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2015 年广东省深圳市中考数学试卷
一、选择题：
1．（3分）（2015•深圳）﹣15的相反数是（ ）
A． 15 B． ﹣15 C． D．
2．（3分）（2015•深圳）用科学记数法表示316000000为（ ）
A． 3.16×107 B． 3.16×108 C． 31.6×107 D． 31.6×106
3．（3分）（2015•深圳）下列说法错误的是（ ）
A． a•a=a2 B． 2a+a=3a C． （a3）2=a5 D． a3÷a﹣1=a4
4．（3分）（2015•深圳）下列图形既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2015•深圳）下列主视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2015•深圳）在以下数据75，80，80，85，90中，众数、中位数分别是（
）
A． 75，80 B． 80，80 C． 80，85 D． 80，90
7．（3分）（2015•深圳）解不等式2x≥x﹣1，并把解集在数轴上表示（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2015•深圳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正
确的个数是（ ）
①a＞0；②b＞0；③c＜0；④b2﹣4ac＞0．
第1页（共26页）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
9．（3分）（2015•深圳）如图，AB为⊙O直径，已知为∠DCB=20°，则∠DBA为（
）
A． 50° B． 20° C． 60° D． 70°
10．（3分）（2015•深圳）某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价
为（ ）元．
A． 140 B． 120 C． 160 D． 100
11．（3分）（2015•深圳）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上
取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（3分）（2015•深圳）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形
边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：
第2页（共26页）①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽BEF；④S = ．在以上4个结论中，
△BEF
正确的有（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
二、填空题：
13．（3分）（2015•深圳）因式分解：3a2﹣3b2= ．
14．（3分）（2015•深圳）在数字1，2，3中任选两个组成一个两位数，则这个两位
数能被3整除的概率是 ．
15．（3分）（2015•深圳）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，
第5个图形有 个太阳．
16．（3分）（2015•深圳）如图，已知点A在反比例函数y= （x＜0）上，作
Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E．若△BCE的面积
为8，则k= ．
三、解答题：
第3页（共26页）17．（2015•深圳）计算：|2﹣ |+2sin60°+ ﹣ ．
18．（2015•深圳）解方程： ．
19．（2015•深圳）11月读书节，深圳市为统计某学校初三学生读书状况，如下图：
（1）三本以上的x值为 ，参加调差的总人数为 ，补全统计图；
（2）三本以上的圆心角为 ．
（3）全市有6.7万学生，三本以上有 人．
20．（2015•深圳）小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地图1.5米，小丽站在C
点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60°，
求旗杆的高度．
第4页（共26页）21．（2015•深圳）下表为深圳市居民每月用水收费标准，（单位：元/m3）．
用水量 单价
x≤22 a
剩余部分 a+1.1
（1）某用户用水10立方米，公交水费23元，求a的值；
（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？
22．（2015•深圳）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和
量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，
现在三角板以2cm/s的速度向右移动．
（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；
（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；
（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CG•CE．
第5页（共26页）23．（2015•深圳）如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C
（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若
不存在请说明理由；
（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S =3S ？若存在求出点
△FBC △EBC
F的坐标，若不存在请说明理由．
第6页（共26页）2015 年广东省深圳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：
1．（3分）（2015•深圳）﹣15的相反数是（ ）
A． 15 B． ﹣15 C． D．
考点： 相反数．菁优网版权所有
分析： 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
解答： 解：﹣15的相反数是15，
故选：A．
点评： 本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3分）（2015•深圳）用科学记数法表示316000000为（ ）
A． 3.16×107 B． 3.16×108 C． 31.6×107 D． 31.6×106
考点： 科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的
位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：将316000000用科学记数法表示为：3.16×108．
故选B．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2015•深圳）下列说法错误的是（ ）
A． a•a=a2 B． 2a+a=3a C． （a3）2=a5 D． a3÷a﹣1=a4
考点： 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁
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分析： 根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相
减；幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项法则对各选项分析判断即可得解．
解答： 解：A、a•a=a2，正确，故本选项错误；
第7页（共26页）B、2a+a=3a，正确，故本选项错误；
C、（a3）2=a3×2=a6，故本选项正确；
D、a3÷a﹣1=a3﹣（﹣1）=a4，正确，故本选项错误．
故选C．
点评： 本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的
除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4．（3分）（2015•深圳）下列图形既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有
分析： 根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对
称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
解答： 解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称
图形，是轴对称图形，故此选项错误．
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对
称图形，故此选项错误；
C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图
形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称
图形，故此选项正确．
故选：D．
点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状
是解决问题的关键．
5．（3分）（2015•深圳）下列主视图正确的是（ ）
第8页（共26页）A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．菁优网版权所有
分析： 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解答： 解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形．
故选：A．
点评： 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
6．（3分）（2015•深圳）在以下数据75，80，80，85，90中，众数、中位数分别是（
）
A． 75，80 B． 80，80 C． 80，85 D． 80，90
考点： 众数；中位数．菁优网版权所有
分析： 首先找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这组数据的众数；然后
把这组数据从小到大排列，则中间的数就是这组数据的中位数，据此解答即可．
解答： 解：∵数据75，80，80，85，90中，80出现的次数最多，出现了2次，
∴这组数据的众数是80；
把数据75，80，80，85，90从小到大排列，可得
75，80，80，85，90，
所以这组数据的中位数是80．
故选：B．
点评： （1）此题主要考查了众数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是
要明确：①一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．②求一组数据的众数的方
法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是
这多个数据．
（2）此题还考查了中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，①如果数据的个数是奇数，
第9页（共26页）则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．②如果这组数据的个数是偶数，则
中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7．（3分）（2015•深圳）解不等式2x≥x﹣1，并把解集在数轴上表示（ ）
A． B．
C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．菁优网版权所有
分析： 先移项、合并同类项，把x的系数化为1即可．
解答： 解：2x≥x﹣1，
2x﹣x≥﹣1，
x≥﹣1．
故选：B．
点评： 本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集．把不等式的
解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画）．在表示解集时“≥”，
“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
8．（3分）（2015•深圳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正
确的个数是（ ）
①a＞0；②b＞0；③c＜0；④b2﹣4ac＞0．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
专题： 数形结合．
第10页（共26页）分析： 根据抛物线开口方向对①进行判断；根据抛物线的对称轴位置对②进行
判断；根据抛物线与y轴的交点位置对③进行判断；根据抛物线与x轴的交点个
数对④进行判断．
解答： 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴﹣ ＞0，
∴b＞0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，所以③错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，所以④正确．
故选B．
点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c
（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口
当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位
置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），
对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与
y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x
轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛
物线与x轴没有交点．
9．（3分）（2015•深圳）如图，AB为⊙O直径，已知为∠DCB=20°，则∠DBA为（
）
第11页（共26页）A． 50° B． 20° C． 60° D． 70°
考点： 圆周角定理．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 先根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，再利用互余
得∠ACD=90°﹣∠DCB=70°，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解．
解答： 解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°﹣∠DCB=90°﹣20°=70°，
∴∠DBA=∠ACD=70°．
故选D．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径．
10．（3分）（2015•深圳）某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价
为（ ）元．
A． 140 B． 120 C． 160 D． 100
考点： 一元一次方程的应用．菁优网版权所有
分析： 设商品进价为每件x元，则售价为每件0.8×200元，由利润=售价﹣进价建
立方程求出其解即可．
解答： 解：设商品的进价为每件x元，售价为每件0.8×200元，由题意，得
0.8×200=x+40，
解得：x=120．
故选：B．
点评： 本题考查了销售问题的数量关系利润=售价﹣进价的运用，列一元一次方
程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．
第12页（共26页）11．（3分）（2015•深圳）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上
取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点： 作图—复杂作图．菁优网版权所有
分析： 由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆
定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．
解答： 解：∵PB+PC=BC，
而PA+PC=BC，
∴PA=PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选D．
点评： 本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一
般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几
何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作
12．（3分）（2015•深圳）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形
边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：
①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽BEF；④S = ．在以上4个结论中，
△BEF
正确的有（ ）
第13页（共26页）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三
角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析： 根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根
据“HL”判定△ADG≌△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角
三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再抓
住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的．
解答： 解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DEF=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
∴△ADG≌△FDG，①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，
即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③错误；
S△GBE= ×6×8=24，S△BEF= •S△GBE= = ，④正确．
故选：C．
第14页（共26页）点评： 本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的
判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．
二、填空题：
13．（3分）（2015•深圳）因式分解：3a2﹣3b2= 3 （ a+ b ）（ a﹣ b ） ．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
解答： 解：原式=3（a2﹣b2）=3（a+b）（a﹣b），
故答案为：3（a+b）（a﹣b）
点评： 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法
是解本题的关键．
14．（3分）（2015•深圳）在数字1，2，3中任选两个组成一个两位数，则这个两位
数能被3整除的概率是 ．
考点： 列表法与树状图法．菁优网版权所有
分析： 利用树状图法列举出所有可能，看是否能被3整除．找出满足条件的数的
个数除以总的个数即可．
解答： 解：如图所示：
共有6种情况，能被3整除的有12，21两种．因此概率为 = ．
故答案为： ．
点评： 本题考查了树状图法求概率以及概率公式，注意能被3整除即两位数加起
来和为3的倍数．
第15页（共26页）15．（3分）（2015•深圳）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，
第5个图形有 2 1 个太阳．
考点： 规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
分析： 由图形可以看出：第一行小太阳的个数是从1开始连续的自然数，第二行
小太阳的个数是1、2、4、8、…、2n﹣1，由此计算得出答案即可．
解答： 解：第一行小太阳的个数为1、2、3、4、…，第5个图形有5个太阳，
第二行小太阳的个数是1、2、4、8、…、2n﹣1，第5个图形有24=16个太阳，
所以第5个图形共有5+16=21个太阳．
故答案为：21．
点评： 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题
16．（3分）（2015•深圳）如图，已知点A在反比例函数y= （x＜0）上，作
Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E．若△BCE的面积
为8，则k= 1 6 ．
考点： 反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所
有
分析： 根据反比例函数系数k的几何意义，证明△ABC∽△EOB，根据相似比求出
BA•BO的值，从而求出△AOB的面积．
解答： 解：∵△BCE的面积为8，
第16页（共26页）∴ ，
∴BC•OE=16，
∵点D为斜边AC的中点，
∴BD=DC，
∴∠DBC∠DCB=∠EBO，
又∠EOB=∠ABC，
∴△EOB∽△ABC，
∴ ，
∴AB•OB•=BC•OE
∴k=AB•BO=BC•OE=16．
故答案为：16．
点评： 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解决本题的关键是证明
△EOB∽△ABC，得到AB•OB•=BC•OE．
三、解答题：
17．（2015•深圳）计算：|2﹣ |+2sin60°+ ﹣ ．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权
所有
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数
值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算即
可得到结果．
解答： 解：原式=2﹣ +2× +2﹣1=3．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（2015•深圳）解方程： ．
第17页（共26页）考点： 解分式方程．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验
即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：3x2﹣2x+10x﹣15=4（2x﹣3）（3x﹣2），
整理得：3x2﹣2x+10x﹣15=24x2﹣52x+24，即7x2﹣20x+13=0，
分解因式得：（x﹣1）（7x﹣13）=0，
解得：x =1，x = ，
1 2
经检验x =1与x = 都为分式方程的解．
1 2
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19．（2015•深圳）11月读书节，深圳市为统计某学校初三学生读书状况，如下图：
（1）三本以上的x值为 20% ，参加调差的总人数为 40 0 ，补全统计图；
（2）三本以上的圆心角为 72 ° ．
（3）全市有6.7万学生，三本以上有 1340 0 人．
考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有
分析： （1）根据看1本书的人数为40人，所占的百分比为10%，40÷10即可求出
总人数，用100%﹣10%﹣25%﹣45%即可得x的值，用总人数乘以x的值，即可得
到3本以上的人数，即可补全统计图；
第18页（共26页）（2）用x的值乘以360°，即可得到圆心角；
（3）用6.7万乘以三本以上的百分比，即可解答．
解答： 解：（1）40÷10%=400（人），
x=100%﹣10%﹣25%﹣45%=20%，400×20%=80（人），
故答案为：20%，400；
如图所示；
（2）20%×360°=72°，
故答案为：72°；
（3）67000×20%=13400（人），
故答案为：13400．
点评： 此题主要考查了条形图与扇形图的综合应用，解决此类问题注意图形有
机结合，综合分析获取正确信息．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；
扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（2015•深圳）小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地图1.5米，小丽站在C
点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60°，
求旗杆的高度．
第19页（共26页）考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有
分析： 关键三角形外角的性质求得∠DAF=30°，得出AF=DF=10，在Rt△FGA中，
根据正弦函数求出AG的长，加上BG的长即为旗杆高度．
解答： 解：如图，∵∠ADG=30°，AFG=60°，
∴∠DAF=30°，
∴AF=DF=10，
在Rt△FGA中，
AG=AF•sin∠AFG=10× =5 ，
∴AB=1.5+5 ．
答：旗杆AB的高度为（1.5+5 ）米．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰
角构造直角三角形并解直角三角形．
21．（2015•深圳）下表为深圳市居民每月用水收费标准，（单位：元/m3）．
用水量 单价
x≤22 a
剩余部分 a+1.1
（1）某用户用水10立方米，公交水费23元，求a的值；
（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？
考点： 一元一次方程的应用．菁优网版权所有
分析： （1）直接利用10a=23进而求出即可；
（2）首先判断得出x＞22，进而表示出总水费进而得出即可．
第20页（共26页）解答： 解：（1）由题意可得：10a=23，
解得：a=2.3，
答：a的值为2.3；
（2）设用户水量为x立方米，
∵用水22立方米时，水费为：22×2.3=50.6＜71，
∴x＞22，
∴22×2.3+（x﹣22）×（2.3+1.1）=71，
解得：x=28，
答：该用户用水28立方米．
点评： 此题主要考查了一元一次方程的应用，根据图表中数据得出用户用水为x
米3（x＞22）时的水费是解题关键．
22．（2015•深圳）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和
量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，
现在三角板以2cm/s的速度向右移动．
（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；
（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；
（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CG•CE．
考点： 圆的综合题．菁优网版权所有
分析： （1）根据题意得出BO的长，再利用路程除以速度得出时间；
（2）根据切线的性质和判定结合等腰直角三角形的性质得出AO的长，进而求出
答案；
第21页（共26页）（3）利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG，进
而求出△CFG∽△CEF，即可得出答案．
解答： （1）解：由题意可得：BO=4cm，t= =2（s）；
（2）解：如图2，连接O与切点H，则OH⊥AC，
又∵∠A=45°，
∴AO= OH=3 cm，
∴AD=AO﹣DO=（3 ﹣3）cm；
（3）证明：如图3，连接EF，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∵DE为直径，
∴∠ODF+∠DEF=90°，
∠DEC=∠DEF+∠CEF=90°，
∴∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG，
又∵∠FCG=∠ECF，
∴△CFG∽△CEF，
∴ = ，
∴CF2=CG•CE．
第22页（共26页）点评： 此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质、等腰直角三
角形的性质等知识，根据题意得出△CFG∽△CEF是解题关键．
23．（2015•深圳）如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C
（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若
不存在请说明理由；
（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S =3S ？若存在求出点
△FBC △EBC
F的坐标，若不存在请说明理由．
考点： 二次函数综合题．菁优网版权所有
分析： （1）把A、C两点坐标代入可求得b、c，可求得抛物线解析式；
（2）当点P在∠DAB的平分线上时，过P作PM⊥AD，设出P点坐标，可表示出
PM、PE，由角平分线的性质可得到PM=PE，可求得P点坐标；当点P在∠DAB外
角平分线上时，同理可求得P点坐标；
第23页（共26页）（3）可先求得△FBC的面积，过F作FQ⊥x轴，交BC的延长线于Q，可求得FQ
的长，可设出F点坐标，表示出B点坐标，从而可表示出FQ的长，可求得F点坐
标．
解答： 解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3，
（2）存在，
当P在∠DAB的平分线上时，如图1，作PM⊥AD，
设P（﹣1，m），则PM=PD•sin∠ADE= （4﹣m），PE=m，
∵PM=PE，
∴ （4﹣m）=m，m= ﹣1，
∴P点坐标为（﹣1， ﹣1）；
当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，
第24页（共26页）设P（﹣1，n），则PN=PD•sin∠ADE= （4﹣n），PE=﹣n，
∵PM=PE，
∴ （4﹣n）=﹣n，n=﹣ ﹣1，
∴P点坐标为（﹣1，﹣ ﹣1）；
综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（﹣1， ﹣1）或（﹣1，﹣ ﹣1）；
（3）∵S =3，2S =3S ，
△EBC △FBC △EBC
∴S = ，
△FBC
过F作FQ⊥x轴，交BC的延长线于Q，如图3，
∵S = FQ•OB= FQ= ，
△FBC
∴FQ=9，
第25页（共26页）∵BC的解析式为y=﹣3x+3，
设F（x ，﹣x 2﹣2x +3），
0 0 0
∴﹣3x +3+x 2+2x ﹣3=9，
0 0 0
解得：x = 或 （舍去），
0
∴点F的坐标是（ ， ）．
点评： 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、角平分线的性质、
三角函数、三角形面积等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中
注意分点P在∠DAB的角平分线上和在外角的平分线上两种情况，在（3）中求得
FQ的长是解题的关键．本题所考查知识点较多，综合性很强，难度适中．
第26页（共26页）
