2022 年山东威海中考数学真题
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,
只有一个是正确的.每小题选对得3分,选错、不选或多选,均不得分)
1.(2022山东威海,1,3分)-5的相反数是( )
1 1
A.5 B. C.- D.-5
5 5
2.(2022山东威海,2,3分)如图所示的几何体是由五个大小相同的小正方体搭成
的.其俯视图是 ( )
A B C D
3.(2022山东威海,3,3分)一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球和4个
黄球,每个球除颜色外都相同.从中任意摸出1个球,摸到红球的概率是 ( )
2 1 4 1
A. B. C. D.
9 3 9 2
4.(2022山东威海,4,3分)下列计算正确的是 ( )
A.a3·a3=a9 B.(a3)3=a6
C.a6÷a3=a2 D.a3+a3=2a3
5.(2022山东威海,5,3分)图1是光的反射规律示意图.其中,PO是入射光线,OQ
是反射光线,法线KO⊥MN,∠POK是入射角,∠KOQ是反射角,∠KOQ=∠POK.
图2中,光线自点P射入,经镜面EF反射后经过的点是 ( )
图1图2
A.A点 B.B点 C.C点 D.D点
6.(2022山东威海,6,3分)如图,在方格纸中,点P,Q,M的坐标分别记为(0,2),
(3,0),(1,4).若MN∥PQ,则点N的坐标可能是 ( )
A.(2,3)B.(3,3)C.(4,2)D.(5,1)
( 1 1 ) 2
7.(2022山东威海,7,3分)试卷上一个正确的式子 + ÷★= 被小颖
a+b a-b a+b
同学不小心滴上墨汁.被墨汁遮住部分的代数式为 ( )
a a-b a 4a
A. B. C. D.
a-b a a+b a2-b2
8.(2022山东威海,8,3分)如图,二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象过点(2,0),下
列结论错误的是 ( )
A.b>0
B.a+b>0
C.x=2是关于x的方程ax2+bx=0(a≠0)的一个根
D.点(x,y),(x,y)在二次函数的图象上,当x>x>2时,y<y<0
1 1 2 2 1 2 2 1
9.(2022山东威海,9,3分)过直线l外一点P作直线l的垂线PQ.下列尺规作图错
误的是 ( )
A B C D10.(2022山东威海,10,3分)由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示
的图形,∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠LOM=30°.若S =1,则图中与△AOB位
△AOB
似的三角形的面积为 ( )
(4) 3 (4) 7 (4) 6 (3) 6
A. B. C. D.
3 3 3 4
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.只要求填出最后结果)
11.(2022山东威海,11,3分)因式分解:ax2-4a= .
12.(2022山东威海,12,3分)若关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0有两个不相
等的实数根,则m的取值范围是 .
13.(2022山东威海,13,3分)某小组6名学生的平均身高为a cm,规定超过a
cm的部分记为正数,不足a cm的部分记为负数,他们的身高与平均身高的差值
情况记录如下表:
学生序号 1 2 3 4 5 6
身高差值
+2x+3-1-4-1
(cm)
据此判断,2号学生的身高为 cm.
14.(2022山东威海,14,3分)按照如图所示的程序计算,若输出y的值是2,则输
入x的值是 .15.(2022山东威海,15,3分)正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,
k
点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,4).若反比例函数y= (k≠0)的图象经过
x
点C,则k的值为 .
16.(2022山东威海,16,3分)幻方的历史很悠久,传说最早出现在夏禹时代的
“洛书”.把洛书用今天的数学符号翻译出来,就是一个三阶幻方(如图1),将9
个数填在3×3(三行三列)的方格中,如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线
上的三个数字之和都相等,就得到一个广义的三阶幻方.图2的方格中填写了一
些数字和字母,若能构成一个广义的三阶幻方,则mn= .
图1
图2
三、解答题(本大题共8小题,共72分)
17.(2022山东威海,17,6分)解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.
{4x-2≤3(x+1),
x-1 x
1- < .
2 4
18.(2022山东威海,18,7分)小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量
一段两岸平行的河流的宽度.他先在河岸设立A,B两个观测点,然后选定对岸河
边的一棵树记为点M.测得AB=50 m,∠MAB=22°,∠MBA=67°.请你依据所测数
据求出这段河流的宽度(结果精确到0.1 m).3 15 2 12 5
参考数据:sin 22°≈ ,cos 22°≈ ,tan 22°≈ ,sin 67°≈ ,cos 67°≈ ,tan
8 16 5 13 13
12
67°≈ .
5
19.(2022山东威海,19,7分)某学校开展“家国情·诵经典”读书活动.为了解学
生的参与程度,从全校学生中随机抽取200人进行问卷调查,获取了他们每人平
均每天阅读时间m(分钟)的数据.
将收集的数据分为A,B,C,D,E五个等级,绘制成如下统计图表(尚不完整):
平均每天阅读时间统计表
人数(频
等级
数)
A(10≤m<2
5
0)
B(20≤m<30
10
)
C(30≤m<4
x
0)
D(40≤m<5
80
0)
E(50≤m≤6
y
0)
平均每天阅读时间扇形统计图
请根据图表中的信息,解答下列问题:
(1)求x的值;
(2)这组数据的中位数所在的等级是 ;
(3)学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”予以表
扬.若全校学生以1 800人计算,请估计受表扬的学生人数.
20.(2022山东威海,20,8分)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,连接
AC,BD,延长CD至点E.
(1)若AB=AC,求证:∠ADB=∠ADE;
(2)若BC=3,☉O的半径为2,求sin∠BAC.21.(2022山东威海,21,9分)某农场要建一个矩形养鸡场,鸡场的一边靠墙,另外
三边用木栅栏围成.已知墙长25 m,木栅栏长47 m,在与墙垂直的一边留出1 m
宽的出入口(另选材料建出入门).求鸡场面积的最大值.
22.(2022山东威海,22,11分)(1)将两张长为8,宽为4的矩形纸片如图1叠放.
①判断四边形AGCH的形状,并说明理由;
②求四边形AGCH的面积.
(2)如图2,在矩形ABCD和矩形AFCE中,AB=2√5,BC=7,CF=√5,求四边形
AGCH的面积.
图1
图2
23.(2022山东威海,23,12分)
探索发现
(1)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(-3,0)、
B(1,0),与y轴交于点C,顶点为点D,连接AD.
①如图1,直线DC交直线x=1于点E,连接OE.求证:AD∥OE;
②如图2,点P(2,-5)为抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)上一点,过点P作PG⊥x轴,垂
足为点G.直线DP交直线x=1于点H,连接HG.求证:AD∥HG.归纳概括
(2)通过对上述两种特殊情况的证明,你是否有所发现?请仿照(1)写出你的猜想,
并在图3上画出草图.
在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点
A(-3,0),B(1,0),顶点为点D.点M为该抛物线上一动点(不与点A,B,D重合),
.
图1
图2
图3
24.(2022山东威海,24,12分)
回顾:用数学的思维思考
(1)如图1,在△ABC中,AB=AC.
①BD,CE是△ABC的角平分线.求证:BD=CE.
②点D,E分别是边AC,AB的中点,连接BD,CE.求证:BD=CE.
(从①②两题中选择一题加以证明)
猜想:用数学的眼光观察
经过做题反思,小明同学认为:在△ABC中,AB=AC,D为边AC上一动点(不与点
A,C重合).对于点D在边AC上的任意位置,在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E,使得BD=CE.进而提出问题:若点D,E分别运动到边AC,AB的延长线上,
BD与CE还相等吗?请解决下面的问题:
(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AC,AB的延长线上,请添加一
个条件(不再添加新的字母),使得BD=CE,并证明.
探究:用数学的语言表达
(3)如图3,在△ABC中,AB=AC=2,∠A=36°,E为边AB上任意一点(不与点A,B
重合),F为边AC延长线上一点.判断BF与CE能否相等.若能,求CF的取值范围;
若不能,说明理由.
图1
图2
图32022 年山东威海中考数学真题
1.A 根据相反数的定义得-5的相反数是5.
2.B 从上向下看得到的视图有两行,上边一行有三个小正方形,下边一行有一个小正方形,且在
最左边.
2 2
3.A 摸到红球的概率是 = .
2+3+4 9
4.D 选项A,a3·a3=a3+3=a6;选项B,(a3)3=a3×3=a9;选项C,a6÷a3=a6-3=a3;只有选项D正确.
5.B 如图所示:根据直线的性质补全图2并作出法线OK,
根据图形可以看出OB是反射光线.
思路分析
根据直线的性质画出被遮住的部分,再根据入射角等于反射角作出判断即
可.
6.C 根据图形,将点P向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到点M,同样将点Q向右平移
1个单位,再向上平移2个单位得到点N(4,2).
7.A 设被遮住的代数式为M,则M=( 1 1 )÷ 2 =(a-b)+(a+b)·a+b= a .
+
a+b a-b a+b (a+b)(a-b) 2 a-b
b
8.D ∵抛物线开口向下,∴a<0.由图知抛物线的对称轴为直线x=1,∴- >0,∴b>0,A正确;
2a
当x=1时,y=a+b为最大值且y>0,∴B正确;∵抛物线与x轴有两个交点,∴方程ax2+bx=0有两
个解,x=2,x=0,∴C正确;当x>2时,y随x的增大而减小且都为负值,∴D错误.
1 2
9.C 选项A,如图,连接PA,PB,QA,QB,∵PA=PB,
∴点P在线段AB的垂直平分线上,
同理可知点Q在线段AB的垂直平分线上,
∴PQ⊥l;
选项B,如图,连接PA,PB,QA,QB,
∵PA=QA,
∴点A在线段PQ的垂直平分线上,
同理点B在线段PQ的垂直平分线上,
∴PQ⊥l;
选项C,无法说明PQ⊥l;
选项D,如图,连接PA,PB,QA,QB,
∵PA=QA,
∴点A在线段PQ的垂直平分线上,
同理点B在线段PQ的垂直平分线上,
∴PQ⊥l.
10.C 与△AOB位似的三角形是△GOH,
OA √3 4
在△AOB中, = ,S =1,则S = ,
OB 2 △AOB △BOC 3
同理S
△COD
=(4) 2,S
△DOE
=(4) 3,…,∴S
△GOH
=(4) 6 .
3 3 3
思路分析
先找出与△AOB位似的三角形,再根据相似三角形性质求出与△AOB相邻的△BOC的面
积,利用这个规律求S .
△GOH
11.答案 a(x-2)(x+2)
解析 原式=a(x2-4)=a(x-2)(x+2).
12.答案 m<5
解析 由题意可得,Δ=b2-4ac>0,即(-4)2-4×1×(m-1)=20-4m>0,解得m<5.
13.答案 (a+1)
解析 (+2)+x+(+3)+(-1)+(-4)+(-1)=0.解得x=1.
∴2号学生身高为(a+1)cm.
14.答案 1
1
解析 当x>0时, +1=2,
x
解得x=1.
当x≤0时,2x-1=2,
解得x=1.5,
∵1.5>0,∴舍去.
∴x=1.
思路分析
因为不知x的正负,所以需要分类讨论,分别求
解.
15.答案 24
解析 如图,作CE⊥y轴于E,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠OBA+∠CBE=90°,
∵∠OBA+∠OAB=90°,
∴∠OAB=∠CBE,
∵∠AOB=∠CEB,
∴△AOB≌△BEC(AAS),
∴OA=BE,OB=CE,
∵点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,4).
∴OA=2,OB=4,
∴BE=2,CE=4,
∴C(4,6),
k
∵反比例函数y= (k≠0)的图象经过点C,
x
∴k=4×6=24.思路分析
作CE⊥y轴于E,先证明△AOB≌△BEC,得OA=BE,OB=CE,可得点C的坐标,从而得出k
的值.
16.答案 1
解析 如图设左下角及右下角数分别是x,y,
则-4+2+y=n+(-2)+y,解得n=0,
-4+m+x=n+2+x,解得m=6,
则mn=60=1.
{4x-2≤3(x+1)①,
17.解析
x-1 x
1- < ②,
2 4
解不等式①得x≤5,
解不等式②得x>2,
把不等式①②的解集在同一条数轴上表示为:
∴原不等式组的解集为2<x≤5.
18.解析 如图,过点M作MN⊥AB,垂足为N,
设MN=x m,
在Rt△ANM中,∠MAB=22°,
x
MN 5
∴AN= ≈2= x(m),
tan22° 2
5
在Rt△MNB中,∠MBN=67°,
x
MN 5
∴BN= ≈12= x(m),
tan67° 12
5
∵AB=50 m,
∴AN+BN=50 m,
5 5
∴ x+ x=50,
2 12
∴x≈17.1,
∴这段河流的宽度约为17.1 m.思路分析
过点M作MN⊥AB,垂足为N.设MN=x m,分别在Rt△ANM和Rt△MNB中,利用锐角三角
函数的定义求出AN,BN的长,然后根据AB=50 m,列出关于x的方程,进行计算即可.
19.解析 (1)由题意得x=200×20%=40.
(2)把200个学生平均每天阅读时间从小到大排列,取第100、101个数的平均值为中位数,这两
个数均落在D等级,可得两数的平均数即中位数也落在D等级.
故答案为D.
(3)被抽查的200人中,不低于50分钟的学生有200-5-10-40-80=65(人),
65
1 800× =585(人).
200
答:估计受表扬的学生有585人.
20.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,
∴∠ADE=∠ABC,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠ACB=∠ADB,
∴∠ADB=∠ADE.
(2)连接CO并延长,交☉O于点F,连接BF,
则∠FBC=90°,
在Rt△BCF中,CF=4,BC=3,
BC 3
∴sin F= = ,
CF 4
∵∠F=∠BAC,
3
∴sin∠BAC= .
4
思路分析
(1)根据等腰三角形及圆的内接四边形的性质即可求证;
(2)连接CO并延长,交☉O于点F,连接BF,根据圆周角定理的推论得出
∠FBC=90°,∠F=∠BAC,解直角三角形即可得解.21.解析 设矩形鸡场与墙垂直的一边长为x m,鸡场面积为y m2,则与墙平行的一边长为
(47+1-2x)m,由题意可得y=x(47+1-2x),
整理得,y=-2(x-12)2+288,
∵-2<0,
∴当x=12时,y有最大值,为288,
当x=12时,47+1-2x=24<25(符合题意),
∴鸡场的最大面积是288 m2.
22.解析 (1)①四边形AGCH是菱形,理由如下:
∵四边形ABCD和四边形AFCE是矩形,
∴∠B=∠F=90°,AD∥BC,AF∥CE,
∴四边形AGCH是平行四边形,
∵S =GC·AB=AG·CF,AB=CF,
平行四边形AGCH
∴GC=AG,
∴平行四边形AGCH是菱形.
②由①可知,GC=AG,
设GC=AG=x,则BG=8-x,
在Rt△ABG中,AB=4,
由勾股定理得42+(8-x)2=x2,
解得x=5,
∴GC=5,
∴S =GC·AB=5×4=20.
菱形AGCH
(2)设GC=a,则BG=7-a,
∵四边形ABCD和四边形AFCE是矩形,
∴∠B=∠F=90°,AD∥BC,AF∥CE,
∴四边形AGCH是平行四边形,
∵∠AGB=∠CGF,∠B=∠F,
∴△ABG∽△CFG,
AB AG 2√5 AG
∴ = ,即 = ,
CF CG √5 a
解得AG=2a,
在Rt△ABG中,由勾股定理得(2√5)2+(7-a)2=(2a)2,
23
解得a=3或a=- (不合题意舍去),
3
∴CG=3,
∴S =CG·AB=3×2√5=6√5.
▱AGCH
23.解析 (1)证明:①由题意得,
{(-3) 2·a-3b+3=0,
a+b+3=0,
{a=-1,
∴
b=-2,∴y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴D(-1,4),C(0,3),
设直线CD的解析式为y=mx+n(m≠0),
{ n=3, { n=3,
∴ ∴
-m+n=4, m=-1,
∴y=-x+3,
当x=1时,y=-1+3=2,
∴E(1,2),
∴直线OE的解析式为y=2x,
设直线AD的解析式为y=cx+d(c≠0),由A(-3,0),D(-1,4)得,
{-3c+d=0, {c=2,
∴
-c+d=4, d=6,
∴y=2x+6,
∴AD∥OE.
②设直线PD的解析式为y=ex+f(e≠0),
由P(2,-5),D(-1,4)得,
{-e+f =4, {e=-3,
∴
2e+f =-5, f =1,
∴y=-3x+1,
当x=1时,y=-3×1+1=-2,
∴H(1,-2),
设直线GH的解析式为y=gx+h(g≠0),
由G(2,0),H(1,-2)得,
{2g+h=0, { g=2,
∴
g+h=-2, h=-4,
∴y=2x-4,
∴AD∥HG.
(2)作MN⊥x轴,垂足为点N,设直线DM交直线x=1于点Q,则QN∥AD.
理由如下:
设M(m,-m2-2m+3),N(m,0),
设直线DM的解析式为y=px+q(p≠0),由D,M两点坐标得,
{-p+q=4,
mp+q=-m2-2m+3,
{p=-m-1,
∴
q=-m+3,
∴y=-(m+1)x+(-m+3),
当x=1时,y=-m-1-m+3=-2m+2,
∴Q(1,-2m+2),
设直线NQ的解析式为y=ix+j(i≠0),由N,Q两点坐标得,
{i+ j=-2m+2,
mi+ j=0,
{ i=2,
∴
j=-2m,∴y=2x-2m,
∴QN∥AD.
24.解析 (1)选择①.证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵BD是△ABC的角平分线,
1
∴∠DBC= ∠ABC,
2
1
同理∠ECB= ∠ACB,
2
∴∠DBC=∠ECB,
在△BCD和△CBE中,
{∠ACB=∠ABC,
BC=CB,
∠DBC=∠ECB,
∴△BCD≌△CBE(ASA),
∴BD=CE.
选择②.证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵D是AC的中点,
1
∴CD= AC,
2
1
同理BE= AB,
2
∴BE=CD,
在△BCD和△CBE中,
{
CD=BE,
∠ACB=∠ABC,
BC=CB,
∴△BCD≌△CBE(SAS),
∴BD=CE.
(2)添加条件:BE=CD(答案不唯一).
证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠ABC+∠EBC=∠ACB+∠BCD=180°,∴∠CBE=∠BCD,
在△BCD和△CBE中,
{
CD=BE,
∠BCD=∠CBE,
CB=BC,
∴△BCD≌△CBE(SAS),
∴BD=CE.
(3)能.
理由:如图,在AC上取一点D,使得BD=CE.
若BF=CE,则BF=BD,反之也成立.
∵BD<AB,
∴BF<AB,
显然BD越大,BF就越大,CF也越大,
假设BF=AB,
∵∠A=36°,
∴∠BFA=∠A=36°,
∴∠ABF=180°-2×36°=108°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=72°,
∴∠BCF=180°-72°=108°,
∴∠BCF=∠ABF,
∵∠BCF=∠ABF,∠BFC=∠AFB,
∴△BFC∽△AFB,
BF CF
∴ = ,
AF BF
设CF=x,
∵AB=AC=2,
∴BF=2,AF=2+x,
2 x
∴ = ,
2+x 2
解得x=√5-1或x=-√5-1,
经检验x=√5-1是分式方程的解,且符合题意,
∴CF=√5-1,
∵E与A不重合,
∴0<CF<√5-1.思路分析
(1)①证明△BCD≌△CBE(ASA),推出BD=CE即可;
②证明△BCD≌△CBE(SAS),推出BD=CE即可.
(2)添加条件:BE=CD(答案不唯一),利用全等三角形的性质证明即可;
(3)在AC上取一点D,使得BD=CE,由BF=CE得BD=BF,当D靠近C时,F也靠近C;当D远离C
时,F也远离C;当D与A重合时,BF=BA,设CF=x,利用△BFC∽△AFB求出x的值,即可判断.
