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2020 年山东省滨州市中考数学试卷
一、选择题
1.下列式子中，正确的是（ ）
A. |﹣5|=﹣5 B. ﹣|﹣5|=5 C. ﹣（﹣5）=﹣5 D. ﹣（﹣5）=5
【答案】D
【解析】
试题解析：A. |﹣5|=5，故原选项错误；
B. ﹣|﹣5|=-5，故原选项错误；
C. ﹣（﹣5）=5，故原选项错误；
D. ﹣（﹣5）=5，故正确.
故选D.
2.如图，AB//CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（ ）
A. 60° B. 70° C. 80° D. 100°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠CPF=55°，
∵PF是∠EPC的平分线，
∴∠CPE=2∠CPF=110°，
∴∠EPD=180°-110°=70°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3.冠状病毒的直径约为80～120纳米，1纳米＝ 米，若用科学记数法表示110纳米，则正确的
结果是（ ）A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法
不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：110纳米=110×10-9米=1.1×10-7米．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边
起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可.
【详解】设点M的坐标为（x，y），
∵点M到x轴的距离为4，
∴ ，
∴ ，
∵点M到y轴的距离为5，
∴ ，
∴ ，
∵点M在第四象限内，
∴x=5，y=-4，
即点M的坐标为（5，-4）
故选：D.
【点睛】此题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，象限内点的坐标的符号特点.5.下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数为（
）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：线段是轴对称图形，也是中心对称图形；
等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；
圆是轴对称图形，也是中心对称图形；
则既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
6.如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且AB//x轴，点C、D在x轴上，若四边形
ABCD为矩形，则它的面积为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
过点A作AE⊥y轴于点E，利用反比例函数系数k 几何意义，分别得到四边形AEOD的面积为4，四边
形BEOC的面积为12，即可得到矩形ABCD的面积．
【详解】过点A作AE⊥y轴于点E，∵点A在双曲线 上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线 上，且AB//x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12-4=8，
故选：C．
【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟记k的几何意义并灵活运用其解题是关键．
7.下列命题是假命题的是（ ）
A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． B. 对角线互相垂直的矩形是正方形．
C. 对角线相等的菱形是正方形． D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方形的各种判定方法逐项分析即可．
【详解】解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；
对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；
对角线相等的菱形是正方形，正确；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
可知选项D是错误的．
故选：D．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假
关键是要熟悉课本中的性质定理．8.已知一组数据5，4，3，4，9，关于这组数据的下列描述：
①平均数是5，②中位数是4，③众数是4，④方差是4.4，其中正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
先把数据由小到大排列为3，4，4，5，9，然后根据算术平均数、中位数和众数的定义得到数据的平均数，
中位数和众数，再根据方差公式计算数据的方差，然后利用计算结果对各选项进行判断．
【详解】解：数据由小到大排列为3，4，4，5，9，
它的平均数为 =5，
数据的中位数为4，众数为4，
数据的方差= [（3-5）2+（4-5）2+（4-5）2+（5-5）2+（9-5）2]=4.4．
所以①②③④都正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，
也考查了平均数，中位数和众数的定义．
9.在 中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，然后利用垂径定理和勾股定理解答即可．
【详解】解：如图所示：∵直径AB＝15，
∴BO＝7.5，
∵OC：OB＝3：5，
∴CO＝4.5，
∵DE⊥AB，∴DC＝ ＝6，
∴DE＝2DC＝12．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理，属于常考题型，正确得出CO的长、熟练掌握上述知识是
解题关键．
10.对于任意实数k，关于x的方程 的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判定
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可．
【详解】解： ，
，
不论k为何值， ，
即 ，
所以方程没有实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2-
bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=b2-4ac=0时，方
程有两个相等的实数根，当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根．11.对称轴为直线x＝1的抛物线 （a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了
以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a＋2b＋c＞0，④3a＋c＞0，⑤a＋b≤m(am＋b)（m为任意实数），
⑥当x＜－1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x
轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵- =1，
∴b=-2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，故②正确；
③当x=2时，y=4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x=-1时，y=a-b+c=a-（-2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x=1时，y取到值最小，此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，
⑥当x＜-1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称
轴和抛物线与y轴的交点确定．
12.如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在
EF上的点 处，得到折痕BM，BM与FF相交于点N．若直线B A’交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，
则OD的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中位线定理可得AM=2，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得 A′M=A′N=2，过M点作MG⊥EF
于G，可求A′G，根据勾股定理可求MG，进一步得到BE，再根据平行线分线段成比例可求OF，从而得
到OD．
【详解】
解：∵EN=1，
∴由中位线定理得AM=2，
由折叠的性质可得A′M=2，
∵AD∥EF，
∴∠AMB=∠A′NM，∵∠AMB=∠A′MB，
∴∠A′NM=∠A′MB，
∴A′N=2，
∴A′E=3，A′F=2
过M点作MG⊥EF于G，
∴NG=EN=1，
∴A′G=1，
由勾股定理得MG= ，
∴BE=DF=MG= ，
∴OF：BE=2：3，
解得OF= ，
∴OD= - = ．
故选：B．
【点睛】考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，关键是得到矩形的宽和A′E的长．
二、填空题：本大题共8个小题．每小题5分，满分40分．
13.若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】x≥5
【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】∵ 在实数范围内有意义，
∴x−5 0，解得x 5.
故答案⩾为x≥5. ⩾
点睛：此题考查了二次根式有意义的条件.二次根式 有意义的条件是被开方数a ，同时也考查了解一
⩾0
元一次不等式
14.在等腰 A.BC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为 ．
________【答案】
【解析】
【分析】
根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解．
【详解】解：∵AB=AC，∠B=50°，
∴∠C=∠B=50°，
∴∠A=180°-2×50°=80°．
故答案为：80°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形两底角相等的性质．
15.若正比例函数 的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析
式为________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用正比例函数解析式求出交点的横坐标，再将交点的坐标代入反比例函数解析式 中求出k即可得
到答案.
【详解】令y=2x中y=2，得到2x=2，解得x=1，
∴正比例函数 的图象与某反比例函数的图象交点的坐标是（1,2），
设反比例函数解析式为 ，
将点（1,2）代入，得 ，
∴反比例函数的解析式为 ，
故答案为： .
【点睛】此题考查函数图象上点的坐标，函数图象的交点坐标，待定系数法求反比例函数的解析式，正确计算解答问题.
16.如图， 是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F，G，H，ED与 相交于点M，则
sin∠MFG的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据正方形内切圆的性质得出圆心O的位置，再根据正方形的性质、圆的切线的性质
可得 ， ，从而可得四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形，又
根据矩形的性质可得 ， ，设正方形 ABCD 的边长为 ，从而可得 ，
，然后在 中，根据正弦三角函数的定义可得 ，最后根据圆周角定理
可得 ，由此即可得出答案．
【详解】如图，连接EG、HF
由正方形内切圆的性质得：EG与HF的交点即为圆心O
四边形ABCD是正方形
由圆的切线的性质得：
四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形，
设正方形ABCD的边长为 ，则
的半径为
在 中，
由圆周角定理得：
则
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、正弦三角函数、正方形的性质等知识点，熟练
掌握圆的切线的判定与性质是解题关键．
17.现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】求出任取三根木棒的所有情况，再求出能组成三角形的所有情况，利用概率公式直接计算即可.
【详解】五根木棒，任意取三根共有10种情况：
3、5、8
3、5、10
3、5、13
3、8、10
3、8、13
3、10、13
5、10、13
5、8、10
5、8、13
8、10、13
其中能组成三角形的有：
①3、8、10，由于8-3<10<8+3,所以能构成三角形；
②5、10、13，由于10-5<13<10+5，所以能构成三角形；
③5、8、10，由于8-5<10<8+5，所以能构成三角形；
④8、10、13，由于10-8<13<10+8，所以能构成三角形；
所以有4种方案符合要求，
故能构成三角形的概率是P= = ，
故答案为： .
【点睛】此题考查三角形的三边关系，列举法求事件的概率，列举法求概率的关键是在列举所有情况时考
虑要全面，不能重复也不能遗漏.
18.若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先解不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组无解可得关于a的不等式，解不等式即得答案．【详解】解：对不等式组 ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∵原不等式组无解，
∴ ，
解得： ．
故答案 ： ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等
式组的方法是关键．
19.观察下列各式： ， 根据其中的规律可得 ________
（用含n的式子表示）．
【答案】
【解析】
【分析】
观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为 3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，
3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2-1，即第n项的分子是n2+
（-1）n+1；依此即可求解．
【详解】解：由分析得 ，
故答案为：
【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，
并进行推导得出答案．
20.如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为 则正方形ABCD
的面积为________【答案】
【解析】
【分析】
如图，将△ABP绕点B顺时针旋转 90°得到△CBM，连接 PM，过点 B作BH⊥PM于H．首先证明
∠PMC=90°，推出∠CMB=∠APB=135°，推出A，P，M共线，利用勾股定理求出AB2即可．
【详解】解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．
∵BP=BM= ，∠PBM=90°，
∴PM= PB=2，
∵PC=4，PA=CM=2 ，
∴PC2=CM2+PM2，
∴∠PMC=90°，
∵∠BPM=∠BMP=45°，
∴∠CMB=∠APB=135°，
∴∠APB+∠BPM=180°，
∴A，P，M共线，∵BH⊥PM，
∴PH=HM，
∴BH=PH=HM=1，
∴AH=2 +1，
∴AB2=AH2+BH2=（2 +1）2+12=14+4 ，
∴正方形ABCD的面积为14+4 ．
故答案为14+4 ．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的
关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答时请写出必要的演推过程．
21.先化筒，再求值： 其中
【答案】 ，0
【解析】
【分析】
直接利用分式的混合运算法则化简，再计算x，y的值，进而代入得出答案．
【详解】解：
，
，
，；
∵ ，
所以，原式 ．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题的关键．
22.如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 相交于点P，并分别与x轴相交于
点A、B．
（1）求交点P的坐标；
（2）求 PAB的面积；
（3）请把图象中直线 在直线 上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值
范围．
【答案】（1） ；（2）3；（3）
【解析】
【分析】
（1）解析式联立，解方程组即可求得交点P的坐标；
（2）求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）根据图象求得即可．【详解】解: 根据题意，交点 的横、纵坐标是方程组 的解
解这个方程组，得
交点 的坐标为
直线 与 轴的交点 的坐标为
直线 与 轴交点 的坐标为
的面积为
在图象中把直线 在直线 上方的部分
描黑加粗，图示如下:
此时自变量 的取值范围为
【点睛】
本题考查了两条直线平行或相交问题，两条直线的交点坐标是两条直线的解析式构成的方程组的解．
23.如图，过□ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC．CD、DA于
点P、M、Q、N．
（1）求证： PBE≌ QDE；
（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由ASA证△PBE≌△QDE即可；
（2）由全等三角形的性质得出 EP=EQ，同理△BME≌△DNE（ASA），得出 EM=EN，证出四边形
PMQN是平行四边形，由对角线PQ⊥MN，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB=ED，AB∥CD，
∴∠EBP=∠EDQ，
在△PBE和△QDE中，
，
∴△PBE≌△QDE（ASA）；
（2）证明：如图所示：
∵△PBE≌△QDE，
∴EP=EQ，
同理：△BME≌△DNE（ASA），
∴EM=EN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵PQ⊥MN，
∴四边形PMQN是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的
判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
24.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；
若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【答案】（1）450千克；（2）当月销售利润为元 时，每千克水果售价为 元或 元；（3）当该
优质水果每千克售价为 元时，获得的月利润最大
【解析】
【分析】
（1）根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案；
（2）设每千克水果售价为 元，根据题意列方程解答即可；
（3）设月销售利润为 元，每千克水果售价为 元，根据题意列函数关系式，再根据顶点式函数关系式
的性质解答即可．
【详解】解： 当售价为 元/千克时，每月销售量为 千克.
设每千克水果售价为 元，由题意，得
即
整理，得
配方，得
解得
当月销售利润为元 时，每千克水果售价为 元或 元
设月销售利润 元，每千克水果售价为 元，
由题意，得即
配方，得
，
当 时， 有最大值
当该优质水果每千克售价为 元时，获得的月利润最大．
【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，顶点式二次函数的性质，正确理解题意，根据题意对应的列
方程或是函数关系式进行解答，并正确计算．
25.如图，AB是 的直径，AM和BN是它的两条切线，过 上一点E作直线DC，分别交AM、BN
于点D、C，且DA＝DE．
（1）求证：直线CD是 的切线；
（2）求证：
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OD，OE，证明 OAD≌△OED，得∠OAD=∠OED=90°，进而得CD是切线；
△
（2）连接 OC，得 AM∥BN，得 ，再证明 ，进而得出结论
．【详解】解(1)如图,连接
是 的切线，
在 和 中,
是 的切线.
(2)连接 是 的切线，
又 是 的切线，
平分 平分
又
又 ,又
【点睛】本题考查了圆的切线的性质与判定，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，关键
是正确作辅助线构造全等三角形与直角三角形．
26.如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B ，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离
为d，求证：PF＝d；
（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使 DFQ的周长最小，并求此时 DFQ周长
的最小值及点Q的坐标． △
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） ，
【解析】
【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，-1），可以假设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，把点B坐标代入求出
a即可．
（2）由题意P（m， ），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题．
（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为 DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF
△
是定值= ，推出DQ+QF的值最小时， DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即
△
可．
【详解】解: 设抛物线的函数解析式为
由题意,抛物线的顶点为
又 抛物线与 轴交于点
抛物线的函数解析式为
（2）证明：∵P（m，n），
∴ ，
∴P（m， ），
∴ ，
∵F（2，1），∴ ，
∵ ， ，
∴d2=PF2，
∴PF=d．
（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．
∵△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值= ，
∴DQ+QF的值最小时， DFQ的周长最小，
∵QF=QH， △
∴DQ+DF=DQ+QH，
根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，
∴DQ+QH的最小值为6，
∴△DFQ的周长的最小值为 ，此时Q（4，- ）．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知识，解题 关
键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题．本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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