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2016 年海南省中考数学试卷
一、选择题（本大题满分42分，每小题3分）
1．（3分）2016的相反数是（ ）
A．2016 B．﹣2016 C． D．﹣
2．（3分）若代数式x+2的值为1，则x等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
3．（3分）如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）某班7名女生的体重（单位：kg）分别是35、37、38、40、42、42、74，这组
数据的众数是（ ）
A．74 B．44 C．42 D．40
5．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．（a3）4=a12 B．a3•a5=a15 C．a2+a2=a4 D．a6÷a2=a3
6．（3分）省政府提出2016年要实现180 000农村贫困人口脱贫，数据180 000用
科学记数法表示为（ ）
A．1.8×103 B．1.8×104 C．1.8×105 D．1.8×106
7．（3分）解分式方程 ，正确的结果是（ ）
A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．无解
8．（3分）面积为2的正方形的边长在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
9．（3分）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与
总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
第1页（共29页）A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例
C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人
D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷
10．（3分）在平面直角坐标系中，将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到
△A OB ，若点B的坐标为（2，1），则点B的对应点B 的坐标为（ ）
1 1 1
A．（1，2） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
11．（3分）三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这
两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，
连接BC．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
13．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则
∠2的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
14．（3分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点
C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（ ）
第2页（共29页）A．6 B．6 C．2 D．3
二、填空题（本大题满分16分，每小题4分）
15．（4分）因式分解：ax﹣ay= ．
16．（4分）某工厂去年的产值是a万元，今年比去年增加10%，今年的产值是
万元．
17．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点
D在优弧 上，AB=8，BC=3，则DP= ．
18．（4分）如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下
列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其
中正确的是 （只填写序号）
第3页（共29页）三、解答题（本大题满分62分）
19．（10分）计算：
（1）6÷（﹣3）+ ﹣8×2﹣2；
（2）解不等式组： ．
20．（8分）世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和
《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的
50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，
求这两本书的标价各多少元．
21．（8分）在太空种子种植体验实践活动中，为了解“宇番2号”番茄，某校科技
第4页（共29页）小组随机调查60株番茄的挂果数量x（单位：个），并绘制如下不完整的统计
图表：
“宇番2号”番茄挂果数量统计表
挂果数量x（个） 频数（株） 频率
25≤x＜35 6 0.1
35≤x＜45 12 0.2
45≤x＜55 a 0.25
55≤x＜65 18 b
65≤x＜75 9 0.15
请结合图表中的信息解答下列问题：
（1）统计表中，a= ，b= ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）若绘制“番茄挂果数量扇形统计图”，则挂果数量在“35≤x＜45”所对应扇
形的圆心角度数为 °；
（4）若所种植的“宇番2号”番茄有1000株，则可以估计挂果数量在“55≤x＜
65”范围的番茄有 株．
22．（8分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红
第5页（共29页）在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的
仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）
23．（14分）如图1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF与BD、BC分别
交于点E、F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G．
（1）求证：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；
（2）若KD=KG，BC=4﹣ ．
①求KD的长度；
②如图2，点P是线段KD上的动点（不与点D、K重合），PM∥DG交KG于点M，
PN∥KG交DG于点N，设PD=m，当S = 时，求m的值．
△PMN
24．（14分）如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y
第6页（共29页）轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）若点P的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC的面积；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．
①若∠APE=∠CPE，求证： ；
②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
第7页（共29页）2016 年海南省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题满分42分，每小题3分）
1．（3分）2016的相反数是（ ）
A．2016 B．﹣2016 C． D．﹣
【考点】14：相反数．
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【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
【解答】解：2016的相反数是﹣2016，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相
反数是0．
2．（3分）若代数式x+2的值为1，则x等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【考点】86：解一元一次方程．
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【专题】11：计算题；521：一次方程（组）及应用．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：x+2=1，
解得：x=﹣1，
故选：B．
【点评】此题考查了解一元一次方程方程，根据题意列出方程是解本题的关键．
3．（3分）如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
第8页（共29页）【考点】U2：简单组合体的三视图．
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【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4．（3分）某班7名女生的体重（单位：kg）分别是35、37、38、40、42、42、74，这组
数据的众数是（ ）
A．74 B．44 C．42 D．40
【考点】W5：众数．
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【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数即可．
【解答】解：∵数据中42出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是42，
故选：C．
【点评】本题考查了众数，一组数据中出现次数做多的数叫做众数，它反映了一组
数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．
5．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．（a3）4=a12 B．a3•a5=a15 C．a2+a2=a4 D．a6÷a2=a3
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底
数幂的除法．
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【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数
不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用
排除法求解．
【解答】解：A、（a3）4=a3×4=a12，故A正确；
B、a3•a5=a3+5=a8，故B错误；
C、a2+a2=2a2，故C错误；
D、a6÷a2=a6﹣2=a4，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练
掌握运算性质和法则是解题的关键．
6．（3分）省政府提出2016年要实现180 000农村贫困人口脱贫，数据180 000用
第9页（共29页）科学记数法表示为（ ）
A．1.8×103 B．1.8×104 C．1.8×105 D．1.8×106
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1
时，n是负数．
【解答】解：180000用科学记数法表示为1.8×105，
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的
形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．（3分）解分式方程 ，正确的结果是（ ）
A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．无解
【考点】B3：解分式方程．
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【专题】11：计算题；522：分式方程及应用．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：1+x﹣1=0，
解得：x=0，
故选：A．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
8．（3分）面积为2的正方形的边长在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【考点】2B：估算无理数的大小．
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【分析】面积为3的正方形边长是2的算术平方根，再利用夹逼法求得 的取值
范围即可．
【解答】解：面积为2的正方形边长是 ，
∵1＜2＜4，
∴
第10页（共29页）故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根的定义和估算无理数的大小，运用“夹逼法”是
解答此题的关键．
9．（3分）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与
总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例
C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人
D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷
【考点】G2：反比例函数的图象；GA：反比例函数的应用．
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【分析】解：如图所示，人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函
数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，根据反比例函数的性质可推出
A，B错误，
再根据函数解析式求出自变量的值与函数值，有可判定C，D．
【解答】解：如图所示，人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函
数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，
∴y随x的增大而减小，
∴A，B错误，
设y= （k＞0，x＞0），把x=50时，y=1代入得：k=50，
∴y= ，
把y=2代入上式得：x=25，
∴C错误，
把x=50代入上式得：y=1，
∴D正确，
故选：D．
第11页（共29页）【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，图象，求函数值与自变量的值，根据
图象找出正确信息是解题的关键．
10．（3分）在平面直角坐标系中，将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到
△A OB ，若点B的坐标为（2，1），则点B的对应点B 的坐标为（ ）
1 1 1
A．（1，2） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．
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【分析】根据题意可得，点B和点B的对应点B 关于原点对称，据此求出B 的坐标
1 1
即可．
【解答】解：∵△A OB 是将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到图形，
1 1
∴点B和点B 关于原点对称，
1
∵点B的坐标为（2，1），
∴B 的坐标为（﹣2，﹣1）．
1
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，图形或点旋转之后要结合旋转的角
度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
11．（3分）三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这
两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张
卡片上的数字恰好都小于3的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，
∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率= = ．
故选：A．
第12页（共29页）【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回
实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，
连接BC．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【考点】MC：切线的性质．
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【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠PAO
的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．
【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°．
又∵∠P=40°，
∴∠POA=50°，
∴∠ABC= ∠POA=25°．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理．圆的切线垂直于经过切点的半径．
13．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则
∠2的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
第13页（共29页）【考点】JA：平行线的性质；LB：矩形的性质．
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【分析】首先过点 D 作 DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3 的度数，易得
∠ADC=∠2+∠3，继而求得答案．
【解答】解：过点D作DE∥a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，
∵a∥b，
∴DE∥a∥b，
∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，
∴∠2=90°﹣30°=60°．
故选：C．
【点评】此题考查了矩形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此
题的关键．
14．（3分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点
C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（ ）
A．6 B．6 C．2 D．3
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE．
【解答】解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，
∴∠CDE=∠BDE=90°，
∵BD=CD，BC=6，
第14页（共29页）∴BD=ED=3，
即△EDB是等腰直角三角形，
∴BE= BD= ×3=3 ，
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个：1、折叠的性质：折叠是一
种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小
不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等腰直角三角形的性质求解．
二、填空题（本大题满分16分，每小题4分）
15．（4分）因式分解：ax﹣ay= a （ x﹣ y ） ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
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【分析】通过提取公因式a进行因式分解即可．
【解答】解：原式=a（x﹣y）．
故答案是：a（x﹣y）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法：：如果一个多项式的各项有公因式，
可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解
因式的方法叫做提公因式法．
16．（4分）某工厂去年的产值是a万元，今年比去年增加10%，今年的产值是
（ 1 + 10% ） a 万元．
【考点】32：列代数式．
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【专题】123：增长率问题．
【分析】今年产值=（1+10%）×去年产值，根据关系列式即可．
【解答】解：根据题意可得今年产值=（1+10%）a万元，
故答案为：（1+10%）a．
【点评】本题考查了增长率的知识，增长后的收入=（1+10%）×增长前的收入．
17．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点
D在优弧 上，AB=8，BC=3，则DP= 5. 5 ．
第15页（共29页）【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理．
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【分析】由AB和DE是⊙O的直径，可推出OA=OB=OD=4，∠C=90°，又有DE⊥AC，
得到OP∥BC，于是有△AOP∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB和DE是⊙O的直径，
∴OA=OB=OD=4，∠C=90°，
又∵DE⊥AC，
∴OP∥BC，
∴△AOP∽△ABC，
∴ ，
即 ，
∴OP=1.5．
∴DP=OD+OP=5.5，
故答案为：5.5．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，
熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
18．（4分）如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下
列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其
中正确的是 ①②③④ （只填写序号）
【考点】KB：全等三角形的判定；L9：菱形的判定；P3：轴对称图形．
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第16页（共29页）【分析】根据轴对称图形的性质，结合菱形的判定方法以及全等三角形的判定方
法分析得出答案．
【解答】解：因为l是四边形ABCD的对称轴，AB∥CD，
则AD=AB，∠1=∠2，∠1=∠4，
则∠2=∠4，
∴AD=DC，
同理可得：AB=AD=BC=DC，
所以四边形ABCD是菱形．
根据菱形的性质，可以得出以下结论：
所以①AC⊥BD，正确；
②AD∥BC，正确；
③四边形ABCD是菱形，正确；
④在△ABD和△CDB中
∵
∴△ABD≌△CDB（SSS），正确．
故答案为：①②③④．
【点评】此题考查了轴对称以及菱形的判断与菱形的性质，注意：对称轴垂直平分
对应点的连线，对应角相等，对应边相等．
三、解答题（本大题满分62分）
19．（10分）计算：
（1）6÷（﹣3）+ ﹣8×2﹣2；
第17页（共29页）（2）解不等式组： ．
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；CB：解一元一次不等式组．
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【分析】（1）根据实数的运算顺序，先计算除法、开方、乘方，再计算乘法，最后计
算加减可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的
解集．
【解答】解：（1）原式=﹣2+2﹣8× =﹣2；
（2）解不等式x﹣1＜2，得：x＜3，
解不等式 ≥1，得：x≥1，
∴不等式组的解集为：1≤x＜3．
【点评】本题考查了实数的混合运算和一元一次不等式组的解法：解一元一次不
等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解
集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
20．（8分）世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和
《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的
50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，
求这两本书的标价各多少元．
【考点】8A：一元一次方程的应用．
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【分析】设《汉语成语大词典》的标价为x元，则《中华上下五千年》的标价为（150
﹣x）元．根据“购书价格=《汉语成语大词典》的标价×折率+《中华上下五千
年》的标价×折率”可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设《汉语成语大词典》的标价为x元，则《中华上下五千年》的标价为
（150﹣x）元，
依题意得：50%x+60%（150﹣x）=80，
解得：x=100，
150﹣100=50（元）．
答：《汉语成语大词典》的标价为100元，《中华上下五千年》的标价为50元．
第18页（共29页）【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出50%x+60%（150﹣x）
=80．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程
（或方程组）是关键．
21．（8分）在太空种子种植体验实践活动中，为了解“宇番2号”番茄，某校科技
小组随机调查60株番茄的挂果数量x（单位：个），并绘制如下不完整的统计
图表：
“宇番2号”番茄挂果数量统计表
挂果数量x（个） 频数（株） 频率
25≤x＜35 6 0.1
35≤x＜45 12 0.2
45≤x＜55 a 0.25
55≤x＜65 18 b
65≤x＜75 9 0.15
请结合图表中的信息解答下列问题：
（1）统计表中，a= 1 5 ，b= 0. 3 ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）若绘制“番茄挂果数量扇形统计图”，则挂果数量在“35≤x＜45”所对应扇
形的圆心角度数为 7 2 °；
（4）若所种植的“宇番2号”番茄有1000株，则可以估计挂果数量在“55≤x＜
65”范围的番茄有 30 0 株．
【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图；
VB：扇形统计图．
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第19页（共29页）【专题】54：统计与概率．
【分析】（1）根据题意可以求得a的值、b的值；
（2）根据（1）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据挂果数量在“35≤x＜45”所对应的频率，可以求得挂果数量在“35≤x＜
45”所对应扇形的圆心角度数；
（4）根据频数分布直方图可以估计挂果数量在“55≤x＜65”范围的番茄的株数．
【解答】解：（1）a=60×0.25=15，b= =0.3．
故答案是：15，0.3；
（2）补全的频数分布直方图如右图所示，
（3）由题意可得，
挂果数量在“35≤x＜45”所对应扇形的圆心角度数为：360°×0.2=72°，
故答案为：72；
（4）由题意可得，
挂果数量在“55≤x＜65”范围的番茄有：1000×0.3=300（株），
故答案为：300．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、扇形圆心角的度数，解题的
关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
22．（8分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红
在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的
仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）
第20页（共29页）【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；TA：解直角三角形的应用﹣仰
角俯角问题．
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【专题】12：应用题；55E：解直角三角形及其应用．
【分析】（1）在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；
（2）过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设
BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股
定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．
【解答】解：（1）在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°，
∴DE= DC=2米；
（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，
∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，
∴∠FBD=45°，即△BFD为等腰直角三角形，
设BF=DF=x米，
∵四边形DEAF为矩形，
∴AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴BC= = = = 米，
BD= BF= x米，DC=4米，
∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，
∴∠DCB=90°，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2= +16，
解得：x=4+4 ，
第21页（共29页）则AB=（6+4 ）米．
【点评】此题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股
定理是解本题的关键．
23．（14分）如图1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF与BD、BC分别
交于点E、F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G．
（1）求证：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；
（2）若KD=KG，BC=4﹣ ．
①求KD的长度；
②如图2，点P是线段KD上的动点（不与点D、K重合），PM∥DG交KG于点M，
PN∥KG交DG于点N，设PD=m，当S = 时，求m的值．
△PMN
【考点】KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质；LO：四边形综合题；S9：相似三角
形的判定与性质．
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【分析】（1）①先根据AAS判定△DOK≌△BOG，②再根据等腰三角形ABF和平行
四边形AFKG的性质，得出结论BG=AB+AK；
（2）①先根据等量代换得出AF=KG=KD=BG，再设AB=a，根据AK=FG列出关于a的
方程，求得a的值，进而计算KD的长；②先过点G作GI⊥KD，求得S 的值，
△DKG
再根据四边形PMGN是平行四边形，以及△DKG∽△PKM∽△DPN，求得S
△DPN
和S 的表达式，最后根据等量关系S =S ﹣S ﹣S ，列出
△PKM 平行四边形PMGN △DKG △DPN △PKM
关于m的方程，求得m的值即可．解法2：过P作PH⊥KG于H，直接运用三角
第22页（共29页）形面积计算公式，得到关于m的方程进行求解，即可得到m的值．
【解答】解：（1）①∵在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=∠BGO
∵点O是BD的中点
∴DO=BO
∴△DOK≌△BOG（AAS）
②∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC
又∵AF平分∠BAD
∴∠BAF=∠BFA=45°
∴AB=BF
∵OK∥AF，AK∥FG
∴四边形AFGK是平行四边形
∴AK=FG
∵BG=BF+FG
∴BG=AB+AK
（2）①由（1）得，四边形AFGK是平行四边形
∴AK=FG，AF=KG
又∵△DOK≌△BOG，且KD=KG
∴AF=KG=KD=BG
设AB=a，则AF=KG=KD=BG= a
∴AK=4﹣ ﹣ a，FG=BG﹣BF= a﹣a
∴4﹣ ﹣ a= a﹣a
解得a=
∴KD= a=2
②解法一：过点G作GI⊥KD于点I
由（2）①可知KD=AF=2
第23页（共29页）∴GI=AB=
∴S = ×2× =
△DKG
∵PD=m
∴PK=2﹣m
∵PM∥DG，PN∥KG
∴四边形PMGN是平行四边形，△DKG∽△PKM∽△DPN
∴ ，即S =（ ）2
△DPN
同理S =（ ）2
△PKM
∵S =
△PMN
∴S =2S =2×
平行四边形PMGN △PMN
又∵S =S ﹣S ﹣S
平行四边形PMGN △DKG △DPN △PKM
∴2× = ﹣（ ）2 ﹣（ ）2 ，即m2﹣2m+1=0
解得m =m =1
1 2
∴当S = 时，m的值为1
△PMN
解法二：如图，过P作PH⊥KG于H，则△PKH为等腰直角三角形
∵KP=DK﹣DP=2﹣m
∴PH=sin45°×KP= ×（2﹣m）
∵PN∥KG
∴∠PND=∠KGD
又∵KD=KG
∴∠KGD=∠PDN
∴∠PND=∠PDN
∴PN=PD=m
第24页（共29页）∴当S = 时， PN×PH=
△PMN
即 m× ×（2﹣m）=
解得m=1
即当S = 时，m的值为1
△PMN
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的性质，解题时需要运用全
等三角形的判定与性质．解答此题的关键是运用相似三角形的面积之比等于
相似比的平方这一性质，并根据图形面积的等量关系列出方程进行求解．
24．（14分）如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y
轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）若点P的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC的面积；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．
第25页（共29页）①若∠APE=∠CPE，求证： ；
②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）设交点式为y=a（x+5）（x+1），然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，作PQ∥y轴交AC于
Q，如图1，由P点坐标得到Q（﹣2，﹣3），则PQ=6，然后根据三角形面积公式，
利用S =S +S 进行计算；
△APC △APQ △CPQ
（3）①由∠APE=∠CPE，PH⊥AD可判断△PAD为等腰三角形，则AH=DH，设P（x，
﹣x2﹣6x﹣5），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，通过证明△PHD∽△COD，利用相似
比可表示出DH=﹣x﹣ ，则﹣x﹣x﹣ =5，则解方程求出x可得到OH和
AH的长，然后利用平行线分线段成比例定理计算出 = ；
②设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），分类讨论：当PA=PE，易得点P与B点
重合，此时P点坐标为（﹣1，0）；当AP=AE，如图2，利用PH=HE得到|﹣x2﹣6x
﹣5|=|﹣x﹣5|，当E′A=E′P，如图2，AE′= E′H′= （x+5），P′E′=x2+5x，则|x2+5x|
= （x+5），然后分别解方程求出x可得到对应P点坐标．
【解答】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+5）（x+1），
把C（0，﹣5）代入得a•5•1=﹣5，解得a=﹣1，
所以抛物线解析式为y=﹣（x+5）（x+1），即y=﹣x2﹣6x﹣5；
第26页（共29页）（2）解：设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（﹣5，0），C（0，﹣5）代入得 ，解得 ，
∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，
作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，则Q（﹣2，﹣3），
∴PQ=3﹣（﹣3）=6，
∴S =S +S = •PQ•5= ×6×5=15；
△APC △APQ △CPQ
（3）①证明：∵∠APE=∠CPE，
而PH⊥AD，
∴△PAD为等腰三角形，
∴AH=DH，
设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，
∵PH∥OC，
∴△PHD∽△COD，
∴PH：OC=DH：OD，即（﹣x2﹣6x﹣5）：5=DH：（﹣x﹣DH），
∴DH=﹣x﹣ ，
而OH+AH=5，即OH+DH=5，
∴﹣x﹣x﹣ =5，
整理得2x2+17x+35=0，解得x =﹣ ，x =﹣5（舍去），
1 2
∴OH= ，
∴AH=5﹣ = ，
∵HE∥OC，
∴ = = = ；
②能．设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），
第27页（共29页）当PA=PE，因为∠PEA=45°，所以∠PAE=45°，则点P与B点重合，此时P点坐标为
（﹣1，0）；
当AP=AE，如图2，则PH=HE，即|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，解﹣x2﹣6x﹣5=﹣x﹣5
得x =﹣5（舍去），x =0（舍去）；解﹣x2﹣6x﹣5=x+5得x =﹣5（舍去），x =﹣2，此
1 2 1 2
时P点坐标为（﹣2，3）；
当E′A=E′P，如图2，AE′= E′H′= （x+5），P′E′=|﹣x﹣5﹣（﹣x2﹣6x﹣5）|=|
x2+5x|，若x2+5x= （x+5），解得x =﹣5（舍去），x = ，此时P点坐标为（ ，
1 2
﹣7﹣6 ）；若x2+5x=﹣ （x+5），解得x =﹣5（舍去），x =﹣ ，此时P点坐标
1 2
为（﹣ ，6 ﹣7）．
综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣1，0），（﹣2，3），（ ，﹣7﹣6 ），（﹣ ，
6 ﹣7）．
第28页（共29页）【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征
和等腰三角形的判定；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质
能运用相似比计算线段的长；会运用方程的思想和分类讨论的思想解决问题．
第29页（共29页）
