半径为 ，∴OA=OC= ，
∴OH= = ，
∴AH=OA+OH= + =4，
∴AC= =2 ．
∵∠CDE=∠ADF，
∴ = ，
∴ = ，
∴EF=AC=2 ．
故选B．
【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识．此
题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
12．（4分）(2014年山东淄博)已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A
（0，2），B（8，3），则h的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是
正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B都对称轴的距离可得到h
＜4．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，
∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离
小，∴x=h＜4．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为
（﹣ ， ），对称轴直线x=﹣ ，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有
如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x
的增大而减小；x＞﹣ 时，y随x的增大而增大；x=﹣ 时，y取得最小值
，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的
开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，y随x的增大而减小；x=
﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
13．（4分）(2014年山东淄博)分解因式：8（a2+1）﹣16a= 8 （ a﹣ 1 ） 2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式8，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：8（a2+1）﹣16a
=8（a2+1﹣2a）
=8（a﹣1）2．
故答案为：8（a﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方
公式是解题关键．14．（4分）(2014年山东淄博)某实验中学九年级（1）班全体同学的综合素质评价
“运动与健康”方面的等级统计如图所示，其中评价为“A”所在扇形的圆心角
是 10 8 度．
【考点】扇形统计图．
【分析】首先计算出A部分所占百分比，再利用360°乘以百分比可得答案．
【解答】解：A所占百分比：100%﹣15%﹣20%﹣35%=30%，
圆心角：360°×30%=108°，
故答案为：108．
【点评】此题主要考查了扇形统计图，关键是掌握圆心角度数=360°×所占百分比．
15．（4分）(2014年山东淄博)已知 ▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添
加一个适当的条件，使 ▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是 AD=DC ．
【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．
【专题】开放型．
【分析】根据菱形的定义得出答案即可．
【解答】解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，
∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：
AD=DC；
故答案为：AD=DC．
【点评】此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得
出是解题关键．
16．（4分）(2014年山东淄博)关于x的反比例函数y= 的图象如图，A、P为该
图象上的点，且关于原点成中心对称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+ =0的根的情
况是 没有实数根 ．
[来源:Z。xx。k.Com]【考点】根的判别式；反比例函数的性质．
【分析】由比例函数y= 的图象位于一、三象限得出a+4＞0，A、P为该图象上的
点，且关于原点成中心对称，得出2xy＞12，进一步得出a+4＞6，由此确定a的取
值范围，进一步利用根的判别式判定方程根的情况即可．
【解答】解：∵反比例函数y= 的图象位于一、三象限，
∴a+4＞0，a＞﹣4，
∵A、P关于原点成中心对称，PB∥y轴，AB∥x轴，△PAB的面积大于12，
∴2xy＞12，
即a+4＞6，a＞2
∴a＞2．
∴△=（﹣1）2﹣4（a﹣1）× =2﹣a＜0，
∴关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+ =0没有实数根．
故答案为：没有实数根．
【点评】此题综合考查了反比例函数的图形与性质，一元二次方程根的判别式，注
意正确判定a的取值范围是解决问题的关键．
17．（4分）(2014年山东淄博)如图，在正方形网格中有一边长为4的平行四边形
ABCD，请将其剪拼成一个有一边长为6的矩形．（要求：在答题卡的图中画出裁
剪线即可）【考点】作图—应用与设计作图；图形的剪拼．
【分析】如图先过D点向下剪出一个三角形放在平行四边形的左边，再在剪去D
点下面两格的小正方形放在右面，就组成了一人矩形．
【解答】解：如图：
【点评】本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想
象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程．
三、解答题（共7小题，共52分）
18．（5分）(2014年山东淄博)计算： • ．
【考点】分式的乘除法．
【专题】计算题．
【分析】原式约分即可得到结果．
【解答】解：原式= •
[来源:学科网ZXXK]
= ．
【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（5分）(2014年山东淄博)如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，
∠1=55°，求∠2的度数．【考点】平行线的性质．
【分析】根据垂直定义和邻补角求出∠3，根据平行线的性质得出∠2=∠3，代入求
出即可．
【解答】解：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠1=55°，
∴∠3=35°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=35°．
【点评】本题考查了垂直定义，平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相
等．
20．（8分）(2014年山东淄博)节能灯根据使用寿命分成优等品、正品和次品三个
等级，其中使用寿命大于或等于8000小时的节能灯是优等品，使用寿命小于
6000小时的节能灯是次品，其余的节能灯是正品．质检部门对某批次的一种节能
灯（共200个）的使用寿命进行追踪调查，并将结果整理成此表．
（1）根据分布表中的数据，在答题卡上写出a，b，c的值；
（2）某人从这200个节能灯中随机购买1个，求这种节能灯恰好不是次品的概率
寿命（小时） 频数 频率
4000≤t≤5000 10 0.05
5000≤t＜6000 20 a
6000≤t＜7000 80 0.407000≤t＜8000 b 0.15
8000≤t＜9000 60 c
合计 200 1
【考点】频数（率）分布表；概率公式．
【分析】（1）由频率分布表中的数据，根据频率=频数÷数据总数及频数=数据总数
×频率即可求出a、b、c的值；
（2）根据频率分布表中的数据，用不是次品的节能灯个数除以节能灯的总个数即
可求解．
【解答】解：（1）根据频率分布表中的数据，得
a= =0.1，
b=200×0.15=30，
c= =0.3；
（Ⅱ）设“此人购买的节能灯恰好不是次品”为事件A．
由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有110个，次品有30个，
所以此人购买的节能灯恰好不是次品的概率为P（A）= =0.85．
【点评】本题考查了读频数（率）分布表的能力和利用统计图获取信息的能力及古
典概型的概率，用到的知识点：频率=频数÷数据总数，概率=所有出现的情况数与
总数之比．
21．（8分）(2014年山东淄博)为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具
体执行方案如表：
档次 每户每月用电数（度） 执行电价（元/度）
第一档 小于等于200 0.55
第二档 大于200小于400 0.6
第三档 大于等于400 0.85
例如：一户居民七月份用电420度，则需缴电费420×0.85=357（元）．某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户六月份用电量大
于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度．问该户居民五、六月份各月电多
少度？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】某户居民五、六月份共用电500度，就可以得出每月用电量不可能都在第
一档，分情况讨论，当5月份用电量为x度≤200度，6月份用电（500﹣x）度，当5
月份用电量为x度＞200度，六月份用电量为（500﹣x）度＞x度，分别建立方程
求出其解即可．
【解答】解：当5月份用电量为x度≤200度，6月份用电（500﹣x）度，由题意，得
0.55x+0.6（500﹣x）=290.5，
解得：x=190，
∴6月份用电500﹣x=310度．
当5月份用电量为x度＞200度，六月份用电量为（500﹣x）度，由题意，得
0.6x+0.6（500﹣x）=290.5，
300=290.5，原方程无解．
∴5月份用电量为190度，6月份用电310度．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的
运用，分类讨论思想的运用，解答时由总价=单价×数量是关键．
22．（8分）(2014年山东淄博)如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0.3），点C
是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形．当
点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．
（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图），求
证：△AOC≌△ ABP；由此你发现什么结论？
（2）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）由等边三角形的性质易证AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°；然
后由图示知∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO，即∠CAO=∠PAB．所以根据SAS证得
结论；
（2）利用（1）中的结论PB⊥AB．根据等边三角形的性质易求点B的坐标为B（
，）．再由旋转的性质得到当点P移动到y轴上的坐标是（0，﹣3），所以根据
点B、P的坐标易求直线BP的解析式．
【解答】（1）证明：∵△AOB与△ACP都是等边三角形，
∴AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°，
∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO，
∴∠CAO=∠PAB，
在△AOC与△ABP中，
∴△AOC≌△ABP（SAS）．
∴∠COA=∠PBA=90°，
∴点P在过点B且与AB垂直的直线上或PB⊥AB或∠ABP=90°．
故结论是：点P在过点B且与AB垂直的直线上或PB⊥AB或∠ABP=90°；
（2）解：点P在过点B且与AB垂直的直线上．
∵△AOB是等边三角形，A（0，3），∴B（ ， ）．
当点C移动到点P在y轴上时，得P（0，﹣3）．
设点P所在的直线方程为：y=kx+b（k≠0）．把点B、P的坐标分别代入，得
，
解得 ，
所以点P所在的函数图象的解析式为：y= x﹣3．
【点评】本题综合考查了待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，全等三角形
的判定与性质等知识．解答（2）题时，求得点P位于y轴负半轴上的坐标是解题
的关键．
23．（9分）(2014年山东淄博)如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点
F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接
MF，NF．
（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；
（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得AM是高线、顶角的角平分线，根据直
角三角形的性质，可得∠EAB+∠EBA=90°，根据三角形外角的性质，可得答案；
（2）根据三角形中位线的性质，可得MF与AC的关系，根据等量代换，可得MF
与BD的关系，根据等腰直角三角形，可得BM与NM的关系，根据等量代换，可得NM与BC的关系，根据同角的余角相等，可得∠CBD与∠NMF的关系，根据
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案．
【解答】（1）答：△BMN是等腰直角三角形．
证明：∵AB=AC，点M是BC的中点，
∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．
∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠MNB=∠NAB+∠ABN= （∠BAE+∠ABE）=45°．
∴△BMN是等腰直角三角形；
（2）答：△MFN∽△BDC．
证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，
∴FM∥AC，FM= AC．
∵AC=BD，
∴FM= BD，即 ．
∵△BMN是等腰直角三角形，
∴NM=BM= BC，即 ，
∴ ．
∵AM⊥BC，
∴∠NMF+∠FMB=90°．
∵FM∥AC，
∴∠ACB=∠FMB．
∵∠CEB=90°，
∴∠ACB+∠CBD=90°．
∴∠CBD+∠FMB=90°，
∴∠NMF=∠CBD．∴△MFN∽△BDC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了锐角是45°的直角三角形是
等腰直角三角形，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
24．（9分）(2014年山东淄博)如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P
是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使∠APB=30°的点P有 无数 个；
（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明
此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．
【考点】圆的综合题；三角形的外角性质；等边三角形的性质；勾股定理；矩形的判
定与性质；垂径定理；圆周角定理；切线的性质．
【专题】综合题；探究型．
【分析】（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB=30°，只需点P在过点A、点B的
圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．
（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y
轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合
条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的
坐标．
（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧
所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判
定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．
【解答】解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，
以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P 、P ．
1 2
在优弧AP B上任取一点P，如图1，
1
则∠APB= ∠ACB= ×60°=30°．
∴使∠APB=30°的点P有无数个．
故答案为：无数．
（2）①当点P在y轴的正半轴上时，
过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．
∵点A（1，0），点B（5，0），
∴OA=1，OB=5．
∴AB=4．
∵点C为圆心，CG⊥AB，
∴AG=BG= AB=2．
∴OG=OA+AG=3．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB=4．
∴CG=
=
=2 ．
∴点C的坐标为（3，2 ）．
过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP ，如图1，
2
∵点C的坐标为（3，2 ），
∴CD=3，OD=2 ．
∵P 、P 是⊙C与y轴的交点，
1 2
∴∠AP B=∠AP B=30°．
1 2∵CP =CA=4，CD=3，
2
∴DP = = ．
2
∵点C为圆心，CD⊥P P ，
1 2
∴P D=P D= ．
1 2
∴P （0，2 ﹣ ）．P （0，2 + ）．
2 1
②当点P在y轴的负半轴上时，
同理可得：P （0，﹣2 ﹣ ）．P （0，﹣2 + ）．
3 4
综上所述：满足条件的点P的坐标有：
（0，2 ﹣ ）、（0，2 + ）、（0，﹣2 ﹣ ）、（0，﹣2 + ）．
（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．
①当点P在y轴的正半轴上时，
连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．
∵⊙E与y轴相切于点P，
∴PE⊥OP．
∵EH⊥AB，OP⊥OH，
∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．
∴四边形OPEH是矩形．
∴OP=EH，PE=OH=3．
∴EA=3．
∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，
∴EH=
=
=
∴OP=
∴P（0， ）．
②当点P在y轴的负半轴上时，
同理可得：P（0，﹣ ）．理由：
①若点P在y轴的正半轴上，
在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），
连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．
∵∠ANB是△AMN的外角，
∴∠ANB＞∠AMB．
∵∠APB=∠ANB，
∴∠APB＞∠AMB．
②若点P在y轴的负半轴上，
同理可证得：∠APB＞∠AMB．
综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，
此时点P的坐标为（0， ）和（0，﹣ ）．
【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的
判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强．同时也考查了创造
性思维，有一定的难度．构造辅助圆是解决本题关键．
