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2019 年深圳市初中毕业升学考试数学
一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分）
1. 的绝对值是（ ）
A. -5 B. C. 5 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
负数的绝对值是其相反数，依此即可求解．
【详解】-5的绝对值是5．
故选C．
【点睛】本题考查了绝对值的知识，掌握绝对值的意义是本题的关键，解题时要细心．
2.下列图形是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可
重合．
3.预计到2025年，中国5G用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学计数法表示为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数
的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】460 000 000=4.6×108．
故选C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整
数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.下列哪个图形是正方体的展开图（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方体展开图的11种特征，选项A、C、D不是正方体展开图；选项B是正方体展开图的“1-4-1”型．
【详解】根据正方体展开图的特征，选项A、C、D不是正方体展开图；选项B是正方体展开图．
故选B．
【点睛】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1-4-1”结构，即第一行放1个，第二行放
4个，第三行放1个；第二种：“2-2-2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：
“3-3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1-3-2”结构，即第一行放1个正方形，第
二行放3个正方形，第三行放2个正方形．
5.这组数据20，21，22，23，23的中位数和众数分别是（ ）
A. 20，23 B. 21，23 C. 21，22 D. 22，23
【答案】D【解析】
【分析】
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是
一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【详解】先把数据按从小到大排列顺序20，21，22，23，23，则中间的那一个就是中位数.
众数是出现次数最多的那个数就是众数，即是23.
故选D
【点睛】本题为统计题，考查众数与中位数 的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排
列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不
好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
6.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别计算出各项的结果，再进行判断即可.
【详解】A. ，故原选项错误；
B. ，故原选项错误；
C. ，计算正确；
D. ，故原选项错误.
故选C
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解
题的关键.
7.如图，已知 ， 为角平分线，下列说法错误的是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平行线的性质得到∠2=∠4，∠3=∠2，∠5=∠1+∠2，再根据角平分线的定义得到∠1=∠2=∠4=∠3，
∠5=2∠1，从而可对各选项进行判断．
【详解】∵l∥AB，
1
∴∠2=∠4，∠3=∠2，∠5=∠1+∠2，
∵AC为角平分线，
∴∠1=∠2=∠4=∠3，∠5=2∠1．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，
内错角相等．
8.如图，已知 ，以 两点为圆心，大于 的长为半径画圆，两弧相交于点 ，连
接 与 相较于点 ，则 的周长为（ ）
A. 8 B. 10 C. 11 D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等线段代换得到
BDC的周长=AC+BC．
△【详解】由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．
故选A．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；
作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线
的性质．
9.已知 的图象如图，则 和 的图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y=ax+b经过一、二、
四象限，双曲线 在二、四象限．
【详解】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，
可得a＜0，b＞0，c＜0，
∴y=ax+b过一、二、四象限，
双曲线 在二、四象限，
∴C是正确的．
故选C．
【点睛】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．
10.下列命题正确的是（ ）
A. 矩形对角线互相垂直
B. 方程 的解为C. 六边形内角和为540°
D. 一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
【答案】D
【解析】
【分析】
由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A不正确；
由方程x2=14x的解为x=14或x=0得出选项B不正确；
由六边形内角和为（6-2）×180°=720°得出选项C不正确；
由直角三角形全等的判定方法得出选项D正确；即可得出结论．
【详解】A．矩形对角线互相垂直，不正确；
B．方程x2=14x的解为x=14，不正确；
C．六边形内角和为540°，不正确；
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；
故选D.
【点睛】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形全等的
判定；要熟练掌握．
11.定义一种新运算： ，例如： ，若 ，则 （ ）
A. -2 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可.
【详解】根据题意得，
，
则 ，经检验， 是方程的解，
故选B.
【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
12.已知菱形 ， 是动点，边长为4， ，则下列结论正确的有几个（ ）
① ； ② 为等边三角形
③ ④若 ，则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
①易证 ABC为等边三角形，得AC=BC，∠CAF=∠B，结合已知条件BE=AF可证 BEC≌△AFC；②得
FC=EC△，∠FCA=∠ECB，得∠FCE=∠ACB，进而可得结论；③证明∠AGE=∠BFC△则可得结论；④分别
证明 AEG∽△FCG和 FCG∽△ACF即可得出结论.
【详△解】在四边形 △是菱形中，
∵ ，
∴
∵
∴
∴△ABC为等边三角形，
∴
又 ，
∴ ，故①正确；
∴ ，
∴∠FCE=∠ACB=60°,
∴ 为等边三角形，故②正确；
∵∠AGE+∠GAE+∠AEG=180°，∠BEC+∠CEF+∠AEG=180°，,
又∵∠CEF=∠CAB=60°
∴∠BEC=∠AGE，
由①得，∠AFC=∠BEC，
∴∠AGE=∠AFC，故③正确；
∴∠AEG=∠FCG
∴△AEG∽△FCG，
∴ ，
∵∠AGE=∠FGC，∠AEG=∠FCG
∴∠CFG=∠GAE=∠FAC，
∴ ACF∽△FCG，
△
∴
∴
∵AF=1，
∴BE=1，
∴AE=3，
∴ ，故④正确.
故选D.
【点睛】本题主要考查了运用菱形的性质求解，主要的知识点有：全等三角形的判定与性质，等边三角形
的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，是一道好题.
二、填空题（每小题3分，共4小题，满分12分）
13.分解因式： =______．
【答案】a（b+1）（b﹣1）．
【解析】
解：原式= =a（b+1）（b﹣1），故答案为：a（b+1）（b﹣1）．
的
14.现有8张同样 卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽取一张，抽到标有数字2的卡片的概率是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用概率公式计算进而得出答案．
【详解】∵现有8张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，
∴将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是： ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了概率公式，正确掌握计算公式是解题关键．
15.如图在正方形 中， ，将 沿 翻折，使点 对应点刚好落在对角线 上，将 沿 翻折，
使点 对应点落在对角线 上，求 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
作 于点 ，构造直角三角形，运用勾股定理求解即可.
【详解】作 于点 ，
由折叠可知： ， ，
∴正方形边长∴ .
故答案为： .
【点睛】本题考查翻折变换、正方形 的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问
题，学会利用参数构建方程解决问题，
16.如图，在 中， ， ，点 在 上，且 轴平分角 ，求
______.
【答案】
【解析】
【分析】
作 轴，证明 COD∽△AED，求得AE=1，再证明 CBO∽△BAE，求得OE= ，进而可求出k的
△ △
值.
【详解】如图所示：作 轴
由题意：可证又∵
∴
令 ，则
∵ 轴平分
∴
∵ 轴
∴可证
则 ，即 ，解得：
∴
故 .
【点睛】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正
确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
三、解答题（第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第
22、23题9分，满分52分）
17.计算：
【答案】11.
【解析】
【分析】
根据算术平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的意义进行计算，最后再进行加减运算
即可得解.
【详解】 ，
.
【点睛】本题考查了实数的运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂，解答本题的关键是明
确它们的各自计算方法.18.先化简 ，再将 代入求值.
【答案】1.
【解析】
【分析】
直接利用分式的混合运算法则进而化简得出答案．
【详解】原式
将 代入得：
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
19.某校为了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查（每名学生选择并且
只能选择一种喜爱乐器），现将收集到的数据绘制如下的两幅不完整的统计图.
（1）这次共抽取 学生进行调查，扇形统计图中的 .
（2）请补全统计图；
（3）在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是 度；
（4）若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有 名.
【答案】（1）200，15%；（2）统计图如图所示见解析；（3）36；（4）900.
【解析】
【分析】
（1）用喜爱古筝的人数除以所占百分比即可得到抽查的总人数，用喜爱竹笛的人数除以总人数即可得出x
的值；
（2）求得喜爱二胡的人数，即可将条形统计图补充完整；
（3）求出扬琴部分的百分比，即可得到扬琴部分所占圆心角的度数；（4）依据喜爱二胡的学生所占的百分比，即可得到该校喜爱二胡的学生数量．
【详解】（1）80÷40%=200（人），
x=30÷200=15%.
（2）喜爱二胡的人数为：200-80-30-20-10=60（人）
补全图形如下：
（3）“扬琴”所对扇形的圆心角的度数为： .
（4）3000× =900（人），
故，若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有900名.
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问
题需要的条件，利用数形结合思想解答．
20.如图所示，某施工队要测量隧道长度 ， 米， ，施工队站在点 处看向 ，测得仰角
，再由 走到 处测量， 米，测得仰角为 ，求隧道 长.（ ， ，
）.
【答案】隧道 的长度为700米.【解析】
【分析】
作EM⊥AC于M，解直角三角形即可得到结论．
【详解】如图，
是等腰直角三角形， ，
作 点 ，则
∴
在 中， ，即
∴
∴ （米）
答：隧道 的长度为700米。
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
21.有 两个发电厂，每焚烧一吨垃圾， 发电厂比 发电厂多发40度电， 焚烧20吨垃圾比 焚烧30吨
垃圾少1800度电.
（1）求焚烧1吨垃圾， 和 各发多少度电？
（2） 两个发电厂共焚烧90吨垃圾， 焚烧的垃圾不多于 焚烧的垃圾的两倍，求 厂和 厂总发电量
的最大值.
【答案】（1）焚烧1吨垃圾， 发电厂发电300度， 发电厂发电260度；（2）当 时， 取最大值
25800度.
【解析】
【分析】
(1) 设焚烧1吨垃圾， 发电厂发电 度， 发电厂发电 度，分别根据“每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电
厂多发40度电” ，“A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电”，列方程组求解即可；
（2）设 发电厂焚烧 吨垃圾，则 发电厂焚烧 吨，总发电量为 度，列出函数关系式求解即可.【详解】（1）设焚烧1吨垃圾， 发电厂发电 度， 发电厂发电 度，则
，解得：
答：焚烧1吨垃圾， 发电厂发电300度， 发电厂发电260度.
（2）设 发电厂焚烧 吨垃圾，则 发电厂焚烧 吨，总发电量为 度，则
∵
∴
∵ 随 的增大而增大
∴当 时， 取最大值25800度.
【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及了二元一次方程的应用一次函数的最值问题，解答本题的关键
在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和一次函数关系式求解．
22.如图所示抛物线 过点 ，点 ，且
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点 在直线 上的两个动点，且 ，点 在点 的上方，求四边形 的周长的最小值；
（3）点 为抛物线上一点，连接 ，直线 把四边形 的面积分为3∶5两部分，求点 的坐标.
【答案】（1） ，对称轴为直线 ；（2）四边形 的周长最小值为 ；
（3）
【解析】
【分析】
（1）OB=OC，则点B（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，即
可求解；（2）CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，即可求解；
（3）S ：S = EB×（y -y ）： AE×（y -y ）=BE：AE，即可求解．
PCB PCA C P C P
△ △
【详解】（1）∵OB=OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，
故-3a=3，解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3…①；
对称轴为：直线
（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC= 、DE=1是常数，
故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D，
取点A′（-1，1），则A′D=AE，
故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，
四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE= +1+A′D+DC′= +1+A′C′= +1+ ；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S ：S = EB×（y -y ）： AE×（y -y ）=BE：AE，
PCB PCA C P C P
△ △
则BE：AE，=3：5或5：3，
则AE= 或 ，即：点E的坐标为（ ，0）或（ ，0），
将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，
解得：k=-6或-2，
故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②
联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中
（1），通过确定点A′点来求最小值，是本题的难点．
23.已知在平面直角坐标系中，点 ，以线段 为直径作圆，圆心为 ，直线 交
于点 ，连接 .
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）点 为 轴上任意一动点，连接 交 于点 ，连接 ：
①当 时，求所有 点的坐标 （直接写出）；
②求 的最大值.
【答案】（1）见解析；（2）① ， ；② 的最大值为 .
【解析】
【分析】
（1）连接 ，证明∠EDO=90°即可；
（2）①分“ 位于 上”和“ 位于 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可；
②作 于点 ，证明 ，得 ，从而得解.
【详解】（1）证明：连接 ，则：∵ 为直径
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
即：
∵ 轴
∴
∴
∴直线 为 的切线.
（2）①如图1，当 位于 上时：
∵
∴
∴设 ，则
∴
∴ ，解得：
∴即
如图2，当 位于 的延长线上时：
∵
∴设 ，则
∴
∴
解得：
∴
即②如图，作 于点 ，
∵ 是直径
∴
∴
∴
∵ 半径
∴
∴ 的最大值为 .
【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和
相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
