文档内容
2017 年山东省德州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．﹣2的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．2016年，我市“全面改薄”和解决大班额工程成绩突出，两项工程累计开工面
积达477万平方米，各项指标均居全省前列，477万用科学记数法表示正确的是（
）
A．4.77×105B．47.7×105C．4.77×106D．0.477×106
4．如图，两个等直径圆柱构成如图所示的T型管道，则其俯视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）m=a2m B．（2a）3=2a3 C．a3•a﹣5=a﹣15 D．a3÷a﹣5=a﹣2
6．某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计
如下：
尺码 39 40 41 42 43
平均每天销售数量/件 10 12 20 12 12
该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（）
A．平均数 B．方差 C．众数D．中位数
7．下列函数中，对于任意实数x ，x ，当x ＞x 时，满足y ＜y 的是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．y=﹣3x+2B．y=2x+1 C．y=2x2+1 D．y=﹣
8．不等式组 的解集是（ ）
A．x≥﹣3 B．﹣3≤x＜4 C．﹣3≤x＜2 D．x＞4
9．公式L=L +KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L 代表弹
0 0
簧的初始长度，用厘米（cm）表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸
的长度，用厘米（cm）表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧
的是（ ）
A．L=10+0.5P B．L=10+5P C．L=80+0.5P D．L=80+5P
10．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用
240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20
本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了 x 本资料，列方程正确的是
（ ）
A． ﹣ =4 B． ﹣ =4
C． ﹣ =4 D． ﹣ =4
11．如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a
＞b），M在BC边上，且BM=b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A
旋转至△ADN，将△MEF 绕点 F 旋转至△NGF，给出以下五个结论：
①∠MAD=∠AND；②CP=b﹣ ；③△ABM≌△NGF；④S =a2+b2；⑤A，M，
四边形AMFN
P，D四点共圆，其中正确的个数是（ ）A．2B．3C．4D．5
12．观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4
个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别
重复以上做法，…将这种做法继续下去（如图2，图3…），则图6中挖去三角形的
个数为（ ）
A．121 B．362 C．364 D．729
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．计算： ﹣ = ．
14．如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其
理由是 ．
15．方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为 ．
16．淘淘和丽丽是非常要好的九年级学生，在5月分进行的物理、化学、生物实验
技能考试中，考试科目要求三选一，并且采取抽签方式取得，那么他们两人都抽
到物理实验的概率是 ．
17．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G
为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的
半径为1m，根据设计要求，若∠EOF=45°，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗
面的面积的比值）为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共64分）
18．先化简，再求值： ÷ ﹣3，其中a= ．
19．随着移动终端设备的升级换代，手机已经成为我们生活中不可缺少的一部分
为了解中学生在假期使用手机的情况（选项：A．和同学亲友聊天；B．学习；C．购
物；D．游戏；E．其它），端午节后某中学在全校范围内随机抽取了若干名学生进行
调查，得到如下图表（部分信息未给出）：
频数 频率
选项
A 10 m
B n 0.2
C 5 0.1
D p 0.4
E 5 0.1
根据以上信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生有多少人？
（2）求表中m，n，p的值，并补全条形统计图．
（3）若该中学约有800名学生，估计全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有多
少人？并根据以上调查结果，就中学生如何合理使用手机给出你的一条建议．20．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点
E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．
21．如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点
设在距离公路10m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒，
已知∠B=30°，∠C=45°．
（1）求B，C之间的距离；（保留根号）
（2）如果此地限速为80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：
≈1.7， ≈1.4）
22．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场
中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷
出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池
中心3米．
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的最大高度的多少？23．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上
的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
24．有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函
数y= x与y= （k≠0）的图象性质．
小明根据学习函数的经验，对函数y= x与y= ，当k＞0时的图象性质进行了探
究．
下面是小明的探究过程：
（1）如图所示，设函数y= x与y= 图象的交点为A，B，已知A点的坐标为（﹣k，
﹣1），则B点的坐标为 ；
（2）若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．
①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM=PN．
证明过程如下，设P（m， ），直线PA的解析式为y=ax+b（a≠0）．则 ，
解得
∴直线PA的解析式为
请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．
②当P点坐标为（1，k）（k≠1）时，判断△PAB的形状，并用k表示出△PAB的面积2017 年山东省德州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．﹣2的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【考点】17：倒数．
【分析】根据倒数的定义即可求解．
【解答】解：﹣2的倒数是﹣ ．
故选：A．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确．
故选D．
3．2016年，我市“全面改薄”和解决大班额工程成绩突出，两项工程累计开工面
积达477万平方米，各项指标均居全省前列，477万用科学记数法表示正确的是（）
A．4.77×105B．47.7×105C．4.77×106D．0.477×106
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：477万用科学记数法表示4.77×106，
故选：C．
4．如图，两个等直径圆柱构成如图所示的T型管道，则其俯视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】俯视图是从物体的上面看，所得到的图形．
【解答】解：两个等直径圆柱构成如图所示的T型管道的俯视图是矩形和圆的组
合图，且圆位于矩形的中心位置，
故选：B．
5．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）m=a2m B．（2a）3=2a3 C．a3•a﹣5=a﹣15 D．a3÷a﹣5=a﹣2
【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；6F：
负整数指数幂．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（B）原式=8a3，故B不正确；
（C）原式=a﹣2，故C不正确；
（D）原式=a8，故D不正确；故选（A）
6．某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计
如下：
尺码 39 40 41 42 43
平均每天销售数量/件 10 12 20 12 12
该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（
）
A．平均数 B．方差 C．众数D．中位数
【考点】WA：统计量的选择；VA：统计表．
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是
描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是
众数．
故选：C．
7．下列函数中，对于任意实数x ，x ，当x ＞x 时，满足y ＜y 的是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．y=﹣3x+2B．y=2x+1 C．y=2x2+1 D．y=﹣
【考点】F5：一次函数的性质；G4：反比例函数的性质；G6：反比例函数图象上点的
坐标特征；H3：二次函数的性质．
【分析】A、由k=﹣3可得知y随x值的增大而减小；B、由k=2可得知y随x值的增
大而增大；C、由a=﹣2可得知：当x＜0时，y随x值的增大而增大，当x＞0时，y
随x值的增大而减小；D、由k=﹣1可得知：当x＜0时，y随x值的增大而增大，当
x＞0时，y随x值的增大而增大．此题得解．
【解答】解：A、y=﹣3x+2中k=﹣3，
∴y随x值的增大而减小，
∴A选项符合题意；
[来源:Zxxk.Com]
B、y=2x+1中k=2，
∴y随x值的增大而增大，∴B选项不符合题意；
C、y=﹣2x2+1中a=﹣2，
∴当x＜0时，y随x值的增大而增大，当x＞0时，y随x值的增大而减小，
∴C选项不符合题意；
D、y=﹣ 中k=﹣1，
∴当x＜0时，y随x值的增大而增大，当x＞0时，y随x值的增大而增大，
∴D选项不符合题意．
故选A．
8．不等式组 的解集是（ ）
A．x≥﹣3 B．﹣3≤x＜4 C．﹣3≤x＜2 D．x＞4
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大
中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+9≥3，得：x≥﹣3，
解不等式 ＞x﹣1，得：x＜4，
∴不等式组的解集为﹣3≤x＜4，
故选：B．
9．公式L=L +KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L 代表弹
0 0
簧的初始长度，用厘米（cm）表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸
的长度，用厘米（cm）表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧
的是（ ）
A．L=10+0.5P B．L=10+5P C．L=80+0.5P D．L=80+5P
【考点】FH：一次函数的应用．【分析】A和B中，L =10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬，由此即可得出
0
结论．
【解答】解：∵10＜80，0.5＜5，
∴A和B中，L =10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬，
0
∴A选项表示这是一个短而硬的弹簧．
故选A．
10．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用
240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20
本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了 x 本资料，列方程正确的是
（ ）
A． ﹣ =4 B． ﹣ =4
C． ﹣ =4 D． ﹣ =4
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】由设第一次买了x本资料，则设第二次买了（x+20）本资料，由等量关系：
第二次比第一次每本优惠4元，即可得到方程．
【解答】解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+20）本，
根据题意得： ﹣ =4．
故选D．
11．如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a
＞b），M在BC边上，且BM=b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A
旋转至△ADN，将△MEF 绕点 F 旋转至△NGF，给出以下五个结论：
①∠MAD=∠AND；②CP=b﹣ ；③△ABM≌△NGF；④S =a2+b2；⑤A，M，
四边形AMFNP，D四点共圆，其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】@4：四点共圆．
【分析】①根据正方形的性质得到∠BAD=∠ADC=∠B=90°，根据旋转的性质得到∴
∠ NAD=∠ BAM ， ∠ AND=∠ AMB ， 根 据 余 角 的 性 质 得 到
∠ DAM+∠ NAD=∠ NAD+∠ AND=∠ AND+∠ NAD=90° ， 等 量 代 换 得 到
∠DAM=∠AND，故①正确；
②根据正方形的性质得到PC∥EF，根据相似三角形的性质得到CP=b﹣ ；故②
正确；
③根据旋转的性质得到GN=ME，等量代换得到AB=ME=NG，根据全等三角形的判
定定理得到△ABM≌△NGF；故③正确；
④由旋转的性质得到AM=AN，NF=MF，根据全等三角形的性质得到AM=NF，推出
四边形AMFN是矩形，根据余角的想知道的∠NAM=90°，推出四边形AMFN是正
方形，于是得到S =AM2=a2+b2；故④正确；
四边形AMFN
⑤根据正方形的性质得到∠AMP=90°，∠ADP=90°，得到∠ABP+∠ADP=180°，于是
推出A，M，P，D四点共圆，故⑤正确．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，
∴∠BAM+∠DAM=90°，
∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，
∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，
∴∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，
∴∠DAM=∠AND，故①正确；
②∵四边形CEFG是正方形，∴PC∥EF，
∴△MPC∽△EMF，
∴ ，
∵大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），BM=b，
∴EF=b，CM=a﹣b，ME=（a﹣b）+b=a，
∴ ，
∴CP=b﹣ ；故②正确；
③∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，
∴GN=ME，
∵AB=a，ME=a，
∴AB=ME=NG，
在△ABM与△NGF中， ，
∴△ABM≌△NGF；故③正确；
④∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，
∴AM=AN，
∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，
∴NF=MF，
∵△ABM≌△NGF，
∴AM=NF，
∴四边形AMFN是矩形，
∵∠BAM=∠NAD，
∴∠BAM+DAM=∠NAD+∠DAN=90°，
∴∠NAM=90°，
∴四边形AMFN是正方形，∵在Rt△ABM中，a2+b2=AM2，
∴S =AM2=a2+b2；故④正确；
四边形AMFN
⑤∵四边形AMFN是正方形，
∴∠AMP=90°，
∵∠ADP=90°，
∴∠ABP+∠ADP=180°，
∴A，M，P，D四点共圆，故⑤正确．
故选D．
12．观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4
个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别
重复以上做法，…将这种做法继续下去（如图2，图3…），则图6中挖去三角形的
个数为（ ）
A．121 B．362 C．364 D．729
【考点】KX：三角形中位线定理；38：规律型：图形的变化类．
【分析】根据题意找出图形的变化规律，根据规律计算即可．【解答】解：图1挖去中间的1个小三角形，
图2挖去中间的（1+3）个小三角形，
图3挖去中间的（1+3+32）个小三角形，
…
则图6挖去中间的（1+3+32+33+34+35）个小三角形，即图6挖去中间的364个小三
角形，
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．计算： ﹣ = ．
【考点】78：二次根式的加减法．
【分析】原式化简后，合并即可得到结果．
【解答】解：原式=2 ﹣ = ，
故答案为：
14．如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其
理由是 同位角相等，两直线平行 ．
【考点】N3：作图—复杂作图；J9：平行线的判定．
【分析】过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直
线平行．
【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角存在，
所以依据：同位角相等，两直线平行，即可得到所得的直线与已知直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．15．方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为 1 或 ．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；83：等式的性质；86：解一元一次方程．
【分析】移项后分解因式得到（x﹣1）（3x﹣2）=0，推出方程x﹣1=0，3x﹣2=0，求出
方程的解即可．
【解答】解：3x（x﹣1）=2（x﹣1），
移项得：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，
即（x﹣1）（3x﹣2）=0，
∴x﹣1=0，3x﹣2=0，
解方程得：x =1，x = ．
1 2
故答案为：1或 ．
16．淘淘和丽丽是非常要好的九年级学生，在5月分进行的物理、化学、生物实验
技能考试中，考试科目要求三选一，并且采取抽签方式取得，那么他们两人都抽
到物理实验的概率是 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出淘淘与丽丽同学同时
抽到物理的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图为：
因为共有9种等可能的结果数，其中淘淘与丽丽同学同时抽到物理物的结果数为
1，所以他们两人都抽到物理实验的概率是 ．
故答案为： ．
17．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对
角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G
为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的
半径为1m，根据设计要求，若∠EOF=45°，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗
面的面积的比值）为 ．
【考点】MO：扇形面积的计算．
【分析】把透光部分看作是两个直角三角形与四个45°的扇形的组合体，其和就是
透光的面积，再计算矩形的面积，相比可得结果．
【解答】解：设⊙O与矩形ABCD的另一个交点为M，
连接OM、OG，则M、O、E共线，
由题意得：∠MOG=∠EOF=45°，
∴∠FOG=90°，且OF=OG=1，
∴S = +2× ×1×1= +1，
透明区域
过O作ON⊥AD于N，
∴ON= FG= ，∴AB=2ON=2× = ，
∴S =2× =2 ，
矩形
∴ = = ．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共7小题，共64分）
18．先化简，再求值： ÷ ﹣3，其中a= ．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入即可
解答本题．
【解答】解： ÷ ﹣3
=
[来源:Zxxk.Com]
=a﹣3，
当a= 时，原式= ．19．随着移动终端设备的升级换代，手机已经成为我们生活中不可缺少的一部分
为了解中学生在假期使用手机的情况（选项：A．和同学亲友聊天；B．学习；C．购
物；D．游戏；E．其它），端午节后某中学在全校范围内随机抽取了若干名学生进行
调查，得到如下图表（部分信息未给出）：
频数 频率
选项
A 10 m
B n 0.2
C 5 0.1
D p 0.4
E 5 0.1
根据以上信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生有多少人？
（2）求表中m，n，p的值，并补全条形统计图．
（3）若该中学约有800名学生，估计全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有多
少人？并根据以上调查结果，就中学生如何合理使用手机给出你的一条建议．
【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．
【分析】（1）根据C的人数除以C所占的百分比，可得答案；
（2）根据人数比抽查人数，所占的百分比乘以抽查人数，可得答案；
（3）根据样本估计总体，可得答案．
【解答】解：（1）从C可看出5÷0.1=50人，
答：次被调查的学生有50人；
（2）m= =0.2，n=0.2×50=10，p=0.4×50=20，，
（3）800×（0.1+0.4）=800×0.5=400人，
答：全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有400人，可利用手机学习．
20．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点
E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；ME：切线的判定与性质．
【分析】（1）求出∠OED=∠BCA=90°，根据切线的判定得出即可；
（2）求出△BEC∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．
【解答】（1）证明：
连接OE、EC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
∵D为BC的中点，
∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2，
∵OE=OC，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠OED=∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠OED=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知：∠BEC=90°，
∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，
∴△BEC∽△BCA，
∴ = ，
∴BC2=BE•BA，
∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，
∵BC=6，
∴62=2x•3x，
解得：x= ，
即AE= ．
21．如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点
设在距离公路10m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒，
已知∠B=30°，∠C=45°．
（1）求B，C之间的距离；（保留根号）
（2）如果此地限速为80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：
≈1.7， ≈1.4）【考点】T8：解直角三角形的应用．
【分析】（1）如图作AD⊥BC于D．则AD=10m，汽车CD、BD即可解决问题．
（2）汽车汽车的速度，即可解决问题，注意统一单位；
【解答】解：（1）如图作AD⊥BC于D．则AD=10m，
在Rt△ACD中，∵∠C=45°，
∴AD=CD=10m，
在Rt△ABD中，∵∠B=30°，
∴tan30°= ，
∴BD= AD=10 m，
∴BC=BD+DC=（10+10 ）m．
（2）结论：这辆汽车超速．
理由：∵BC=10+10 27m，
∴汽车速度= =30m/s=108km/h，
∵108＞80，
∴这辆汽车超速．
22．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场
中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池
中心3米．
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的最大高度的多少？
【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】（1）以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管
所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+h，代
入（0，2）和（3，0）得出方程组，解方程组即可，
（2）求出当x=1时，y= 即可．
【解答】解：（1）如图所示：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线
为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为
：y=a（x﹣1）2+h，
代入（0，2）和（3，0）得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y=﹣ （x﹣1）2+ ；
即y=﹣ x2+ x+2（0≤x≤3）；
（2）y=﹣ x2+ x+2（0≤x≤3），当x=1时，y= ，
即水柱的最大高度为 m．
23．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上
的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）由折叠的性质得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行线的性质得出
∠BPF=∠EFP，证出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出结论；
（2）①由矩形的性质得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，由对称的性质
得出 CE=BC=5cm，在 Rt△CDE 中，由勾股定理求出 DE=4cm，得出 AE=AD﹣
DE=1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP= cm即可；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE=1cm；当点P与点A重
合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，
又∵EF∥AB，
∴∠BPF=∠EFP，
∴∠EPF=∠EFP，
∴EP=EF，
∴BP=BF=EF=EP，
∴四边形BFEP为菱形；
[来源:学#科#网]
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE=BC=5cm，
在Rt△CDE中，DE= =4cm，
∴AE=AD﹣DE=5cm﹣4cm=1cm；
在Rt△APE中，AE=1，AP=3﹣PB=3﹣PE，
∴EP2=12+（3﹣EP）2，
解得：EP= cm，
∴菱形BFEP的边长为 cm；
②当点Q与点C重合时，如图2：
点E离点A最近，由①知，此时AE=1cm；
当点P与点A重合时，如图3所示：
点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，
∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．24．有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函
数y= x与y= （k≠0）的图象性质．
小明根据学习函数的经验，对函数y= x与y= ，当k＞0时的图象性质进行了探
究．
下面是小明的探究过程：
（1）如图所示，设函数y= x与y= 图象的交点为A，B，已知A点的坐标为（﹣k，
﹣1），则B点的坐标为 （ k ， 1 ） ；
（2）若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．
①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM=PN．
证明过程如下，设P（m， ），直线PA的解析式为y=ax+b（a≠0）．
则 ，解得
﹣1
∴直线PA的解析式为 y = x + ﹣1
请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．
[来源:学_科_网]
②当P点坐标为（1，k）（k≠1）时，判断△PAB的形状，并用k表示出△PAB的面积
【考点】GB：反比例函数综合题．
【分析】（1）根据正、反比例函数图象的对称性结合点A的坐标即可得出点B的
坐标；
（2）①设P（m， ），根据点P、A的坐标利用待定系数法可求出直线PA的解析式，
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标，过点P作PH⊥x轴于H，
由点P的坐标可得出点H的坐标，进而即可求出MH的长度，同理可得出HN的
长度，再根据等腰三角形的三线合一即可证出PM=PN；
②根据①结合PH、MH、NH的长度，可得出△PAB为直角三角形，分k＞1和0＜k
＜1两种情况，利用分割图形求面积法即可求出△PAB的面积．
【解答】解：（1）由正、反比例函数图象的对称性可知，点A、B关于原点O对称，
∵A点的坐标为（﹣k，﹣1），
∴B点的坐标为（k，1）．故答案为：（k，1）．
（2）①证明过程如下，设P（m， ），直线PA的解析式为y=ax+b（a≠0）．
则 ，
解得： ，
∴直线PA的解析式为y= x+ ﹣1．
当y=0时，x=m﹣k，
∴M点的坐标为（m﹣k，0）．
过点P作PH⊥x轴于H，如图1所示，
∵P点坐标为（m， ），
∴H点的坐标为（m，0），
∴MH=x ﹣x =m﹣（m﹣k）=k．
H M
同理可得：HN=k．
∴MH=HN，
[来源:Zxxk.Com]
∴PM=PN．
故答案为： ；y= x+ ﹣1．
②由①可知，在△PMN中，PM=PN，
∴△PMN为等腰三角形，且MH=HN=k．
当P点坐标为（1，k）时，PH=k，
∴MH=HN=PH，∴∠PMH=∠MPH=45°，∠PNH=∠NPH=45°，
∴∠MPN=90°，即∠APB=90°，
∴△PAB为直角三角形．
当k＞1时，如图1，
S =S ﹣S +S ，
△PAB △PMN △OBN △OAM
= MN•PH﹣ ON•y + OM•|y |，
B A
= ×2k×k﹣ （k+1）×1+ （k﹣1）×1，
=k2﹣1；
当0＜k＜1时，如图2，
S =S ﹣S +S ，
△PAB △OBN △PMN △OAM
= ON•y ﹣k2+ OM•|y |，
B A
= （k+1）×1﹣k2+ （1﹣k）×1，
=1﹣k2．2017年6月22日
