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2022 年山东省青岛市中考数学真题
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
355
1.(2022山东青岛,1,3分)我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为 ,它与
113
π的误差小于0.000 000 3.将0.000 000 3用科学记数法可以表示为 ( )
A.3×10-7 B.0.3×10-6
C.3×10-6 D.3×107
2.(2022山东青岛,2,3分)北京冬奥会和冬残奥会组委会收到来自全球的会徽设
计方案共4 506件,其中很多设计方案体现了对称之美.以下4幅设计方案中,既
是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
A B C D
√1
3.(2022山东青岛,3,3分)计算(√27-√12)× 的结果是 ( )
3
√3
A. B.1 C.√5 D.3
3
4.(2022山东青岛,4,3分)如图①,用一个平面截长方体,得到如图②的几何体,
它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”.图②“堑堵”的俯视图
是 ( )
图①
图②
A B C D
5.(2022山东青岛,5,3分)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,点M在A´B上,则
∠CME的度数为 ( )A.30° B.36° C.45° D.60°
6.(2022山东青岛,6,3分)如图,将△ABC先向右平移3个单位,再绕原点O旋转
180°,得到△A'B'C',则点A的对应点A'的坐标是 ( )
A.(2,0)B.(-2,-3)
C.(-1,-3) D.(-3,-1)
7.(2022山东青岛,7,3分)如图,O为正方形ABCD对角线AC的中点,△ACE为
等边三角形.若AB=2,则OE的长度为 ( )
√6
A. B.√6 C.2√2 D.2√3
2
8.(2022山东青岛,8,3分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,对称轴为
直线x=-1,且经过点(-3,0),则下列结论正确的是 ( )
A.b>0 B.c<0
C.a+b+c>0 D.3a+c=0
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
1
9.(2022山东青岛,9,3分)- 的绝对值是 .
2
10.(2022山东青岛,10,3分)小明参加“建团百年·我为团旗添光彩”主题演讲比
赛,其演讲形象、内容、效果三项得分分别是9分、8分、8分,若将三项得分依
次按3∶4∶3的比例确定最终成绩,则小明的最终比赛成绩为 分.11.(2022山东青岛,11,3分)为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划,学校
举办以“强体质,炼意志”为主题的体育节.小亮报名参加3 000米比赛项目,经
过一段时间训练后,比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%,少用3分钟跑
完全程.设小亮训练前的平均速度为x米/分,那么x满足的分式方程为
.
12.(2022山东青岛,12,3分)图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美
结合,在平面上创造出立体效果,图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一
半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,
则图④中∠ABC的度数是 °.
图①
图②
图③
图④
13.(2022山东青岛,13,3分)如图,AB是☉O的切线,B为切点,OA与☉O交于点
C,以点A为圆心,以OC的长为半径作E´F,分别交AB,AC于点E,F.若
OC=2,AB=4,则图中阴影部分的面积为 .14.(2022山东青岛,14,3分)如图,已知△ABC,AB=AC,BC=16,AD⊥BC,∠ABC
的平分线交AD于点E,且DE=4.将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合.下列结
论正确的有 (填写序号).
①BD=8;
②点E到AC的距离为3;
10
③EM= ;
3
④EM∥AC.
三、作图题(本大题满分4分)
请用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
15.(2022山东青岛,15,4分)已知:Rt△ABC,∠B=90°.
求作:点P,使点P在△ABC内部,且PB=PC,∠PBC=45°.
四、解答题(本大题共10小题,共74分)
16.(2022山东青岛,16,8分)(1)计算: a-1 ÷( 1 );
1+
a2-4a+4 a-2
{2x≥3(x-1),
(2)解不等式组:
x
2- <1.
2
17.(2022山东青岛,17,6分)2022年3月23日下午,“天宫课堂”第二课开讲,
航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课,激发了同学们学习航天知识
的热情.小冰和小雪参加航天知识竞赛时,均获得了一等奖,学校想请一位同学作
为代表分享获奖心得.小冰和小雪都想分享,于是两人决定一起做游戏,谁获胜谁
分享.游戏规则如下:甲口袋装有编号分别为1,2的两个球,乙口袋装有编号分别
为1,2,3,4,5的五个球,两口袋中的球除编号外都相同,小冰先从甲口袋中随机摸出一个球,小雪再从乙口袋中随机摸出一个球,若两球编号之和为奇数,则小冰
获胜;若两球编号之和为偶数,则小雪获胜.
请用列表或画树状图的方法,说明这个游戏对双方是否公平.
18.(2022山东青岛,18,6分)已知二次函数y=x2+mx+m2-3(m为常数,m>0)的
图象经过点P(2,4).
(1)求m的值;
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2-3的图象与x轴交点的个数,并说明理由.
19.(2022山东青岛,19,6分)如图,AB为东西走向的滨海大道,小宇沿滨海大道
参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动.小宇在点A处时,某艘海上观光船
位于小宇北偏东68°的点C处,观光船到滨海大道的距离CB为200米,当小宇沿
滨海大道向东步行200米到达点E时,观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处,
此时,观光船恰好在小宇的正北方向,求观光船从C处航行到D处的路程.(参考
数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84,sin 68°≈0.93,cos
68°≈0.37,tan 68°≈2.48)
20.(2022山东青岛,20,6分)孔子曾说:“知之者不如好之者,好之者不如乐之
者.”兴趣是最好的老师,阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐等,各种
兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙.某校为了解学生兴趣爱好情况.组织了问卷调
查活动,从全校2 200名学生中随机抽取了200人进行调查,其中一项调查内容
是学生每周自主发展兴趣爱好的时长.对这项调查结果使用画“正”字的方法进
行初步统计,得到下表:
学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表
时长r(单
组别 人数累计 人数
位:h)
第一组 1≤t<2 正正正正正正 30
第二组 2≤t<3 正正正正正正正正正正正正 60
第三组 3≤t<4 正正正正正正正正正正正正正正 70
第四组 4≤t<5 正正正正正正正正 40
学生每周自主发展兴趣爱好时长频数直方图根据以上信息,解答下列问题:
(1)补全频数直方图;
(2)这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第 组;
(3)若将上述调查结果绘制成扇形统计图,则第二组的学生人数占调查总人数的
百分比为 ,对应的扇形圆心角的度数为 °;
(4)学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于2 h,请你估计,该校学生
中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间.
21.(2022山东青岛,21,6分)【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形.
例如:如图①,在△ABC和△A'B'C'中,AD,A'D'分别是BC和B'C'边上的高线,且
AD=A'D',则△ABC和△A'B'C'是等高三角形.
图①
图②
图③
【性质探究】
如图①,用S ,S 分别表示△ABC和△A'B'C'的面积,
△ABC △A'B'C'
1 1
则S = BC·AD,S = B'C'·A'D',
△ABC △A'B'C'
2 2
∵AD=A'D',
∴S ∶S =BC∶B'C'.
△ABC △A'B'C'
【性质应用】(1)如图②,D是△ABC的边BC上的一点.若BD=3,DC=4,则S ∶S = ;
△ABD △ADC
(2)如图③,在△ABC中,D,E分别是BC和AB边上的点.若
BE∶AB=1∶2,CD∶BC=1∶3,S =1,则S = ,S = ;
△ABC △BEC △CDE
(3)如图③,在△ABC中,D,E分别是BC和AB边上的点.若
BE∶AB=1∶m,CD∶BC=1∶n,S =a,S = .
△ABC △CDE
22.(2022山东青岛,22,8分)如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴正半轴相交于
2
点C,与反比例函数y=- 的图象在第二象限相交于点A(-1,m),过点A作
x
AD⊥x轴,垂足为D,AD=CD.
(1)求一次函数的表达式;
(2)已知点E(a,0)满足CE=CA,求a的值.
23.(2022山东青岛,23,8分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E,F在对角线
BD上,BE=EF=FD,∠BAF=∠DCE=90°.
(1)求证:△ABF≌△CDE;
(2)连接AE,CF,已知 (从以下两个条件中选择一个作为已知,填写序号),
请判断四边形AECF的形状,并证明你的结论.
条件①:∠ABD=30°;
条件②:AB=BC.
(注:如果选择条件①条件②分别进行解答,按第一个解答计分)
24.(2022山东青岛,24,10分)李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售,这
种水果每箱10千克.批发商规定:整箱购买,一箱起售,每人一天购买不超过10
箱.当购买1箱时,批发价为8.2元/千克,每多购买1箱,批发价每千克降低0.2元.
根据李大爷的销售经验,这种水果售价为12元/千克时,每天可销售1箱,售价每
千克降低0.5元,每天可多销售1箱.
(1)请求出这种水果批发价y(元/千克)与购进数量x(箱)之间的函数关系式;
(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完,请你计算,李大爷每天应购进这种水
果多少箱,才能使每天所获利润最大?最大利润是多少?25.(2022山东青岛,25,10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,BC=3
cm,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE,连接CD.点P从点B出发,
沿BA方向匀速运动,速度为1 cm/s;同时,点Q从点A出发,沿AD方向匀速运动,
速度为1 cm/s.PQ交AC于点F,连接CP,EQ,设运动时间为t(s) (00,选项B错
误;因为抛物线经过点(1,0),所以a+b+c=0,选项C错误;因为a+b+c=0,b=2a,所以3a+c=0,选
项D正确.故选D.
方法指导
抛物线y=ax2+bx+c的系数的符号问题:(1)a的符号由抛物线的开口方向确定,开口向上,
则a>0;开口向下,则a<0.(2)c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定,交点在y轴正半轴上,则
c>0;交点在y轴负半轴上,则c<0;经过原点,则c=0.(3)b的符号由对称轴的位置确定,简记为
左同右异,即对称轴在y轴左侧,则a、b同号,对称轴在y轴右侧,则a、b异号;对称轴是y轴,
则b=0.(4)b2-4ac的符号由抛物线与x轴的交点个数确定,与x轴有两个公共点,则b2-4ac>0;
与x轴有一个公共点,则b2-4ac=0;与x轴无公共点,则b2-4ac<0.
1
9.答案
2
1 1
解析 负数的绝对值是它的相反数,所以- 的绝对值是 .
2 2
10.答案 8.39×3+8×4+8×3
解析 小明的最终比赛成绩为 =8.3(分).
3+4+3
3 000 3 000
11.答案 - =3
x (1+25%)x
解析 小亮训练前的平均速度为x米/分,则比赛时小亮的平均速度为(1+25%)x米/分,根据比赛
3 000 3 000
时小亮少用3分钟跑完全程可得 - =3.
x (1+25%)x
12.答案 60
解析 如图,易知∠CDE=120°,由题图②及菱形可知
CD∥AB,DE∥BC,∴∠C=∠CDE=120°,∠C+∠ABC=180°,∴∠ABC=60°.
13.答案 4-π
解析 连接OB,∵AB是☉O的切线,∴∠OBA=90°,∴∠AOB+∠A=90°,∴阴影部分的面积等于
90·π·22
三角形OAB的面积减去以OC为半径,圆心角为90度的扇形的面积,即S =S - =
阴影 △OAB 360
1 90·π·22
×2×4- =4-π.
2 360
14.答案 ①④
1
解析 ∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC= BC=8,①正确.∵BE平分∠ABC,∴点E到AB的距离为
2
DE=4.∵BE为∠ABC的平分线,∴点E到BC的距离等于点E到AC的距离,∴点E到AC的距离为
3,②错误.由翻折可得CM=ME,在Rt△DME中,EM2=DE2+DM2,即EM2=42+(8-EM)2,解得
1
EM=5,③错误.连接EC,根据题意知CE为∠ACB的平分线,∴∠MCE= ∠ACD.由翻折可得
2
∠MCE=∠MEC,所以∠DME=∠MCE+∠MEC=∠ACD,∴EM//AC,④正确.
方法指导
(1)折叠的性质:①位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称;②折叠前后的两部分图形全
等,对应边、对应角、周长、面积相等;③对应点的连线被折痕所在的直线垂直平分.
(2)折叠相关的题目一般运用三角形全等,勾股定理等知识,结合方程思想,设出恰当的未知数,
列方程来求线段长.
15.解析 如图,点P为所求作.a-1 a-2+1
16.解析 (1)原式= ÷
a2-4a+4 a-2
a-1 a-2 1
= · = .
(a-2) 2 a-1 a-2
(2)解不等式2x≥3(x-1)得x≤3,
x
解不等式2- <1得x>2,
2
∴不等式组的解集是20,
∴m=1.
(2)交点个数为2.
理由:由(1)知二次函数的解析式为y=x2+x-2,令x2+x-2=0,则Δ=12-4×1×(-2)=9>0,
∴x2+x-2=0有两个不相等的实根,∴二次函数y=x2+x-2的图象与x轴的交点个数为2.
19.解析 如图,过点C作CF⊥DE于点F,
由题意得,∠D=40°,∠ACB=68°.AB
在Rt△ABC中,∠CBA=90°,tan∠ACB= ,
CB
∴AB=CB·tan 68°≈200×2.48=496(米),
∴BE=AB-AE=496-200=296(米),
∵∠CFE=∠FEB=∠CBE=90°,
∵四边形FEBC为矩形,
∴CF=BE=296(米).
CF
在Rt△CDF中,∠DFC=90°,sin D= ,
CD
CF 296
∴CD= ≈ =462.5(米).
sin40° 0.64
答:观光船从C处航行到D处的路程约为462.5米.
方法指导
求角的三角函数值或者求线段的长时,我们通常需要观察图形将所求的角或线段转化到直
角三角形中(如果没有直角三角形,就设法构造直角三角形),再利用锐角三角函数求解.
20.解析 (1)补全频数直方图,如图所示.
(2)三.详解:将数据按从小到大或从大到小的顺序排列后,第100,101个数据位于第三组,故中位
数落在第三组.
(3)30%;108.详解:第二组的学生人数占调查总人数的百分比为60÷200=30%,对应的扇形圆心角
为360°×30%=108°.
30
(4)2 200× =330(人).
200
答:该校学生中约有330人需要增加自主发展兴趣爱好时间.
21.解析 (1)3∶4.1 1 1 1 1
(2) ; .详解:∵BE∶AB=1∶2,S =1,∴S = S = .∵CD∶BC=1∶3,∴S = S =
△ABC △BEC △ABC △CDE △BEC
2 6 2 2 3
1
.
6
a 1 a 1
(3) .详解:∵BE∶AB=1∶m,S =a,∴S = S = .∵CD∶BC=1∶n,∴S =
△ABC △BEC △ABC △CDE
mn m m n
a
S = .
△BEC
mn
2
22.解析 (1)∵点A(-1,m)在反比例函数y=- 的图象上,
x
2
∴m=- =2,
-1
∴A(-1,2),
∵AD⊥x轴,
∴AD=2,OD=1,
∴CD=AD=2,
∴OC=CD-OD=2-1=1,
∴C(1,0),
∵点A(-1,2),C(1,0)在一次函数y=kx+b的图象上,
∴{-k+b=2,解得{k=-1,
k+b=0, b=1,
∴一次函数的表达式为y=-x+1.
(2)在Rt△ADC中,由勾股定理得,
AC= = =2 ,
√AD2+CD2 √22+22 √2
∴CE=AC=2√2,
当点E在点C的左侧时,a=1-2√2,
当点E在点C的右侧时,a=1+2√2,
∴a的值为1-2√2或1+2√2.
23.证明 (1)∵BE=FD,
∴BE+EF=FD+EF,即BF=DE,
∵AB∥CD,
∴∠ABF=∠CDE,
又∵∠BAF=∠DCE=90°,
∴△ABF≌△CDE(AAS).
(2)若选择条件①,四边形AECF是菱形.
证明:由(1)得△ABF≌△CDE,
∴AF=CE,∠AFB=∠CED,
∴AF∥CE,∴四边形AECF是平行四边形,
∵∠BAF=90°,BE=EF,
1
∴AE= BF,
2
∵∠BAF=90°,∠ABD=30°,
1
∴AF= BF,
2
∴AE=AF,
∴平行四边形AECF是菱形.
若选择条件②,四边形AECF是菱形.
证明:如图,连接AC交BD于点O,
由(1)得,△ABF≌△CDE,
∴AF=CE,∠AFB=∠CED,
∴AF∥CE,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴AO=CO,
∵AB=BC,
∴BO⊥AC,
即EF⊥AC,
∴平行四边形AECF是菱形.
24.解析 (1)由题意得y=8.2-0.2(x-1)=-0.2x+8.4,
∴批发价y(元/千克)与购进数量x(箱)之间的函数关系式是y=-0.2x+8.4.
(2)设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元,
则w=[12-0.5(x-1)-y]×10x
=[12-0.5(x-1)-(-0.2x+8.4)]×10x
=-3x2+41x=-3( 41) 2+1681,
x-
6 12
∵-3<0,
∴抛物线开口向下,
41
∵对称轴是直线x= ,
6
41
∴当1≤x≤ 时,w随x的增大而增大,
641
当 ≤x≤10时,w随x的增大而减小,
6
∵x为正整数,当x=6时,w=138,当x=7时,w=140,140>138,
∴李大爷每天应购进这种水果7箱,才能使每天所获利润最大,最大利润是140元.
方法指导
用二次函数解决实际问题中的最值问题的一般步骤:(1)设出实际问题中的变量;(2)建立函
数关系式;(3)利用待定系数法或根据题意列等式求出函数关系式;(4)确定自变量的取值范围;
(5)利用二次函数的性质求出最值,并检验最值是否符合实际意义.
25.解析 (1)如图,在Rt△ABC中,由勾股定理得,
AC= = =4,
√AB2-BC2 √25-9
∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE,
∴AD=5,DE=3,AE=4,∠AED=90°,∠BAD=90°,
∵EQ⊥AD,
∴∠AQE=∠AED=90°,
又∵∠EAQ=∠DAE,
∴△AQE∽△AED,
AQ AE
∴ = ,
AE AD
t 4
∴ = ,
4 5
16
∴t= .
5
16
答:当EQ⊥AD时,t的值为 .
5
(2)如图,分别过点C,P作CM⊥AD,PN⊥BC,垂足分别为M,N,
∵∠B+∠BAC=90°,∠CAM+∠BAC=90°,
∴∠B=∠CAM,又∵∠BCA=∠AMC=90°,
∴△ABC∽△CAM,
AB BC AC
∴ = = ,
CA AM CM
5 3 4
∴ = = ,
4 AM CM
12 16
∴AM= ,CM= ,
5 5
∵∠B=∠B,∠BNP=∠BCA=90°,
∴△BPN∽△BAC,
BP PN
∴ = ,
BA AC
t PN
∴ = ,
5 4
4
∴PN= t,
5
1 1 4 6
∴S = ·BC·PN= ×3× t= t,
△PBC
2 2 5 5
1 1
∵S = ·BC·AC= ×3×4=6,
△ABC
2 2
1 1 16
S = ·AD·CM= ×5× =8,
△ACD
2 2 5
1 1
S = ·AQ·AP= t(5-t),
△APQ
2 2
∴S=S +S -S -S
△ABC △ACD △APQ △BPC
1 6
=6+8- t(5-t)- t
2 5
1 37
= t2- t+14.
2 10
65
(3)存在t= ,使PQ∥CD.理由:
29
假设存在某一时刻t,使PQ∥CD,如图,
12
∵AD=5,AM= ,
5
12 13
∴DM=AD-AM=5- = ,
5 5
∵PQ∥CD,
∴∠AQP=∠ADC,又∵∠PAQ=∠CMD=90°,
∴△APQ∽△MCD,
AP AQ
∴ = ,
MC MD
5-t t
∴ 16 =13,
5 5
65
∴t= ,
29
65
∴存在t= ,使PQ∥CD.
29
方法指导
数学中的动点问题的大致解题思路:一般先用未知数表示发生变化的量,然后用含有未知数
的代数式去表示其他相关的量,得出函数关系式,同时注意自变量的取值变化导致图形的变化.
