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2015 年河北省中考数学试卷
一.选择题（1-10小题每小题3分，11-16小题每小题3分，共42分每小题的四个
选项中只有一个是正确的）
1．（3分）（2015•河北）计算：3﹣2×（﹣1）=（ ）
A． 5 B． 1 C． ﹣1 D． 6
2．（3分）（2015•河北）下列说法正确的是（ ）
A． 1的相反数是﹣1 B． 1的倒数是﹣1
C． 1的立方根是±1 D． ﹣1是无理数
3．（3分）（2015•河北）一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出
一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2015•河北）下列运算正确的是（ ）
A． （ ）﹣1=﹣ B． 6×107=6000000
C． （2a）2=2a2 D． a3•a2=a5
5．（3分）（2015•河北）如图所示的三视图所对应的几何体是（ ）A． B． C． D．
6．（3分）（2015•河北）如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列
三角形中，外心不是点O的是（ ）
A． △ABE B． △ACF C． △ABD D． △ADE
7．（3分）（2015•河北）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示 的点落在
（ ）
A． 段① B． 段② C． 段③ D． 段④
8．（3分）（2015•河北）如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC=50°，则∠ACD=（ ）
A． 120° B． 130° C． 140° D． 150°
9．（3分）（2015•河北）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位
于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（ ）A． B． C．
D．
10．（3分）（2015•河北）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用
时间x（年）成反比例关系，当x=2时，y=20．则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2分）（2015•河北）利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确
的是（ ）
A． 要消去y，可以将①×5+②×2 B． 要消去x，可以将①×3+②×（﹣5）
C． 要消去y，可以将①×5+②×3 D． 要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
12．（2分）（2015•河北）若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范
围是（ ）
A． a＜1 B． a＞1 C． a≤1 D． a≥113．（2分）（2015•河北）将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数
与点数3相差2的概率是（ ）
A． B． C． D．
14．（2分）（2015•河北）如图，直线l：y=﹣ x﹣3与直线y=a（a为常数）的交点在
第四象限，则a可能在（ ）
A． 1＜a＜2 B． ﹣2＜a＜0 C． ﹣3≤a≤﹣2 D． ﹣10＜a＜﹣4
15．（2分）（2015•河北）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点
M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：
①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距
离；⑤∠APB的大小．
其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A． ②③ B． ②⑤ C． ①③④ D． ④⑤
16．（2分）（2015•河北）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线
剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
A． 甲、乙都可以 B． 甲、乙都不可以C． 甲不可以、乙可以 D． 甲可以、乙不可以
二.填空题（4个小题，每小题3分，共12分）
17．（3分）（2015•河北）若|a|=20150，则a= ．
18．（3分）（2015•河北）若a=2b≠0，则 的值为 ．
19．（3分）（2015•河北）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六
边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2= ．
20．（3分）（2015•河北）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画
图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A ，得第1条线段AA ；
1 1
再以A 为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A ，得第2条线段A A ；
1 2 1 2
再以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A ，得第3条线段A A ；…
2 3 2 3
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=
．
三.解答题（共6个小题，共66分）
21．（10分）（2015•河北）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂
住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：
（1）求所捂的二次三项式；
（2）若x= +1，求所捂二次三项式的值．22．（10分）（2015•河北）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平
行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD，并写出了如下
不完整的已知和求证．
已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=
求证：四边形ABCD是 四边形．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为 ．
23．（10分）（2015•河北）水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个
球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面
就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为
y毫米．
（1）只放入大球，且个数为x ，求y与x 的函数关系式（不必写出x 的范围）；
大 大 大
（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x
小
①求y与x 的函数关系式（不必写出x 范围）；
小 小
②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？24．（11分）（2015•河北）某厂生产A，B两种产品，其单价随市场变化而做相应调
整．营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如表统计表及不完整的折线图
A，B产品单价变化统计表
第一次 第二次 第三次
A产品单价（元/件） 6 5.2 6.5
B产品单价（元/件） 3.5 4 3
并求得了A产品三次单价的平均数和方差：
=5.9，s 2= [（6﹣5.9）2+（5.2﹣5.9）2+（6.5﹣5.9）2 =
A
（1）补全如图中B产品单价变化的折线图．B产品第三次]的单价比上一次的单价
降低了 %
（2）求B产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小；
（3）该厂决定第四次调价，A产品的单价仍为6.5元/件，B产品的单价比3元/件
上调m%（m＞0），使得A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的
2倍少1，求m的值．25．（11分）（2015•河北）如图，已知点O（0，0），A（﹣5，0），B（2，1），抛物线l：y=
﹣（x﹣h）2+1（h为常数）与y轴的交点为C．
（1）l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
（2）设点C的纵坐标为y ，求y 的最大值，此时l上有两点（x ，y ），（x ，y ），其中
c c 1 1 2 2
x ＞x ≥0，比较y 与y 的大小；
1 2 1 2
（3）当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值．26．（14分）（2015•河北）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，
分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=0D=3，OP=2，OA=AB=1．让线
段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时
针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．
发现：
（1）当α=0°，即初始位置时，点P 直线AB上．（填“在”或“不
在”）求当α是多少时，OQ经过点B．
（2）在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这
个最小值；
（3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a及S
阴影
拓展：
如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用
含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．
探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．2015 年河北省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（1-10小题每小题3分，11-16小题每小题3分，共42分每小题的四个
选项中只有一个是正确的）
1．（3分）（2015•河北）计算：3﹣2×（﹣1）=（ ）
A． 5 B． 1 C． ﹣1 D． 6
考点： 有理数的混合运算．版权所有
分析： 先算乘法，再算减法，由此顺序计算即可．
解答： 解：原式=3﹣（﹣2）
=3+2
=5．
故选：A．
点评： 此题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序与符号的判定是解决问题的
关键．
2．（3分）（2015•河北）下列说法正确的是（ ）
A． 1的相反数是﹣1 B． 1的倒数是﹣1
C． 1的立方根是±1 D． ﹣1是无理数
考点： 立方根；相反数；倒数；无理数．版权所有
分析： 根据相反数、倒数、立方根，即可解答．
解答： 解：A、1的相反数是﹣1，正确；
B、1的倒数是1，故错误；
C、1的立方根是1，故错误；
D、﹣1是有理数，故错误；
故选：A．
点评： 本题考查了相反数、倒数、立方根，解决本题的关键是熟记相反数、倒数、
立方根的定义．3．（3分）（2015•河北）一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出
一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（ ）
A． B． C． D．
考点： 剪纸问题．版权所有
分析： 对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
解答： 解：严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，打出一个圆形小孔，展
开得到结论．
故选C．
点评： 此题主要考查了剪纸问题；学生的动手能力及空间想象能力是非常重要
的，做题时，要注意培养．
4．（3分）（2015•河北）下列运算正确的是（ ）
A． （ ）﹣1=﹣ B． 6×107=6000000
C． （2a）2=2a2 D． a3•a2=a5
考点： 幂的乘方与积的乘方；科学记数法—原数；同底数幂的乘法；负整数指数
幂．版权所有
分析： A：根据负整数指数幂的运算方法判断即可．
B：科学记数法a×10n表示的数“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右
移动n位所得到的数，据此判断即可．C：根据积的乘方的运算方法判断即可．
D：根据同底数幂的乘法法则判断即可．
解答： 解：∵ =2，
∴选项A不正确；
∵6×107=60000000，
∴选项B不正确；
∵（2a）2=4a2，
∴选项C不正确；
∵a3•a2=a5，
∴选项D正确．
故选：D．
点评： （1）此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键
是要明确：①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）．
（2）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①a﹣p= （a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂
的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数
（3）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要
熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相
乘时才是底数不变，指数相加．
（4）此题还考查了科学计数法﹣原数，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：科
学记数法a×10n表示的数“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动
n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a
的小数点向左移动n位得到原数．5．（3分）（2015•河北）如图所示的三视图所对应的几何体是（ ）
A． B． C． D．
考点： 由三视图判断几何体．版权所有
分析： 对所给四个几何体，分别从主视图和俯视图进行判断．
解答： 解：从主视图可判断A错误；从俯视图可判断C、D错误．
故选B．
点评： 本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先应分
别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后
综合起来考虑整体形状．
6．（3分）（2015•河北）如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列
三角形中，外心不是点O的是（ ）
A． △ABE B． △ACF C． △ABD D． △ADE考点： 三角形的外接圆与外心．版权所有
分析： 利用外心的定义，外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线
的交点，叫做三角形的外心，进而判断得出即可．
解答： 解：如图所示：只有△ACF的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是
△ACF．
故选：B．
点评： 此题主要考查了三角形外心的定义，正确把握外心的定义是解题关键．
7．（3分）（2015•河北）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示 的点落在
（ ）
A． 段① B． 段② C． 段③ D． 段④
考点： 估算无理数的大小；实数与数轴．版权所有
分析： 根据数的平方，即可解答．
解答： 解：2.62=6.76，2.72=7.29，2.82=7.84，2.92=8.41，32=9，
∵7.84＜8＜8.41，
∴ ，
∴ 的点落在段③，
故选：C．
点评： 本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是计算出各数的平方．
8．（3分）（2015•河北）如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC=50°，则∠ACD=（ ）A． 120° B． 130° C． 140° D． 150°
考点： 平行线的性质；垂线．版权所有
分析： 如图，作辅助线；首先运用平行线的性质求出∠DGC的度数，借助三角形
外角的性质求出∠ACD即可解决问题．
解答： 解：如图，延长AC交EF于点G；
∵AB∥EF，
∴∠DGC=∠BAC=50°；
∵CD⊥EF，
∴∠CDG=90°，
∴∠ACD=90°+50°=140°，
故选C．
点评： 该题主要考查了垂线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质等几何知
识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是
灵活运用平行线的性质、三角形的外角性质等几何知识点来分析、判断、解答．
9．（3分）（2015•河北）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位
于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（ ）A． B． C．
D．
考点： 方向角．版权所有
分析： 根据方向角的定义，即可解答．
解答： 解：根据岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，故D
符合．
故选：D．
点评： 本题考查了方向角，解决本题的关键是熟记方向角的定义．
10．（3分）（2015•河北）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用
时间x（年）成反比例关系，当x=2时，y=20．则y与x的函数图象大致是（ ）A． B． C． D．
考点： 反比例函数的应用；反比例函数的图象．版权所有
分析： 设y= （k≠0），根据当x=2时，y=20，求出k，即可得出y与x的函数图象．
解答： 解：设y= （k≠0），
∵当x=2时，y=20，
∴k=40，
∴y= ，
则y与x的函数图象大致是C，
故选：C．
点评： 此题考查了反比例函数的应用，关键是根据题意设出解析式，根据函数的
解析式得出函数的图象．
11．（2分）（2015•河北）利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确
的是（ ）A． 要消去y，可以将①×5+②×2 B． 要消去x，可以将①×3+②×（﹣5）
C． 要消去y，可以将①×5+②×3 D． 要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
考点： 解二元一次方程组．版权所有
专题： 计算题．
分析： 方程组利用加减消元法求出解即可．
解答： 解：利用加减消元法解方程组 ，要消去x，可以将①×（﹣
5）+②×2．
故选D
点评： 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入
消元法与加减消元法．
12．（2分）（2015•河北）若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范
围是（ ）
A． a＜1 B． a＞1 C． a≤1 D． a≥1
考点： 根的判别式．版权所有
分析： 根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．
解答： 解：∵关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，
∴b2﹣4ac=22﹣4×1×a＜0，
解得：a＞1．
故选B．
点评： 此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次
方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
⇔13．（2分）（2015•河北）将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数
与点数3相差2的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点： 概率公式．版权所有
分析： 由一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次
这枚骰子，向上的一面的点数为与点数3相差2的有2种情况，直接利用概率公
式求解即可求得答案．
解答： 解：∵一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷
一次这枚骰子，向上的一面的点数为点数3相差2的有2种情况，
∴掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为点数3相差2的概率是： = ．
故选B．
点评： 此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
14．（2分）（2015•河北）如图，直线l：y=﹣ x﹣3与直线y=a（a为常数）的交点在
第四象限，则a可能在（ ）
A． 1＜a＜2 B． ﹣2＜a＜0 C． ﹣3≤a≤﹣2 D． ﹣10＜a＜﹣4
考点： 两条直线相交或平行问题．版权所有
专题： 计算题．分析： 先求出直线y=﹣ x﹣3与y轴的交点，则根据题意得到a＜﹣3时，直线
y=﹣ x﹣3与直线y=a（a为常数）的交点在第四象限，而四个选项中，只有﹣10＜
a＜﹣4满足条件，故选D．
解答： 解：∵直线y=﹣ x﹣3与y轴的交点为（0，﹣3），
而直线y=﹣ x﹣3与直线y=a（a为常数）的交点在第四象限，
∴a＜﹣3．
故选D．
点评： 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条
直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行
的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．
15．（2分）（2015•河北）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点
M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：
①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距
离；⑤∠APB的大小．
其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A． ②③ B． ②⑤ C． ①③④ D． ④⑤
考点： 三角形中位线定理；平行线之间的距离．版权所有分析： 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=
AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出
点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；
根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．
解答： 解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MN是△PAB的中位线，
∴MN= AB，
即线段MN的长度不变，故①错误；
PA、PB的长度随点P的移动而变化，
所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；
∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，
∴△PMN的面积不变，故③错误；
直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；
∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．
综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．
故选B．
点评： 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底
等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键．
16．（2分）（2015•河北）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线
剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
A． 甲、乙都可以 B． 甲、乙都不可以C． 甲不可以、乙可以 D． 甲可以、乙不可以
考点： 图形的剪拼．版权所有
分析： 根据图形可得甲可以拼一个边长为 的正方形，图乙可以拼一个边长为
的正方形．
解答： 解：所作图形如图所示，
甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形．
故选A．
点评： 本题考查了图形的简拼，解答本题的关键是根据题意作出图形．
二.填空题（4个小题，每小题3分，共12分）
17．（3分）（2015•河北）若|a|=20150，则a= ± 1 ．
考点： 绝对值；零指数幂．版权所有
分析： 先根据0次幂，得到|a|=1，再根据互为相反数的绝对值相等，即可解答．
解答： 解：∵|a|=20150，
∴|a|=1，
∴a=±1，
故答案为：±1．
点评： 本题考查了绝对值，解决本题的关键是熟记互为相反数的两个数绝对值
相等．18．（3分）（2015•河北）若a=2b≠0，则 的值为 ．
考点： 分式的化简求值．版权所有
专题： 计算题．
分析： 把a=2b代入原式计算，约分即可得到结果．
解答： 解：∵a=2b，
∴原式= = ，
故答案为：
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（3分）（2015•河北）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六
边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2= 24 ° ．
考点： 多边形内角与外角．版权所有
分析： 首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六
边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求
出∠3+∠1﹣∠2的度数即可．
解答： 解：正三角形的每个内角是：
180°÷3=60°，正方形的每个内角是：
360°÷4=90°，
正五边形的每个内角是：
（5﹣2）×180°÷5
=3×180°÷5
=540°÷5
=108°，
正六边形的每个内角是：
（6﹣2）×180°÷6
=4×180°÷6
=720°÷6
=120°，
则∠3+∠1﹣∠2
=（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）
=30°+12°﹣18°
=24°．
故答案为：24°．
点评： 此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）•180（ n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指
每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为
360°．
20．（3分）（2015•河北）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画
图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A ，得第1条线段AA ；
1 1
再以A 为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A ，得第2条线段A A ；
1 2 1 2
再以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A ，得第3条线段A A ；…
2 3 2 3
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= 9
．考点： 等腰三角形的性质．版权所有
分析： 根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A AB的度数，
1
∠A A C的度数，∠A A B的度数，∠A A C的度数，…，依此得到规律，再根据三
2 1 3 2 4 3
角形外角小于90°即可求解．
解答： 解：由题意可知：AO=A A，A A=A A ，…，
1 1 2 1
则∠AOA =∠OA A，∠A OA =∠A A A，…，
1 1 1 2 1 2
∵∠BOC=9°，
∴∠A AB=18°，∠A A C=27°，∠A A B=36°的度数，∠A A C=45，…，
1 2 1 3 2 4 3
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
故答案为：9．
点评： 考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性
质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
三.解答题（共6个小题，共66分）
21．（10分）（2015•河北）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂
住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：
（1）求所捂的二次三项式；
（2）若x= +1，求所捂二次三项式的值．考点： 整式的混合运算—化简求值．版权所有
专题： 计算题．
分析： （1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；
（2）把x的值代入计算即可求出值．
解答： 解：（1）设所捂的二次三项式为A，
根据题意得：A=x2﹣5x+1+3x=x2﹣2x+1；
（2）当x= +1时，原式=7+2 ﹣2 ﹣2+1=6．
点评： 此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
22．（10分）（2015•河北）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平
行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD，并写出了如下
不完整的已知和求证．
已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB= CD
求证：四边形ABCD是 平行 四边形．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为 平行四边形两组对边分别相等 ．
考点： 平行四边形的判定；命题与定理．版权所有
分析： （1）命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”，结论是“是平行四边
形”，根据题设可得已知：在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD，求证：四边形
ABCD是平行四边形；（2）连接BD，利用SSS定理证明△ABD≌△CDB可得∠ADB=∠DBC，
∠ABD=∠CDB，进而可得AB∥CD，AD∥CB，根据两组对边分别平行的四边形是
平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；
（3）把命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的题设和结论对换可
得平行四边形两组对边分别相等．
解答： 解：（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD
求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）证明：连接BD，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）用文字叙述所证命题的逆命题为：平行四边形两组对边分别相等．
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四
边形是平行四边形．23．（10分）（2015•河北）水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个
球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面
就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为
y毫米．
（1）只放入大球，且个数为x ，求y与x 的函数关系式（不必写出x 的范围）；
大 大 大
（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x
小
①求y与x 的函数关系式（不必写出x 范围）；
小 小
②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？
考点： 一次函数的应用．版权所有
分析： （1）根据每放入一个大球水面就上升4毫米，即可解答；
（2）①根据y=放入大球上面的高度+放入小球上面的高度，即可解答；
②根据题意列出不等式，即可解答．
解答： 解：（1）根据题意得：y=4x +210；
大
（2）①当x =6时，y=4×6+210=234，
大
∴y=3x +234；
小
②依题意，得3x +234≤260，
小
解得： ，
∵x 为自然数，
小
∴x 最大为8，即最多能放入8个小球．
小
点评： 本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系
式、一元一次不等式．24．（11分）（2015•河北）某厂生产A，B两种产品，其单价随市场变化而做相应调
整．营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如表统计表及不完整的折线图
A，B产品单价变化统计表
第一次 第二次 第三次
A产品单价（元/件） 6 5.2 6.5
B产品单价（元/件） 3.5 4 3
并求得了A产品三次单价的平均数和方差：
=5.9，s 2= [（6﹣5.9）2+（5.2﹣5.9）2+（6.5﹣5.9）2 =
A
（1）补全如图中B产品单价变化的折线图．B产品第三次]的单价比上一次的单价
降低了 2 5 %
（2）求B产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小；
（3）该厂决定第四次调价，A产品的单价仍为6.5元/件，B产品的单价比3元/件
上调m%（m＞0），使得A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的
2倍少1，求m的值．
考点： 方差；统计表；折线统计图；算术平均数；中位数．版权所有
分析： （1）根据题目提供数据补充折线统计图即可；
（2）分别计算平均数及方差即可；
（3）首先确定这四次单价的中位数，然后确定第四次调价的范围，根据“A产品
这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的2倍少1”列式求m即可．
解答： 解：（1）如图2所示：B产品第三次的单价比上一次的单价降低了 =25%，
（2） = （3.5+4+3）=3.5，
= = ，
∵B产品的方差小，
∴B产品的单价波动小；
（3）第四次调价后，对于A产品，这四次单价的中位数为 = ；
对于B产品，∵m＜0，
∴第四次单价大于3，
∵ ﹣1＞ ，
∴第四次单价小于4，
∴ ×2﹣1= ，
∴m=25．
点评： 本题考查了方差、条形统计图、算术平均数、中位数的知识，解题的关键是
根据方差公式进行有关的运算，难度不大．25．（11分）（2015•河北）如图，已知点O（0，0），A（﹣5，0），B（2，1），抛物线l：y=
﹣（x﹣h）2+1（h为常数）与y轴的交点为C．
（1）l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
（2）设点C的纵坐标为y ，求y 的最大值，此时l上有两点（x ，y ），（x ，y ），其中
c c 1 1 2 2
x ＞x ≥0，比较y 与y 的大小；
1 2 1 2
（3）当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值．
考点： 二次函数综合题．版权所有
分析： （1）把点B的坐标代入函数解析式，列出关于h的方程，借助于方程可以
求得h的值；利用抛物线函数解析式得到该图象的对称轴和顶点坐标；
（2）把点C的坐标代入函数解析式得到：y =﹣h2+1，则由二次函数的最值的求法
C
易得y 的最大值，并可以求得此时抛物线的解析式，根据抛物线的增减性来求y
c 1
与y 的大小；
2
（3）根据已知条件“O（0，0），A（﹣5，0），线段OA被l只分为两部分，且这两部
分的比是1：4”可以推知把线段OA被l只分为两部分的点的坐标分别是（﹣1，
0），（﹣4，0）．由二次函数图象上点的坐标特征可以求得h的值．
解答： 解：（1）把点B的坐标B（2，1）代入y=﹣（x﹣h）2+1，得
1=﹣（2﹣h）2+1．
解得h=2．
则该函数解析式为y=﹣（x﹣2）2+1（或y=﹣x2+4x﹣3）．
故抛物线l的对称轴为x=2，顶点坐标是（2，1）；
（2）点C的横坐标为0，则y =﹣h2+1．
C当h=0时，y =有最大值1，
C
此时，抛物线l为：y=﹣x2+1，对称轴为y轴，开口方向向下，
所以，当x≥0时，y随x的增大而减小，
所以，x ＞x ≥0，y ＜y ；
1 2 1 2
（3）∵线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4，且O（0，0），A（﹣5，
0），
∴把线段OA被l只分为两部分的点的坐标分别是（﹣1，0），（﹣4，0）．
把x=﹣1，y=0代入y=﹣（x﹣h）2+1，得
0=﹣（﹣1﹣h）2+1，
解得h =0，h =﹣2．
1 2
但是当h=﹣2时，线段OA被抛物线l分为三部分，不合题意，舍去．
同样，把x=﹣4，y=0代入y=﹣（x﹣h）2+1，得
h=﹣5或h=﹣3（舍去）．
综上所述，h的值是0或﹣5．
点评： 本题考查了二次函数综合题．该题涉及到了待定系数法求二次函数解析
式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及点的坐标与图形的
性质等知识点，综合性比较强，难度较大．解答（3）题时，注意对h的值根据实际
意义进行取舍．
26．（14分）（2015•河北）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，
分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=0D=3，OP=2，OA=AB=1．让线
段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时
针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．
发现：
（1）当α=0°，即初始位置时，点P 在 直线AB上．（填“在”或“不在”）求当
α是多少时，OQ经过点B．（2）在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这
个最小值；
（3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a及S
阴影
拓展：
如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用
含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．
探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．
考点： 圆的综合题．版权所有
分析： （1）在，当OQ过点B时，在R OAB中，AO=AB，得到
t
△
∠DOQ=∠ABO=45°，求得α=60°﹣45°=15°；
（2）如图2，连接AP，由OA+AP≥OP，当OP过点A，即α=60°时，等号成立，于是
有AP≥OP﹣OA=2﹣1=1，当α=60°时，P、A之间的距离最小，即可求得结果
（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点
R作RE⊥KQ于点E，在R OPH中，PH=AB=1，OP=2，得到∠POH=30°，求得
t
△
α=60°﹣30°=30°，由于AD∥BC，得到∠RPO=∠POH=30°，求出∠RKQ=2×30°=60°，
于是得到结果；拓展：如图5，由∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，得到△AON∽△BMN求出
BN= ，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF=
﹣AO=2 ﹣1，求出x的取值范围是0＜x≤ ﹣1；
探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；
①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直
线分别交于点S，O′，于是得到∠KSO=∠KTB=90°，作KG⊥OO′于G，在R OSK
t
△
中，求出OS= =2，在R OSO′中，SO′=OS•tan60°=2 ，KO′=2 ﹣
t
△
在R KGO′中，∠O′=30°，求得KG= KO′= ﹣ ，在R OGK中，求得结果；②
t t
△ △
当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα的值③当半圆K与CD切线时，
点Q与点D重合，且为切点，得到α=60°于是结论可求．
解答： 解：发现：（1）在，
当OQ过点B时，在R OAB中，AO=AB，
t
∴∠DOQ=∠ABO=45°，△
∴α=60°﹣45°=15°；
（2）如图2，连接AP，
∵OA+AP≥OP，
当OP过点A，即α=60°时，等号成立，
∴AP≥OP﹣OA=2﹣1=1，
∴当α=60°时，P、A之间的距离最小，∴PA的最小值=1；
（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，
过点R作RE⊥KQ于点E，在R OPH中，PH=AB=1，OP=2，
t
△
∴∠POH=30°，
∴α=60°﹣30°=30°，
∵AD∥BC，
∴∠RPO=∠POH=30°，
∴∠RKQ=2×30°=60°，
∴S = = ，
扇形KRQ
在R RKE中，RE=RK•sin60°= ，
t
△
∴S = •RE= ，∴S = + ；
PRK 阴影
△
拓展：如图5，
∵∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，
∴△AON∽△BMN，
∴ ，即 ，
∴BN= ，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF=
﹣AO=2 ﹣1，
∴x的取值范围是0＜x≤ ﹣1；
探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；
①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直
线分别交于点S，O′，
则∠KSO=∠KTB=90°，
作KG⊥OO′于G，在R OSK中，
t
△
OS= =2，
在R OSO′中，SO′=OS•tan60°=2 ，KO′=2 ﹣ ，
t
△
在R KGO′中，∠O′=30°，
t
△
∴KG= KO′= ﹣ ，
∴在R OGK中，sinα= = = ，
t
△
②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα= = =
= ；
③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，∴α=60°，
∴sinα=sin60 ，
综上所述sinα的值为： 或 或 ．
点评： 本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，锐角三角函数，
根据题意正确的画出图形是解题的关键．
