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2015 年安徽省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D
四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（4分）（2015•安徽）在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣4 B．2 C．﹣1 D．3
2．（4分）（2015•安徽）计算 × 的结果是（ ）
A． B．4 C． D．2
3．（4分）（2015•安徽）移动互联网已经全面进入人们的日常生活．截止2015年3
月，全国4G用户总数达到1.62亿，其中1.62亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.62×104 B．1.62×106 C．1.62×108 D．0.162×109
4．（4分）（2015•安徽）下列几何体中，俯视图是矩形的是（ ）
A. B. C. D.
5．（4分）（2015•安徽）与1+ 最接近的整数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（4分）（2015•安徽）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发
展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．
若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率
为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1.4（1+x）=4.5 B．1.4（1+2x）=4.5
C．1.4（1+x）2=4.5 D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5
7．（4分）（2015•安徽）某校九年级（1）班全体学生2015年初中毕业体育考试的成
绩统计如下表：
成绩（分） 35 39 42 44 45 48 50
人数（人） 2 5 6 6 8 7 6
根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ）
A．该班一共有40名同学
B．该班学生这次考试成绩的众数是45分C．该班学生这次考试成绩的中位数是45分
D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分
8．（4分）（2015•安徽）在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，
∠AED=60°，则一定有（ ）
A.∠ADE=20° B.∠ADE=30° C.∠ADE= ∠ADC D.∠ADE= ∠ADC
9（. 4分）（2015•安徽）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F
在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（
）
A．2 B．3 C．5 D．6
10．（4分）（2015•安徽）如图，一次函数y =x与二次函数y =ax2+bx+c图象相交于
1 2
P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）（2015•安徽）﹣64的立方根是 ．
12．（5分）（2015•安徽）如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上， 的长为2π，则
∠ACB的大小是 ．13．（5分）（2015•安徽）按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、
y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是 ．
14．（5分）（2015•安徽）已知实数a、b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：
①若c≠0，则 + =1；
②若a=3，则b+c=9；
③若a=b=c，则abc=0；
④若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c=8．
其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）（2015•安徽）先化简，再求值：（ + ）• ，其中a=﹣
16．（8分）（2015•安徽）解不等式： ＞1﹣ ．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）（2015•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了
△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）请画出△ABC关于直线l对称的△A B C ；
1 1 1
（2）将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段
A C ，并以它为一边作一个格点△A B C ，使A B =C B ．
2 2 2 2 2 2 2 2 2
18．（8分）（2015•安徽）如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D
的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（ =1.7）．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）（2015•安徽）A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球
由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传
球者随机地传给其他两人中的某一人．
（1）求两次传球后，球恰在B手中的概率；
（2）求三次传球后，球恰在A手中的概率．
20．（10分）（2015•安徽）在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC
上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
六、（本题满分12分）21．（12分）（2015•安徽）如图，已知反比例函数y= 与一次函数y=k x+b的图象
2
交于点A（1，8）、B（﹣4，m）．
（1）求k 、k 、b的值；
1 2
（2）求△AOB的面积；
（3）若M（x ，y ）、N（x ，y ）是比例函数y= 图象上的两点，且x ＜x ，y ＜y ，指
1 1 2 2 1 2 1 2
出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由．
七、（本题满分12分）
22．（12分）（2015•安徽）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足
够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形
区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的
面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？八、（本题满分14分）
23．（14分）（2015•安徽）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中
点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、
CG、DG，且∠AGD=∠BGC．
（1）求证：AD=BC；
（2）求证：△AGD∽△EGF；
（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求 的值．2015 年安徽省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D
四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（4分）（2015•安徽）在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣4 B．2 C．﹣1 D．3
考点： 有理数大小比较．菁优网版权所有
分析： 根据有理数大小比较的法则直接求得结果，再判定正确选项．
解答： 解：∵正数和0大于负数，
∴排除2和3．
∵|﹣2|=2，|﹣1|=1，|﹣4|=4，
∴4＞2＞1，即|﹣4|＞|﹣2|＞|﹣1|，
∴﹣4＜﹣2＜﹣1．
故选：A．
点评： 考查了有理数大小比较法则．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两
个负数，绝对值大的反而小．
2．（4分）（2015•安徽）计算 × 的结果是（ ）
A． B．4 C． D．2
考点： 二次根式的乘除法．菁优网版权所有
分析： 直接利用二次根式的乘法运算法则求出即可．
解答： 解： × = =4．
故选：B．
点评： 此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
3．（4分）（2015•安徽）移动互联网已经全面进入人们的日常生活．截止2015年3
月，全国4G用户总数达到1.62亿，其中1.62亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.62×104 B．1.62×106 C．1.62×108 D．0.162×109
考点： 科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的
位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：将1.62亿用科学记数法表示为1.62×108．
故选C．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）（2015•安徽）下列几何体中，俯视图是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单几何体的三视图．菁优网版权所有
分析： 根据简单和几何体的三视图判断方法，判断圆柱、圆锥、三棱柱、球的俯视
图，即可解答．
解答： 解：A、俯视图为圆，故错误；
B、俯视图为矩形，正确；
C、俯视图为三角形，故错误；
D、俯视图为圆，故错误；
故选：B．
点评： 本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．
5．（4分）（2015•安徽）与1+ 最接近的整数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
考点： 估算无理数的大小．菁优网版权所有
分析： 由于4＜5＜9，由此根据算术平方根的概念可以找到5接近的两个完全平
方数，再估算与1+ 最接近的整数即可求解．
解答： 解：∵4＜5＜9，
∴2＜ ＜3．
又5和4比较接近，
∴ 最接近的整数是2，∴与1+ 最接近的整数是3，
故选：B．
点评： 此题主要考查了无理数的估算能力，估算无理数的时候，“夹逼法”是估
算的一般方法，也是常用方法．
6．（4分）（2015•安徽）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发
展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．
若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率
为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1.4（1+x）=4.5 B．1.4（1+2x）=4.5
C．1.4（1+x）2=4.5 D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
专题： 增长率问题．
分析： 根据题意可得等量关系：2013年的快递业务量×（1+增长率）2=2015年的
快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
解答： 解：设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，由题意得：
1.4（1+x）2=4.5，
故选：C．
点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化
率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变
化后的数量关系为a（1±x）2=b．
7．（4分）（2015•安徽）某校九年级（1）班全体学生2015年初中毕业体育考试的成
绩统计如下表：
成绩（分） 35 39 42 44 45 48 50
人数（人） 2 5 6 6 8 7 6
根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ）
A．该班一共有40名同学
B．该班学生这次考试成绩的众数是45分
C．该班学生这次考试成绩的中位数是45分D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分
考点： 众数；统计表；加权平均数；中位数．菁优网版权所有
分析： 结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解．
解答： 解：该班人数为：2+5+6+6+8+7+6=40，
得45分的人数最多，众数为45，
第20和21名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为： =45，
平均数为： =44.425．
故错误的为D．
故选D．
点评： 本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本
题的关键．
8．（4分）（2015•安徽）在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，
∠AED=60°，则一定有（ ）
A．∠ADE=20° B．∠ADE=30° C． D．
∠ADE= ∠ADC ∠ADE= ∠ADC
考点： 多边形内角与外角；三角形内角和定理．菁优网版权所有
分析： 利用三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出∠A，
∠B，∠C，根据∠A=∠B=∠C，得到∠ADE= ∠EDC，因为
∠ADC=∠ADE+∠EDC= ∠EDC+∠EDC= ∠EDC，所以∠ADC= ∠ADC，即可解
答．
解答： 解：如图，
在△AED中，∠AED=60°，
∴∠A=180°﹣∠AED﹣∠ADE=120°﹣∠ADE，在四边形DEBC中，∠DEB=180°﹣∠AED=180°﹣60°=120°，
∴∠B=∠C=（360°﹣∠DEB﹣∠EDC）÷2=120°﹣ ∠EDC，
∵∠A=∠B=∠C，
∴120°﹣∠ADE=120°﹣ ∠EDC，
∴∠ADE= ∠EDC，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC= ∠EDC+∠EDC= ∠EDC，
∴∠ADE= ∠ADC，
故选：D．
点评： 本题考查了多边形的内角和，解决本题的关键是根据利用三角形的内角
和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出∠A，∠B，∠C．
9．（4分）（2015•安徽）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F
在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（
）
A．2 B．3 C．5 D．6
考点： 菱形的性质；矩形的性质．菁优网版权所有
分析： 连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于
四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠D=90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AOE，得到
AO=CO，求出AO= AC=2 ，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．
解答： 解；连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中， ，
∴△CFO≌△AOE，
∴AO=CO，
∵AC= =4 ，
∴AO= AC=2 ，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴AE=5．
故选C．
点评： 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和
性质，熟练运用定理是解题的关键．
10．（4分）（2015•安徽）如图，一次函数y =x与二次函数y =ax2+bx+c图象相交于
1 2
P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（ ）A． B． C． D．
考点： 二次函数的图象；正比例函数的图象．菁优网版权所有
分析： 由一次函数y =x与二次函数y =ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方
1 2
程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴
有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=
﹣ ＞0，即可进行判断．
解答： 解：∵一次函数y =x与二次函数y =ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，
1 2
∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，
∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，
∵方程ax2+（b﹣1）x+c=0的两个不相等的根x ＞0，x ＞0，
1 2
∴x +x =﹣ ＞0，
1 2
∴﹣ ＞0，
∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣ ＞0，
∵a＞0，开口向上，
∴A符合条件，
故选A．
点评： 本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关
系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）（2015•安徽）﹣64的立方根是 ﹣ 4 ．
考点： 立方根．菁优网版权所有
分析： 根据立方根的定义求解即可．
解答： 解：∵（﹣4）3=﹣64，
∴﹣64的立方根是﹣4．
故选﹣4．
点评： 此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这
个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的
立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
12．（5分）（2015•安徽）如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上， 的长为2π，则
∠ACB的大小是 20 ° ．
考点： 弧长的计算；圆周角定理．菁优网版权所有
分析： 连结OA、OB．先由 的长为2π，利用弧长计算公式求出∠AOB=40°，再
根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心
角的一半得到∠ACB= ∠AOB=20°．
解答： 解：连结OA、OB．设∠AOB=n°．
∵ 的长为2π，
∴ =2π，
∴n=40，
∴∠AOB=40°，
∴∠ACB= ∠AOB=20°．
故答案为20°．点评： 本题考查了弧长公式：l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），
同时考查了圆周角定理．
13．（5分）（2015•安徽）按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、
y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是 xy= z ．
考点： 规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
分析： 首项判断出这列数中，2的指数各项依次为 1，2，3，5，8，13，…，从第三个
数起，每个数都是前两数之和；然后根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，
可得这列数中的连续三个数，满足xy=z，据此解答即可．
解答： 解：∵21×22=23，22×23=25，23×25=28，25×28=213，…，
∴x、y、z满足的关系式是：xy=z．
故答案为：xy=z．
点评： 此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了同底数幂的乘法法则，注意观
察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出x、y、z的指数的特
征．
14．（5分）（2015•安徽）已知实数a、b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：
①若c≠0，则 + =1；
②若a=3，则b+c=9；
③若a=b=c，则abc=0；
④若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c=8．
其中正确的是 ①③④ （把所有正确结论的序号都选上）．
考点： 分式的混合运算；解一元一次方程．菁优网版权所有
分析： 按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得出结论即可
解答： 解：①∵a+b=ab≠0，∴ + =1，此选项正确；②∵a=3，则3+b=3b，b= ，c= ，∴b+c= + =6，此选项错误；
③∵a=b=c，则2a=a2=a，∴a=0，abc=0，此选项正确；
④∵a、b、c中只有两个数相等，不妨a=b，则2a=a2，a=0，或a=2，a=0不合题意，
a=2，则b=2，c=4，∴a+b+c=8，此选项正确．
其中正确的是①③④．
故答案为：①③④．
点评： 此题考查分式的混合运算，一元一次方程的运用，灵活利用题目中的已知
条件，选择正确的方法解决问题．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）（2015•安徽）先化简，再求值：（ + ）• ，其中a=﹣ ．
考点： 分式的化简求值．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式括号中第二项变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最
简结果，把a的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=（ ﹣ ）• = • = ，
当a=﹣ 时，原式=﹣1．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（8分）（2015•安徽）解不等式： ＞1﹣ ．
考点： 解一元一次不等式．菁优网版权所有
分析： 先去分母，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可求出不等式的解
集．
解答： 解：去分母，得2x＞6﹣x+3，
移项，得2x+x＞6+3，
合并，得3x＞9，系数化为1，得x＞3．
点评： 本题考查了一元一次不等式的解法，解答本题的关键是熟练掌握解不等
式的方法步骤，此题比较简单．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）（2015•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了
△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）请画出△ABC关于直线l对称的△A B C ；
1 1 1
（2）将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段
A C ，并以它为一边作一个格点△A B C ，使A B =C B ．
2 2 2 2 2 2 2 2 2
考点： 作图-轴对称变换；作图-平移变换．菁优网版权所有
分析： （1）利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案．
解答： 解：（1）如图所示：△A B C ，即为所求；
1 1 1
（2）如图所示：△A B C ，即为所求．
2 2 2点评： 此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，根据图形的性质得出对应点
位置是解题关键．
18．（8分）（2015•安徽）如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D
的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（ =1.7）．
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有
分析： 首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应
利用其公共边构造关系式求解．
解答： 解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，
根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．
∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴四边形ABEC为矩形．
∴CE=AB=12m．
在Rt△CBE中，cot∠CBE= ，
∴BE=CE•cot30°=12× =12 ．在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，
得DE=BE=12 ．
∴CD=CE+DE=12（ +1）≈32.4．
答：楼房CD的高度约为32.4m．
点评： 考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构
造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）（2015•安徽）A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球
由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传
球者随机地传给其他两人中的某一人．
（1）求两次传球后，球恰在B手中的概率；
（2）求三次传球后，球恰在A手中的概率．
考点： 列表法与树状图法．菁优网版权所有
分析： （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两
次传球后，球恰在B手中的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与三次传球
后，球恰在A手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：（1）画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，两次传球后，球恰在B手中的只有1种情况，∴两次传球后，球恰在B手中的概率为： ；
（2）画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，三次传球后，球恰在A手中的有2种情况，
∴三次传球后，球恰在A手中的概率为： = ．
点评： 此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况
数与总情况数之比．
20．（10分）（2015•安徽）在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC
上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
考点： 圆周角定理；勾股定理；解直角三角形．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： （1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，
利用正切定义可计算出OP=3tan30°= ，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计
算出PQ= ；（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ= ，则当OP
的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则OP= OB= ，所以
PQ长的最大值= ．
解答： 解：（1）连结OQ，如图1，
∵PQ∥AB，OP⊥PQ，
∴OP⊥AB，
在Rt△OBP中，∵tan∠B= ，
∴OP=3tan30°= ，
在Rt△OPQ中，∵OP= ，OQ=3，
∴PQ= = ；
（2）连结OQ，如图2，
在Rt△OPQ中，PQ= = ，
当OP的长最小时，PQ的长最大，
此时OP⊥BC，则OP= OB= ，
∴PQ长的最大值为 = ．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理和解直角三角形．六、（本题满分12分）
21．（12分）（2015•安徽）如图，已知反比例函数y= 与一次函数y=k x+b的图象
2
交于点A（1，8）、B（﹣4，m）．
（1）求k 、k 、b的值；
1 2
（2）求△AOB的面积；
（3）若M（x ，y ）、N（x ，y ）是比例函数y= 图象上的两点，且x ＜x ，y ＜y ，指
1 1 2 2 1 2 1 2
出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
分析： （1）先把A点坐标代入y= 可求得k =8，则可得到反比例函数解析式，再
1
把B（﹣4，m）代入反比例函数求得m，得到B点坐标，然后利用待定系数法确定
一次函数解析式即可求得结果；
（2）由（1）知一次函数y=k x+b的图象与y轴的交点坐标为（0，6），可求S =
2 △AOB
×6×2+ ×6×1=9；
（3）根据反比例函数的性质即可得到结果．
解答： 解：（1）∵反比例函数y= 与一次函数y=k x+b的图象交于点A（1，8）、B
2
（﹣4，m），
∴k =8，B（﹣4，﹣2），
1
解 ，解得 ；（2）由（1）知一次函数y=k x+b的图象与y轴的交点坐标为C（0，6），
2
∴S =S +S = ×6×4+ ×6×1=15；
△AOB △COB △AOC
（3）∵比例函数y= 的图象位于一、三象限，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵x ＜x ，y ＜y ，
1 2 1 2
∴M，N在不同的象限，
∴M（x ，y ）在第三象限，N（x ，y ）在第一象限．
1 1 2 2
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，求函数
的解析式，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22．（12分）（2015•安徽）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足
够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形
区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的
面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？考点： 二次函数的应用．菁优网版权所有
专题： 应用题．
分析： （1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2
倍，可得出AE=2BE，设BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的
关系式，并求出x的范围即可；
（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．
解答： 解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE=2BE，
设BE=a，则AE=2a，
∴8a+2x=80，
∴a=﹣ x+10，2a=﹣ x+20，
∴y=（﹣ x+20）x+（﹣ x+10）x=﹣ x2+30x，
∵a=﹣ x+10＞0，
∴x＜40，
则y=﹣ x2+30x（0＜x＜40）；
（2）∵y=﹣ x2+30x=﹣ （x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣ ＜0，
∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米．
点评： 此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是
解本题的关键．八、（本题满分14分）
23．（14分）（2015•安徽）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中
点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、
CG、DG，且∠AGD=∠BGC．
（1）求证：AD=BC；
（2）求证：△AGD∽△ EGF；
（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求 的值．
考点： 相似形综合题．菁优网版权所有
分析： （1）由线段垂直平分线的性质得出GA=GB，GD=GC，由SAS证明
△AGD≌△BGC，得出对应边相等即可；
（2）先证出∠AGB=∠DGC，由 ，证出△AGB∽△DGC，得出比例式 ，
再证出∠AGD=∠EGF，即可得出△AGD∽△EGF；
（3）延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH，由
△AGD≌△BGC，得出∠GAD=∠GBC，再求出∠AGE=∠AHB=90°，得出∠AGE=
∠AGB=45°，求出 ，由△AGD∽△EGF，即可得出 的值．
解答： （1）证明：∵GE是AB的垂直平分线，
∴GA=GB，
同理：GD=GC，
在△AGD和△BGC中，，
∴△AGD≌△BGC（SAS），
∴AD=BC；
（2）证明：∵∠AGD=∠BGC，
∴∠AGB=∠DGC，
在△AGB和△DGC中， ，
∴△AGB∽△DGC，
∴ ，
又∵∠AGE=∠DGF，
∴∠AGD=∠EGF，
∴△AGD∽△EGF；
（3）解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示：
则AH⊥BH，
∵△AGD≌△BGC，
∴∠GAD=∠GBC，
在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB，
∴∠AGB=∠AHB=90°，
∴∠AGE= ∠AGB=45°，
∴ ，
又∵△AGD∽△EGF，
∴ = = ．点评： 本题是相似形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判
定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强
特别是（3）中，需要通过作辅助线综合运用（1）（2）的结论和三角函数才能得出结
果．
