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泰安市2022 年初中学业水平考试
一、选择题(本大题共12小题 ,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,
请把正确的选项选出来,每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个,
均记零分)
( 1)
1.(2022山东泰安,1,4分)计算(-6)× - 的结果是 ( )
2
A.-3 B.3 C.-12 D.12
2.(2022山东泰安,2,4分)下列运算正确的是 ( )
A.6x-2x=4 B. a-2·a3=a-6
C.x6÷x3=x3 D.(x-y)2=x2-y2
3.(2022山东泰安,3,4分)下列图形:
其中轴对称图形的个数是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4.(2022山东泰安,4,4分)2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装
的光伏电站,据测算,每年可输出约44.8万度的清洁电力.将44.8万度用科学记数
法可以表示为 ( )
A.0.448×106度 B.44.8×104度
C.4.48×105度 D.4.48×106度
5.(2022山东泰安,5,4分)如图,l∥l,点A在直线l上,点B在直线l上,
1 2 1 2
AB=BC,∠C=25°,∠1=60°,则∠2的度数是 ( )
A.70° B.65° C.60° D.55°
6.(2022山东泰安,6,4分)如图,AB是☉O的直径,∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,
则☉O的半径为( )A.2√3 B.3√2 C.2√5 D.√5
7.(2022山东泰安,7,4分)某次射击比赛,甲队员的成绩如图,根据此统计图,下
列结论中错误的是 ( )
A.最高成绩是9.4环
B.平均成绩是9环
C.这组成绩的众数是9环
D.这组成绩的方差是8.7环2
8.(2022山东泰安,8,4分)如图,四边形ABCD中,∠A=60°,AB∥CD,DE⊥AD交
AB于点E,以点E为圆心,DE长为半径,且DE=6的圆交CD于点F,则阴影部分的
面积为 ( )
A.6π-9√3 B.12π-9√3
9√3 9√3
C.6π- D.12π-
2 2
9.(2022山东泰安,9,4分)抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的
对应值如下表:
x-2-101
y0 4 66
下列结论不正确的是 ( )
A.抛物线的开口向下
1
B.抛物线的对称轴为直线x=
2C.抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0)
25
D.函数y=ax2+bx+c的最大值为
4
10.(2022山东泰安,10,4分)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:
“六贯二百一十钱,遣人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意
为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文,那么
少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6 210文能买多少
株椽?设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是 ( )
A.3(x-1)x=6 210 B.3(x-1)=6 210
C.(3x-1)x=6 210 D.3x=6 210
11.(2022山东泰安,11,4分)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点
O,点E为BC的中点,连接EO并延长交AD于点F,∠ABC=60°,BC=2AB,下列结
1
论:①AB⊥AC;②AD=4OE;③四边形AECF是菱形;④S = S ,其中正确结
△BOE 4 △ABC
论的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
12.(2022山东泰安,12,4分)如图,四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=4,点P是线
段BC上一动点,点M为线段AP上一点,∠ADM=∠BAP,则BM的最小值为 (
)
5 12 3
A. B. C.√13- D.√13-2
2 5 2
二、填空题(本大题共6小题,满分24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4
分)
√4
13.(2022山东泰安,13,4分)计算:√8×√6-3 = .
3
14.(2022山东泰安,14,4分)如图,四边形ABCD为平行四边形,则点B的坐标为
.15.(2022山东泰安,15,4分)如图,在△ABC中,∠B=90°,☉O过点A、C,与AB
交于点D,与BC相切于点C,若∠A=32°,则∠ADO= .
16.(2022山东泰安,16,4分)如图,某一时刻太阳光从窗户射入房间内,与地面的
夹角∠DPC=30°,已知窗户的高度AF=2 m,窗台的高度CF=1 m,窗外水平遮阳
篷的宽AD=0.8 m,则CP的长度为 (结果精确到0.1 m).
17.(2022山东泰安,17,4分)将从1开始的连续自然数按以下规律排列:
第1行 1
第2行 2 3 4
第3行 5 6 7 8 9
第4行 10111213141516
第5行171819202122232425
……
若有序数对(n,m)表示第n行,从左到右第m个数,如(3,2)表示6,则表示99的
有序数对是 .
18.(2022山东泰安,18,4分)如图,四边形ABCD为正方形,点E是BC的中点,将
正方形ABCD沿AE折叠,得到点B的对应点为点F,延长EF交线段DC于点P,若
AB=6,则DP的长度为 .三、解答题(本大题共7小题,满分78分,解答应写出必要的文字说明、证明有
过程或推演步骤)
( 4 ) a-4
19.(2022山东泰安,19,10分)(1)化简: a-2- ÷ ;
a-2 a2-4
5x-2 3x+1
(2)解不等式:2- > .
3 4
20.(2022山东泰安,20,10分)2022年3月23日,“天宫课堂”第二课开讲,“太
空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精
彩的太空科普课.为了激发学生的航天兴趣,某校举行了太空科普知识竞赛,竞赛
结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计,按成绩分为如下5组(满分100分),
A组:75≤x<80,B组:80≤x<85,C组:85≤x<90,D组:90≤x<95,E组:
95≤x≤100,并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图,解答下列问题:
(1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩,频数直方图中m= ,
所抽取学生成绩的中位数落在 组;
(2)补全学生成绩频数直方图;
(3)若成绩在90分及以上为优秀,学校共有3 000名学生,估计该校成绩优秀的
学生有多少人;
(4)学校将从获得满分的5名同学(其中有两名男生,三名女生)中随机抽取两名,
参加周一国旗下的演讲,请利用画树状图法或列表法求抽取同学中恰有一名男生
和一名女生的概率.21.(2022山东泰安,21,10分)如图,点A在第一象限,AC⊥x轴,垂足为C,OA=2
1 k
√5,tan A= ,反比例函数y= 的图象经过OA的中点B,与AC交于点D.
2 x
(1)求k值;
(2)求△OBD的面积.
22.(2022山东泰安,22,10分)泰安某茶叶店经销泰山女儿茶,第一次购进了A种
茶30盒,B种茶20盒,共花费6 000元;第二次购进时,两种茶每盒的价格都提高
了20%,该店又购进了A种茶20盒,B种茶15盒,共花费5 100元.求第一次购进
的A、B两种茶每盒的价格.
23.(2022山东泰安,23,12分)如图,矩形ABCD中,点E在DC上,DE=BE,AC与
BD相交于点O,BE与AC相交于点F.
(1)若BE平分∠CBD,求证:BF⊥AC;
(2)找出图中与△OBF相似的三角形,并说明理由;
(3)若OF=3,EF=2,求DE的长度.
24.(2022山东泰安,24,12分)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-2,0),B
(0,-4),其对称轴为直线x=1,与x轴的另一交点为C.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点M在直线AB上,且在第四象限,过点M作MN⊥x轴于点N.
①若点N在线段OC上,且MN=3NC,求点M的坐标;②以MN为对角线作正方形MPNQ(点P在MN右侧),当点P在抛物线上时,求
点M的坐标.
备用图
25.(2022山东泰安,25,14分)问题探究
(1)在△ABC中,BD,CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线.
①若∠A=60°,AB=AC,如图1,试证明BC=CD+BE;
②将①中的条件“AB=AC”去掉,其他条件不变,如图2,问①中的结论是否成立?
并说明理由.
迁移运用
(2)若四边形ABCD是圆的内接四边形,且∠ACB=2∠ACD,∠CAD=2∠CAB,如
图3,试探究线段AD,BC,AC之间的等量关系,并证明.
图1 图2
图3泰安市2022 年初中学业水平考试
1.
( 1) 1
B (-6)× - =6× =3.故选B.
2 2
2.
C 6x-2x=4x,A错误;
a-2·a3=a,B错误;
x6÷x3=x3,C正确;
(x-y)2=x2-2xy+y2,D错误.故选C.
3.
B 由轴对称图形的定义,知第一、二、四个图形是轴对称图形.故选B.
4.
C 44.8万度=44.8×104=4.48×105度.故选C.
5.
A ∵AB=BC,
∴∠C=∠BAC=25°(等边对等角),
在△ABC中,
∠ABC+∠C+∠BAC=180°,
∴∠ABC=130°.
∵l∥l,
1 2
∴∠3=∠1=60°,
∴∠2=∠ABC-∠3=130°-60°=70°.故选A.
6.
D 如图,连接BC.
∵∠ACD=∠CAB,
∴AD=BC=2,
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,
在Rt△ABC中,AC=4,BC=2,
∴AB=√AC2+BC2=√42+22=2√5,1 1
∴AO= AB= ×2√5=√5,
2 2
即☉O的半径为√5.故选D.
7.
D 由题图可知最高成绩为9.4环,A中结论正确;
平均成绩为(9.4+8.4+9.2+9.2+8.8+9+8.6+9+9+9.4)÷10=9(环),B中结论正确;
这组成绩中9环出现的次数最多,所以众数为9环,C中结论正确;
1
方差为 ×[2×(9.4-9)2+(8.4-9)2+2×(9.2-9)2+(8.8-9)2+3×(9-9)2+(8.6-9)2]=0.096环2,D中
10
结论错误.故选D.
8.
B 如图,过点E作EG⊥CD于点G,
∵DE⊥AD,
∴∠ADE=90°,
在Rt△ADE中,∠A=60°,∴∠AED=30°,
∵AB∥CD,
∴∠AED=∠EDF=30°,
∵DE=FE,
∴∠EDF=∠EFD=30°,
∴∠DEF=180°-∠EDF-∠EFD=120°,
120π·62
∴S = =12π.
扇形DEF
360
∵EG⊥DF,∴∠DGE=90°,
在Rt△DEG中,∠EDF=30°,
1 1
∴EG= DE= ×6=3,
2 2
√3
DG=DE·cos∠EDF=6× =3√3.
2
∴DF=2DG=6√3,
1 1
∴S = DF·EG= ×6√3×3=9√3,
△DEF 2 2
∴S =S -S =12π-9√3.
阴影 扇形DEF △DEF
9.
C 把(-2,0),(-1,4),(0,6)代入y=ax2+bx+c中,得
{4a-2b+c=0, {a=-1,
a-b+c=4, 解得 b=1,
c=6, c=6,
∵a<0,∴抛物线的开口向下,A中结论正确;b 1
对称轴为直线x=- = ,B中结论正确;
2a 2
令y=0,则0=-x2+x+6,
解得x=-2,x=3,
1 2
∴抛物线与x轴的交点坐标为(-2,0),(3,0),C中结论错误;
4ac-b2 25
函数的最大值为 = ,D中结论正确.故选C.
4a 4
10.
A 由题意得(x-1)株椽的运费=一株椽的价钱,
∴一株椽的价钱为3(x-1)文,
∴x株椽的价钱为3(x-1)x文,
∴3(x-1)x=6 210.故选A.
11.
A ∵E为BC的中点,
∴BC=2BE,
∵BC=2AB,
∴BE=AB,
又∵∠ABC=60°,
∴△ABE为等边三角形,
∴∠BAE=∠AEB=60°,AE=BE,
∴AB=BE=AE=EC,
∴∠EAC=∠ECA=30°,
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=60°+30°=90°,
∴AB⊥AC,∴①正确.
∵O为AC的中点,E为BC的中点,
1
∴OE= AB,即AB=2OE.
2
又BE=AB,
∴BE=2OE,
∴AD=BC=2BE=4OE.
∴②正确.
易知∠BAC=∠EOC=90°,∴EF⊥AC,
在▱ABCD中,AD∥BC,
∴∠OBE=∠ODF,
又∵BO=DO,∠BOE=∠DOF,
∴△OBE≌△ODF,
∴OE=OF,
又∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形,
∴③正确.
如图,作OG⊥CE于点G,AH⊥BC于点H,
易知△OEC∽△ABC,OG EC 1
∴ = = ,
AH BC 2
1 1
∴S = BE·OG= EC·OG
△BOE 2 2
1 1
= BC· AH
4 2
1 1
= × BC·AH
4 2
1
= S ,∴④正确.
4 △ABC
故正确结论的个数为4.
12.
D 在矩形ABCD中,∠ABP=90°,AD∥BC,
∴∠DAM=∠APB,
又∵∠ADM=∠PAB,∴△ADM∽△PAB,
∴∠DMA=∠ABP=90°,
∴点M在以AD为直径的圆上.
如图,取AD的中点为E,
连接BE,与☉E的交点为M,
此时BM的值最小.
1 1
在Rt△ABE中,AE=EM= AD= ×4=2,AB=3,
2 2
∴BE=√AB2+AE2=√32+22=√13.
∴BM=BE-EM=√13-2.
故BM的最小值为√13-2,故选D.
13.
答案 2√3
√4 2√3
解析 √8×√6-3 =2√2×√6-3× =4√3-2√3=2√3.
3 3
14.
答案 (-2,-1)
解析 在▱ABCD中,AD=BC,AD∥BC.
∵AD=3-(-1)=4,
∴BC=4.
又C(2,-1),∴B(-2,-1).
15.
答案 64°
解析 如图,连接OC,
∵☉O与BC相切于点C,
∴OC⊥BC,
∴∠OCB=90°,
又∵∠B=90°,
∴AB∥OC,
∴∠ADO=∠DOC,
又∠DOC=2∠A,∠A=32°,
∴∠ADO=2∠A=64°.
16.
答案 4.4 m
解析 由题意得AD∥CP,
∴∠ADB=∠DPC=30°.
又∠A=∠C=90°,
∴△ADB∽△CPB,
AD AB
∴ = .
CP CB
在Rt△ADB中,AD=0.8 m,
√3 4√3
∴AB=AD·tan 30°=0.8× = m.
3 15
∵AF=2 m,CF=1 m,
∴AC=3 m,
( 4√3)
∴CB=AC-AB= 3- m,
15
4√3
0.8 15
∴ = ,
CP 4√3
3-
15
∴CP=3√3-0.8≈4.4 m.
17.
答案 (10,18)
解析 ∵1+3+5+7+…+19=100,
∴100为第10行从左到右第19个数,
∴99为第10行从左到右第18个数.即表示99的有序数对是(10,18).
18.
答案 2
解析 如图, 连接AP,
在正方形ABCD中,
AB=AD=BC=CD=6,
∠B=∠D=∠C=90°,
由折叠可得
∠B=∠AFE=90°,AB=AF=6,BE=FE,
∴∠AFP=90°,AD=AF.
在Rt△AFP与Rt△ADP中,
{AP=AP,
AF=AD,
∴Rt△AFP≌Rt△ADP(HL),
∴FP=DP,
∵E为BC的中点,BC=6,
1
∴BE=CE= BC=3,
2
∴FE=3,
设DP=x,则FP=x,CP=6-x,
∴EP=FE+FP=3+x,
在Rt△CEP中,CE2+CP2=EP2,
∴32+(6-x)2=(3+x)2,
∴x=2,∴DP=2.
19.
(a-2) 2-4 a2-4
解析 (1)原式= ×
a-2 a-4
a2-4a a2-4
= ×
a-2 a-4
a(a-4) (a+2)(a-2)
= ×
a-2 a-4
=a(a+2)
=a2+2a.
5x-2 3x+1
(2)2- > ,
3 4
2×12-4(5x-2)>3(3x+1),
24-20x+8>9x+3,
-20x-9x>3-24-8,-29x>-29,
∴x<1.
20.
解析 (1)∵C组学生共96名,占抽取学生的24%,
∴抽取学生人数为96÷24%=400.
∵B组学生占抽取学生的15%,
∴B组学生人数m=400×15%=60.
∵共抽取了400名学生的成绩,
∴中位数为从小到大排序后第200个和第201个成绩的平均数,
∴中位数落在D组.
(2)∵抽取了400名学生的成绩,
A组有20人,B组有60人,C组有96人,D组有144人,
∴E组人数为400-20-60-96-144=80.
补全学生成绩频数直方图如下.
(3)∵抽取的400名学生成绩中,
90分及以上的为D组和E组,
144+80
∴优秀占比为 ×100%=56%,
400
∴3 000×56%=1 680(人).
答:估计该校成绩优秀的学生有1 680人.
(4)画树状图如图:
∵共有20种等可能的结果,恰好抽中一名男生和一名女生的结果有12种,
12 3
∴P= = .
20 5
21.
1
解析 (1)∵∠ACO=90°,tan A= ,
2
∴AC=2OC,
在Rt△ACO中,OC2+AC2=OA2,
∴OC2+(2OC)2=(2√5)2,
∴OC=2,∴AC=4,∴A(2,4),∵B是OA的中点,∴B(1,2),
k
把B(1,2)代入y= 中,得k=2.
x
2
(2)由(1)知y= ,当x=2时,y=1,
x
∴D(2,1),∴AD=4-1=3,
1 1 3
∴S =S -S = ×3×2- ×3×(2-1)= .
△OBD △OAD △BAD 2 2 2
22.
解析 设第一次购进A种茶每盒x元,B种茶每盒y元.
{ 30x+20 y=6 000,
由题意得
1.2x×20+1.2y×15=5 100.
{x=100,
解得
y=150.
答:第一次购进的A种茶每盒100元,B种茶每盒150元.
23.
解析 (1)证明:在矩形ABCD中,
∠2=∠3=∠4,
∵DE=BE,
∴∠1=∠2,
∴∠1=∠3.
又∵BE平分∠DBC,
∴∠1=∠6,∴∠3=∠6,
又∵∠3+∠5=90°,∴∠6+∠5=90°,
∴∠BFC=90°,
∴BF⊥AC.
(2)△ECF,△BAF与△OBF相似.
理由:∵∠1=∠2,∠2=∠4,∴∠1=∠4,
又∵∠OFB=∠BFO,
∴△OBF∽△BAF.
∵∠1=∠3,∠OFB=∠EFC,
∴△OBF∽△ECF.
(3)∵△OBF∽△ECF,
EF CF 2 CF
∴ = ,∴ = ,∴3CF=2BF,
OF BF 3 BF
∴3(OC-OF)=2BF,∴3(OA-OF)=2BF,
∴3(OA-3)=2BF,∴3OA=2BF+9.
OF BF
∵△OBF∽△BAF,∴ = ,
BF AF∴BF2=OF·AF,∴BF2=OF·(OA+OF),
∴BF2=3×(OA+3),∴BF2=3OA+9.
∴BF2=2BF+9+9.
∴BF=1+√19(负值舍去),
∴DE=BE=BF+EF=1+√19+2=3+√19.
24.
解析 (1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0,-4),∴c=-4.
又∵抛物线经过点A(-2,0),对称轴为直线x=1,
{ b { 1
- =1, a= ,
∴ 2a 解得 2
4a-2b-4=0, b=-1,
1
∴二次函数的表达式为y= x2-x-4.
2
(2)①设直线AB的表达式为y=kx+n(k≠0).
∵点A(-2,0),B(0,-4)在直线AB上,
{-2k+n=0, {k=-2,
∴ 解得
n=-4, n=-4,
∴直线AB的表达式为y=-2x-4.
∵点C与点A(-2,0)关于直线x=1对称,∴C(4,0).
设点N(m,0),则NC=4-m,
∵MN⊥x轴,∴M(m,-2m-4).
∴MN=0-(-2m-4)=2m+4,
∵MN=3NC,
∴2m+4=3(4-m),
8
解得m= .
5
(8 36)
∴M ,- .
5 5
②如图,连接PQ,与MN交于点E.
设M(t,-2t-4),则N(t,0),
∵四边形MPNQ是正方形,
1
∴PQ⊥MN,NE=EP,NE= MN.
2
∴PQ∥x轴.
∴E(t,-t-2).∴NE=t+2.∴ON+EP=ON+NE=t+t+2=2t+2.
∴P(2t+2,-t-2).
1
∵点P在抛物线y= x2-x-4上,
2
1
∴ (2t+2)2-(2t+2)-4=-t-2.
2
1
解得t= ,t=-2.
1 2 2
∵点P在第四象限,
∴t=-2舍去.
1
∴t= .
2
(1 )
∴M ,-5 .
2
25.
解析 (1)①∵∠A=60°,AB=AC,
∴AB=AC=BC,
又∵BD,CE分别是∠ABC,∠BCA的平分线,
∴点D,E分别是AC,AB的中点,
1 1 1 1
∴BE= AB= BC,CD= AC= BC,
2 2 2 2
∴BC=BE+CD.
②结论成立.
理由:如图,设BD与CE交于点F,
∵BD,CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠BCA=120°,
1 1
∴∠1+∠3= ∠ABC+ ∠BCA=60°,
2 2
∴∠BFC=180°-(∠1+∠3)=120°,
∴∠5=∠6=60°,
在BC上截取BG=BE,连接FG,
则△BEF≌△BGF,
∴∠7=∠6=60°,
∴∠8=∠BFC-∠7=60°,
∴∠8=∠5,
∴△DFC≌△GFC,∴DC=GC,
∴BC=BG+GC=BE+CD.
(2)AC=AD+BC.
证明:∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠DAB+∠BCD=180°.
∵∠DAC=2∠CAB,∠BCA=2∠ACD,
∴∠DAB+∠BCD=(∠DAC+∠CAB)+(∠BCA+∠ACD)
=(2∠CAB+∠CAB)+(2∠ACD+∠ACD)
=3∠CAB+3∠ACD=180°,
∴∠CAB+∠ACD=60°.
作点B关于AC的对称点E,
连接CE,EA,AE与CD交于点F,
∴∠CAB=∠1,BC=CE,
∴∠1+∠ACD=60°,
∴∠AFC=120°,
∴∠2=∠3=60°.
在AC上截取AG=AD,连接FG,
∵∠DAC=2∠CAB,∠CAB=∠1,∴∠DAC=2∠1,
∴∠1=∠DAF,
∴△DAF≌△GAF,
∴∠2=∠4=60°,
∴∠5=∠AFC-∠4=60°,∴∠3=∠5.
∵∠BCA=2∠ACD,∠BCA=∠ECA,
∴∠ECA=2∠ACD,
∴∠ACD=∠6,
∴△CFG≌△CFE,
∴CG=CE,∴AC=AG+CG=AD+CE=AD+BC.
