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Born to win
1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设曲线 在点 处的切线与 轴的交点为 ,则 .
(2) .
(3) 差分方程 的通解为 .
(4) 设矩阵 满足 ,其中 , 为单位矩阵, 为
的伴随矩阵,则 .
(5) 设 是来自正态总体 的简单随机样本,
.则当 , 时,统计量 服从 分布,
其自由度为 .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题
目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设周期函数 在 内可导,周期为4.又 则曲线
在点 处的切线的斜率为 ( )
(A) (B) (C) (D)
(2) 设函数 讨论函数 的间断点,其结论为 ( )
(A) 不存在间断点 (B) 存在间断点
(C) 存在间断点 (D) 存在间断点
(3) 齐次线性方程组 的系数矩阵记为 .若存在三阶矩阵 使得
,则 ( )
(A) 且 (B) 且
(C) 且 (D) 且
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(4) 设 阶矩阵
,
若矩阵 的秩为 ,则 必为 ( )
(A) (B) (C) (D)
(5) 设 与 分别为随机变量 与 的分布函数.为使
是某一变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 ( )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题满分5分)
设 ,求 与 .
四、(本题满分5分)
设 ,求 .
五、(本题满分6分)
设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定 )就售出,总收入为 .如果窖藏
起来待来日按陈酒价格出售, 年末总收入为 假定银行的年利率为 ,并以连续
复利计息,试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求 时的 值.
六、(本题满分6分)
设函数 在 上连续,在 内可导,且 试证存在 使得
七、(本题满分6分)
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设有两条抛物线 和 ,记它们交点的横坐标的绝对值为
(1) 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 ；
(2) 求级数 的和.
八、(本题满分7分)
设函数 在 上连续.若由曲线 直线 与 轴所围
成的平面图形绕 轴旋转一周所形成的旋转体体积为
试求 所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件 的解.
九、(本题满分9分)
设向量 都是非零向量,且满足条件 记
矩阵 求：
(1) ；
(2) 矩阵 的特征值和特征向量.
十、(本题满分7分)
设矩阵 矩阵 其中 为实数, 为单位矩阵.求对角矩阵
,使 与 相似,并求 为何值时, 为正定矩阵.
十一、(本题满分10分)
一商店经销某种商品,每周进货的数量 与顾客对该种商品的需求量 是相互独立的
随机变量,且都服从区间[10,20]上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元；若
需求量超过了进货量,商店可从其他商店调剂供应,这时每单位商品获利润为500元.试计算
此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.
十二、(本题满分9分)
设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3
份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.
(1) 求先抽到的一份是女生表的概率 ；
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(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率 .
1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1)【答案】
【解析】曲线 在点 处的切线斜率 ,根据点斜
式,切线方程为：
令 ,代入 ,则 ,即在 轴上的截距为 ,
.
(2)【答案】
【解析】由分部积分公式,
.
【相关知识点】分部积分公式：假定 与 均具有连续的导函数,则
或者
(3)【答案】
【解析】首先把差分方程改写成标准形式 ,其齐次方程对应的特征方程及
特征根分别为
故齐次方程的通解为 为常数.
将方程右边的 改写成 ,此处“1”不是特征根,故令非齐次方程的一个特解为
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从而 代入原方程,得
故 .
于是通解为
(4)【答案】
【解析】由题设 ,
由于 ,所以 可逆.上式两边左乘 ,右乘 ,得
(利用公式： )
(移项)
(矩阵乘法的运算法则)
将 代入上式,整理得 .
由矩阵可逆的定义,知 均可逆,且
.
(5)【答案】
【解析】由于 相互独立,均服从 ,所以由数学期望和方差的性质,
得
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,
所以 ,同理 .
又因为 与 相互独立,且
； ,
由 分布的定义,当 时,
.
即当 时, 服从 分布,其自由度为 .
严格地说,当 时, ；当 时, 也是正确的.
【相关知识点】1、对于随机变量 与 均服从正态分布,则 与 的线性组合亦服从正态分
布.
若 与 相互独立,由数学期望和方差的性质,有
,
,
其中 为常数.
2、定理：若 ,则 .
3、 分布的定义：若 相互独立,且都服从标准正态分布 ,则
.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题
目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)【答案】(D)
【解析】根据导数定义：
所以
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因为 周期为4, 的周期亦是4,即 ,
所以 .
所以曲线 在点 处的切线的斜率为 .选(D).
(2)【答案】(B)
【分析】讨论由极限表示的函数的性质,应分两步走.先求出该 的(分段)表达式,然
后再讨论 的性质.不能隔着极限号去讨论.
【解析】现求 的(分段)表达式：
当 时,
；
当 时,
；
当 时,
；
当 时,
.
由此, 即
再讨论函数 的性质：在 处,
, ,
所以, ,函数 在 处连续,不是间断点.
在 处, ； ；
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所以 ,函数 在 处不连续,是第一类间断点.故选(B).
(3)【答案】(C)
【解析】方法1:由 知 ,又 ,于是
,故 ,即
,
得 应选(C).
方法 2:由 知 ,又 ,于是 ,故
.
显然, 时 ,有 故应选(C).
作为选择题,只需在 与 中选择一个,因而可以用特殊值代入法.
评注：对于条件 应当有两个思路：一是 的列向量是齐次方程组 的解；二是
秩的信息,即 ,要有这两种思考问题的意识.
(4)【答案】(B)
【解析】
其中 变换：将1行乘以(-1)再分别加到其余各行； 变换：将其余各列分别加到第1列.
由阶梯形矩阵知,当 ,即 时,有 ,故应选(B).
(5)【答案】(A)
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【解析】根据分布函数的性质 ,即
.
在所给的四个选项中只有(A)满足 ,故应选(A).
【相关知识点】分布函数 的性质：
(1) 单调不减；
(2)
(3) 是右连续的.
三、(本题满分5分)
【解析】
由全微分与偏微分的关系可知,其中 的系数就是 ,即 .再对 求偏
导数,得
四、(本题满分5分)
【解析】 表示圆心为 ,半径为 y
的圆及其内部,画出区域 ,如右图.
O x
方法1:
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所以, ,
令 ,则 , , 所以
上式 .
方法2:引入极坐标系 ,于是
,
其中倒数第二步用了华里士公式：
,其中 为大于1的正奇数.
五、(本题满分6分)
【分析】根据连续复利公式,在年利率为 的情况下,现时的 (元)在 时的总收入为
,反之, 时总收入为 的现值为 ,将 代入即得到总收
入的现值与窖藏时间 之间的关系式,从而可用微分法求其最大值.
【解析】由连续复利公式知,这批酒在窖藏 年末售出总收入 的现值为 ,而由题
设, 年末的总收入 ,据此可列出 ：
,
令 ,
得惟一驻点 .
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.
根据极值的第二充分条件,知： 是 的极大值点,又因驻点惟一,所以也是最大值
点.故窖藏 年出售,总收入的现值最大.
当 时, (年).
【相关知识点】极值的第二充分条件：设函数 在 处具有二阶导数且 ,
,当 时,函数 在 处取得极大值；当 时,函数
在 处取得极小值.
六、(本题满分6分)
【分析】本题要证的结论中出现两个中值点 和 ,这种问题一般应将含有 和 的项分别移
到等式两边后再用微分中值定理,为此本题只要证
.
【解析】方法1: 函数 在 上连续,在 内可导,满足拉格朗日中值定理的条件,
对函数 在 上用拉格朗日中值定理,有
又函数 与 满足柯西中值定理的条件,将函数 与 在 上用柯西中值定理,
有
,即 .
从而有
,即 .
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方法2：题中没有限制 ,因此取 ,即成为要去证存在 使
在 上对函数 用拉格朗日中值定理,存在 使
再取 ,则 ,原题得证.
【相关知识点】1.拉格朗日中值定理：
如果函数 满足在闭区间 上连续,在开区间 内可导,那么在 内至
少有一点 ,使等式 成立.
2. 柯西中值定理：如果函数 及 满足
(1) 在闭区间 上连续；
(2) 在开区间 内可导；
(3) 对任一 , ,
那么在 内至少有一点 ,使等式 成立.
七、(本题满分6分)
【解析】(1)由 与 得
因图形关于 轴对称,所以,所求图形的面积为
(2)由(1)的结果知
,
根据级数和的定义,
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八、(本题满分7分)
【分析】本题是微分方程的几何应用问题.在题目中给出了由曲线 等围成的平面图
形绕 轴旋转一周所形成的旋转体体积 与包含函数 的一个恒等式,这正是列方程的
依据.
【解析】由绕 轴旋转的旋转体体积公式得 ,于是,依题意得
,即 .
两边对 求导,化成微分方程
,
其中 为未知函数.按通常以 表示自变量, 表示未知函数 ,于是上述方程可写为
即
这是一阶齐次微分方程.令 ,有 ,则上式化为
即 (*)
若 ,则 不满足初始条件 ,舍弃；
若 ,则 也不满足初始条件 ,舍弃；
所以, ,且 .
由(*)式分离变量得 两边积分得 .从而方程(*)的通解为
为任意常数.
再代入初值,由 ,得 ,从而所求的解为
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【相关知识点】1. 对积分上限的函数的求导公式：若 , , 均一
阶可导,则 .
九、(本题满分9分)
【解析】(1)对等式 两边取转置,有 ,即 .
利用 及矩阵乘法的运算法则,有
,
即 是 阶零矩阵.
(2)设 是 的任一特征值, 是 属于特征值 的特征向量,即 .
对上式两边左乘 得 ,由(1)的结果 ,得
,因 ,故 ( 重根),即矩阵的全部特征值为零.
下面求 的特征向量：先将 写成矩阵形式
.
不妨设 ,则有
于是得方程组 同解方程组 ,这样基础解系所含向量
个数为 .
选 为自由未知量,将它们的组值 代入,
可解得基础解系为
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则 的属于 的全部特征向量为 ,其中 为不全为
零的任意常数.
十、(本题满分7分)
【分析】由于 是实对称矩阵, 必可相似对角化,而对角矩阵 即 的特征值,只要求出
的特征值即知 ,又因正定的充分必要条件是特征值全大于零, 的取值亦可求出.
【解析】方法1：由
,
可得 的特征值是
那么, 的特征值是 ,而 的特征值是
又由题设知 是实对称矩阵,则 故
,
即 也是实对称矩阵,故 必可相似对角化,且
.
当 时, 的全部特征值大于零,这时 为正定矩阵.
方法2：由
,
可得 的特征值是
因为 是实对称矩阵,故存在可逆矩阵 使 ,即 .
那么
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即 .故 .
当 时, 的全部特征值大于零,这时 为正定矩阵.
【相关知识点】1.特征值的性质：若 有特征值 ,则 的特征多项式 有特征值 .
2.矩阵正定的充要条件是特征值全大于零.
十一、(本题满分10分) y
【解析】设 表示商店每周所得的利润,
当 时,卖得利润为 (元)； 20 D
D
当 时,调剂了 ,总共得到利润 2
1
10
(元).
所以, O 10 20
x
由题设 与 都服从区间 上的均匀分布,联合概率密度为
由二维连续型随机变量的数学期望定义得
十二、(本题满分9分)
【解析】记事件 “第 次抽到的报名表是女生表” , “报名表是第 个地
区的” .易见, 构成一个完备事件组,且
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(1) 应用全概率公式,知
.
(2) .需先计算概率 与 .对事件 再次用全概率公式：
,
由“抽签原理”可知 ,
.
【相关知识点】1.全概率公式：如果事件 构成一个完备事件组,即它们是两两互不
相容,其和为 (总体的样本空间)；并且 ,则对任一事件 有
.
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