文档内容
山东省莱芜市 2018 年中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确
选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0
分，共36分)
1. -2的倒数是（ ）
A. -2 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据倒数的定义求解.
【详解】-2的倒数是-
故选B
【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握
2. 经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客1.47亿人次，1.47亿用科学记数法
表示为（ ）
A. 14.7×107 B. 1.47×107 C. 1.47×108 D. 0.147×109
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝
对值＜1时，n是负数．
【详解】1.47亿用科学记数法表示为1.47×108，
故选C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整
数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 无理数2 ﹣3在（ ）
A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间【答案】B
【解析】
【分析】
首先得出2 的取值范围进而得出答案．
【详解】∵2 = ，
∴6＜ ＜7，
∴无理数2 -3在3和4之间．
故选B．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．
4. 下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中心对称图形，轴对称图形的定义进行判断．
【详解】A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称图形，轴对称图形的判断．关键是根据图形自身的对称性进行判断．
5. 若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．【详解】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，
A、 ，错误；
B、 ，错误；
C、 ，错误；
D、 ，正确；
故选D．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变．此题比较简
单，但计算时一定要细心．
6. 某校举行汉字听写大赛，参赛学生的成绩如下表：
成绩（分） 89 90 92 94 95
人数 4 6 8 5 7
对于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A. 平均数是92 B. 中位数是92 C. 众数是92 D. 极差是6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平均数、中位数、众数及极差的定义逐一计算即可判断．
【详解】A、平均数为 92，符合题意；
≠
B、中位数是 =92，不符合题意；
C、众数为92，不符合题意；
D、极差为95-89=6，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了极差、众数、平均数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．7. 已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（ ）
.
A 60πcm2 B. 65πcm2 C. 120πcm2 D. 130πcm2
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用三视图得到底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，再根据勾股定理计算出母线长为13cm，然后
根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和
扇形的面积公式计算．
【详解】根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm，即底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，
所以圆锥的母线长= ，
所以这个圆锥的侧面积= 2π 5 13=65π（cm2）．
× × ×
故选B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
8. 在平面直角坐标系中，已知△ABC为等腰直角三角形，CB=CA=5，点C（0，3），点B在x轴正半轴上，
点A在第三象限，且在反比例函数y= 的图象上，则k=（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，作AH⊥y轴于H．构造全等三角形即可解决问题．
【详解】如图，作AH⊥y轴于H．∵CA=CB，∠AHC=∠BOC，∠ACH=∠CBO，
∴△ACH≌△CBO，
∴AH=OC，CH=OB，
∵C（0，3），BC=5，
∴OC=3，OB= =4，
∴CH=OB=4，AH=OC=3，
∴OH=1，
∴A（-3，-1），
∵点A在y= 上，
∴k=3，
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
9. 如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（ ）
A. 149° B. 149.5° C. 150° D. 150.5°
【答案】B
【解析】
【分析】
过点E作EG∥AB，根据平行线的性质可得“∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°”，根据角的计算
以及角平分线的定义可得“∠FBE+∠EDF= ∠ABE+∠CDE）”，再依据四边形内角和为360°结合角的计
算即可得出结论．
【详解】如图，过点E作EG∥AB，∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GE，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；
又∵∠BED=61°，
∴∠ABE+∠CDE=299°．
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，
∴∠FBE+∠EDF= （∠ABE+∠CDE）=149.5°，
∵四边形的BFDE的内角和为360°，
∴∠BFD=360°-149.5°-61°=149.5°．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及四边形内角和为360°，解决该题型题目时，根
据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．
10. 函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（ ）
A. x＜﹣4或x＞2 B. ﹣4＜x＜2 C. x＜0或x＞2 D. 0＜x＜2
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到抛物线与 x轴的另一个交点坐标为（-4，0），然
后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=- =-1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜-4或x＞2时，y＜0．
故选A．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交
点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
11. 如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同
时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，
在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（
）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
依据a和b同时向右移动，分三种情况讨论，求得函数解析式，进而得到当0≤t＜1时，函数图象为开口向
上的抛物线的一部分，当1≤t＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，当2≤t≤3时，函数图象为开
口向上的抛物线的一部分．
【详解】如图①，当0≤t＜1时，BE=t，DE= t，
∴s=S = ×t× t= t2；
BDE
△
如图②，当1≤t＜2时，CE=2-t，BG=t-1，∴DE= （2-t），FG= （t-1），
∴s=S =S -S -S = ×2× - ×（t-1）× （t-1）- ×（2-t）× （2-t）=- t2+3
五边形AFGED ABC BGF CDE
△ △ △
t- ；
如图③，当2≤t≤3时，CG=3-t，GF= （3-t），
∴s=S = ×（3-t）× （3-t）= t2-3 t+ ，
CFG
△
综上所述，当0≤t＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当1≤t＜2时，函数图象为开口向下的
抛物线的一部分；当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，
故选B．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可
以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
12. 如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°，连接
AF、CF，CF与AB交于G，有以下结论：
①AE=BC
②AF=CF
③BF2=FG•FC
④EG•AE=BG•AB其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
①只要证明 ADE为等腰直角三角形即可
②只要证明△AEF≌△CBF（SAS）即可；
③假设BF2=△FG•FC，则 FBG∽△FCB，推出∠FBG=∠FCB=45°，由∠ACF=45°，推出∠ACB=90°，显然
不可能，故③错误， △
④由 ADF∽△GBF，可得 ，由EG∥CD，推出 ，推出 ，
△
由AD=AE，得EG•AE=BG•AB，故④正确，
【详解】①DE平分∠ADC，∠ADC为直角，
∴∠ADE= ×90°=45°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴AD=AE，
又∵四边形ABCD矩形，
∴AD=BC，
∴AE=BC
②∵∠BFE=90°，∠BEF=∠AED=45°，
∴△BFE为等腰直角三角形，
∴则有EF=BF
又∵∠AEF=∠DFB+∠ABF=135°，∠CBF=∠ABC+∠ABF=135°，
∴∠AEF=∠CBF
在 AEF和 CBF中，AE=BC，∠AEF=∠CBF，EF=BF，
∴△△AEF≌△△CBF（SAS）
∴AF=CF③假设BF2=FG•FC，则 FBG∽△FCB，
∴∠FBG=∠FCB=45°，△
∵∠ACF=45°，
∴∠ACB=90°，显然不可能，故③错误，
④∵∠BGF=180°-∠CGB，∠DAF=90°+∠EAF=90°+（90°-∠AGF）=180°-∠AGF，∠AGF=∠BGC，
∴∠DAF=∠BGF，∵∠ADF=∠FBG=45°，
∴△ADF∽△GBF，
∴ ，
∵EG∥CD，
∴ ，
∴ ，∵AD=AE，
∴EG•AE=BG•AB，故④正确，
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题.
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。请将答案填在答题卡上)
13. 计算：（π﹣3.14）0+2cos60°= ．
【答案】2
【解析】
【分析】
原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【详解】解：原式=1+2× ，
=1+1，
=2．
故答案为2．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14. 已知x，x 是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x2+x2=_____．
1 2 1 2【答案】
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得到x+x= ，xx= ，再利用完全平方公式变形得x2+x2=（x+x ）2-2xx ，最后
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
代入求值即可．
【详解】根据题意得x+x= ，xx= ，
1 2 1 2
∴x2+x2
1 2
=（x+x）2-2xx
1 2 1 2
=（ ）2-2×( )
= .
故答案为 .
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系. 利用完全平方公式将x2+x2变形为（x+x）2-2xx 是解
1 2 1 2 1 2
题的关键.
15. 如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角
形和正方形的面积分别是2 和2，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】2．
【解析】
【分析】
由正方形的面积公式和正三角形的面积公式求得图中大矩形的宽和长，然后求大矩形的面积，从而求得图
中阴影部分的面积．【详解】因为正三角形和正方形的面积分别是2 和2，
则正方形的边长为
设正三角形的边长为a，则 a2× =2 ，
解得a=2 ．
则图中阴影部分的面积=2 × -2=2．
故答案是：2．
【点睛】考查了二次根式的应用．解题的关键是根据图中正三角形和正方形的面积求得大矩形的长和宽．
16. 如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点， 的圆心分别在边AB、CD上，这两段
圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为 ．
【答案】 a．
【解析】
【分析】
作DE的中垂线交CD于G，则G为 的圆心，H为 的圆心，连接EF，GH，交于点O，连接GF，
FH，HE，EG，依据勾股定理可得GE=FG= a，根据四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，即可
得到Rt OEG中，OE= a，即可得到EF= a．
△
【详解】如图，作DE的中垂线交CD于G，则G为 的圆心，同理可得，H为 的圆心，连接EF，GH，交于点O，连接GF，FH，HE，EG，
设GE=GD=x，则CG=2a-x，CE=a，
Rt CEG中，（2a-x）2+a2=x2，
△
解得x= a，
∴GE=FG= a，
同理可得，EH=FH= a，
∴四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，
∴GO= BC=a，
∴Rt OEG中，OE= ，
△
∴EF= a，
故答案为 a．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质，相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），
垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．
17. 如图，若 ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为 ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗
卡尔点是法国△数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者△法国军官布罗卡尔重新发现，并用
他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知 ABC中，CA=CB，
△
∠ACB=120°，P为 ABC的布罗卡尔点，若PA= ，则PB+PC=_____．
△【答案】1+ ．
【解析】
【分析】
作CH⊥AB于H．首先证明BC= BC，再证明 PAB∽△PBC，可得 ，即可求出
△
PB、PC.
【详解】作CH⊥AB于H．
∵CA=CB，CH⊥AB，∠ACB=120°，
∴AH=BH，∠ACH=∠BCH=60°，∠CAB=∠CBA=30°，
∴AB=2BH=2•BC•cos30°= BC，
∵∠PAC=∠PCB=∠PBA，
∴∠PAB=∠PBC，
∴△PAB∽△PBC，
∴ ，
∵PA= ，
∴PB=1，PC= ，
∴PB+PC=1+ ．
故答案为1+ ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知
识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题．
三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步
骤)
18. 先化简，再求值： ，其中a= +1．
【答案】
【解析】
【分析】
根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】当a= +1时，
原式=
=
=
=
=2 .
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键的是熟练运用分式的运算法则．
19. 我市正在开展“食品安全城市”创建活动，为了解学生对食品安全知识的了解情况，学校随机抽取了部分
学生进行问卷调查，将调查结果按照“A非常了解、B了解、C了解较少、D不了解”四类分别进行统计，
并绘制了下列两幅统计图（不完整）．请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了 名学生；
（2）扇形统计图中D所在扇形的圆心角为 ；
（3）将上面 的条形统计图补充完整；
（4）若该校共有800名学生，请你估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数．
【答案】（1）120；（2）54°；（3）详见解析（4）200．
【解析】
【分析】
（1）根据B的人数除以占的百分比即可得到总人数；
（2）先根据题意列出算式，再求出即可；
（3）先求出对应的人数，再画出即可；
（4）先列出算式，再求出即可．
【详解】（1）（25+23）÷40%=120（名），
即此次共调查了120名学生，
故答案为120；
（2）360°× =54°，
即扇形统计图中D所在扇形的圆心角为54°，
故答案为54°；
（3）如图所示：
；
（4）800× =200（人），
答：估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数是200人．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体等知识点，
两图结合是解题的关键．
20. 在小水池旁有一盏路灯，已知支架AB的长是0.8m，A端到地面的距离AC是4m，支架AB与灯柱AC
的夹角为65°．小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°，在水池的内沿E测得支架A端的仰角是
50°（点C、E、D在同一直线上），求小水池的宽DE．（结果精确到0.1m）（sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，
tan50°≈1.2）
【答案】小水池的宽DE为1.7米．
【解析】
【分析】
过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G，根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．
【详解】过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G，
在Rt BAF中，∠BAF=65°，BF=AB•sin∠BAF=0.8×0.9=0.72，
AF=A△B•cos∠BAF=0.8×0.4=0.32，
∴FC=AF+AC=4.32，
∵四边形FCGB是矩形，
∴BG=FC=4.32，CG=BF=0.72，
∵∠BDG=45°，
∴∠BDG=∠GBD，
∴GD=GB=4.32，
∴CD=CG+GD=5.04，
在Rt ACE中，∠AEC=50°，CE= ≈3.33，
△
∴DE=CD-CE=5.04-3.33=1.71≈1.7，答：小水池 的宽DE为1.7米．
【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造
直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
21. 已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE绕点A按顺时针方向旋
转一个角度α（0°＜α＜90°）得到△AD'E′，连接BD′、CE′，如图1．
（1）求证：BD′=CE'；
（2）如图2，当α=60°时，设AB与D′E′交于点F，求 的值．
【答案】(1)详见解析;(2) .
【解析】
【分析】
（1）首先依据旋转的性质和中点的定义证明AD′=AE′，然后再利用SAS证明 BD′A≌△CE′A，最后，依
据全等三角形的性质进行证明即可； △
（2）连接DD′，先证明 ADD′为等边三角形，然后再证明 ABD′为直角三角形，接下来，再证明
BFD′∽△AFE′，最后，△依据相似三角形的性质求解即可．△△
△【详解】（1）证明：∵AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=BD=AE=EC．
由旋转的性质可知：∠DAD′=∠EAE′=α，AD′=AD，AE′=AE．
∴AD′=AE′，
∴△BD′A≌△CE′A，
∴BD′=CE′．
（2）连接DD′．∵∠DAD′=60°，AD=AD′，
∴△ADD′是等边三角形．
∴∠ADD′=∠AD′D=60°，DD′=DA=DB．
∴∠DBD′=∠DD′B=30°，
∴∠BD′A=90°．
∵∠D′AE′=90°，
∴∠BAE′=30°，
∴∠BAE′=∠ABD′，
又∵∠BFD′=∠AFE′，
∴△BFD′∽△AFE′，
∴ ．
∵在Rt ABD′中，tan∠BAD′= ，
△
∴ ．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、旋转的性质，发现
BFD′∽△AFE′是解题的关键．
△22. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机
器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元．
（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；
（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的
机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则
该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？
【答案】（1）甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元（2）该公司购买甲型机器人2台，
乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元．
【解析】
【分析】
（1）利用二元一次方程组解决问题；
（2）用不等式组确定方案，利用一次函数找到费用最低值．
【详解】解：（1）设甲型机器人每台价格是x万元，乙型机器人每台价格是y万元，根据题意得解这个方程组得：
答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元；
（2）设该公可购买甲型机器人a台，乙型机器人（8-a）台，根据题意得
解这个不等式组得
≤a≤
∵a为正整数
∴a的取值为2，3，4，
∴该公司有3种购买方案，分别是
购买甲型机器人2台，乙型机器人6台
购买甲型机器人3台，乙型机器人5台
购买甲型机器人4台，乙型机器人4台
设该公司的购买费用为w万元，则w=6a+4（8-a）=2a+32
∵k=2＞0
∴w随a的增大而增大
当a=2时，w最小，w =2×2+32=36（万元）
最小
∴该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查列一次函数解析式、一次函数增减性、二元一次方程组和不等式组
的应用．
23. 如图，已知A、B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于
D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）E为 的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE= ，BE=BG，EG=3 ，求⊙O
的半径．【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）连接OC，先证明∠OCB=∠CBD得到OC∥AD，再利用CD⊥AB得到OC⊥CD，然后根据切线的判定
定理得到结论；
（2）解：连接OE交AB于H，如图，利用垂径定理得到OE⊥AB，再利用圆周角定理得到
∠ABE=∠AFE，在Rt△BEH中利用正切可设EH=3x，BH=4x，则BE=5x，所以BG=BE=5x，GH=x，接着
在Rt△EHG中利用勾股定理得到x2+（3x）2=（3 ）2，解方程得x=3，接下来设⊙O的半径为r，然后
在Rt△OHB中利用勾股定理得到方程（r-9）2+122=r2，最后解关于r的方程即可．
【详解】（1）证明：连接OC，如图，
∵BC平分∠OBD，
∴∠OBD=∠CBD，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB=∠CBD，
∴OC∥AD，
而CD⊥AB，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接OE交AB于H，如图，∵E为 的中点，
∴OE⊥AB，
∵∠ABE=∠AFE，
∴tan∠ABE=tan∠AFE= ，
∴在Rt BEH中，tan∠HBE=
△
设EH=3x，BH=4x，
∴BE=5x，
∵BG=BE=5x，
∴GH=x，
在Rt EHG中，x2+（3x）2=（3 ）2，解得x=3，
△
∴EH=9，BH=12，
设⊙O的半径为r，则OH=r-9，
在Rt OHB中，（r-9）2+122=r2，解得r= ，
△
即⊙O的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线
垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线
时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形．
24. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线
上一动点，DE⊥BC于E．
（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE长度的最大值；
（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若
存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=﹣ x2+ x+3；(2) 当a=2时，DE取最大值，最大值是 ；（3）存在点D，使得△CDE中
有一个角与∠CFO相等，点D的横坐标为 或 ．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的
判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据正切函数，可得∠CFO，根据相似三角形的性质，可得GH，BH，根据待定系数法，可得CG的
解析式，根据解方程组，可得答案．
【详解】（1）由题意，得 ，
解得 ，
抛物线的函数表达式为y=- x2+ x+3；
（2）设直线BC的解析是为y=kx+b，
，
解得 ，∴y=- x+3，
设D（a，- a2+ a+3），（0＜a＜4），过点D作DM⊥x轴交BC于M点，如图1
，
M（a，- a+3），
DM=（- a2+ a+3）-（- a+3）=- a2+3a，
∵∠DME=∠OCB，∠DEM=∠BOC，
∴△DEM∽△BOC，
∴ ，
∵OB=4，OC=3，
∴BC=5，
∴DE= DM
∴DE=- a2+ a=- （a-2）2+ ，
当a=2时，DE取最大值，最大值是 ，
（3）假设存在这样的点D，△CDE使得中有一个角与∠CFO相等，
∵点F为AB 的中点，∴OF= ，tan∠CFO= =2，
过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G点，过点G作GH⊥x轴，垂足为H，如图2
，
①若∠DCE=∠CFO，
∴tan∠DCE= =2，
∴BG=10，
∵△GBH∽BCO，
∴
∴GH=8，BH=6，
∴G（10，8），
设直线CG的解析式为y=kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴直线CG的解析式为y= x+3，
∴ ，解得x= ，或x=0（舍）．
②若∠CDE=∠CFO，
同理可得BG= ，GH=2，BH= ，
∴G（ ，2），
同理可得，直线CG的解析是为y=- x+3，
∴ ，
解得x= 或x=0（舍），
综上所述，存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，点D的横坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用相似三角形的
性质得出DE的长，又利用了二次函数的性质；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出G点的坐标，
利用了待定系数法求函数解析式，解方程组求得横坐标．本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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