文档内容
{来源}2019年德州中考数学
{适用范围:3． 九年级}
{标题}2019 年德州市中考数学试卷
考试时间：120 分钟 满分：150 分
{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，合计48分．
{题目}1．（2019年德州）－ 的倒数是（ ）
A．－2 B． C．1 D．1
{答案}A
{解析}本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，由于－ ×(－2)＝1，因此本题选A．
{分值}4
{章节:[1-1-4-2]有理数的除法}
{考点:倒数}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}2．（2019年德州）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
{答案}D
{解析}本题考查了轴对称和中心对称图形的识别，A．轴对称图形；B．中心对称图形；C．既不是
轴对称图形，也不是中心对称图形；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，因此本题选D．
{分值}4
{考点:轴对称图形}
{考点:中心对称图形}
{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}3．（2019年德州）据国家统计局统计，我国 2018 年国民生产总值（GDP）为 900300 亿元．
用科学记数法表示900300亿是
A．9.0031012 B．90.031012 C．0.90031014 D．9.0031013
{答案}D
{解析}本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动
的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．因此先将
“900300亿”改写成90 030 000 000 000，再根据科学记数法的要求表示为9.0031013．
{分值}4
{章节:[1-1-5-2]科学计数法}
{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}{题目}4．（2019年德州）下列运算正确的是（ ）
A．(－2a)2＝－4a2 B．(a＋b)2＝a2＋b2
C．(a5)2＝a7 D．(－a＋2)(－a－2)＝a2－4
{答案}D
{解析}本题考查了整式乘法公式，A项考查了积的乘方公式，正确结果应该是4a2；B项考查的
是完全平方公式，正确的结果应该是a2＋2ab＋b2；C项考查的是幂的乘方，正确的结果应该是
a10；D项考查了平方差公式，结果正确．
{分值}4
{章节:[1-14-2]乘法公式}
{考点:完全平方公式}
{考点:积的乘方}
{考点:幂的乘方}
{考点:完全平方公式}
{考点:平方差公式}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}5．（2019年德州）若函数 与 y＝ax2＋bx＋c 的图象如下图所示，则函数 y＝kx＋
b 的大致图象为（ ）
A． B． C．
D．
{答案}C
{解析}本题考查了反比例函数、一次函数和二次函数图象的性质，由于双曲线过二、四象限，
因此k＜0，又由于抛物线开口向上，因此a＞0，又由于对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”
可知a，b异号，所以b＜0．所以直线应该呈下降趋势，与y轴交于负半轴，因此本题选C．
{分值}4
{章节:[1-22-1-4]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质}
{考点:二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质}
{考点:反比例函数的图象}
{难度:3-中等难度}
{类别:易错题}
{题目}6．（2019年德州）不等式组 的所有非负整数解的和是（ ）
A． 10 B． 7 C． 6 D． 0
{答案}A
{解析}本题考查了一元一次不等式不等式组的非负整数解，解答过程如下：
解不等式①，得x＞－ ；
解不等式②，得x≤4；∴不等式组的解集为－ ＜x≤4．
∴不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，这些非负整数解的和为10．
{分值}4
{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}
{考点:一元一次不等式组的整数解}
{难度:3-中等难度}
{类别:易错题}
{题目}7．（2019•德州）下列命题是真命题的是（ ）
A．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
{答案}C
{解析} A、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A错误，是假命题；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B错误，是假命题；
C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C正确，是真命题；
D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D错误，是假命题；
{分值}4
{章节:[1-24-1-3]弧、弦、圆心角}
{考点:垂径定理}
{类别:常考题}
{类别:易错题}
{难度:3-中等难度}
{题目}8．（2019•德州）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余
绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还
剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，
则可列二元一次方程组为（ ）
A． B． C． D．
{答案}B
{解析}本题的等量关系是：绳长－木长＝4.5；木长－ 绳长＝1，据此可列方程组求解．
解：设绳长x尺，长木为y尺，
依题意得 ．
{分值}4
{章节:[1-8-2]消元——解二元一次方程组}
{考点:简单的列二元一次方程组应用题}
{考点:代入消元法有关的实际问题}
{类别:数学文化}
{难度:3-中等难度}
{题目}9．（2019•德州）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若
∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（ ）A．130° B．140° C．150° D．160°
{答案}B
{解析}解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝140°，
故选：B．
{分值}4
{章节:[1-24-1-4]圆周角}
{考点: {考点:圆内接四边形的性质}
{类别:思想方法}
{难度:4-较高难度}
1 1
{题目}10．（2019•德州）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字 ， ，1的卡片，乙
4 2
中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从
甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于
x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的
概率为（ ）
2 5 4 1
A． B． C． D．
3 9 9 3
{答案}C
{解析}（1）画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，
4
∴乙获胜的概率为 ，
9
故选：C．
{分值}4
{章节:[1-25-2]用列举法求概率}
{考点:两步事件不放回}{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
y - y
{题目}11．在下列函数图象上任取不同两点P （x ，y ）、P （x ，y ），一定能使 2 1＜0
1 1 1 2 2 2 x -x
2 1
成立的是（ ）
A．y＝3x－1（x＜0） B．y＝－x2+2x－1（x＞0）
❑√3
C．y=- （x＞0） D．y＝x2－4x－1（x＜0）
x
{答案}D
{解析}解：A、∵k＝3＞0
∴y随x的增大而增大，即当x ＞x 时，必有y ＞y
1 2 1 2
y - y
2 1
∴当x＜0时， ＞0，
x -x
2 1
故A选项不符合；
B、∵对称轴为直线x＝1，
∴当0＜x＜1时y随x的增大而增大，当x＞1时y随x的增大而减小，
∴当0＜x＜1时：当x ＞x 时，必有y ＞y
1 2 1 2
y - y
2 1
此时 ＞0，
x -x
2 1
故B选项不符合；
C、当x＞0时，y随x的增大而增大，
即当x ＞x 时，必有y ＞y
1 2 1 2
y - y
2 1
此时 ＞0，
x -x
2 1
故C选项不符合；
D、∵对称轴为直线x＝2，
∴当x＜0时y随x的增大而减小，
即当x ＞x 时，必有y ＜y
1 2 1 2
y - y
2 1
此时 ＜0，
x -x
2 1
故D选项符合．
{分值}4
{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}
{考点:一次函数的性质}
{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}
{考点:反比例函数的性质}
{类别:高度原创}
{难度:3-中等难度}
{题目}12．（2019年德州）如图，正方形ABCD中，点F在边AB上，且AF∶FB＝1∶2，CE⊥DF，垂足为
M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝ BC，连接GM．有如下结论：①DE＝AF；
②AN＝ AB；③∠ADF＝∠GMF；④S ∶S ＝1∶8．上述结论中，所有正确结论的序号是（
ANF 四边形CNFB
）
△
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④D C
E
N
B
A F
G
{答案}C
{解析}①正确．证明△ADF≌△DCE（ASA），即可判断．
②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．
③正确．作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝ a，通过
计算证明MH＝CH即可解决问题．
④错误．设△ANF的面积为m，由AF∥CD，推出 ＝ ＝ ，△AFN∽△CDN，推出
△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，由此即
可判断．
{分值}4
{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}
{考点:相似三角形的判定（两角相等）}
{考点:相似三角形面积的性质}
{考点:几何选择压轴}
{类别:高度原创}
{难度:5-高难度}
二、填空题:本大题共6小题,共24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分.
{题目}13．（2019•德州）|x－3|＝3－x，则x的取值范围是 ．
{答案} x≤3
{解析}根据绝对值的意义，绝对值表示距离，所以3－x≥0，即可求解；
{分值}4
{章节:[1-1-2-4]绝对值}
{考点:绝对值的性质}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
6 3
14．（2019•德州）方程 - = 1的解为 ．
(x+1)(x-1) x-1
{答案} x＝－4
6 3
{解析}解∶ - = 1，
(x+1)(x-1) x-1
6 3(x+1)
- = 1，
(x+1)(x-1) (x-1)(x+1)
3-3x
=
1，
(x+1)(x-1)-3
= 1，
x+1
x＋1＝－3，
x＝－4，
经检验x＝－4是原方程的根．
{分值}4
{章节:[1-15-3]分式方程}
{考点:解含两个分式的分式方程}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}15．（2019•德州）如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得
∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，
那么AC的长度约为 米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
{答案}1.02
{解析}解：由题意可得：
∵∠ABO＝70°，AB＝6m，
∴sin70°＝ ＝ ≈0.94，
解得：AO＝5.64（m），
∵∠CDO＝50°，DC＝6m，
∴sin50°＝ ≈0.77，
解得：CO＝4.62（m），
则AC＝5.64－4.62＝1.02（m），
答：AC的长度约为1.02米．
{分值}4
{章节:[1-28-2-2]非特殊角}
{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}16．（2019•德州）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[－0.8]＝－1．现定义：
{x}＝x－[x]，例：{1.5}＝1.5－[1.5]＝0.5，则{3.9}＋{－1.8}－{1}＝ ．
{答案}0.7
{解析}解：根据题意可得：{3.9}＋{－1.8}－{1}＝3.9－3－1.8＋2－1＋1＝0.7．
{分值}4
{章节:[1-1-3-2]有理数的减法}
{考点:省略加号的代数和}
{类别:新定义}
{难度:2-简单}
{题目}17．（2019•德州）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E， ＝ ，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为 ．
{答案}9.6
{解析}连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝3，设⊙O的半径为r，
则OE＝r－1，OA＝r，根据勾股定理得到32＋（r－1）2＝r2，解得r＝5，再利用垂径定理得到
OB⊥AF，AG＝FG，则AG2＋OG2＝52，AG2＋（5－OG）2＝62，然后解方程组求出AG，从而得到
AF的长．
{分值}4
{章节:[1-24-1-2]垂直于弦的直径}
{考点:垂径定理}
{类别:高度原创}
{难度:3-中等难度}
{题目}18．（2019•德州）如图，点A 、A 、A …在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，点A 、
1 3 5 2
A 、A ……在反比例函数y＝－ （x＞0）的图象上，∠OA A ＝∠A A A ＝∠A A A ＝…＝∠α
4 6 1 2 1 2 3 2 3 4
＝60°，且OA ＝2，则A （n为正整数）的纵坐标为 ．
1 n
（用含n的式子表示）
{答案}(－1)n＋1 ( － )
{解析}先证明△OA E是等边三角形，求出A 的坐标，作高线A D ，再证明△A EF是等边三角形，
1 1 1 1 2
作高线A D ，设A （x，－ ），根据OD ＝2＋ ＝x，解方程可得等边三角形的边长和A2的纵
2 2 2 2
坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点A 、A 、A …在x轴的上方，纵坐标为正数，点A 、
1 3 5 2
A 、A ……在x轴的下方，纵坐标为负数，可以利用(－1)n＋1来解决这个问题．
4 6{分值}4
{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}
{考点:双曲线与几何图形的综合}
{考点:规律－图形变化类}
{考点:几何填空压轴}
{类别:高度原创}
{难度:5-高难度}
三、解答题:本大题共7小题,共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
2 1 m2＋n2 5n
{题目}19．（8分）（2019•德州） 先化简，再求值：（ - ）÷（ - ）•（
m n mn m
m 2n
＋ ＋2），其中❑√m＋1＋(n－3)2＝0．
2n m
{解析}先通分，再利用因式分解，把可以分解的分解，然后统一化成乘法运算，约分化简，再将所
给等式化简，得出m和n的值，最后代回化简后的分式即可．
2 1 m2＋n2 5n m 2n
{答案}解∶（ - ）÷（ - ）•（ ＋ ＋2）
m n mn m 2n m
2n-m m2＋n2-5n2 m2＋4n2＋4mn
＝ ÷ •
mn mn 2mn
2n-m mn (m＋2n) 2
＝ • •
mn (m＋2n)(m-2n) 2mn
m＋2n
＝- ．
2mn
∵❑√m＋1＋（n﹣3）2＝0．
∴m＋1＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣1，n＝3．
m＋2n -1＋2×3 5
∴- ＝- ＝ ．
2mn 2×(-1)×3 6
5
∴原式的值为 ．
6
{分值}8
{章节:[1-15-2-2]分式的加减}
{考点:分式的混合运算}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}20．（2019•德州）《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：90分及以上为优秀，80～
89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质健康
情况，现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测，并对成绩进行分析．成绩如下：七年级 80 74 83 63 90 91 74 61 82 62
八年级 74 61 83 91 60 85 46 84 74 82
（1）根据上述数据，补充完成下列表格．
整理数据：
优秀 良好 及格 不及格
七年级 2 3 5 0
八年级 1 4 1
分析数据：
年级 平均数 众数 中位数
七年级 76 74 77
八年级 74
（2）该校目前七年级有200人，八年级有300人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学
生共有多少人？
（3）结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由．
{解析}（1）根据平均数和中位数的概念解答即可；
（2）根据样本估计总体解答即可；
（3）根据数据调查信息解答即可
{答案}解∶（1）八年级及格的人数是4，平均数
74＋61＋83＋91＋60＋85＋46＋84＋74＋82 74＋82
＝ ＝74，中位数＝ ＝78；
10 2
故答案为∶4；74；78；
2 1
（2）计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有200× ＋300× ＝40＋30＝70人；
10 10
（3）根据以上数据可得∶七年级学生的体质健康情况更好．
{分值}10
{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}
{考点:算术平均数}
{考点:中位数}
{考点:众数}
{难度:3-中等难度}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}21．（2019年德州）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，
让人字样浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书
馆． 据统计，第一个月进馆 128 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 608 人
次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力补超过 500 人次，在进馆人次的月平均增长率
的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
{解析}本题考查了一元二次方程的应用问题（增长率）．
（1）套用公式a(1＋x)2＝b即可；（2）根据第（1）小题算出的增长率，算出第四个月的
进馆人数，然后与608进行比较得出结果．
{答案}解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意，得：
128＋128 (1＋x)＋128 (1＋x)2＝608
解得 x ＝0.5；x ＝－3.5（舍去）．
1 2
答：进馆人次的月平均增长率为50%．（2）第四个月进馆人数为128(1＋ )3＝432（人次）
∵432＜500
∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
{分值}10
{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}
{难度:3-中等难度}
{类别:易错题}
{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}
{题目}22．（12分）（2019•德州）如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC
＝30°，AC＝2❑√3．
（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作
法，并保留作图痕迹；
（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；
（3）求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．
{解析}（1）过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，然后以OA为半径作⊙O即可；
（2）写出已知、求证，然后进行证明；连接OP，先证明Rt△PAO≌Rt△PCO，然后根据切线
的判定方法判断PB、PC为⊙O的切线；
（3）先证明△OAC为等边三角形得到OA＝AC＝2 ，∠AOC＝60°，再计算出AP＝2，然后根
据扇形的面积公式，利用劣弧AC与线段PA、PC围成 的封闭图形的面积进行计算．
{答案}解∶（1）如图，
（2）已知∶如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC＝30°，AC＝2❑√3，
过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，以OA为半径作 O，OA⊥PB，
求证∶PB、PC为 O的切线；
证明∶∵∠BPD＝120°，PAC＝30°， ⊙
∴∠PCA＝30°， ⊙
∴PA＝PC，
连接OP，
∵OA⊥PA，PC⊥OC，
∴∠PAO＝∠PCO＝90°，
∵OP＝OP，
∴Rt△PAO≌Rt△PCO（HL）
∴OA＝OC，
∴PB、PC为 O的切线；
（3）∵∠OAP＝∠OCP＝90°－30°＝60°，
∴△OAC为等⊙边三角形，
∴OA＝AC＝2❑√3，∠AOC＝60°，
∵OP平分∠APC，
∴∠APO＝60°，
❑√3
∴AP＝ ×2❑√3＝2，∴劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积＝S四边形APCO －S扇形
3
1 60⋅π⋅(2❑√3) 2
＝2× ×2❑√3×2- ＝4❑√3-2 ．
AOC 2 360
π{分值}12
{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}
{考点:扇形的面积}
{考点:切线的判定}
{考点:与圆有关的作图问题}
{类别:北京作图}
{类别:高度原创}
{难度:3-中等难度}
{题目}23．（12分）（2019•德州）下表中给出A，B，C三种手机通话的收费方式．
收费方式 月通话费/元 包时通话时间/h 超时费/（元/min）
A 30 25 0.1
B 50 50 0.1
C 100 不限时
（1）设月通话时间为x小时，则方案A，B，C的收费金额y ，y ，y 都是x的函数，请分别求
1 2 3
出这三个函数解析式．
（2）填空：
若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为 ；
若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为 ；
若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为 ；
（3）小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时
间．
{解析}（1）根据题意可以分别写出y 、y 、y 关于x的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范
1 2 3
围；
（2）根据题意作出图象，结合图象即可作答；
（3）结合图象可得：小张选择的是方式A，小王选择的是方式B，将y＝81代入y 关于x的函
2
数关系式，解方程即可得出小王该月的通话时间．
{答案}解：（1）∵0.1元/min＝6元/h，
∴由题意可得，
{ 30(0≤x≤25)
y＝ ，
1 6x-120(x＞25)
{ 50(0≤x≤50)
y＝ ，
2 6x-250(x＞50)
y ＝100（x≥0）；
3
（2）作出函数图象如图∶结合图象可得∶
85
若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为∶0≤x≤ ，
3
85 175
若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为∶ ≤x≤ ，
3 3
175
若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为∶x＞ ．
3
85 85 175 175
故答案为∶0≤x≤ ， ≤x≤ ，x＞ ．
3 3 3 3
（3）∵小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，
∴结合图象可得∶小张选择的是方式A，小王选择的是方式B，
{ 50(0≤x≤50)
将y＝80分别代入y＝ ，可得
2 6x-250(x＞50)
6x－250＝80，
解得∶x＝55，
∴小王该月的通话时间为55小时．
{分值}12
{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式}
{考点:分段函数的应用}
{考点:方案比较}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}24．（12分）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，
请直接写出HD∶GC∶EB的结果（不必写计算过程）
（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD∶GC∶EB；
（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD∶AB＝AH∶AE＝1∶2，此时HD∶GC∶EB
的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过
程）；若无变化，请说明理由．{解析}（1）连接AG，由菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，易得A，
G，C共线，延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则
GMCN也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论；
（2）连接AG，AC，由△ADC和△AHG都是等腰三角形，易证△DAH∽△CAG与
△DAH≌△BAE，利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论；
（3）连接AG，AC，易证△ADC∽△AHG和△ADH∽△ABE，利用相似三角形的性质可得结论．
{答案}解∶（1）连接AG，
∵菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，
∴∠GAE＝∠CAB＝30°，AE＝AH，AB＝AD，
∴A，G，C共线，AB－AE＝AD－AH，
∴HD＝EB，
延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，
∴GC⊥MN，∠NGO＝∠AGE＝30°，
OG ❑√3
∴ ＝cos30°＝ ，
GN 2
∵GC＝2OG，
GN 1
∴ ＝ ，
GC ❑√3
∵HGND为平行四边形，
∴HD＝GN，
∴HD∶GC∶EB＝1∶❑√3∶1．
（2）如图2，连接AG，AC，
∵△ADC和△AHG都是等腰三角形，
∴AD∶AC＝AH∶AG＝1∶❑√3，∠DAC＝∠HAG＝30°，
∴∠DAH＝∠CAG，
∴△DAH∽△CAG，
∴HD∶GC＝AD∶AC＝1∶❑√3，
∵∠DAB＝∠HAE＝60°，
∴∠DAH＝∠BAE，
在△DAH和△BAE中，
{ AD＝AB
∠DAH＝∠BAE
AH＝AE
∴△DAH≌△BAE（SAS）
∴HD＝EB，
∴HD∶GC∶EB＝1∶❑√3∶1．（3）有变化．
如图3，连接AG，AC，
∵AD∶AB＝AH∶AE＝1∶2，∠ADC＝∠AHG＝90°，
∴△ADC∽△AHG，
∴AD∶AC＝AH∶AG＝1∶❑√5，
∵∠DAC＝∠HAG，
∴∠DAH＝∠CAG，
∴△DAH∽△CAG，
∴HD∶GC＝AD∶AC＝1∶❑√5，
∵∠DAB＝∠HAE＝90°，
∴∠DAH＝∠BAE，
∵DA∶AB＝HA∶AE＝1∶2，
∴△ADH∽△ABE，
∴DH∶BE＝AD∶AB＝1∶2，
∴HD∶GC∶EB＝1∶❑√5∶2
{分值}12
{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}
{考点:相似三角形的判定（两边夹角）}
{考点:几何综合}
{类别:高度原创}
{类别:发现探究}
{难度:5-高难度}
5
{题目}25．（14分）如图，抛物线y＝mx2- mx－4与x轴交于A（x ，0），B（x ，0）两点，与
2 1 2
11
y轴交于点C，且x －x＝ ．
2 1 2
（1）求抛物线的解析式；
9
（2）若P（x ，y ），Q（x ，y ）是抛物线上的两点，当a≤x ≤a＋2，x ≥ 时，均有y ≤y ，
1 1 2 2 1 2 2 1 2
求a的取值范围；
（3）抛物线上一点D（1，－5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC＝
∠MCE时，求点M的坐标．b 5 x ＋x 11
{解析}（1）函数的对称轴为：x＝- ＝ ＝ 1 2，而且x －x＝ ，将上述两式联立并解
2a 4 2 2 1 2
3
得：x＝- ，x ＝4，即可求解；
1 2 2
5 5
（2）分a≤a＋2≤ 、 ≤a≤a＋2两种情况，分别求解即可；
4 4
（3）取DC的中点H，过点H作线段CD的中垂线交直线BD与点M，则点M为符合条件的点，
即可求解．
b 5 x ＋x 11
{答案}解：（1）函数的对称轴为：x＝- ＝ ＝ 1 2，而且x －x＝ ，
2a 4 2 2 1 2
3
将上述两式联立并解得：x＝- ，x ＝4，
1 2 2
3 3
则函数的表达式为：y＝a（x＋ ）（x－4）＝a（x2－4x＋ x－6），
2 2
2
即：－6a＝－4，解得：a＝ ，
3
2 5
故抛物线的表达式为：y＝ x2- x－4；
3 3
9
（2）当x＝ 时，y ＝2，
2 4 2
5 3
当a≤a＋2≤ 时（即：a≤- ），
4 4
2 5
① y ≤y ，则 a2- a－4≤2，
1 2 3 3
9 3
解得：－2≤a≤- ，而a≤- ，
2 4
3
故：－2≤a≤- ；
4
5 5
当 ≤a≤a＋2（即a≥ ）时，
4 4
2 5
② 则 （a＋2）2- （a＋2）－4≤2，
3 3
3 5
同理可得：- ≤a≤ ，
4 4
5
故a的取值范围为：－2≤a≤ ；
4（3）∵当∠BDC＝∠MCE，△MDC为等腰三角形，
故取DC的中点H，过点H作线段CD的中垂线交直线BD与点M，则点M为符合条件的点，
1 9
点H（ ，- ），
2 2
将点C、D坐标代入一次函数表达式：y＝mx＋n并解得：
直线CD的表达式为：y＝－x－4，
5 20
同理可得：直线BD的表达式为：y＝ x- ⋯ ，
3 3
直线DC⊥MH，则直线MH表达式中的k值为1，
①
同理可得直线HM的表达式为：y＝x－5… ，
5
联立 并解得：x＝ ，
②
2
5 5
故点 ① M（ ② ，- ）．
2 2
{分值}14
{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}
{考点:代数综合}
{考点:二次函数中讨论等腰三角形}
{类别:高度原创}
{难度:5-高难度}
