文档内容
2015 年广东省珠海市中考数学试卷
一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．（3分）（2015•珠海） 的倒数是（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
2．（3分）（2015•珠海）计算﹣3a2×a3的结果为（ ）
A．﹣3a5 B．3a6 C．﹣3a6 D．3a5
3．（3分）（2015•珠海）一元二次方程x2+x+ =0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
4．（3分）（2015•珠海）一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的
概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2015•珠海）如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则
∠BOD的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
6．（4分）（2015•珠海）若分式 有意义，则x应满足 ．7．（4分）（2015•珠海）不等式组 的解集是 ．
8．（4分）（2015•珠海）填空：x2+10x+ =（x+ ）2．
9．（4分）（2015•珠海）用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的
侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 cm．
10．（4分）（2015•珠海）如图，在△A B C 中，已知A B =7，B C =4，A C =5，依次
1 1 1 1 1 1 1 1 1
连接△A B C 三边中点，得△A B C ，再依次连接△A B C 的三边中点得
1 1 1 2 2 2 2 2 2
△A B C ，…，则△A B C 的周长为 ．
3 3 3 5 5 5
三、解答题（一）（共5小题，每小题6分，共30分）
11．（6分）（2015•珠海）计算：﹣12﹣2 +50+|﹣3|．
12．（6分）（2015•珠海）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x= ．
13．（6分）（2015•珠海）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC．
（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写
作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC=8，CD=5，则CE= ．14．（6分）（2015•珠海）某校体育社团在校内开展“最喜欢的体育项目（四项选一
项）”调查，对九年级学生随机抽样，并将收集的数据绘制成如图两幅不完整的
统计图，请结合统计图解答下列问题：
（1）求本次抽样人数有多少人？
（2）补全条形统计图；
（3）该校九年级共有600名学生，估计九年级最喜欢跳绳项目的学生有多少人？
15．（6分）（2015•珠海）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增
加绿地面积，2014年达到82.8公顷．
（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？
四、解答题（二）（本大题共4小题，每小题7分，共28分）
16．（7分）（2015•珠海）如图，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点．已
知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米，塔高AB为123米（AB垂直地面
BC），在地面C处测得点E的仰角α=45°，从点C沿CB方向前行40米到达D点，
在D处测得塔尖A的仰角β=60°，求点E离地面的高度EF．（结果精确到1米，参
考数据 ≈1.4， ≈1.7）
17．（7分）（2015•珠海）已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．
（1）求证：2a+b=0；
（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．18．（7分）（2015•珠海）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分
别在x轴，y轴上，函数y= 的图象过点P（4，3）和矩形的顶点B（m，n）（0＜m＜
4）．
（1）求k的值；
（2）连接PA，PB，若△ABP的面积为6，求直线BP的解析式．
19．（7分）（2015•珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到
△DEF．
（1）如图1，连接BD，AF，则BD = AF（填“＞”、“＜”或“=”）；
（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF
于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．
五、解答题(三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
20．（9分）（2015•珠海）阅读材料：善于思考的小军在解方程组 时，
采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③
把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为 ．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组
（2）已知x，y满足方程组 ．
（i）求x2+4y2的值；
（ii）求 + 的值．
21．（9分）（2015•珠海）五边形ABCDE中，∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，
且满足以点B为圆心，AB长为半径的圆弧AC与边DE相切于点F，连接BE，
BD．
（1）如图1，求∠EBD的度数；
（2）如图2，连接AC，分别与BE，BD相交于点G，H，若AB=1，∠DBC=15°，求
AG•HC的值．
22．（9分）（2015•珠海）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的
点D处，已知折痕BE=5 ，且 = ，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣ x2+ x+c经过点E，且与AB边相交
于点F．
（1）求证：△ABD∽△ODE；
（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；
（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过
程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明
理由．2015 年广东省珠海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．（3分）（2015•珠海） 的倒数是（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
【考点】倒数．.
【分析】根据倒数的定义求解．
【解答】解：∵ ×2=1，
∴ 的倒数是2．
故选C．
【点评】倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数
2．（3分）（2015•珠海）计算﹣3a2×a3的结果为（ ）
A．﹣3a5 B．3a6 C．﹣3a6 D．3a5
【考点】单项式乘单项式．.
【分析】利用单项式相乘的运算性质计算即可得到答案．
【解答】解：﹣3a2×a3=﹣3a2+3=﹣3a5，
故选A．
【点评】本题考查了单项式的乘法，属于基础题，比较简单，熟记单项式的乘法的
法则是解题的关键．
3．（3分）（2015•珠海）一元二次方程x2+x+ =0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
【考点】根的判别式．.【分析】求出△的值即可判断．
【解答】解：一元二次方程x2+x+ =0中，
∵△=1﹣4×1× =0，
∴原方程由两个相等的实数根．
故选B．
点评：[来源:学。科。网]
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
⇔
4．（3分）（2015•珠海）一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的
概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．.
【分析】先列举出同时掷两枚质地均匀的硬币一次所有四种等可能的结果，然后
根据概率的概念即可得到两枚硬币都是正面朝上的概率．
【解答】解：同时掷两枚质地均匀的硬币一次，
共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，
两枚硬币都是正面朝上的占一种，
所以两枚硬币都是正面朝上的概率= ．
故选D．
【点评】本题考查了用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表法与树状图
法表示所有等可能的结果n，然后找出某事件出现的结果数m，最后计算P= ．5．（3分）（2015•珠海）如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则
∠BOD的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50
【考点】圆周角定理；垂径定理．.
【分析】由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB=2∠C，得到
答案．
【解答】解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，
∴ = ，
∴∠DOB=2∠C=50°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或
等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
6．（4分）（2015•珠海）若分式 有意义，则x应满足 x≠ 5 ．
【考点】分式有意义的条件．.[来源:学&科&网Z&X&X&K]
【分析】根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】解：要使分式 有意义，得
x﹣5≠0，
解得x≠5，
故答案为：x≠5．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，分式的分母不为零分式有意义7．（4分）（2015•珠海）不等式组 的解集是 ﹣ 2≤ x ＜ 3 ．
【考点】解一元一次不等式组．.
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式
组的解集．
【解答】解： ，
由①得：x≥﹣2，
由②得：x＜3，
不等式组的解集为：﹣2≤x＜3，
故答案为：﹣2≤x＜3．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
8．（4分）（2015•珠海）填空：x2+10x+ 2 5 =（x+ 5 ）2．
【考点】完全平方式．.
【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，从公式上可知．
【解答】解：∵10x=2×5x，
∴x2+10x+52=（x+5）2．
故答案是：25；5．
【点评】本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，
就构成了一个完全平方式．要求熟悉完全平方公式，并利用其特点解题
9．（4分）（2015•珠海）用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的
侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 3 cm．
【考点】圆锥的计算．.
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆
锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．
【解答】解：圆锥的底面周长是： =6π．设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=6π．
解得：r=3．
故答案是：3．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间
的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长
是扇形的弧长．
10．（4分）（2015•珠海）如图，在△A B C 中，已知A B =7，B C =4，A C =5，依次
1 1 1 1 1 1 1 1 1
连接△A B C 三边中点，得△A B C ，再依次连接△A B C 的三边中点得
1 1 1 2 2 2 2 2 2
△A B C ，…，则△A B C 的周长为 1 ．
3 3 3 5 5 5
【考点】三角形中位线定理．.
专题：
规律型．
【分析】由三角形的中位线定理得：A B 、B C 、C A 分别等于A B 、B C 、C A 的
2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
一半，所以△A B C 的周长等于△A B C 的周长的一半，以此类推可求出
2 2 2 1 1 1
△A B C 的周长为△A B C 的周长的 ．
5 5 5 1 1 1
【解答】解：∵A B 、B C 、C A 分别等于A B 、B C 、C A 的一半，
2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
∴以此类推：△A B C 的周长为△A B C 的周长的 ，
5 5 5 1 1 1
∴则△A B C 的周长为（7+4+5）÷16=1．
5 5 5
故答案为：1
【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线定理
得：A B 、B C 、C A 分别等于A B 、B C 、C A 的一半，所以△A B C 的周长等
2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2
于△A B C 的周长的一半．
1 1 1
三、解答题（一）（共5小题，每小题6分，共30分）11．（6分）（2015•珠海）计算：﹣12﹣2 +50+|﹣3|．
【考点】实数的运算；零指数幂．.
专题：
计算题．
【分析】原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用算术平方根定义计算，第三
项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到
结果．
【解答】解：原式=﹣1﹣2×3+1+3=﹣1﹣6+1+3=﹣3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（6分）（2015•珠海）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x= ．
【考点】分式的化简求值．.
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算
即可．
【解答】解：原式= ÷
= •（x+1）（x﹣1）
=x2+1，
当x= 时，原式=（ ）2+1=3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的
关键
13．（6分）（2015•珠海）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC．
（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写
作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC=8，CD=5，则CE= 3 ．【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．.
【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出∠A的平分线即可
（2）根据平行四边形的性质可知AB=CD=5，AD∥BC，再根据角平分线的性质和
平行线的性质得到∠BAE=∠BEA，再根据等腰三角形的性质和线段的和差关系
即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：E点即为所求．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE是∠A的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BE=BA=5，
∴CE=BC﹣BE=3．
故答案为：3．
【点评】考查了作图﹣复杂作图，关键是作一个角的角平分线，同时考查了平行四
边形的性质，角平分线的性质，平行线的性质和等腰三角形的性质的知识点．
14．（6分）（2015•珠海）某校体育社团在校内开展“最喜欢的体育项目（四项选一
项）”调查，对九年级学生随机抽样，并将收集的数据绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图解答下列问题：
（1）求本次抽样人数有多少人？
（2）补全条形统计图；
（3）该校九年级共有600名学生，估计九年级最喜欢跳绳项目的学生有多少人？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．.
【分析】（1）根据喜欢跑步的人数是5，所占的百分比是10%，即可求得总人数；
（2）根据百分比的意义喜欢篮球的人数，作图即可；
（3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解．
【解答】解：（1）本次抽样的人数：5÷10%=50（人）；
（2）喜欢篮球的人数：50×40%=20（人），
如图所示：
；
（3）九年级最喜欢跳绳项目的学生有600× =180（人）．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同
的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个
项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
15．（6分）（2015•珠海）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增
加绿地面积，2014年达到82.8公顷．
（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？
【考点】一元二次方程的应用．.
专题：
增长率问题．
【分析】（1）设每绿地面积的年平均增长率为x，就可以表示出2014年的绿地面
积，根据2014年的绿地面积达到82.8公顷建立方程求出x的值即可；
（2）根据（1）求出的年增长率就可以求出结论．
【解答】解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得
57.5（1+x）2=82.8
解得：x =0.2，x =﹣2.2（不合题意，舍去）
1 2
答：增长率为20%；
（2）由题意，得
82.8（1+0.2）=99.36万元
答：2015年该镇绿地面积不能达到100公顷．
【点评】本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立
一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关
键．
四、解答题（二）（本大题共4小题，每小题7分，共28分）
16．（7分）（2015•珠海）如图，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点．已
知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米，塔高AB为123米（AB垂直地面
BC），在地面C处测得点E的仰角α=45°，从点C沿CB方向前行40米到达D点，在D处测得塔尖A的仰角β=60°，求点E离地面的高度EF．（结果精确到1米，参
考数据 ≈1.4， ≈1.7）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.
【分析】在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，则CF的长即可求得，然
后在直角△CEF中，利用三角函数求得EF的长．
【解答】解：在直角△ABD中，BD= = =41 （米），
则DF=BD﹣OE=41 ﹣10（米），
CF=DF+CD=41 ﹣10+40=41 +30（米），
则在直角△CEF中，EF=CF•tanα=41 +30≈41×1.7+30≈99.7≈100（米）．
答：点E离地面的高度EF是100米．
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三
角形．
17．（7分）（2015•珠海）已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．
（1）求证：2a+b=0；
（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．.
【分析】（1）直接利用对称轴公式代入求出即可；
（2）根据（1）中所求，再将x=4代入方程求出a，b的值，进而解方程得出即可．
【解答】（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣ ，
∴2a+b=0；（2）解：∵ax2+bx﹣8=0的一个根为4，
∴16a+4b﹣8=0，
∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∴16a﹣8a﹣8=0，
解得：a=1，则b=﹣2，
∴ax2+bx﹣8=0为：x2﹣2x﹣8=0，
则（x﹣4）（x+2）=0，
解得：x =4，x =﹣2，
1 2
故方程的另一个根为：﹣2．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法等知识，得出
a，b的值是解题关键．
18．（7分）（2015•珠海）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分
别在x轴，y轴上，函数y= 的图象过点P（4，3）和矩形的顶点B（m，n）（0＜m＜
4）．
（1）求k的值；
（2）连接PA，PB，若△ABP的面积为6，求直线BP的解析式．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．.
【分析】（1）把P（4，3）代入y= ，即可求出k的值；（2）由函数y= 的图象过点B（m，n），得出mn=12．根据△ABP的面积为6列出
方程 n（4﹣m）=6，将mn=12代入，化简得4n﹣12=12，解方程求出n=6，再求出
m=2，那么点B（2，6）．设直线BP的解析式为y=ax+b，将B（2，6），P（4，3）代入，
利用待定系数法即可求出直线BP的解析式．
【解答】解：（1）∵函数y= 的图象过点P（4，3），
∴k=4×3=12；
（2）∵函数y= 的图象过点B（m，n），[来源:Z。xx。k.Com]
∴mn=12．
△ABP的面积为6，P（4，3），0＜m＜4，
∴ n（4﹣m）=6，
∴4n﹣12=12，
解得n=6，
∴m=2，
∴点B（2，6）．
设直线BP的解析式为y=ax+b，
∵B（2，6），P（4，3），
∴ ，解得 ，
∴直线BP的解析式为y=﹣ x+9．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的
坐标特征，待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，三角形的面积，正确
求出B点坐标是解题的关键．19．（7分）（2015•珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到
△DEF．
（1）如图1，连接BD，AF，则BD = AF（填“＞”、“＜”或“=”）；
（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF
于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平移的性质．.
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得∠ABC与∠ACB的关系，根据平移的
性质，可得AC与DF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得GM与HN的关系，BM与FN的关系，
根据全等三角形的判定与性质，可得答案．
【解答】（1）解：由AB=AC，
得∠ABC=ACB．
由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
得DF=AC，∠DFE=∠ACB．
在△ABF和△DBF中，
，
△ABF≌△DBF（SAS），
BD=AF，
故答案为：BD=AF；
（2）证明：如图：，
MN∥BF，
△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，
= ， ，
∴MG=HN，MB=NF．
在△BMH和△FNG中，
，
△BMH≌△FNG（SAS），
∴BH=FG．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，相似三角形的
判定与性质，全等三角形的判定与性质．
五、解答题(三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
20．（9分）（2015•珠海）阅读材料：善于思考的小军在解方程组 时，
采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③
把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1
把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为 ．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组（2）已知x，y满足方程组 ．
（i）求x2+4y2的值；
（ii）求 + 的值．
【考点】解二元一次方程组．.
专题：
阅读型；整体思想．
【分析】（1）模仿小军的“整体代换”法，求出方程组的解即可；
（2）方程组整理后，模仿小军的“整体代换”法，求出所求式子的值即可．
【解答】解：（1）把方程②变形：3（3x﹣2y）+2y=19③，
把①代入③得：15+2y=19，即y=2，
把y=2代入①得：x=3，
则方程组的解为 ；
（2）（i）由①得：3（x2+4y2）=47+2xy，即x2+4y2= ③，
把③代入②得：2× =36﹣xy，
解得：xy=2，
则x2+4y2=17；
（ii）∵x2+4y2=17，
∴（x+2y）2=x2+4y2+4xy=17+8=25，
∴x+2y=5或x+2y=﹣5，
则 + = =± ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是
解本题的关键．
21．（9分）（2015•珠海）五边形ABCDE中，∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，
且满足以点B为圆心，AB长为半径的圆弧AC与边DE相切于点F，连接BE，
BD．（1）如图1，求∠EBD的度数；
（2）如图2，连接AC，分别与BE，BD相交于点G，H，若AB=1，∠DBC=15°，求
AG•HC的值．
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．.
【分析】（1）如图1，连接BF，由DE与⊙B相切于点F，得到BF⊥DE，通过
R△BAE≌R△BEF，得到∠1=∠2，同理∠3=∠4，于是结论可得；
t t
（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，由△ABE≌△PBC，得到PB=BE=
，求出PF= ，通过△AEG∽△CHD，列比例式即可得到结果．
【解答】解：（1）如图1，连接BF，
∵DE与⊙B相切于点F，
∴BF⊥DE，
在R△BAE与R△BEF中， ，
t t
∴R△BAE≌R△BEF，
t t
∴∠1=∠2，
同理∠3=∠4，
∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=45°，
即∠EBD=45°；
（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，
∠4=15°，
由（1）知，∠3=∠4=15°，
∴∠1=∠2=30°，∠PBC=30°，∠EAB=∠PCB=90°，AB=1，
∴AE= ，BE= ，
在△ABE与△PBC中， ，
∴△ABE≌△PBC，
∴PB=BE= ，
∴PF= ，
∠P=60°，
∴DF=2﹣ ，
∴CD=DF=2﹣ ，[来源:学科网]
∠EAG=∠DCH=45°，
∠AGE=∠BDC=75°，
∴△AEG∽△CHD，
∴ ，
∴AG•CH=CD•AE，
∴AG•CH=CD•AE=（2﹣ ）• = ．【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和
性质，画出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
22．（9分）（2015•珠海）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的
点D处，已知折痕BE=5 ，且 = ，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如
图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣ x2+ x+c经过点E，且与AB边相交
于点F．
（1）求证：△ABD∽△ ODE；
（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；
（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过
程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明
理由．
【考点】二次函数综合题．.
【分析】（1）由折叠和矩形的性质可知∠EDB=∠BCE=90°，可证得
∠EDO=∠DBA，可证明△ABD∽△ODE；
（2）由条件可求得OD、OE的长，可求得抛物线解析式，结合（1）由相似三角形的
性质可求得DA、AB，可求得F点坐标，可得到BF=DF，又由直角三角形的性质可
得MD=MB，可证得MF为线段BD的垂直平分线，可证得结论；
（3）过D作x轴的垂线交BC于点G，设抛物线与x轴的两个交点分别为M、N，
可求得DM=DN=DG，可知点M、N为满足条件的点Q，可求得Q点坐标．
【解答】（1）证明：
∵四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知△BCE≌△BDE，∴∠BDE=∠BCE=90°，
∠BAD=90°，
∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°，
∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°，
∴△ABD∽△ODE；
（2）证明：
∵ = ，
∴设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，
∴CE=DE=5x，
∴AB=OC=CE+OE=8x，
又∵△ABD∽△ODE，
∴ = = ，
∴DA=6x，
∴BC=OA=10x，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE2=BC2+CE2，即（5 ）2=（10x）2+（5x）2，解得
x=1，
∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+3，
当x=10时，代入可得y= ，
∴AF= ，BF=AB﹣AF=8﹣ = ，
在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF= = = ，
∴BF=DF，
又M为Rt△BDE斜边上的中点，
∴MD=MB，
∴MF为线段BD的垂直平分线，
∴MF⊥BD；（3）解：
由（2）可知抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+3，设抛物线与x轴的两个交点为M、
N，
令y=0，可得0=﹣ x2+ x+3，解得x=﹣4或x=12，
∴M（﹣4，0），N（12，0），
过D作DG⊥BC于点G，如图所示，
则DG=DM=DN=8，
∴点M、N即为满足条件的Q点，
∴存在满足条件的Q点，其坐标为（﹣4，0）或（12，0）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、折叠的性质、相似
三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和抛物线与坐标轴的交点等知识．在
（1）中利用折叠的性质得到∠EDB=90°是解题的关键，在（2）中，求得E、F的坐标，
求得相应线段的长是解题的关键，在（3）中确定出Q点的位置是解题的关键．本
题考查知识点较多，综合性很强，难度适中．
