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A.27 B.1 C.(9√3) D.(27√3)
4 4 2 8
12.A 在Rt△AOB中,OB=OA·cos∠AOB=OA·cos 30°
=(√3)OA,
2
2
在Rt△BOC中,OC=OB·cos∠BOC=OA·cos 30°·cos 30°=(√3)OA,
2
3
在Rt△COD中,OD=OC·COS∠COD=(√3) OA,
2
……
在Rt△FOG,OG=(√3) 6 OA=27×24= 4 .
2 26 27
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,满分18分)
13.(2021山东烟台,6,3分)若代数式√2-x在实数范围内有意义,则x的取值范围为 .
13.答案 x≤2
解析 由题意得2-x≥0,∴x≤2.
14.(2021山东烟台,14,3分)《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图所示,在井口A处立
一根垂直于井口的木杆AB,从木杆的顶端B观察井水水岸D,视线BD与井口的直径AC交于点E,如果测得AB=1米,
AC=1.6米,AE=0.4米,那么CD为 米.
14.答案 3
解析 ∵AB∥CD,∴∠B=∠CDE,
AB AE
又∵∠AEB=∠CED,∴△ABE∽△CDE,∴ = ,
CD CE
∵AC=1.6米,AE=0.4米,∴CE=AC-AE=1.2米,
1 0.4
∴ = ,∴CD=3米.
CD 1.2
15.(2021山东烟台,15,3分)幻方历史悠久,传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛书用今天的数学符号翻译出来,
就是一个三阶幻方,将数字1—9分别填入如图所示的幻方中,要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的数字之
和都是15,则a的值为 .15.答案 2
解析 如图,
6 m a
n
8 3
{6+m+a=15,
由题意得 m+n+3=15,
8+n+a=15,
{m+a=9①,
整理得 m+n=12②,
a+n=7③,
①-②得a-n=-3④,③+④得2a=4,∴a=2.
16.(2021山东烟台,16,3分)数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度,已知无人机的飞行高度为40米,当无人机
与旗杆的水平距离是45米时,观测旗杆顶部的俯角为30°,则旗杆的高度约为 米.(结果精确到1米,参考数据:
√2≈1.41.√3≈1.73)
16.答案 14
解析 如图,过A作AC⊥CF,垂足为C,过E作EB⊥AC,垂足为B.由题意得BE=45米,
AC=40米,BC=EF,
∵AD∥BE,∴∠DAE=∠AEB=30°,
在Rt△ABE中,∠ABE=90°,
∴AB=BE·tan∠AEB=45×tan30°=15√3米.
∴BC=AC-AB=40-15√3≈40-25.95≈14米,
∴EF=14米.
即旗杆的高度为14米.
17.(2021山东烟台,17,3分)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,☉O是△ABC的外接圆,点A,B,O在
网格线的交点上,则sin∠ACB的值是 .2√5
17.答案
5
解析 连接AO并延长交☉O于点D.由题意得AD为☉O的直径,∴∠ABD=90°,
在Rt△ABD中,AB=4,BD=2,
∴AD= = =2 .
√AB2+BD2 √42+22 √5
AB 4 2√5
∴sin∠ADB= = = .
AD 2√5 5
2√5
又∵∠ADB=∠ACB,∴sin∠ACB= .
5
18.(2021山东烟台,18,3分)综合实践活动课上,小亮将一张面积为24 cm2,其中一边BC为8 cm的锐角三角形纸片
(如图1),经过两刀裁剪,拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE(如图2),则矩形的周长为 cm.
18.答案 22
解析 由题意得S △ABC =S 矩形BCDE =24 cm2.
∵S =BE·BC,BC=8 cm,∴BE=3 cm.
矩形BCDE
∴矩形的周长为×(8+3)=22 cm.
三、解答题(本大题共7个小题,满分66分)
19.(2021山东烟台,19,6分)(本题满分6分)
先化简,再求值:(2x+5
-
3 )÷ 2-x ,从-20)的图象交于点A,过点A作AB⊥y轴于点B,OB=4,点C在线段AB上,
2 x
且AC=OC.
(1)求k的值及线段BC的长;
(2)点P为B点上方y轴上一点,当△POC与△PAC的面积相等时,请求出点P的坐标.
21.解析 (1)∵OB=4,AB⊥y轴,∴点A的纵坐标为4,
1
∵点A在正比例函数y= x的图象上,
2
1
∴4= x,∴x=8,∴A(8,4),
2
k
∵点A(8,4)在反比例函数y= (x>0)的图象上,
x
k
∴4= ,∴k=32.
8
AB=8,设BC=x,则AC=8-x,
∵AC=OC,∴OC=8-x,
在Rt△BOC中,∠OBC=90°,∴OB2+BC2=OC2,
即42+x2=(8-x)2,解得x=3,∴BC=3.
1 3
(2)S = ·OP·BC= OP.
△POC
2 2
1 1 1 5
S = AC·BP= (AB-BC)·(OP-OB)= ×(8-3)×(OP-4)= OP-10.
△PAC
2 2 2 2
3 5
∵S =S ,∴ OP= OP-10,∴OP=10,
△POC △PAC
2 2
又∵点P为点B上方y轴上一点,∴P(0,10).
22.(2021山东烟台,22,9分)(本题满分9分)直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售,如果按每件60元销
售,每天可卖出20件.通过市场调查发现,每件小商品售价每降低5元,日销售增加10件.
(1)若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款商品,每件应定为多少元?
(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品,标价为每件62.5元.为提高市场竞争力,促进线下销售,小明决定对该商品
实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该商品至少需打几折销售?
22.解析 (1)设售价定为x元,
根据题意得(x-40)·( 60-x)=(60-40)×20,
20+10×
5
解得x=50,x=60(舍去).
1 2
答:售价应定为50元.
(2)设该商品需要打m折销售,
m
根据题意得62.5× ≤50,解得m≤8.
10
答:该商品至少打8折销售.
23.(2021山东烟台,23,10分)(本题满分10分)
如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)请按如下要求完成尺规作图.(不写作法,保留作图痕迹)
①作∠BAC的角平分线AD,交BC于点D;
②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O;
③以点O为圆心,OD长为半径画圆,交边AB于点M.
(2)在(1)的条件下,求证:BC是☉O的切线;
(3)若AM=4BM,AC=10,求☉O半径.
23.解析 (1)如图所示.
(2)证明:∵EF垂直平分线段AD,∴OD=OA,
∴∠ODA=∠OAD,
∵OD平分∠BAC,∴∠OAD=∠CAD,
∴∠ODA=∠CAD,∴OD∥AC,
∵∠C=90°,∴∠ODB=90°,∴BC是☉O的切线.
1
(3)由题意知OM=OA=OD= AM,
2
设OM=OD=OA=r,∴AM=2r=4BM,
r 3 5
∴BM= ,∴BO=BM+OM= r,AB=BM+AM= r,
2 2 2∵∠ODB=∠C=90°,∠B=∠B,
OD OB
∴△OBD∽△ABC,∴ = ,
AC AB
3
r
r 2
∴ = ,∴r=6,
10 5
r
2
∴☉O的半径为6.
24.(2021山东烟台,24,11分)(本题满分11分)
有公共顶点A的正文形ABCD与正文形AEGF按如图1所示放置,点E,F分别在边AB和AD上,连接BF,DE,M是
BF的中点,连接AM交DE于点N.
【观察猜想】(1)线段DE与AM之间的数量关系是 ,位置关系是 ;
【探究证明】
(2)将图1中的正文形AEGF绕点A顺时针旋转45°,点G恰好落在边AB上,如图2,其他条件不变,线段DE与AM之
间的关系是否仍然成立?并说明理由.
24.(1)OE=2AM;DE⊥AM.
(2)仍然成立.
证明如下:
,
∵M是BF的中点,∴BM=FMM
又∵∠AMB=∠HMF,∴△AMB≌△HMF(SAS),
∴AB=HF,∠ABM=∠HFM,∴AB∥HF,
∴∠HFG=∠AGF,
∵四边形ABCD和四边形AEGF是正方形,
∴∠DAB=∠AFG=90°,AE=AF,AD=AB=FH,∠EAG=∠AGF,
∴△EAD≌△AFH(SAS),
∴DE=AH,
又∵AM=MH,∴DE=AM+MH=2AM,
∵△EAD≌△AFH,∴∠ADE=∠FHA,
∴△AMB≌△HMF,∴FHA=∠BAM,
又∵∠BAM+∠DAM=∠DAB=90°,∴∠ADE+∠DAM=90°,
∴AND=180°-(∠ADE+DAM)=90°,即AN⊥DN.
故线段DE与AM之间的数量关系是DE=2AM.线段DE与AM之间的位置关系是DE⊥AM.
25.(2021山东烟台,25,14分)(本题满分14分)
如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,0),B(4,0),与y轴正半轴交于点C,且OC=2OA,抛物线的顶点为D,对称轴交x
轴于点E.直线y=mx+n经过B,C两点.
(1)求抛物线及直线BC的函数表达式;
(2)点F是抛物线对称轴上一点,当FA+FC的值最小时,求出点F的坐标及FA+FC的最小值;
(3)连接AC,若点P是抛物线上对称轴右侧一点,点Q是直线BC上一点,试探究是否存在以点E为直角顶点的
Rt△PEQ,且满足tan∠EQP=tan∠OCA.若存在.求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
25.解析 (1)∵OC=2OA,A(-2,0),
∴OA=2,∴OC=4,即C(0,4),
∵A(-2,0),B(4,0),C(0,4)在y=ax2+bx+c的图象上,
1
{4a-2b+c=0, { a=- ,
∴ 解得 2
16a+4b+c=0,
b=1,
c=4.
c=4,
1
∴抛物线的表达式为y=- x2+x+4.
2
∵直线y=mx+n过点B(4,0),C(0,4),
{ 4m+n=0, {m=-1,
∴ 解得
0×m+n=4, n=4,
∴直线的表达式为y=-x+4.
(2)∵点A、B关于抛物线的对称轴对称,故设抛物线的对称轴交BC于点下,
则点F为所求点,此时,FA+FC的值最小.
由函数的对称性知,AF=BF,
则AF+FC=BF+FC=BC为最小,当x=1时,y=-x+4=3,故点F(1,3),
由点B、C的坐标知,OB=OC=4,
则BC=√2BO=4√2,
即点F的坐标为(1,3),FA+FC的最小值为4√2.
1
(3)设点P的坐标为m,- m2+m+4,点Q的坐标为(t,-t+4),
2
①当点Q在点P的左侧时,
如图①,过点P、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为N、M,
由题意得∠PEQ=90°,∴∠PEN+∠QEM=90°,
∵∠EQM+∠QEM=90°,∴∠PEN=EQM,
∴∠QME=∠ENP=90°,∴△QME~△ENP,
PM EN PE OA 2 1
∴ = = =tan∠EQP=tan∠OCA= = = ,
ME QM QE OC 4 2
1
则PN= m2+m+4,ME=1-t,EN=m-1,QM=-t+4,
2
1
m2+m+4 m-1 1
∴-2 = = ,
-t+4 2
1-t
解得m=±√13(负值舍去),
1
m2+m+4 2√13-5
当m=√13时,-2 = ,
2
1-t
故点P的坐标为( 2√13-5),
√13,
2
②当点Q在点P的右侧时,
分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线,垂足分别为N、M,如图2,
