文档内容
2021年山东省菏泽市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.）
1．如图，数轴上点A所表示的数的倒数为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
2．下列等式成立的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．a•a3＝a3
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣2a3）2＝4a6
3．如果不等式组 的解集为x＞2，那么m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m≥2 C．m＞2 D．m＜2
4．一副三角板按如图方式放置，含 45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边
平行，则∠ 的度数是（ ）
α
A．10° B．15° C．20° D．25°
5．如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
6．在202π1年初中毕业生体育测π试中，某校随机抽取了π10名男生的引体向上π成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：
成绩（次） 12 11 10 9
人数（名） 1 3 4 2
关于这组数据的结论不正确的是（ ）
A．中位数是10.5 B．平均数是10.3
C．众数是10 D．方差是0.81
7．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k 且k≠1 B．k≥ 且k≠1 C．k D．k≥
8．如图（1），在平面直角坐标系中，矩形 ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝
2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在
x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的面积
为（ ）
A． B．2 C．8 D．10
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡
的相应区域内）
9．2021年5月11日，国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室对外发布：
截至2020年11月1日零时，全国人口共约1410000000人．数据1410000000用科学记
数法表示为 ．
10．因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝ ．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分别为AC、BC的中点，DE＝2，过点B作
BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为 ．12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形
HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形
BCME的面积比为 ．
13．定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1
﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当
m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞ 时，
y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是 ．
14．如图，一次函数 y＝x 与反比例函数 y＝ （x＞0）的图象交于点 A，过点 A 作
AB⊥OA，交 x 轴于点 B；作 BA ∥OA，交反比例函数图象于点 A ；过点 A 作
1 1 1
A B ⊥A B交x轴于点B；再作B A ∥BA ，交反比例函数图象于点A ，依次进行下去，
1 1 1 1 2 1 2
…，则点A 的横坐标为 ．
2021
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
15．（6分）计算：（2021﹣ ）0﹣|3﹣ |+4cos30°﹣（ ）﹣1．
π16．（6分）先化简，再求值：1+ ÷ ，其中m，n满足 ＝﹣ ．
17．（6分）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，
求证：BM＝BN．
18．（6分）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°
方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西
安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？
19．（7分）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销
售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能
让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，
且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过线段OB的中点
D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k x+b的图象经过E、F两点．
2
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点 P 是 x 轴上一动点，当 PE+PF 的值最小时，点 P 的坐标为
．21．（10分）2021年5月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机
抽取了部分参加15米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格
四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整；
（2）合格等级所占百分比为 %；不合格等级所对应的扇形圆心角为
度；
（3）从所抽取的优秀等级的学生A、B、C…中，随机选取两人去参加即将举办的学校
运动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率．
22．（10分）如图，在 O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为 上一点，F为
弦DC延长线上一点，⊙连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点
P，若FE＝FP．
（1）求证：FE是 O的切线；
⊙
（2）若 O的半径为8，sinF＝ ，求BG的长．
⊙23．（10分）在矩形ABCD中，BC＝ CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE
＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．
（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段
EF的垂直平分线上；
（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣1，
0）、B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连
接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（ ，0）时，得到新
抛物线y＝a x2+b x+c ，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使
1 1 1
得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，
请说明理由．
参考：若点P （x ，y ）、P （x ，y ），则线段P P 的中点P 的坐标为（ ，
1 1 1 2 2 2 1 2 0）．2021年山东省菏泽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.）
1．如图，数轴上点A所表示的数的倒数为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
【分析】从数轴上得到点A表示的数，再求这个数的倒数即可．
【解答】解：点A表示的数为﹣3，
﹣3的倒数为﹣ ，
故选：C．
2．下列等式成立的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．a•a3＝a3
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣2a3）2＝4a6
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，完全平方公式以及积的乘方
运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；
B．a•a3＝a4，故本选项不合题意；
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项不合题意；
D．（﹣2a3）2＝4a6，故本选项符合题意；
故选：D．
3．如果不等式组 的解集为x＞2，那么m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m≥2 C．m＞2 D．m＜2
【分析】解第一个不等式，求出解集，再根据不等式组的解集，利用“同大取大”的口
诀可得答案．
【解答】解：解不等式x+5＜4x﹣1，得：x＞2，∵不等式组的解集为x＞2，
∴m≤2，
故选：A．
4．一副三角板按如图方式放置，含 45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边
平行，则∠ 的度数是（ ）
α
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】根据平行线的性质和三角板的特殊角的度数解答即可．
【解答】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D＝30°，
∵∠BAE＝45°，
∴∠ ＝45°﹣30°＝15°．
故选α：B．
5．如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
【分析π】直接利用三视图得出π几何体的形状，再利用π圆柱体积求法得出答π案．【解答】解：由三视图可得，几何体是空心圆柱，其小圆半径是1，大圆半径是2，
则大圆面积为： ×22＝4 ，小圆面积为： ×12＝ ，
故这个几何体的π体积为：π6×4 ﹣6× ＝24π﹣6 ＝π18 ．
故选：B． π π π π π
6．在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组
数据整理后制成如下统计表：
成绩（次） 12 11 10 9
人数（名） 1 3 4 2
关于这组数据的结论不正确的是（ ）
A．中位数是10.5 B．平均数是10.3
C．众数是10 D．方差是0.81
【分析】根据中位数，平均数，众数，方差的性质分别计算出结果，然后判判断即可．
【解答】解：根据题目给出的数据，可得：
中位数是 ＝10（分），
平均数为： ＝10.3，
∵10出现了4次，出现的次数最多，
∴众数是10；
方差是： [（12﹣10.3）2+3×（11﹣10.3）2+4×（10﹣10.3）2+2×（9﹣10.3）2]＝
0.81．
这组数据的结论不正确的是A．
故选：A．
7．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k 且k≠1 B．k≥ 且k≠1 C．k D．k≥
【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0两种情况，利用根的判别式求解可得．
【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．
∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，
解得k≥ ；当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；
综上，k的取值范围是k≥ ，
故选：D．
8．如图（1），在平面直角坐标系中，矩形 ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝
2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在
x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的面积
为（ ）
A． B．2 C．8 D．10
【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长BC，AB的长，从而可以求得
矩形的面积．
【解答】解：如图所示，过点B、D分别作y＝2x+1的平行线，交AD、BC于点E、F．
由图象和题意可得AE＝4﹣3＝1，CF＝8﹣7＝1，BE＝DF＝ ，BF＝DE＝7﹣4＝3，
则AB＝ ＝ ＝2，BC＝BF+CF＝3+1＝4，
∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝2×4＝8．
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡
的相应区域内）
9．2021年5月11日，国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室对外发布：截至2020年11月1日零时，全国人口共约1410000000人．数据1410000000用科学记
数法表示为 1.41×1 0 9 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1410000000＝1.41×109，
故答案为：1.41×109．
10．因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝ ﹣ a （ a ﹣ 1 ） 2 ．
【分析】先提公因式﹣a，再用完全平方式分解因式即可．
【解答】解：原式＝﹣a（a2﹣2a+1）
＝﹣a（a﹣1）2．
故答案为：﹣a（a﹣1）2．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分别为AC、BC的中点，DE＝2，过点B作
BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为 8 ．
【分析】由三角形的中位线定理证得DE∥AB，AB＝2DE＝4，进而证得四边形ABFD是
平行四边形，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出BC＝4 ，得到BE＝2 ，根据平行
四边形的面积公式即可求出四边形ABFD的面积．
【解答】解：∵D、E分别为AC、BC的中点，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝ AB，
∴AB＝2DE，DF∥AB，
又∵BF∥AC，
∴BF∥AD，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∵AB⊥BE，∴S平行四边形ABFD ＝AB•BE，
∵DE＝2，
∴AB＝2×2＝4，
在Rt△ABC中，
∵∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝2×4＝8，
∴BC＝ ＝ ＝4 ，
∴BE＝ BC＝2 ，
∴S平行四边形ABFD ＝4×2 ＝8 ，
故答案为8 ．
12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形
HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形
BCME的面积比为 1 ： 3 ．
【分析】通过证明△AEM∽△ABC，可得 ，可求EF的长，由相似三角形的性
质可得 ＝（ ）2＝ ，即可求解．
【解答】解：∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，
∴EF＝EH＝HM，EM∥BC，
∴△AEM∽△ABC，
∴ ，
∴ ，∴EF＝ ，
∴EM＝5，
∵△AEM∽△ABC，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴S四边形BCME ＝S△ABC ﹣S△AEM ＝3S△AEM ，
∴△AEM与四边形BCME的面积比为1：3，
故答案为：1：3．
13．定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1
﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当
m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞ 时，
y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是 ①②③ ．
【分析】根据特征数的定义，写出二次函数的表达式为 y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．①
写出对称轴方程后把m＝1代入即可判断；②把m＝2代入即可判断；③根据开口方向
即可判断；④根据对称轴，开口方向，增减性即可判断．
【解答】解：由特征数的定义可得：特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的表达式为
y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．
∵此抛物线的的对称轴为直线x＝ ＝ ＝ ，
∴当m＝1时，对称轴为直线x＝0，即y轴．故①正确；
∵当m＝2时，此二次函数表达式为y＝2x2﹣x，令x＝0，则y＝0，
∴函数图象过原点，故②正确；
∵当m＞0时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确；
∵m＜0，
∴对称轴x＝ ＝ ，抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
即x＞ 时，y随x的增大而减小．
故④错误．故答案为：①②③．
14．如图，一次函数 y＝x 与反比例函数 y＝ （x＞0）的图象交于点 A，过点 A 作
AB⊥OA，交 x 轴于点 B；作 BA ∥OA，交反比例函数图象于点 A ；过点 A 作
1 1 1
A B ⊥A B交x轴于点B；再作B A ∥BA ，交反比例函数图象于点A ，依次进行下去，
1 1 1 1 2 1 2
…，则点A 的横坐标为 + ．
2021
【分析】由一次函数y＝x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A，可得A（1，
1）；易得△OAB是等腰直角三角形，则OB＝2；分别过点A，A ，A ，作x轴的垂线，
1 2
垂足分别为C，D，E，则△ABD是等腰直角三角形，设BD＝m，则A D＝m，则A
1 1
（m+2，m），点A 在反比例函数 上，可得m的值，求出点A 的坐标，同理可得
1 1
A 的坐标，以此类推，可得结论．
2
【解答】解：如图，分别过点A，A ，A ，作x轴的垂线，垂足分别为C，D，E，
1 2
∵一次函数y＝x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A，
∴联立 ，解得A（1，1），
∴AC＝OC＝1，∠AOC＝45°，
∵AB⊥OA，
∴△OAB是等腰直角三角形，∴OB＝2OC＝2，
∵A B∥OA，
1
∴∠A BD＝45°，
1
设BD＝m，则A D＝m，
1
∴A （m+2，m），
1
∵点A 在反比例函数y＝ 上，
1
∴m（m+2）＝1，解得m＝﹣1+ ，（m＝﹣1﹣ ，负值舍去），
∴A （ +1， ﹣1），
1
∵A B ⊥A B，
1 1 1
∴BB ＝2BD＝2 ﹣2，
1
∴OB ＝2 ．
1
∵B A ∥BA ，
1 2 1
∴∠A B E＝45°，
2 1
设B E＝t，则A E＝t，
1 2
∴A （t+2 ，t），
2
∵点A 在反比例函数y＝ 上，
2
∴t（t+2 ）＝1，解得t＝﹣ + ，（t＝﹣ ﹣ ，负值舍去），
∴A （ ， ﹣ ），
2
同理可求得A （2+ ，2﹣ ），
3
以此类推，可得点A 的横坐标为 + ．
2021
故答案为： + ．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
15．（6分）计算：（2021﹣ ）0﹣|3﹣ |+4cos30°﹣（ ）﹣1．
π
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指
数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣（2 ﹣3）+4× ﹣4
＝1﹣2 +3+2 ﹣4
＝0．16．（6分）先化简，再求值：1+ ÷ ，其中m，n满足 ＝﹣ ．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出m＝﹣
n，代入、约分即可．
【解答】解：原式＝1+ •
＝1﹣
＝ ﹣
＝ ，
∵ ＝﹣ ，
∴m＝﹣ n，
则原式＝ ＝ ＝﹣6．
17．（6分）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，
求证：BM＝BN．
【分析】由菱形的性质，可用ASA证明△AMD≌△CND，所以AM＝CN，所以AB﹣AM
＝BC﹣CN，即BM＝CN，则结论得证．
【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C．
在△AMD和△CND中，
，∴△AMD≌△CND（ASA）．
∴AM＝CN，
∴AB﹣AM＝BC﹣CN，
即BM＝CN．
18．（6分）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°
方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西
安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？
【分析】过点C作CD⊥BA的延长线于点D，由题意可证明△ABC为等腰三角形，所以
AC＝AB＝200海里．再求出CD的距离，最后根据BC＝2CD求BC的长．
【解答】解：过点C作CD⊥BA的延长线于点D，如图．
由题意可得：∠CAD＝60°，∠CBD＝30°＝∠DCA，
∴∠BCA＝∠CAD﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°．
即∠BCA＝∠CBD，
∴AC＝AB＝200（海里）．
在Rt△CDA中，CD＝sin∠CAD×AC＝ ＝100 （海里）．
在Rt△CDB中，CB＝2CD＝200 （海里）．
故位于A处的济南舰距C处的距离200海里，位于B处的西安舰距C处的距离200 海
里．
19．（7分）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能
让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
【分析】设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解
之即可得出答案．
【解答】解：设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
（38﹣x﹣22）（160+ ×120）＝3640，
整理得x2﹣12x+27＝0，
∴x＝3或x＝9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为38﹣9＝29元．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，
且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过线段OB的中点
D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k x+b的图象经过E、F两点．
2
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为 （ ， 0 ） ．
【分析】（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得D（2，1），从而可得反比例函数表
达式；再求出点E、F坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．求出直
线E'F的解析式后令y＝0，即可得到点P坐标．
【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝BC＝2，OC＝4，∴B（4，2）．
由中点坐标公式可得点D坐标为（2，1），
∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过线段OB的中点D，
∴k ＝xy＝2×1＝2，
1
故反比例函数表达式为y＝ ．
令y＝2，则x＝1；令x＝4，则y＝ ．
故点E坐标为（1，2），F（4， ）．
设直线EF的解析式为y＝kx+b，代入E、F坐标得：
，解得： ．
故一次函数的解析式为y＝ ．
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．如图．
由E坐标可得对称点E'（1，﹣2），
设直线E'F的解析式为y＝mx+n，代入点E'、F坐标，得：
，解得： ．
则直线E'F的解析式为y＝ ，
令y＝0，则x＝ ．
∴点P坐标为（ ，0）．
故答案为：（ ，0）．21．（10分）2021年5月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机
抽取了部分参加15米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格
四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整；
（2）合格等级所占百分比为 3 0 %；不合格等级所对应的扇形圆心角为 3 6 度；
（3）从所抽取的优秀等级的学生A、B、C…中，随机选取两人去参加即将举办的学校
运动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率．
【分析】（1）求出抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由合格等级的人数除以抽取的人数得合格等级所占百分比；再由 360°乘以不合格
等级所占的比例即可；
（3）画树状图，共有30种等可能的结果，恰好抽到A、B两位同学的结果有2种，再
由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：12÷40%＝30（人），
则优秀的学生人数为：30﹣12﹣9﹣3＝6（人），
把条形统计图补充完整如下：（2）合格等级所占百分比为：9÷30×100%＝30%，
不合格等级所对应的扇形圆心角为：360°× ＝36°，
故答案为：30，36；
（3）优秀等级的学生有6人，为A、B、C、D、E、F，
画树状图如图：
共有30种等可能的结果，恰好抽到A、B两位同学的结果有2种，
∴恰好抽到A、B两位同学的概率为 ＝ ．
22．（10分）如图，在 O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为 上一点，F为
弦DC延长线上一点，⊙连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点
P，若FE＝FP．
（1）求证：FE是 O的切线；
⊙
（2）若 O的半径为8，sinF＝ ，求BG的长．
⊙
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠A＝∠AEO，∠FPE＝∠FEP，由余角的性质可求∠FEP+∠AEO＝90°，可得结论；
（2）由余角的性质可求∠F＝∠EOG，由锐角三角函数可设 EG＝3x，OG＝5x，在
Rt△OEG中，利用勾股定理可求x＝2，即可求解．
【解答】解：（1）如图，连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠AEO，
∵CD⊥AB，
∴∠AHP＝90°，
∵FE＝FP，
∴∠FPE＝∠FEP，
∵∠A+∠APH＝∠A+∠FPE＝90°，
∴∠FEP+∠AEO＝90°＝∠FEO，
∴OE⊥EF，
∴FE是 O的切线；
（2）∵⊙∠FHG＝∠OEG＝90°，
∴∠G+∠EOG＝90°＝∠G+∠F，
∴∠F＝∠EOG，
∴sinF＝sin∠EOG＝ ＝ ，
设EG＝3x，OG＝5x，
∴OE＝ ＝ ＝4x，
∵OE＝8，
∴x＝2，
∴OG＝10，
∴BG＝10﹣8＝2．23．（10分）在矩形ABCD中，BC＝ CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE
＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．
（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段
EF的垂直平分线上；
（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．
【分析】（1）欲证明PE＝PF，只要证明∠PEF＝∠PFE．
（2）连接AC交EF于O，连接PM，PO．首先证明P，M，O共线，再利用等腰三角形
的三线合一的性质解决问题即可．
（3）如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图
中弧BC．利用弧长公式，解决问题即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
由翻折变换可知，∠DEF＝∠PEF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴PE＝PF．（2）证明：如图2中，连接AC交EF于O，连接PM，PO．
∵AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，
∵PE＝PF，
∴PO平分∠EPF，
∵PE＝PF，AD＝BC，AE＝FC，
∴ED＝BF，
由折叠的性质可知ED＝EH，所以BF＝EH，
∴PE﹣EH＝PF﹣BF，
∴PB＝PH，
∵∠PHM＝∠PBM＝90°，PM＝PM，
∴Rt△PMH≌Rt△PMB（HL），
∴PM平分∠EPF，
∴P．M，O共线，
∵PO⊥EF，OE＝OF，
∴点M在线段EF的垂直平分线上．
（3）如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图
中弧BC．在Rt△BCD中，tan∠CBD＝ ＝ ，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ABO＝∠OAB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OD＝OB＝OC＝AB＝5，∠BOC＝120°，
∴点G运动的路径的长＝ ＝ ．
π
故答案为： ．
π
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣1，
0）、B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连
接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（ ，0）时，得到新
抛物线y＝a x2+b x+c ，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使
1 1 1得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，
请说明理由．
参考：若点P （x ，y ）、P （x ，y ），则线段P P 的中点P 的坐标为（ ，
1 1 1 2 2 2 1 2 0
）．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）求出直线 PB 的表达式为 y＝kx+t，而 CQ∥BP，则直线 CQ 的表达式为 y＝
（m+1）x﹣4，
令y＝（m+1）x﹣4＝0，解得x＝ ，即点Q的坐标为（ ，0），由S＝ ×BQ×
（﹣y ），即可求解；
P
（3）当AP是边时，则点A向右平移3个单位向下平移6个单位得到点P，同样点F
（E）向右平移3个单位向下平移6个单位得到点E（F）且AE＝PF（AF＝PE），进而
求解；当AP是对角线时，由中点坐标公式和AP＝EF，列出等式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得： ，解得 ，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣4），
设点P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4），
设直线PB的表达式为y＝kx+t，
则 ，解得 ，
∵CQ∥BP，
故设直线CQ的表达式为y＝（m+1）x+p，
该直线故点C（0，﹣4），即p＝﹣4，
故直线CQ的表达式为y＝（m+1）x﹣4，
令y＝（m+1）x﹣4＝0，解得x＝ ，即点Q的坐标为（ ，0），则BQ＝4﹣ ＝ ，
设△PBQ面积为S，
则S＝ ×BQ×（﹣y ）＝﹣ × ×（m2﹣3m﹣4）＝﹣2m2+8m，
P
∵﹣2＜0，故S有最大值，
当m＝2时，△PBQ面积为8，
此时点P的坐标为（2，﹣6）；
（3）存在，理由：
将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（ ，0）时，即点A过改点，即抛物线向右平
移了 +1＝ 个单位，
则函数的对称轴也平移了 个单位，即平移后的抛物线的对称轴为 + ＝3，故设点E
的坐标为（3，m），
设点F（s，t），
①当AP是边时，
则点A向右平移3个单位向下平移6个单位得到点P，
同样点F（E）向右平移3个单位向下平移6个单位得到点E（F）且AE＝PF（AF＝
PE），
则 或 ，
解得 或 ，
故点F的坐标为（3，﹣ ）或（3，2）；
②当AP是对角线时，由中点坐标公式和AP＝EF得： ，
解得 或 ，
故点F的坐标为（3，﹣3+ ）或（3，﹣3﹣ ）；
综上，点F的坐标为（3，﹣3+ ）或（3，﹣3﹣ ）或（3，﹣ ）或（3，2）．
