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2016年广东省中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）如图所示，a与b的大小关系是（ ）
A．a＜bB．a＞bC．a=b D．b=2a
3．（3分）下列所述图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．直角三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正三角形
4．（3分）据广东省旅游局统计显示，2016年4月全省旅游住宿设施接待过夜游
客约27700000人，将27700000用科学记数法表示为（ ）
A．0.277×107 B．0.277×108 C．2.77×107D．2.77×108
5．（3分）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形
EFGH的周长为（ ）
A． B．2 C． +1 D．2 +1
6．（3分）某公司的拓展部有五个员工，他们每月的工资分别是3000元，4000元，
5000元，7000元和10000元，那么他们工资的中位数是（ ）
A．4000元 B．5000元 C．7000元 D．10000元
7．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（
）
第1页（共31页）A． B． C． D．
9．（3分）已知方程x﹣2y+3=8，则整式x﹣2y的值为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．15
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方
向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大
致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）9的算术平方根是 ．
12．（4分）分解因式：m2﹣4= ．
13．（4分）不等式组 的解集是 ．
14．（4分）如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的
第2页（共31页）高h为12cm，OA=13cm，则扇形AOC中 的长是 cm（计算结果保留π）．
15．（4分）如图，矩形ABCD中，对角线AC=2 ，E为BC边上一点，BC=3BE，
将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则
AB= ．
16．（4分）如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重
合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA、PA、PC，若PA=a，则点A到PB
和PC的距离之和AE+AF= ．
三、解答题（共3小题，每小题6分，满分18分）
17．（6分）计算：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣ ）﹣1．
18．（6分）先化简，再求值： • + ，其中a= ﹣1．
第3页（共31页）19．（6分）如图，已知△ABC中，D为AB的中点．
（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连结DE（保留作图痕迹，不要求写作
法）；
（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．
四、解答题（共3小题，每小题7分，满分21分）
20．（7分）某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了
50%，结果提前4天完成任务．
（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？
（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建
道路的工效比原计划增加百分之几？
21．（7分）如图，Rt ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD
为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同
△
样的方法作Rt FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt HIC，∠HCI=90°．若
△
AC=a，求CI的长．
△ △
第4页（共31页）22．（7分）某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活动项目：足
球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项，为了解选择各种
体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得的
数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题：
（1）这次活动一共调查了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于 度；
（4）若该学校有1500人，请你估计该学校选择足球项目的学生人数约是 人．
第5页（共31页）五、解答题（共3小题，每小题9分，满分27分）
23．（9分）如图，在直角坐标系中，直线y=kx+1（k≠0）与双曲线y= （x＞0）相交
于点P（1，m ）．
（1）求k的值；
（2）若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是Q（ ）；
（3）若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0， ），求该抛物线的函数解析式，
并求出抛物线的对称轴方程．
第6页（共31页）24．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B
作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过
点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．
（1）求证：△ACF∽△DAE；
（2）若S = ，求DE的长；
AOC
△
（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．
25．（9分）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上
第7页（共31页）平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足
为O，连接OA、OP．
（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？
（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（3）在平移变换过程中，设y=S ，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，
OPB
并求出y的最大值． △
第8页（共31页）2016 年广东省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2016•黔东南州）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【考点】相反数．
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【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相
反数是0．
2．（3分）（2016•广东）如图所示，a与b的大小关系是（ ）
A．a＜bB．a＞bC．a=b D．b=2a
【考点】有理数大小比较．
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【分析】根据数轴判断出a，b与零的关系，即可．
【解答】根据数轴得到a＜0，b＞0，
∴b＞a，
故选A
【点评】此题是有理数大小的比较，主要考查了识别数轴上的点表示的数，也是解
本题的难点．
3．（3分）（2016•广东）下列所述图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．直角三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正三角形
【考点】中心对称图形．
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【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、直角三角形不是中心对称图形，故本选项错误；
第9页（共31页）B、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确；
C、正五边形不是中心对称图形，故本选项错误；
D、正三角形不是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转
180度后两部分重合．
4．（3分）（2016•广东）据广东省旅游局统计显示，2016年4月全省旅游住宿设施
接待过夜游客约27700000人，将27700000用科学记数法表示为（ ）
A．0.277×107 B．0.277×108 C．2.77×107D．2.77×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜
1时，n是负数．
【解答】解：将27700000用科学记数法表示为2.77×107，
故选C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）（2016•广东）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线
EF为边正方形EFGH的周长为（ ）
A． B．2 C． +1 D．2 +1
【考点】正方形的性质．
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【分析】由正方形的性质和已知条件得出BC=CD= =1，∠BCD=90°，CE=CF=
第10页（共31页），得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得
出正方形EFGH的周长．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC=CD= =1，∠BCD=90°，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE= BC= ，CF= CD= ，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF= CE= ，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4× =2 ；
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方
形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF的长是解决问题的关键．
6．（3分）（2016•广东）某公司的拓展部有五个员工，他们每月的工资分别是3000
元，4000元，5000元，7000元和10000元，那么他们工资的中位数是（ ）
A．4000元 B．5000元 C．7000元 D．10000元
【考点】中位数．
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【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个
数的平均数）为中位数．
【解答】解：从小到大排列此数据为：3000元，4000元，5000元，7000元，10000元，
5000元处在第3位为中位数，
故他们工资的中位数是5000元．
故选B．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对
这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一
定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，
则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
第11页（共31页）7．（3分）（2016•广东）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）所在的象限是
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
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【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：点P（﹣2，﹣3）所在的象限是第三象限．
故选C．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符
号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，
+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）
8．（3分）（2016•广东）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么
cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．
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【分析】利用勾股定理列式求出OA，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可．
【解答】解：由勾股定理得OA= =5，
所以cosα= ．
故选D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，勾股定理，熟记概念
并准确识图求出OA的长度是解题的关键．
第12页（共31页）9．（3分）（2016•广东）已知方程x﹣2y+3=8，则整式x﹣2y的值为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．15
【考点】等式的性质．
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【分析】根据等式的性质1：等式两边同时加上﹣3，可得x﹣2y=5．
【解答】解：由x﹣2y+3=8得：x﹣2y=8﹣3=5，
故选A
【点评】本题考查了等式的性质，非常简单，属于基础题；熟练掌握等式的性质是
本题的关键，也运用了整体的思想．
10．（3分）（2016•广东）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形
的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函
数关系图象大致是（ ）
A． B． C． D ．
【考点】动点问题的函数图象．
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【专题】动点型；函数思想．
【分析】分P在AB、BC、CD、AD上四种情况，表示出y与x的函数解析式，确定
出大致图象即可．
【解答】解：设正方形的边长为a，
当P在AB边上运动时，y= ax；
第13页（共31页）当P在BC边上运动时，y= a（2a﹣x）=﹣ ax+a2；
当P在CD边上运动时，y= a（x﹣2a）= ax﹣a2；
当P在AD边上运动时，y= a（4a﹣x）=﹣ ax﹣2a2，
大致图象为：
故选C．
【点评】此题考查了动点问题的函数图象，解题关键是深刻理解动点的函数图象，
了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）（2016•广东）9的算术平方根是 3 ．
【考点】算术平方根．
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【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．
【解答】解：∵（±3）2=9，
∴9的算术平方根是|±3|=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了数的算式平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．
12．（4分）（2016•广东）分解因式：m2﹣4= （ m+ 2 ）（ m﹣ 2 ） ．
【考点】因式分解-运用公式法．
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【专题】计算题．
【分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：
a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：m2﹣4=（m+2）（m﹣2）．
故答案为：（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子
的特点是：两项平方项；符号相反．
第14页（共31页）13．（4分）（2016•广东）不等式组 的解集是 ﹣ 3 ＜ x≤ 1 ．
【考点】解一元一次不等式组．
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【专题】计算题．
【分析】分别解两个不等式得到x≤1和x＞﹣3，然后利用大小小大中间找确定不
等式组的解集．
【解答】解： ，
解①得x≤1，
解②得x＞﹣3，
所以不等式组的解集为﹣3＜x≤1．
故答案为﹣3＜x≤1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其
中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等
式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不
到．
14．（4分）（2016•广东）如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形
AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA=13cm，则扇形AOC中 的长是 10 π cm
（计算结果保留π）．
【考点】圆锥的计算；弧长的计算．
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【分析】根据 的长就是圆锥的底面周长即可求解．
【解答】解：∵圆锥的高h为12cm，OA=13cm，
∴圆锥的底面半径为 =5cm，
第15页（共31页）∴圆锥的底面周长为10πcm，
∴扇形AOC中 的长是10πcm，
故答案为：10π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于展开扇
形的弧长，难度不大．
15．（4分）（2016•广东）如图，矩形ABCD中，对角线AC=2 ，E为BC边上一点，
BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′
处，则AB= ．
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
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【分析】先根据折叠得出BE=B′E，且∠AB′E=∠B=90°，可知△EB′C是直角三角
形，由已知的BC=3BE得EC=2B′E，得出∠ACB=30°，从而得出AC与AB的关系，
求出AB的长．
【解答】解：由折叠得：BE=B′E，∠AB′E=∠B=90°，
∴∠EB′C=90°，
∵BC=3BE，
∴EC=2BE=2B′E，
∴∠ACB=30°，
在Rt ABC中，AC=2AB，
∴AB △ = AC= ×2 = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了矩形的性质和翻折问题，明确翻折前后的图形全等是本题的
关键，同时还运用了直角三角形中如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角
边所对的锐角是30°这一结论，是常考题型．
第16页（共31页）16．（4分）（2016•广东）如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四
边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA、PA、PC，若PA=a，则
点A到PB和PC的距离之和AE+AF= a ．
【考点】圆周角定理；勾股定理；解直角三角形．
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【分析】如图，连接OB、OC．首先证明∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，推出∠APB=
∠AOB=30°，∠APC= ∠AOC=60°，根据AE=AP•sin30°，AF=AP•sin60°，即可
解决问题．
【解答】解：如图，连接OB、OC．
∵AD是直径，AB=BC=CD，
∴ = = ，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，
∴∠APB= ∠AOB=30°，∠APC= ∠AOC=60°，
在Rt APE中，∵∠AEP=90°，
∴AE △ =AP•sin30°= a，
在Rt APF中，∵∠AFP=90°，
△
第17页（共31页）∴AF=AP•sin60°= a，
∴AE+AF= a．
故答案为 a．
【点评】本题考查圆周角定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用
辅助线，学会利用直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共3小题，每小题6分，满分18分）
17．（6分）（2016•广东）计算：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣ ）﹣1．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
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【专题】计算题．
【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式|
﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣ ）﹣1的值是多少即可．
【解答】解：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣ ）﹣1
=3﹣1+2
=2+2
=4．
【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再
算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的
顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①a0=1（a≠0）；②00≠1．
（3）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数
值．
（4）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
第18页（共31页）①a﹣p= （a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂
的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
18．（6分）（2016•广东）先化简，再求值： • + ，其中a= ﹣1．
【考点】分式的化简求值．
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【专题】计算题；分式．
【分析】原式第一项约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，得到最
简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式= • + = + = = ，
当a= ﹣1时，原式= = = +1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（6分）（2016•广东）如图，已知△ABC中，D为AB的中点．
（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连结DE（保留作图痕迹，不要求写作
法）；
（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．
【考点】三角形中位线定理；作图—基本作图．
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【分析】（1）作线段AC的垂直平分线即可．
（2）根据三角形中位线定理即可解决．
【解答】解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点．
第19页（共31页）（2）∵AD=DB，AE=EC，
∴DE∥BC，DE= BC，
∵DE=4，
∴BC=8．
【点评】本题考查基本作图、三角形中位线定理等知识，解题的关键是掌握线段垂
直平分线的作法，记住三角形的中位线定理，属于中考常考题型．
四、解答题（共3小题，每小题7分，满分21分）
20．（7分）（2016•广东）某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，
工效提升了50%，结果提前4天完成任务．
（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？
（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建
道路的工效比原计划增加百分之几？
【考点】分式方程的应用．
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【分析】（1）设原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路1.5x米，根据题意
列方程解答即可；
（2）由（1）的结论列出方程解答即可．
【解答】解：（1）设原计划每天修建道路x米，
可得： ，
解得：x=100，
经检验x=100是原方程的解，
答：原计划每天修建道路100米；
（2）设际平均每天修建道路的工效比原计划增加y%，
可得： ，
第20页（共31页）解得：y=20，
经检验y=20是原方程的解，
答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之二十．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设
出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
21．（7分）（2016•广东）如图，Rt ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB
于 D，以 CD 为较短的直角边向△CDB 的同侧作 Rt DEC，满足∠E=30°，
△
∠DCE=90°，再用同样的方法作 Rt FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作
△
Rt HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．
△
△
【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．
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【分析】在Rt ACD中，利用 30度角的性质和勾股定理求 CD的长；同理在
Rt ECD中求FC的长，在Rt FCG中求CH的长；最后在Rt HCI中，利用30度
△
角的性质和勾股定理求CI的长．
△ △ △
【解答】解：在Rt ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠A=90°﹣30°=60°，
△
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=30°，
在Rt ACD中，AC=a，
∴AD △ = a，
由勾股定理得：CD= = ，
同理得：FC= × = ，CH= × = ，
第21页（共31页）在Rt HCI中，∠I=30°，
∴HI= △ 2HC= ，
由勾股定理得：CI= = ，
答：CI的长为 ．
【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形含30°角的性质，在直角三角形中，30°
角所对的直角边等于斜边的一半，这一性质经常运用，必须熟练掌握；同时在运
用勾股定理和直角三角形含30°角的性质时，一定要书写好所在的直角三角形，
尤其是此题多次运用了这一性质．
22．（7分）（2016•广东）某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活
动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项，为了
解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过
调查获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答
问题：
（1）这次活动一共调查了 25 0 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于 10 8 度；
（4）若该学校有1500人，请你估计该学校选择足球项目的学生人数约是 48 0
人．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
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【分析】（1）由“足球”人数及其百分比可得总人数；
（2）根据各项目人数之和等于总人数求出“篮球”的人数，补全图形即可；
第22页（共31页）（3）用“篮球”人数占被调查人数的比例乘以360°即可；
（4）用总人数乘以样本中足球所占百分比即可得．
【解答】解：（1）这次活动一共调查学生：80÷32%=250（人）；
（2）选择“篮球”的人数为：250﹣80﹣40﹣55=75（人），
补全条形图如图：
（3）选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角为： ×360°=108°；
（4）估计该学校选择足球项目的学生人数约是：1500×32%=480（人）；
故答案为：（1）250；（3）108；（4）480．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得
到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；
扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
五、解答题（共3小题，每小题9分，满分27分）
23．（9分）（2016•广东）如图，在直角坐标系中，直线y=kx+1（k≠0）与双曲线y=
（x＞0）相交于点P（1，m ）．
（1）求k的值；
（2）若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是Q（ 2 ， 1 ）；
（3）若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0， ），求该抛物线的函数解析式，
并求出抛物线的对称轴方程．
第23页（共31页）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求二次函数解析式．
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【分析】（1）直接利用图象上点的坐标性质进而代入求出即可；
（2）连接PO，QO，PQ，作PA⊥y轴于A，QB⊥x轴于B，于是得到PA=1，OA=2，
根据点Q与点P关于直线y=x成轴对称，得到直线y=x垂直平分PQ，根据线段
垂直平分线的性质得到 OP=OQ，根据全等三角形的性质得到 QB=PA=1，
OB=OA=2，于是得到结论；
（3）设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c，把P、Q、N（0， ）代入y=ax2+bx+c，解
方程组即可得到结论．
【解答】解：（1）∵直线y=kx+1与双曲线y= （x＞0）交于点A（1，m），
∴m=2，
把A（1，2）代入y=kx+1得：k+1=2，
解得：k=1；
（2）连接PO，QO，PQ，作PA⊥y轴于A，QB⊥x轴于B，则PA=1，OA=2，
∵点Q与点P关于直线y=x成轴对称，
∴直线y=x垂直平分PQ，
∴OP=OQ，
∴∠POA=∠QOB，
在△OPA与△OQB中，
，
∴△POA≌△QOB，
第24页（共31页）∴QB=PA=1，OB=OA=2，
∴Q（2，1）；
故答案为：2，1；
（3）设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c，
∵过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0， ），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的函数解析式为y=﹣ x2+x+ ，
∴对称轴方程x=﹣ = ．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性
质，解题需把点的坐标代入函数解析式，灵活利用方程组求出所需字母的值，从
而求出函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
24．（9分）（2016•广东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，
∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的
第25页（共31页）延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．
（1）求证：△ACF∽△DAE；
（2）若S = ，求DE的长；
AOC
△
（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．
【考点】相似形综合题．
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【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BAC=90°，根据三角形的内角和得到
∠ACB=60°根据切线的性质得到∠OAF=90°，∠DBC=90°，于是得到
∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据S = ，得到S = ，通过△ACF∽△DAE，求得S = ，过A
AOC ACF DAE
△ △ △
作AH⊥DE于H，解直角三角形得到AH= DH= DE，由三角形的面积公式
列方程即可得到结论；
（3）根据全等三角形的性质得到OE=OF，根据等腰三角形的性质得到∠OFG=
（180°﹣∠EOF）=30°，于是得到∠AFO=∠GFO，过O作OG⊥EF于G，根据全等
三角形的性质得到OG=OA，即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠ABC=30°，
∴∠ACB=60°
∵OA=OC，
∴∠AOC=60°，
第26页（共31页）∵AF是⊙O的切线，
∴∠OAF=90°，
∴∠AFC=30°，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠DBC=90°，
∴∠D=∠AFC=30，
∵∠DAE=ACF=120°，
∴△ACF∽△DAE；
（2）∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°，
∴∠CAF=30°，
∴∠CAF=∠AFC，
∴AC=CF
∴OC=CF，
∵S = ，
AOC
△
∴S = ，
ACF
△
∵∠ABC=∠AFC=30°，
∴AB=AF，
∵AB= BD，
∴AF= BD，
∴∠BAE=∠BEA=30°，
∴AB=BE=AF，
∴ = ，
∵△ACF∽△DAE，
∴ =（ ）2= ，
第27页（共31页）∴S = ，
DAE
△
过A作AH⊥DE于H，
∴AH= DH= DE，
∴S = DE•AH= × •DE2= ，
ADE
△
∴DE= ；
（3）∵∠EOF=∠AOB=120°，
在△AOF与△BOE中， ，
∴△AOF≌△BEO，
∴OE=OF，
∴∠OFG= （180°﹣∠EOF）=30°，
∴∠AFO=∠GFO，
过O作OG⊥EF于G，
∴∠OAF=∠OGF=90°，
在△AOF与△OGF中， ，
∴△AOF≌△GOF，
∴OG=OA，
∴EF是⊙O的切线．
第28页（共31页）【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，切线的
判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，证得△ACF∽△DAE是解题的关
键．
25．（9分）（2016•广东）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所
在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作
QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？
（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（3）在平移变换过程中，设y=S ，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，
OPB
并求出y的最大值． △
【考点】四边形综合题．
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【分析】（1）根据平移的性质，可得PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平
行四边形，可得答案；
（2）根据正方形的性质，平移的性质，可得PQ与AB的关系，根据等腰直角三角
形的判定与性质，可得∠PQOPQO，根据全等三角形的判定与性质，可得AO与
OP的数量关系，根据余角的性质，可得AO与OP的位置关系；
（3）根据等腰直角三角形的性质，可得OE的长，根据三角形的面积公式，可得二
次函数，根据二次函数的性质，可得到答案．
【解答】（1）四边形APQD为平行四边形；
（2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，
∵OQ⊥BD，
∴∠PQO=45°，
第29页（共31页）∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，
∴OB=OQ，
在△AOB和△OPQ中，
∴△AOB≌△POQ（SAS），
∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，
∴∠AOP=∠BOQ=90°，
∴OA⊥OP；
（3）如图，过O作OE⊥BC于E．
①如图1，当P点在B点右侧时，
则BQ=x+2，OE= ，
∴y= × •x，即y= （x+1）2﹣ ，
又∵0≤x≤2，
∴当x=2时，y有最大值为2；
②如图2，当P点在B点左侧时，
则BQ=2﹣x，OE= ，
∴y= × •x，即y=﹣ （x﹣1）2+ ，
又∵0≤x≤2，
∴当x=1时，y有最大值为 ；
综上所述，∴当x=2时，y有最大值为2；
第30页（共31页）【点评】本题考查了二次函数综合题，利用平行四边形的判定是解题关键；利用全
等三角形的判定与性质是解题关键；利用等腰直角三角形的性质的出OE的长是
解题关键，又利用了二次函数的性质．
第31页（共31页）
