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山东省威海市 2018 年中考数学试卷
一、选择题
1. ﹣2的绝对值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，
所以﹣2的绝对值是2，故选A．
2.下列运算结果正确的是（ ）
A. a2•a3=a6 B. ﹣（a﹣b）=﹣a+b C. a2+a2=2a4 D. a8÷a4=a2
【答案】B
【解析】
分析：直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、去括号法则分别计算得出答案．
详解：A、a2•a3=a5，故此选项错误；
B、﹣（a﹣b）=﹣a+b，正确；
C、a2+a2=2a2，故此选项错误；
D、a8÷a4=a4，故此选项错误；
故选B．
点睛：此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、去括号法则，正确掌握相关运算法则是解题
关键．
3.若点（﹣2，y），（﹣1，y），（3，y）在双曲线y= （k＜0）上，则y，y，y 的大小关系是（
1 2 3 1 2 3
）
A. y＜y＜y B. y＜y＜y C. y＜y＜y D. y＜y＜y
1 2 3 3 2 1 2 1 3 3 1 2
【答案】D
【解析】
分析：直接利用反比例函数的性质分析得出答案.详解：∵点（﹣2，y），（﹣1，y），（3，y）在双曲线y= （k＜0）上，
1 2 3
∴（﹣2，y），（﹣1，y）分布在第二象限，（3，y）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，
1 2 3
∴y＜y＜y．
3 1 2
故选D．
点睛：此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键．
4.如图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是（ ）
A 25π B. 24π C. 20π D. 15π
【答案】C
【解析】
分析：求得圆锥的底面周长以及母线长，即可得到圆锥的侧面积．
详解：由题可得，圆锥的底面直径为8，高为3，
∴圆锥的底面周长为8π，
圆锥的母线长为 =5，
∴圆锥的侧面积= ×8π×5=20π，
故选C．
点睛：本题主要考查了由三视图判断几何体以及圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧
长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
5.已知5x=3，5y=2，则52x﹣3y=（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
分析：首先根据幂的乘方的运算方法，求出52x、53y的值；然后根据同底数幂的除法的运算方法，求出52x﹣
3y的值为多少即可．
详解：∵5x=3，5y=2，∴52x=32=9，53y=23=8，
∴52x﹣3y= ．
故选D．
点睛：此题主要考查了同底数幂的除法法则，以及幂的乘方与积的乘方，同底数幂相除，底数不变，指数
相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其
指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底
数是什么，指数是什么．
6.如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣ x2刻画，斜坡可以用
一次函数y= x刻画，下列结论错误的是（ ）
A. 当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m
B. 小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C. 小球落地点距O点水平距离为7米
D. 斜坡的坡度为1：2
【答案】A
【解析】
分析：求出当y=7.5时，x的值，判定A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求
出抛物线与直线的交点，判断C，根据直线解析式和坡度的定义判断D．
详解：当y=7.5时，7.5=4x﹣ x2，
整理得x2﹣8x+15=0，解得，x=3，x=5，
1 2
∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5侧面cm，A错误，符合题意；
y=4x﹣ x2
=﹣ （x﹣4）2+8，
则抛物线的对称轴为x=4，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，不符合题意；
，
解得， ， ，
则小球落地点距O点水平距离为7米，C正确，不符合题意；
∵斜坡可以用一次函数y= x刻画，
∴斜坡的坡度为1：2，D正确，不符合题意；
故选A．
点睛：本题考查的是解直角三角形的﹣坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是
解题的关键．
7.一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是﹣2，﹣1，0，1．卡片除数字
不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果数，然后
根据概率公式求解．
详解：画树状图如下：由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有4种，
所以抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率为 = ，
故选B．
点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合
事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
8.化简（a﹣1）÷（ ﹣1）•a的结果是（ ）
A. ﹣a2 B. 1 C. a2 D. ﹣1
【答案】A
【解析】
分析：根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
详解：原式=（a﹣1）÷ •a
=（a﹣1）• •a
=﹣a2，
故选A．
点睛：本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
9.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. abc＜0 B. a+c＜b C. b2+8a＞4ac D. 2a+b＞0
【答案】D【解析】
分析：根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
详解：（A）由图象开口可知：a＜0
由对称轴可知： ＞0，
∴b＞0，
∴由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故A正确；
（B）由图象可知：x=﹣1，y＜0，
∴y=a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故B正确；
（C）由图象可知：顶点的纵坐标大于2，
∴ ＞2，a＜0，
∴4ac﹣b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，故C正确；
（D）对称轴x= ＜1，a＜0，
∴2a+b＜0，故D错误；
故选D．
点睛：本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数之间的关系，本题属
于中等题型．
10.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为 的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（ ）
A. B. 5 C. D. 5
【答案】D【解析】
【分析】
连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可．
【详解】连接OC、OA，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵AB为弦，点C为 的中点，
∴OC⊥AB，
在Rt OAE中，AE= ，
△
∴AB= ，
故选D．
【点睛】此题考查圆周角定理，关键 利用圆周角定理得出∠AOC=60°．
11.矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连
接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：延长GH交AD于点P，先证 APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH= PG，再利用勾股定理求得
△
PG= ，从而得出答案．
详解：如图，延长GH交AD于点P，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，
∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，
∴AD∥GF，
∴∠GFH=∠PAH，
又∵H是AF的中点，
∴AH=FH，
在 APH和 FGH中，
△ △
∵ ，
∴△APH≌△FGH（ASA），
∴AP=GF=1，GH=PH= PG，
∴PD=AD﹣AP=1，
∵CG=2、CD=1，
∴DG=1，
则GH= PG= × = ，
故选C．
点睛：本题主要考查矩形 性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等
知识点．12.如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，
连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（ ）
A. 18+36π B. 24+18π C. 18+18π D. 12+18π
【答案】C
【解析】
分析：作FH⊥BC于H，连接FH，如图，根据正方形的性质和切线的性质得BE=CE=CH=FH=6，则利用
勾股定理可计算出AE=6 ，通过Rt ABE≌△EHF得∠AEF=90°，然后利用图中阴影部分的面积=S
正方形
△
+S ﹣S ﹣S 进行计算．
ABCD 半圆 ABE AEF
△ △
详解：作FH⊥BC于H，连接FH，如图，
∵点E为BC的中点，点F为半圆的中点，
∴BE=CE=CH=FH=6，
AE= =6 ，
易得Rt ABE≌△EHF，
∴∠AE△B=∠EFH，
而∠EFH+∠FEH=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°，
∴∠AEF=90°，
∴图中阴影部分的面积=S +S ﹣S ﹣S
正方形ABCD 半圆 ABE AEF
△ △
=12×12+ •π•62﹣ ×12×6﹣ •6 ×6
=18+18π．
故选C．点睛：本题考查了正多边形和圆：利用面积的和差计算不规则图形的面积．
二、填空题（本题包括6小题，每小题3分，共18分）
13.分解因式：﹣ a2+2a﹣2=__．
【答案】﹣ （a﹣2）2
【解析】
分析：原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
详解：原式=﹣ （a2﹣4a+4）=﹣ （a﹣2）2，
故答案为﹣ （a﹣2）2
点睛：此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14.关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是__．
【答案】m=4．
【解析】
分析：若一元二次方程有实根，则根的判别式 =b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
还要注意二次项系数不为0． △
详解：∵关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，
∴△=4﹣8（m﹣5）≥0，且m﹣5≠0，
解得m≤5.5，且m≠5，
则m的最大整数解是m=4．
故答案为m=4．
点睛：考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（1） ＞0，方程有两个不
相等的实数根；（2） =0，方程有两个相等的实数根；（3） ＜0△方程没有实数根．△
△ △15.如图，直线AB与双曲线y= （k＜0）交于点A，B，点P是直线AB上一动点，且点P在第二象限．
连接PO并延长交双曲线于点C．过点P作PD⊥y轴，垂足为点D．过点C作CE⊥x轴，垂足为E．若点
A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（m，1），设 POD的面积为S， COE的面积为S，当S＞S 时，
1 2 1 2
点P的横坐标x的取值范围为__． △ △
【答案】﹣6＜x＜﹣2．
【解析】
分析：利用待定系数法求出k、m，再利用图象法即可解决问题；
详解：∵A（﹣2，3）在y= 上，
∴k=﹣6．
∵点B（m，1）在y== 上，
∴m=﹣6，
观察图象可知：当S＞S 时，点P在线段AB上，
1 2
∴点P的横坐标x的取值范围为﹣6＜x＜﹣2．
故答案为﹣6＜x＜﹣2．
点睛：本题考查反比例函数的性质、三角形的面积、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题，属于中考常考题型．
16.如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是 ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数
为__． △【答案】135°．
【解析】
分析：如图，连接EC．首先证明∠AEC=135°，再证明 EAC≌△EAB即可解决问题.
详解：如图，连接EC． △
∵E是 ADC的内心，
△
∴∠AEC=90°+ ∠ADC=135°，
在 AEC和 AEB中，
△ △
，
∴△EAC≌△EAB，
∴∠AEB=∠AEC=135°，
故答案为135°．
点睛：本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构
造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
17.用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影
部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如
图③所示的正方形，其阴影部分的面积为__．【答案】44﹣16 ．
【解析】
分析：图①中阴影部分的边长为 =2 ，图②中，阴影部分的边长为 =2 ；设小矩形的长为a，
宽为b，依据等量关系即可得到方程组，进而得出a，b的值，即可得到图③中，阴影部分的面积．
【解答】解：由图可得，图①中阴影部分的边长为 =2 ，图②中，阴影部分的边长为 =2 ；
设小矩形的长为a，宽为b，
依题意得： ，
解得 ，
∴图③中，阴影部分的面积为（a﹣3b）2=（4 ﹣2 ﹣6 +6 ）2=44﹣16 ，
故答案为44﹣16 ．
点睛：本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二次根式的化简，当问题较复杂时，有时设与要求的未
知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
18.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，2），以点O为圆心，以OA 长为半径画弧，交直线
1 1
y= x于点B ．过B 点作B A∥y轴，交直线y=2x于点A，以O为圆心，以OA 长为半径画弧，交直线
1 1 1 2 2 2
y= x于点B ；过点B 作B A∥y轴，交直线y=2x于点A，以点O为圆心，以OA 长为半径画弧，交直
2 2 2 3 3 3线y= x于点B ；过B 点作B A∥y轴，交直线y=2x于点A，以点O为圆心，以OA 长为半径画弧，交
3 3 3 4 4 4
直线y= x于点B ，…按照如此规律进行下去，点B 的坐标为__．
4 2018
【答案】（22018，22017）．
【解析】
分析：根据题意可以求得点B 的坐标，点A 的坐标，点B 的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而
1 2 2
可以求得点B 的坐标．
2018
详解：由题意可得，
点A 的坐标为（1，2），
1
设点B 的坐标为（a， a），
1
，解得，a=2，
∴点B 的坐标为（2，1），
1
同理可得，点A 的坐标为（2，4），点B 的坐标为（4，2），
2 2
点A 的坐标为（4，8），点B 的坐标为（8，4），
3 3
……
∴点B 的坐标为（22018，22017），
2018
故答案为（22018，22017）．
点睛：本题考查一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标
的变化规律，求出相应的点的坐标．三、解答题（本题包括7小题，共6 6分）
19.解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】原不等式组的解集为﹣4＜x≤2，在数轴上表示见解析．
【解析】
分析：根据解一元一次不等式组的步骤，大小小大中间找，可得答案
详解：解不等式①，得x＞﹣4，
解不等式②，得x≤2，
把不等式①②的解集在数轴上表示如图
，
原不等式组的解集为﹣4＜x≤2．
点睛：本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式组的解集的表示方法是解题关键．
20.某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时
20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了 ，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后
每小时生产多少个零件？
【答案】软件升级后每小时生产80个零件．
【解析】
分析：设软件升级前每小时生产x个零件，则软件升级后每小时生产（1+ ）x个零件，根据工作时间=工
作总量÷工作效率结合软件升级后节省的时间，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
详解：设软件升级前每小时生产x个零件，则软件升级后每小时生产（1+ ）x个零件，
根据题意得： ，
解得：x=60，经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，
∴（1+ ）x=80．
答：软件升级后每小时生产80个零件．
点睛：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21.如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点
K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF= +1，求BC的长．
【答案】BC的长为3+ + ．
【解析】
分析：由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，
知EM=x、MF= x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．
详解：由题意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE、KF=FC，
如图，过点K作KM⊥BC于点M，
设KM=x，则EM=x、MF= x，
∴x+ x= +1，
解得：x=1，
∴EK= 、KF=2，∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3+ + ，
∴BC的长为3+ + ．
点睛：本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位
置变化，对应边和对应角相等．
22.为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之
后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调
查“一周诗词诵背数量”，根调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示．
大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表
一周诗词诵背数量 3首 4首 5首 6首 7首 8首
人数 10 10 15 40 25 20
请根据调查的信息分析：
（1）活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为 ；
（2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数；
（3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动
的效果．
【答案】（1）4.5首；（2）大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有850人；（3）
见解析.
【解析】
分析：（1）根据统计图中的数据可以求得这组数据的中位数；
（2）根基表格中的数据可以解答本题；
（3）根据统计图和表格中的数据可以分别计算出比赛前后的众数和中位数，从而可以解答本题．
解：（1）本次调查的学生有：20÷=120（名），背诵4首的有：120﹣15﹣20﹣16﹣13﹣11=45（人），
∵15+45=60，
∴这组数据的中位数是：（4+5）÷2=4.5（首），
故答案为4.5首；
（2）大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有：1200× =850（人），
答：大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有850人；
（3）活动启动之初的中位数是4.5首，众数是4首，
大赛比赛后一个月时的中位数是6首，众数是6首，
由比赛前后的中位数和众数看，比赛后学生背诵诗词的积极性明显提高，这次举办后的效果比较理想．
点睛：本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体、统计量的选择，解答本题的关键是明确题意，
找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
23.为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷
款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月
偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付
其它费用1万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）万件之间的函数关系如图所示．
（1）求该网店每月利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
（2）小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？
【答案】（1）当4≤x≤6时，w=﹣x2+12x﹣35，当6≤x≤8时，w=﹣ x2+7x﹣23；（2）最快在第7个月可
1 2
还清10万元的无息贷款．
【解析】
分析：（1）y（万件）与销售单价x是分段函数，根据待定系数法分别求直线 AB和BC的解析式，又分
两种情况，根据利润=（售价﹣成本）×销售量﹣费用，得结论；
（2）分别计算两个利润的最大值，比较可得出利润的最大值，最后计算时间即可求解．详解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
代入A（4，4），B（6，2）得： ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+8，
同理代入B（6，2），C（8，1）可得直线BC的解析式为：y=﹣ x+5，
∵工资及其他费作为：0.4×5+1=3万元，
∴当4≤x≤6时，w=（x﹣4）（﹣x+8）﹣3=﹣x2+12x﹣35，
1
当6≤x≤8时，w=（x﹣4）（﹣ x+5）﹣3=﹣ x2+7x﹣23；
2
（2）当4≤x≤6时，
w=﹣x2+12x﹣35=﹣（x﹣6）2+1，
1
∴当x=6时，w 取最大值是1，
1
当6≤x≤8时，
w=﹣ x2+7x﹣23=﹣ （x﹣7）2+ ，
2
当x=7时，w 取最大值是1.5，
2
∴ = =6 ，
即最快在第7个月可还清10万元的无息贷款．
点睛：本题主要考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，一次函数与一次不等式的应用，利用数形
结合的思想，是一道综合性较强的代数应用题，能力要求比较高．
24.如图①，在四边形BCDE中，BC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥AE，垂足分别为C，D，A，BC≠AC，点M，
N，F分别为AB，AE，BE的中点，连接MN，MF，NF．（1）如图②，当BC=4，DE=5，tan∠FMN=1时，求 的值；
（2）若tan∠FMN= ，BC=4，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；
（3）连接CM，DN，CF，DF．试证明 FMC与 DNF全等；
（4）在（3）的条件下，图中还有哪些其△它的全等△三角形？请直接写出．
【 答 案 】 （ 1 ） ； （ 2 ） 可 求 线 段 AD 的 长 ； （ 3 ） 证 明 见 解 析 ； （ 4 ）
BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．
△【解析】
分析：（1）根据四边形 ANFM 是平行四边形，AB⊥AE，即可得到四边形 ANFM 是矩形，再根据
FN=FM，即可得出矩形 ANFM 是正方形，AB=AE，结合∠1=∠3，∠C=∠D=90°，即可得到
ABC≌△EAD，进而得到BC=AD，CA=DE，即可得出 ；
△
（2）依据四边形MANF为矩形，MF= AE，NF= AB，tan∠FMN= ，即可得到 = ，依据
ABC∽△EAD，即可得到 = = ，即可得到AD的长；
△
（3）根据 ABC和 ADE都是直角三角形，M，N分别是AB，AE的中点，即可得到BM=CM，
NA=ND，进△而得出∠△4=2∠1，∠5=2∠3，根据∠4=∠5，即可得到∠FMC=∠FND，再根据FM=DN，
CM=NF，可得 FMC≌△DNF；
（4）由BM=A△M=FN，MF=AN=NE，∠FMB=∠MFN=∠MAN=∠ENF=90°，即可得到：
BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．
△详解：（1）∵点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，∴MF，NF都是 ABE的中位线，
△
∴MF= AE=AN，NF= AB=AM，
∴四边形ANFM是平行四边形，
又∵AB⊥AE，
∴四边形ANFM是矩形，
又∵tan∠FMN=1，
∴FN=FM，
∴矩形ANFM是正方形，AB=AE，
又∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠C=∠D=90°，
∴△ABC≌△EAD（AAS），
∴BC=AD=4，CA=DE=5，
∴ = ；
（2）可求线段AD的长．
由（1）可得，四边形MANF为矩形，MF= AE，NF= AB，
∵tan∠FMN= ，即 = ，
∴ = ，
∵∠1=∠3，∠C=∠D=90°，
∴△ABC∽△EAD，
∴ = = ，
∵BC=4，
∴AD=8；
（3）∵BC⊥CD，DE⊥CD，∴△ABC和 ADE都是直角三角形，
∵M，N分别△是AB，AE的中点，
∴BM=CM，NA=ND，
∴∠4=2∠1，∠5=2∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠4=∠5，
∵∠FMC=90°+∠4，∠FND=90°+∠5，
∴∠FMC=∠FND，
∵FM=DN，CM=NF，
∴△FMC≌△DNF（SAS）；
（4）在（3）的条件下，BM=AM=FN，MF=AN=NE，∠FMB=∠MFN=∠MAN=∠ENF=90°，
∴图中有： BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．
△
点睛：本题属于相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三
角形的性质以及矩形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是判定全等三角形或相似三角形，利用全
等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例得出有关结论．
25.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），
线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P 坐标；
（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M．N为顶点的四
边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线表达式为：y=﹣ （x+4）（x﹣2）=﹣ x2﹣x+4；（2）点D坐标为（﹣1，1）；
（3）点P坐标为（ ，0）或（7，0）；（4）存在（﹣1， ）、（﹣1， ）、（﹣1，﹣ ）
【解析】
分析：（1）利用待定系数法问题可解；
（2）依据垂直平分线性质，利用勾股定理构造方程；
（3）由题意画示意图可以发现由两种可能性，确定方案后利用锐角三角函数定义构造方程，求出半径及
点P坐标；
（4）通过分类讨论画出可能图形，注意利用平行四边形的性质，同一对角线上的两个端点到另一对角线
距离相等．
详解：（1）∵抛物线过点A（﹣4，0），B（2，0）
∴设抛物线表达式为：y=a（x+4）（x﹣2）
把C（0，4）带入得
4=a（0+4）（0﹣2）
∴a=﹣ ，
∴抛物线表达式为：y=﹣ （x+4）（x﹣2）=﹣ x2﹣x+4
（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=﹣ =﹣1，
∵线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，∴点D在对称轴上，
设点D坐标为（﹣1，m），
过点C做CG⊥l于G，连DC，DB，
∴DC=DB，
在Rt DCG和Rt DBH中
∵DC△2=12+（4﹣m△）2，DB2=m2+（2+1）2
∴12+（4﹣m）2=m2+（2+1）2
解得：m=1
∴点D坐标为（﹣1，1）；
（3）∵点B坐标为（2，0），C点坐标为（0，4）
∴BC= ，
∵EF为BC中垂线
∴BE=
在Rt BEF和Rt BOC中，
△ △
cos∠CBF= ,
∴ ,
∴BF=5，EF= ，OF=3
设⊙P的半径为r，⊙P与直线BC和EF都相切，
如图：①当圆心P 在直线BC左侧时，连PQ，PR ，则PQ=P R =r
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴∠PQE=∠PR E=∠R EQ=90°
1 1 1 1 1 1
∴四边形PQER 是正方形
1 1 1
∴ER =P Q=r
1 1 1 1
在Rt BEF和Rt FR P 中
1 1
△ △
tan∠1= ，
∴ ，
∴r= ，
1
∵sin∠1= ，
∴FP = ，OP = ，
1 1
∴点P1坐标为（ ，0）
②同理，当圆心P 在直线BC右侧时，
2
可求r= ，OP =7
2 2
∴P 坐标为（7，0）
2
∴点P坐标为（ ，0）或（7，0）（4）存 ，
当点P坐标为（ ，0）时，
①若DN和MP为平行四边形对边，则有DN=MP
当x= 时，y=﹣ ，
∴DN=MP=
∴点N坐标为（﹣1， ）
②若MN、DP为平行四边形对边时，M、P点到ND距离相等
则点M横坐标为﹣
则M纵坐标为﹣ ，
由平行四边形中心对称性可知，点M到N的垂直距离等于点P到点D的垂直距离，
当点N在D点上方时，点N纵坐标为 ，
此时点N坐标为（﹣1， ），
当点N在x轴下方时，点N坐标为（﹣1，﹣ ），
当点P坐标为（7，0）时，所求N点不存在．
故答案为（﹣1， ）、（﹣1， ）、（﹣1，﹣ ）
点睛：本题综合考查二次函数、圆和平行四边形存在性的判定等相关知识，应用了数形结合思想和分类讨
论的数学思想．本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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